Ecuații logaritmice (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Climatologii estimează cât de mult încălzește dioxidul de carbon suplimentar printr-o mărime numită forțare radiativă, măsurată în wați pe metru pătrat. Formula folosită în rapoartele științifice conține logaritmul natural al raportului dintre concentrația actuală și cea de dinaintea epocii industriale. Dacă întrebi la ce concentrație forțarea atinge o valoare dată, necunoscuta ajunge sub logaritm. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), asemenea ecuații devin o sarcină de sine stătătoare: stabilești unde au sens, le aduci la o formă cunoscută, le rezolvi și verifici fiecare soluție, inclusiv pe grafic. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, iar programa lor are ecuațiile logaritmice la clasa a X-a; în varianta-model din 2026, cerința a 3-a de la Subiectul I este o asemenea ecuație.

În clasa a IX-a ai rezolvat ecuații ca $lo g_{a} x = m$ citind definiția, în lecția M2 despre definiția logaritmului. Acum folosești tot ce a adus clasa a X-a: condițiile de existență din lecția despre logaritmul unui număr la M2, formulele pentru produs, cât și putere din proprietățile logaritmilor la M2 și injectivitatea din graficul și proprietățile funcției logaritmice la M2.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii domeniul unei ecuații logaritmice înaintea oricărui calcul și să recunoști când o condiție este îndeplinită automat.
Vei ști să rezolvi ecuațiile $lo g_{a} f (x) = b$ și $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ , cu verificarea fiecărei valori găsite.
Vei ști să restrângi o sumă sau o diferență de logaritmi și să explici de unde vine o soluție care trebuie respinsă.
Vei ști să aduci la aceeași bază logaritmii cu baze diferite și să folosești notația $t = lo g_{a} x$ .
Vei ști să rezolvi ecuații în care apar și un logaritm, și o putere cu necunoscuta în exponent.
Vei ști să confirmi numărul soluțiilor pe graficele celor doi membri și să interpretezi soluția unui model din științe.

Hai să descoperim împreună

1. De ce începe orice ecuație logaritmică cu domeniul?

O ecuație logaritmică are necunoscuta sub cel puțin un logaritm, în argumentul lui, iar bazele sunt numere fixate, pozitive și diferite de $1$ . Înainte de orice transformare scrii domeniul ecuației: mulțimea numerelor pentru care toți logaritmii din ea există.

De exemplu, o ecuație care conține $lo g_{4} (x^{2} - 1)$ și $lo g_{7} (5 - x)$ are sens doar dacă $x^{2} - 1 > 0$ și $5 - x > 0$ , adică pentru $x \in (- \infty; - 1) \cup (1; 5)$ . Baza nu intervine în domeniu atunci când este un număr fixat: ea contează abia la rezolvare, când treci de la logaritm la putere. Orice valoare găsită în afara acestei mulțimi nu poate fi soluție, oricât de corect ar fi calculul care a produs-o.

Domeniul se scrie la început dintr-un motiv practic: transformările folosite mai departe pot schimba mulțimea pe care ecuația are sens. Dacă ai domeniul inițial pe hârtie, nicio valoare nu trece neobservată.

Când ecuația are mai mulți logaritmi, fiecare aduce propria condiție, iar domeniul este intersecția lor. Nu confunda domeniul cu mulțimea soluțiilor: domeniul spune doar unde are voie să stea o soluție, nu că numerele de acolo verifică ecuația. De obicei domeniul este un interval, iar mulțimea soluțiilor are unul sau două elemente, sau niciunul.

2. Cum rezolvi o ecuație de forma log_a f(x) = b?

Din definiția logaritmului, $lo g_{a} f (x) = b$ este echivalentă cu $f (x) = a^{b}$ . Observă un detaliu care economisește muncă: numărul $a^{b}$ este strict pozitiv, deci orice soluție a ecuației $f (x) = a^{b}$ face automat argumentul pozitiv. La acest tip nu mai ai de rezolvat inecuația $f (x) > 0$ .

Să luăm $lo g_{5} (x^{2} + 24 x) = 2$ . Ecuația devine $x^{2} + 24 x = 25$ , adică $x^{2} + 24 x - 25 = 0$ , cu rădăcinile $1$ și $- 25$ . Pentru ambele valori argumentul este chiar $25$ , deci ambele sunt soluții: $S = {- 25; 1}$ . Rădăcina negativă nu se respinge, pentru că nu semnul lui $x$ decide, ci semnul argumentului.

Membrul drept $b$ poate fi orice număr real, inclusiv unul negativ sau zero: logaritmul ia toate valorile reale. Un $b$ negativ înseamnă doar că argumentul trebuie să fie subunitar, dacă baza este supraunitară. Când argumentul este de gradul întâi, ecuația $f (x) = a^{b}$ are o singură soluție, iar când este de gradul al doilea poate avea două, una sau niciuna, după discriminant.

