Cum aflu grafic câte soluții are f(x)=m?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Soluții citite pe grafic

Tragi orizontala $y = m$ și numeri punctele în care întâlnește graficul; fiecare punct dă o soluție. Numărul se poate schimba doar la înălțimile vârfurilor și ale capetelor. Exemplu: pentru linia frântă cu vârfurile $(0, 0)$ , $(2, 4)$ , $(4, 1)$ , ecuația $f (x) = m$ are o soluție pentru $m \in [0, 1)$ , două pentru $m \in [1, 4)$ , una pentru $m = 4$ și niciuna pentru $m < 0$ sau $m > 4$ .

A rezolva grafic ecuația $f (x) = m$ înseamnă a trasa orizontala $y = m$ și a citi abscisele punctelor în care ea întâlnește graficul. Numărul soluțiilor este numărul acestor puncte, iar el se modifică numai la nivelurile vârfurilor și ale capetelor graficului. Un vârf comun al două laturi se numără o singură dată, iar un capăt marcat gol nu aduce nicio soluție.

Pentru $f (x) = g (x)$ căutăm punctele comune ale celor două grafice, dar numai pe domeniul comun. Dreptele complete se pot tăia într-un punct pe care graficele restrânse nu îl conțin; atunci ecuația nu are soluții. Dacă graficele se suprapun pe o porțiune, mulțimea soluțiilor este un interval.

Pe ecran, un punct aflat între gradații dă doar o estimare. Soluția exactă se află rezolvând ecuația, iar aproximarea se rotunjește corect și se scrie cu semnul de aproximare.

O inecuație se citește proiectând pe axa orizontală porțiunea de grafic situată deasupra sau dedesubtul orizontalei ori al celuilalt grafic. Punctele comune sunt frontiere: se includ la inegalitatea nestrictă. Într-un model cu prag admisibil, atingerea pragului este o ecuație, iar depășirea lui este o inecuație strictă, citită numai pe intervalul modelului.

De reținut

soluțiile ecuației $f (x) = m$ sunt abscisele punctelor comune cu orizontala $y = m$
numărul soluțiilor se schimbă doar la nivelul vârfurilor și al capetelor
pentru $f (x) = g (x)$ se citește numai pe domeniul comun

Greșeala tipică

Se trec ca soluții punctele de intersecție întregi, $(x, y)$ , în loc de abscisele lor; soluțiile unei ecuații în $x$ sunt numere, nu perechi.

Exerciții din această mini-lecție

Orizontala $y = 2$ întâlnește graficul unei funcții $f$ exact în punctele $(- 3; 2)$ și $(4