3. Când poți renunța la logaritmi de ambele părți?

Dacă ambii membri sunt logaritmi cu aceeași bază, injectivitatea spune că $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ este echivalentă cu $f (x) = g (x)$ , cu condiția ca argumentele să fie pozitive. E suficient să impui pozitivitatea unuia dintre ele, de obicei a celui mai simplu: din egalitate rezultă că și celălalt are aceeași valoare pozitivă.

Pentru $lo g_{7} (2 x^{2} + 9 x) = lo g_{7} (2 x + 9)$ alegem condiția $2 x + 9 > 0$ , adică $x > - \frac{9}{2}$ . Ecuația $2 x^{2} + 9 x = 2 x + 9$ devine $2 x^{2} + 7 x - 9 = 0$ , cu rădăcinile $1$ și $- \frac{9}{2}$ . Valoarea $- \frac{9}{2}$ nu respectă condiția (argumentul $2 x + 9$ devine $0$ ), deci se respinge; pentru $x = 1$ ambele argumente sunt egale cu $11$ .

De ce ajunge o singură condiție? Pentru orice soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ cele două argumente sunt egale, deci dacă unul este pozitiv, este și celălalt. Alegi condiția mai ușor de rezolvat, aici una de gradul întâi, și lași de o parte trinomul. Dacă ai fi ales condiția cu trinomul, ai fi ajuns la aceeași concluzie, dar cu mai mult calcul.

4. Ce se schimbă în domeniu când aduni doi logaritmi?

O sumă de logaritmi cu aceeași bază se restrânge cu proprietatea produsului: $lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ . Egalitatea este adevărată doar când $u$ și $v$ sunt amândouă pozitive, dar forma restrânsă are sens și când ambele sunt negative, pentru că produsul lor este tot pozitiv. Restrângerea lărgește deci domeniul, iar ecuația nouă poate avea soluții pe care cea inițială nu le are.

Fie $lo g_{3} (x - 2) + lo g_{3} (x + 4) = 3$ . Domeniul este $x > 2$ . Restrângem: $(x - 2) (x + 4) = 27$ , adică $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ , cu rădăcinile $5$ și $- 7$ . Pentru $x = - 7$ ambele argumente sunt negative, produsul lor este $27$ , deci $- 7$ verifică forma restrânsă, dar nu și ecuația inițială: se respinge. Rămâne $x = 5$ , iar verificarea dă $lo g_{3} 3 + lo g_{3} 9 = 1 + 2 = 3$ .

Aceeași capcană apare la diferență, unde $lo g_{a} u - lo g_{a} v = lo g_{a} \frac{u}{v}$ : câtul este pozitiv și când $u$ și $v$ sunt amândouă negative. Regula de lucru este simplă: compari valorile găsite cu domeniul ecuației inițiale, scris la început, nu cu domeniul formei restrânse. Forma restrânsă este doar un instrument de calcul, iar ecuația care trebuie rezolvată rămâne cea din enunț.

5. Ce faci când logaritmii au baze diferite?

Aduci toți logaritmii la o singură bază, cu formula din lecția despre schimbarea bazei la M2. Cel mai des, o bază este o putere a celeilalte, iar formula devine $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ .

În $lo g_{3} x - lo g_{27} x = 2$ , cu domeniul $x > 0$ , scriem $lo g_{27} x = \frac{1}{3} lo g_{3} x$ . Ecuația devine $\frac{2}{3} lo g_{3} x = 2$ , deci $lo g_{3} x = 3$ și $x = 27$ . Control: $lo g_{3} 27 - lo g_{27} 27 = 3 - 1 = 2$ .

Când bazele nu sunt puteri una a alteia, formula generală le aduce tot la o bază comună, cu un coeficient care nu mai este un număr simplu. Un caz care se rezolvă fără calcul este egalitatea a doi logaritmi cu același argument și baze diferite, $lo g_{2} x = lo g_{3} x$ . Cu formula de schimbare a bazei, $lo g_{3} x = \frac{l o g _{2} x}{l o g _{2} 3}$ , iar $lo g_{2} 3 \neq = 1$ , deci cei doi membri pot fi egali numai când sunt amândoi zero, adică pentru $x = 1$ . Pe grafic, cele două curbe au un singur punct comun, $(1; 0)$ .

6. Ce ecuații devin de gradul al doilea prin notația t = log_a x?

Dacă necunoscuta apare doar prin $lo g_{a} x$ , dar ridicat la putere sau înmulțit cu el însuși, notezi $t = lo g_{a} x$ și obții o ecuație algebrică. Scrierea $lo g_{a}^{2} x$ înseamnă $(lo g_{a} x)^{2}$ .

Pentru $lo g_{2}^{2} x - lo g_{2} x - 42 = 0$ , cu domeniul $x > 0$ , notația $t = lo g_{2} x$ dă $t^{2} - t - 42 = 0$ , cu $t = 7$ și $t = - 6$ . Revenim: $lo g_{2} x = 7$ dă $x = 128$ , iar $lo g_{2} x = - 6$ dă $x = \frac{1}{64}$ . Aici $t$ poate fi orice număr real, deci nu se respinge nicio rădăcină în $t$ ; în schimb $x = 2^{t}$ iese mereu pozitiv.

Dacă ecuația în $t$ nu are rădăcini reale, nici ecuația inițială nu are soluții, iar mulțimea soluțiilor este vidă. Notația funcționează la fel cu $l g$ sau cu $ln$ ; la revenire folosești baza corespunzătoare, $10$ , respectiv $e$ .

7. Ce arată graficul celor doi membri?

Soluțiile ecuației $f (x) = g (x)$ sunt abscisele punctelor comune ale graficelor lui $f$ și $g$ . Programa cere această verificare, iar la ecuațiile logaritmice ea explică și soluțiile străine.

Figura A reia ecuația din secțiunea 4. Curba $y = lo g_{3} (x - 2) + lo g_{3} (x + 4)$ există doar pentru $x > 2$ și taie dreapta $y = 3$ o singură dată, în $x = 5$ . Curba formei restrânse, $y = lo g_{3} ((x - 2) (x + 4))$ , coincide cu prima pentru $x > 2$ , dar are o ramură în plus, la stânga asimptotei $x = - 4$ , care taie aceeași dreaptă în $x = - 7$ ; pe figură, ea este desenată separat, cu altă culoare. Soluția străină este exact punctul de pe ramura care nu aparține ecuației inițiale.

Desenul are și o limită: arată o fereastră, deci un punct comun aflat în afara ei nu se vede. De aceea graficul confirmă numărul soluțiilor din zona desenată, iar valorile exacte și certitudinea că nu există altele vin din calcul. Un punct citit la $4, 9$ susține soluția $5$ , dar nu o demonstrează.

8. Ce faci când sub logaritm stă o putere a bazei?

Uneori argumentul logaritmului conține o putere a bazei, iar membrul drept conține necunoscuta. Treci la forma cu putere și obții o ecuație exponențială, pe care o rezolvi ca în lecția despre ecuațiile exponențiale prin substituție la M2.

Fie $lo g_{2} (2^{x} + 12) = x + 2$ . Argumentul este pozitiv pentru orice $x$ real. Forma cu putere este $2^{x} + 12 = 2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ . Cu $t = 2^{x} > 0$ obținem $t + 12 = 4 t$ , deci $t = 4$ și $x = 2$ . Figura B arată cei doi membri: dreapta $y = x + 2$ și curba $y = lo g_{2} (2^{x} + 12)$ se întâlnesc o singură dată, în $(2; 4)$ .

La acest tip, variabila auxiliară $t = a^{x}$ este mereu strict pozitivă, deci o rădăcină negativă sau nulă a ecuației în $t$ se respinge, chiar dacă argumentul logaritmului ar părea în regulă. Controlul final se face tot în ecuația cu logaritm: $lo g_{2} (4 + 12) = lo g_{2} 16 = 4 = 2 + 2$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un argument scris ca fracție

Determinați numerele reale $x$ pentru care $lo g_{2} \frac{x + 5}{x - 1} = 2$ .

Rezolvare. Ecuația este de tipul din secțiunea 2, deci condiția de pozitivitate a argumentului se verifică automat pentru soluții; rămâne doar condiția ca fracția să existe, $x \neq = 1$ . Din definiție, $\frac{x + 5}{x - 1} = 4$ , deci $x + 5 = 4 x - 4$ și $x = 3$ .

Verificare: $\frac{3 + 5}{3 - 1} = 4$ , iar $lo g_{2} 4 = 2$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {3}$ .

Dacă ai fi scris întâi condiția $\frac{x + 5}{x - 1} > 0$ , ai fi obținut $x < - 5$ sau $x > 1$ , iar soluția $3$ ar fi respectat-o. Calculul acesta era corect, dar nu era necesar: egalitatea cu $4$ garantează deja un argument pozitiv.

Exemplul 2 — O diferență de logaritmi și o soluție respinsă

Rezolvați ecuația $lo g_{2} (x + 12) - lo g_{2} (x - 3) = lo g_{2} x$ .

Rezolvare. Domeniul: $x + 12 > 0$ , $x - 3 > 0$ și $x > 0$ , deci $x > 3$ . Restrângem diferența cu proprietatea câtului: $lo g_{2} \frac{x + 12}{x - 3} = lo g_{2} x$ . Prin injectivitate, $\frac{x + 12}{x - 3} = x$ , adică $x + 12 = x^{2} - 3 x$ , deci $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ , cu rădăcinile $6$ și $- 2$ .

Valoarea $- 2$ nu este în domeniu și se respinge. Pentru $x = 6$ : $lo g_{2} 18 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} 6$ , adevărat. Deci $S = {6}$ .

Observă de unde vine valoarea respinsă: ea apare abia după ce renunțăm la logaritmi, în ecuația $\frac{x + 12}{x - 3} = x$ . Pentru $x = - 2$ argumentele $x - 3$ și $x$ ar fi negative, deci niciun logaritm din ecuația inițială nu ar exista. Motivul respingerii se scrie explicit, cu argumentul care nu e pozitiv.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: logaritmul unei sume

Un elev rezolvă ecuația $lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} 2 = lo g_{3} (x + 3)$ și scrie: „Adun argumentele: $lo g_{3} (x + 1 + 2) = lo g_{3} (x + 3)$ , egalitate adevărată pentru orice $x > - 1$ , deci ecuația are o infinitate de soluții.” Găsiți greșeala și rezolvați corect.

Rezolvare. Suma a doi logaritmi este logaritmul produsului argumentelor, nu al sumei lor. Corect: $lo g_{3} (2 (x + 1)) = lo g_{3} (x + 3)$ , cu domeniul $x > - 1$ . Prin injectivitate, $2 x + 2 = x + 3$ , deci $x = 1$ .

Verificare: $lo g_{3} 2 + lo g_{3} 2 = lo g_{3} 4$ și $lo g_{3} (1 + 3) = lo g_{3} 4$ . Ecuația are o singură soluție, $S = {1}$ . Un control rapid ar fi prins greșeala elevului: pentru $x = 0$ membrul stâng este $lo g_{3} 2$ , iar cel drept $lo g_{3} 3 = 1$ . Când o ecuație pare adevărată pentru toate numerele dintr-un interval, alege un număr la întâmplare și verifică-l: o singură valoare care nu merge desființează concluzia.

Exemplul 4 — Substituția cu logaritm zecimal

Rezolvați ecuația $2 l g^{2} x - 9 l g x + 9 = 0$ .

Rezolvare. Domeniul este $x > 0$ . Cu $t = l g x$ obținem $2 t^{2} - 9 t + 9 = 0$ , cu discriminantul $81 - 72 = 9$ și rădăcinile $t = 3$ și $t = \frac{3}{2}$ .

Revenim: $l g x = 3$ dă $x = 1000$ , iar $l g x = \frac{3}{2}$ dă $x = 1 0^{3/2} = 1010$ . Verificare pentru $x = 1000$ : $2 \cdot 9 - 9 \cdot 3 + 9 = 0$ ; pentru $x = 1010$ : $2 \cdot \frac{9}{4} - 9 \cdot \frac{3}{2} + 9 = 0$ . Deci $S = {1010; 1000}$ .

Rădăcina fracționară $t = \frac{3}{2}$ nu e o problemă: ea dă o putere cu exponent fracționar, adică un radical. Ambele soluții sunt pozitive, cum trebuie, pentru că orice putere a lui $10$ este pozitivă.

Exemplul 5 — Forțarea radiativă a dioxidului de carbon

Forțarea radiativă produsă de dioxidul de carbon din atmosferă se estimează cu formula $F (C) = 5, 35 ln \frac{C}{280}$ wați pe metru pătrat, unde $C$ este concentrația, în părți pe milion, iar $280$ este concentrația de dinaintea epocii industriale. Formula se folosește pentru $C \in [280; 1000]$ . a) Ce concentrație produce o forțare de două ori mai mare decât cea de la $420$ de părți pe milion? b) Arătați că trecerea de la $280$ la $420$ și trecerea de la $420$ la concentrația găsită produc aceeași creștere a forțării.

Rezolvare. a) Forțarea la $420$ de părți pe milion este $5, 35 ln \frac{420}{280} = 5, 35 ln \frac{3}{2}$ . Ecuația este $5, 35 ln \frac{C}{280} = 2 \cdot 5, 35 ln \frac{3}{2}$ , adică $ln \frac{C}{280} = ln \frac{9}{4}$ , cu domeniul $C > 0$ . Prin injectivitate, $\frac{C}{280} = \frac{9}{4}$ , deci $C = 630$ de părți pe milion, valoare aflată în intervalul formulei. Mulțimea soluțiilor este $S = {630}$ .

b) Creșterea de la $280$ la $420$ este $5, 35 ln \frac{3}{2}$ , iar de la $420$ la $630$ este $5, 35 (ln \frac{9}{4} - ln \frac{3}{2}) = 5, 35 ln \frac{3}{2}$ , aceeași. Numeric, fiecare creștere este de aproximativ $2, 17$ wați pe metru pătrat. Interpretare: forțarea crește cu aceeași cantitate de fiecare dată când concentrația se înmulțește cu același factor, aici $\frac{3}{2}$ , nu când crește cu același număr de unități. Logaritmul unui raport de concentrații nu are unitate, deci forțarea se exprimă în unitatea coeficientului $5, 35$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} (x + 4) + lo g_{2} x = 5$ .

Rezolvare. Domeniul ecuației: $x + 4 > 0$ și $x > 0$ , deci $x > 0$ . Restrângem: $lo g_{2} (x (x + 4)) = 5$ , deci $x^{2} + 4 x = 32$ , adică $x^{2} + 4 x - 32 = 0$ , cu rădăcinile $4$ și $- 8$ .

Valoarea $- 8$ nu verifică $x > 0$ și se respinge. Pentru $x = 4$ : $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 4 = 3 + 2 = 5$ . Mulțimea soluțiilor este $S = {4}$ . Redactarea are patru rânduri: condițiile, restrângerea, rezolvarea ecuației de gradul al doilea și respingerea motivată urmată de verificare. Cerința imită forma primei părți a lucrării de examen, dar a fost scrisă pentru exercițiu, fără să fie copiată dintr-un subiect dat.

Să exersăm

La fiecare ecuație scrie domeniul, rezolvă, respinge motivat valorile din afara lui și verifică soluțiile în ecuația de la care ai pornit. Scrie la final mulțimea soluțiilor.

1. Află soluția ecuației $lo g_{4} (3 x + 1) = 2$ .

2. Găsește numerele reale care verifică $l g (x^{2} + 19) = 2$ .

3. Scrie exact, cu ajutorul numărului $e$ , soluția ecuației $ln (2 x - 1) = 3$ .

4. Determină $x$ din $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) = - 4$ .

5. Rezolvă în $R$ : $lo g_{6} (x^{2} + 2 x) = lo g_{6} (4 x + 15)$ .

6. Care numere reale verifică $lo g_{3} x + lo g_{3} (x - 24) = 4$ ?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $lo g_{3} (x + 5) = lo g_{3} (2 x + 1) + 1$ are soluția $x = 1$ .”

8. Află mulțimea soluțiilor pentru $lo g_{7} (x + 2) - lo g_{7} (x - 4) = 1$ .

9. Aducând logaritmii la baza $3$ , rezolvă $lo g_{3} x + lo g_{9} x + lo g_{81} x = 7$ .

10. Cu o notație potrivită, rezolvă $lo g_{2}^{2} x - 9 lo g_{2} x - 10 = 0$ .

11. Găsește soluțiile ecuației $l g^{2} x + 13 l g x + 12 = 0$ .

12. (Problemă aplicată.) O comunitate de insecte în care toate cele $N$ specii au același număr de indivizi are indicele de diversitate $H = lo g_{2} N$ , un număr fără unitate. După ce în zonă se instalează încă $24$ de specii, tot cu efective egale, indicele crește cu exact $1$ . Scrie ecuația care îl dă pe $N$ , rezolv-o și calculează indicele inițial, cu două zecimale.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{5} (x^{2} + 1) = lo g_{5} (7 x + 31)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $l g (x - 1) + l g 5 = 1$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} x = lo g_{4} (9 x + 22)$ .

16. Figura C arată graficul funcției $f (x) = lo g_{2} x + lo g_{2} (x + 15)$ și dreapta $y = 4$ . Câte soluții are ecuația $lo g_{2} x + lo g_{2} (x + 15) = 4$ , după desen? Rezolv-o apoi algebric și explică de ce desenul are o singură ramură.

17. Trecând la forma cu putere, rezolvă $l g (10 0^{x} - 90) = x$ .

18. (Provocare.) Pentru ce numere reale are loc $lo g_{4} (x^{2}) = lo g_{2} x$ ? Atenție la domeniul fiecărui membru.

Răspunsuri și explicații

1. Din definiție, $3 x + 1 = 4^{2} = 16$ , deci $x = 5$ ; argumentul iese $16$ , pozitiv. $S = {5}$ .

2. $x^{2} + 19 = 100$ , deci $x^{2} = 81$ și $x = 9$ sau $x = - 9$ . Pentru ambele argumentul este $100$ . $S = {- 9; 9}$ .

3. Logaritmul natural are baza $e$ , deci $2 x - 1 = e^{3}$ și $x = \frac{e ^{3} + 1}{2}$ ; numeric, $x \approx 10, 54$ . Soluția exactă se lasă cu $e$ ; valoarea aproximativă servește doar la control. $S = {\frac{e ^{3} + 1}{2}}$ .

4. Din definiție, $x - 3 = (\frac{1}{2})^{- 4} = 16$ , deci $x = 19$ . $S = {19}$ .

5. Condiția $4 x + 15 > 0$ și injectivitatea dau $x^{2} + 2 x = 4 x + 15$ , adică $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ , cu rădăcinile $5$ și $- 3$ . Pentru $x = 5$ argumentele sunt $35$ , pentru $x = - 3$ sunt $3$ : ambele pozitive. $S = {- 3; 5}$ .

6. Domeniul: $x > 24$ , pentru că ambele argumente trebuie să fie pozitive, iar condiția $x - 24 > 0$ o include pe $x > 0$ . Restrângem: $x (x - 24) = 3^{4} = 81$ , adică $x^{2} - 24 x - 81 = 0$ , cu rădăcinile $27$ și $- 3$ . Se respinge $- 3$ , care nu este în domeniu; pentru el ambele argumente ar fi negative, iar produsul lor pozitiv. Verificare: $lo g_{3} 27 + lo g_{3} 3 = 3 + 1 = 4$ . $S = {27}$ .

7. Fals. Scriem $1 = lo g_{3} 3$ : ecuația devine $lo g_{3} (x + 5) = lo g_{3} (3 (2 x + 1))$ , cu domeniul $x > - \frac{1}{2}$ , deci $x + 5 = 6 x + 3$ și $x = \frac{2}{5}$ . Pentru $x = 1$ membrul stâng este $lo g_{3} 6$ , iar cel drept $lo g_{3} 3 + 1 = 2$ , iar $lo g_{3} 6 \neq = 2$ . $S = {\frac{2}{5}}$ .

8. Domeniul: $x > 4$ . Restrângem diferența: $lo g_{7} \frac{x + 2}{x - 4} = 1$ , deci $\frac{x + 2}{x - 4} = 7$ , $x + 2 = 7 x - 28$ și $x = 5$ , care e în domeniu. Verificare: $lo g_{7} 7 - lo g_{7} 1 = 1$ . $S = {5}$ .

9. Cu $t = lo g_{3} x$ : $lo g_{9} x = \frac{t}{2}$ și $lo g_{81} x = \frac{t}{4}$ , deci $t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} = \frac{7 t}{4} = 7$ și $t = 4$ . Rezultă $x = 3^{4} = 81$ . Control: $lo g_{3} 81 = 4$ , $lo g_{9} 81 = 2$ și $lo g_{81} 81 = 1$ , iar $4 + 2 + 1 = 7$ . Bazele $9$ și $81$ sunt puteri ale lui $3$ , de aceea baza comună aleasă este $3$ . $S = {81}$ .

10. Cu $t = lo g_{2} x$ : $t^{2} - 9 t - 10 = 0$ , deci $t = 10$ sau $t = - 1$ , adică $x = 2^{10} = 1024$ sau $x = \frac{1}{2}$ . $S = {\frac{1}{2}; 1024}$ .

11. Cu $t = l g x$ : $t^{2} + 13 t + 12 = 0$ , deci $t = - 1$ sau $t = - 12$ , adică $x = \frac{1}{10}$ sau $x = 1 0^{- 12}$ . Ambele valori ale lui $t$ sunt negative și niciuna nu se respinge, pentru că $x = 1 0^{t}$ iese pozitiv pentru orice $t$ . $S = {1 0^{- 12}; \frac{1}{10}}$ .

12. Ecuația este $lo g_{2} (N + 24) = lo g_{2} N + 1$ . Scriem $1 = lo g_{2} 2$ și restrângem: $lo g_{2} (N + 24) = lo g_{2} (2 N)$ , deci $N + 24 = 2 N$ și $N = 24$ . $S = {24}$ : inițial erau $24$ de specii, iar indicele inițial era $lo g_{2} 24 \approx 4, 58$ ; după instalare sunt $48$ de specii și indicele este $lo g_{2} 48 \approx 5, 58$ .

13. Condiția $7 x + 31 > 0$ și injectivitatea dau $x^{2} + 1 = 7 x + 31$ , adică $x^{2} - 7 x - 30 = 0$ , cu rădăcinile $10$ și $- 3$ . Pentru $x = 10$ argumentele sunt $101$ , pentru $x = - 3$ sunt $10$ , deci ambele valori se păstrează, deși una este negativă. $S = {- 3; 10}$ .

14. Domeniul: $x > 1$ ; termenul $l g 5$ este un număr, fără condiție. Restrângem: $l g (5 (x - 1)) = 1$ , deci $5 x - 5 = 10$ și $x = 3$ . Verificare: $l g 2 + l g 5 = l g 10 = 1$ . $S = {3}$ .

15. Domeniul: $x > 0$ . Cu $lo g_{4} (9 x + 22) = \frac{1}{2} lo g_{2} (9 x + 22)$ , ecuația devine $2 lo g_{2} x = lo g_{2} (9 x + 22)$ , adică $lo g_{2} x^{2} = lo g_{2} (9 x + 22)$ pentru $x > 0$ . Rezultă $x^{2} - 9 x - 22 = 0$ , cu rădăcinile $11$ și $- 2$ ; se respinge $- 2$ , care nu verifică $x > 0$ , deși pentru el argumentul $9 x + 22$ ar fi pozitiv, egal cu $4$ . Verificare: $9 \cdot 11 + 22 = 121 = 1 1^{2}$ , deci $lo g_{4} 121 = \frac{1}{2} lo g_{2} 121 = lo g_{2} 11$ . $S = {11}$ .

16. Pe desen, dreapta taie graficul o singură dată, aproape de $x = 1$ . Algebric: domeniul este $x > 0$ , iar $x (x + 15) = 16$ dă $x^{2} + 15 x - 16 = 0$ , cu rădăcinile $1$ și $- 16$ ; se respinge $- 16$ . $S = {1}$ . Graficul are o singură ramură pentru că funcția $f$ există doar pentru $x > 0$ , unde ambii logaritmi sunt definiți. Valoarea $- 16$ ar fi fost un punct comun al dreptei cu graficul formei restrânse $lo g_{2} (x (x + 15))$ , care are și o ramură la stânga lui $- 15$ .

17. Forma cu putere: $10 0^{x} - 90 = 1 0^{x}$ . Cu $t = 1 0^{x} > 0$ : $t^{2} - t - 90 = 0$ , deci $t = 10$ sau $t = - 9$ ; valoarea $- 9$ se respinge, pentru că $1 0^{x} > 0$ . Din $1 0^{x} = 10$ rezultă $x = 1$ , iar argumentul este $100 - 90 = 10 > 0$ . Verificare: $l g 10 = 1$ , egal cu membrul drept. $S = {1}$ .

18. Membrul drept cere $x > 0$ . Pentru $x > 0$ , $lo g_{4} (x^{2}) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x^{2}) = \frac{1}{2} \cdot 2 lo g_{2} x = lo g_{2} x$ , deci egalitatea este adevărată pentru orice număr pozitiv. Pentru $x < 0$ membrul drept nu există. Mulțimea soluțiilor este intervalul $S = (0; + \infty)$ .

De reținut

Domeniul ecuației se scrie înaintea oricărei transformări și conține condițiile tuturor logaritmilor din ecuația inițială.
$lo g_{a} f (x) = b$ este echivalentă cu $f (x) = a^{b}$ ; argumentul iese automat pozitiv, deci condiția de existență nu mai trebuie rezolvată separat.
$lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ duce la $f (x) = g (x)$ , cu pozitivitatea impusă măcar unuia dintre argumente.
Restrângerea unei sume sau a unei diferențe de logaritmi lărgește domeniul, deci valorile găsite se compară cu domeniul inițial.
Bazele diferite se aduc la una singură cu $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ , iar ecuațiile în $lo g_{a} x$ se rezolvă cu $t = lo g_{a} x$ .

Greșeli frecvente

Inversezi baza cu exponentul. Din $lo g_{9} (2 x - 5) = \frac{1}{2}$ scrii „ $2 x - 5 = (\frac{1}{2})^{9}$ ”. Definiția spune că baza se ridică la puterea egală cu valoarea logaritmului: $2 x - 5 = 9^{1/2} = 3$ , deci $x = 4$ . Citește ecuația ca pe o întrebare: la ce putere ridic baza?
Te oprești la valoarea lui $t$ . După notația $t = lo g_{6} x$ ajungi la $t = - 2$ și scrii „ $S = {- 2}$ ”. Necunoscuta ecuației este $x$ , deci revii prin $x = 6^{t}$ , adică $x = \frac{1}{36}$ , și abia apoi scrii mulțimea soluțiilor.
Împarți la un logaritm care se poate anula. Din $l g^{2} x = 3 l g x$ împarți la $l g x$ și obții doar $x = 1000$ . Pierzi soluția $x = 1$ , pentru care $l g x = 0$ . Treci totul într-un membru și dă factor comun: $l g x (l g x - 3) = 0$ .
Schimbi baza asupra argumentului. Scrii $lo g_{4} x = lo g_{2} \frac{x}{2}$ , confundând împărțirea logaritmului cu împărțirea argumentului. Formula corectă este $lo g_{4} x = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ ; o verifici pe $x = 16$ : $2 = \frac{1}{2} \cdot 4$ .
Egalezi argumentul cu membrul drept. Din $lo g_{5} (x + 3) = 2$ scrii „ $x + 3 = 2$ ” și obții $x = - 1$ . Numărul $2$ este exponentul, nu argumentul: definiția dă $x + 3 = 5^{2} = 25$ , deci $x = 22$ . Controlul prin înlocuire prinde imediat greșeala, pentru că $lo g_{5} 2 \neq = 2$ .

Aplică acasă

Pentru cinci ecuații din exerciții, desenează pe o axă numerică domeniul, colorat, apoi marchează rădăcinile obținute după transformări: cu punct plin pe cele din domeniu și cu cerc gol pe cele respinse. Scrie sub fiecare axă ce transformare a produs valoarea respinsă.
Scrie pe cartonașe opt ecuații din exercițiile lecției, amestecă-le și sortează-le după metoda de rezolvare: definiție, injectivitate, restrângere, bază comună, substituție. Abia apoi rezolvă câte una din fiecare grupă și verifică dacă metoda aleasă a fost cea potrivită.
Cu formula din Exemplul 5, calculează forțarea radiativă pentru concentrațiile de $315$ , $370$ și $420$ de părți pe milion, măsurate în ultimele decenii. Apoi scrie și rezolvă ecuația care dă concentrația la care forțarea ar ajunge la $4$ wați pe metru pătrat; lasă soluția exactă, cu $e$ , și aproximeaz-o la unități.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă ecuația logaritmică într-o sarcină completă: domeniu, transformare, rezolvare, respingere motivată, verificare. Merită urmărit dacă elevul știe să spună de ce a apărut o valoare de respins; răspunsul bun este legat de transformarea făcută, de obicei restrângerea unei sume, nu de semnul valorii. Figura A din lecție arată exact acest lucru, pe două grafice care diferă printr-o ramură.

Merită insistat pe limbaj. Elevul scrie „se respinge, pentru că argumentul $x - 3$ ar fi negativ”, nu „se respinge, pentru că e negativ”; prima formulare arată că a înțeles de unde vine condiția, a doua repetă o regulă greșită. Tipurile acoperite sunt cele cerute la științe: definiția, injectivitatea, restrângerea cu proprietățile logaritmilor, aducerea la aceeași bază, substituția și ecuațiile mixte simple, reduse la o ecuație exponențială. Ecuațiile cu necunoscuta în baza logaritmului și inecuațiile logaritmice nu fac parte din lecție.

Întrebări bune de control: „De ce la ecuația $lo g_{a} f (x) = b$ nu mai rezolvi $f (x) > 0$ ?”; „Ce transformare a produs soluția respinsă?”; „Cum arată pe grafic o soluție străină?”. Un elev care scrie mulțimea soluțiilor și verifică fiecare element în ecuația inițială are deprinderea pe care o cere lecția.

Pentru ora de laborator se poate lucra cu o aplicație de grafice: elevii scriu separat cei doi membri ai ecuațiilor din secțiunile 4 și 8 și compară punctele comune cu soluțiile algebrice. Exemplul cu forțarea radiativă se poate discuta împreună cu profesorul de fizică sau de geografie, iar exercițiul despre diversitatea speciilor, cu cel de biologie; în ambele, soluția are o unitate de măsură și un interval în care modelul are sens.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul de funcții numește „funcția logaritmică […]; monotonie; ecuații logaritmice”, iar competența X.CS.3.3 cere rezolvarea ecuațiilor de forma $f (x) = g (x)$ cu verificarea mulțimii soluțiilor pe reprezentarea grafică. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, unde „Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice” apar la clasa a X-a; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Varianta-model din 2026 are în prima parte o ecuație cu o sumă de logaritmi în membrul drept; ecuațiile marcate aici sunt create pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: rezolvarea ecuațiilor logaritmice la mate-info (M1). Pe traseu urmează funcțiile arcsinus și arccosinus la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 a ecuațiilor logaritmice?

Varianta M2 pornește de la proprietățile și de la funcția logaritmică studiate în lecțiile precedente de la științe, fără să le redemonstreze. Nu conține ecuații cu necunoscuta în bază, cere verificarea pe graficele celor doi membri, cum prevede programa, și folosește modele din fizica atmosferei și din biologie.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ecuațiile logaritmice?

În programa M_șt-nat pentru 2027–2029, ecuațiile logaritmice sunt materie de clasa a X-a. Varianta-model din 2026 cere, în prima parte, rezolvarea unei ecuații cu logaritmi, cu domeniul scris înainte de calcul. Pentru MAT_P2 din 2030, tema e în domeniul „Algebră”.

De ce baza nu apare în domeniul ecuației?

Pentru că la științe baza este un număr dat, deja pozitiv și diferit de $1$ , deci nu trebuie verificată. Domeniul privește doar argumentele, singurele locuri în care stă necunoscuta. Baza intervine abia la rezolvare, când treci de la logaritm la putere, și decide dacă funcția crește sau scade.

Ce fac dacă ecuația în t nu are rădăcini reale?

Atunci nici ecuația inițială nu are soluții: orice soluție $x$ ar da, prin $t = lo g_{a} x$ , o rădăcină reală a ecuației în $t$ . Scrii mulțimea vidă și explici motivul. Controlul se face cu discriminantul ecuației în $t$ , nu încercând valori ale lui $x$ .

Cum arată pe grafic o soluție străină?

Desenează separat membrul stâng al ecuației inițiale și membrul stâng după restrângere. Al doilea grafic are o ramură în plus, acolo unde ambele argumente sunt negative. Dacă dreapta membrului drept taie și această ramură, punctul de intersecție este soluția străină: aparține formei restrânse, dar nu ecuației de la care ai pornit.

Cum scriu răspunsul final al unei ecuații logaritmice?

Scrii mulțimea soluțiilor, după ce ai eliminat, cu motivul spus, valorile din afara domeniului. Dacă nu rămâne nicio valoare, răspunsul este mulțimea vidă, $S = \emptyset$ , nu „nu se poate rezolva”. Într-o problemă din științe adaugi și unitatea de măsură a mărimii aflate, apoi verifici că valoarea stă în intervalul modelului.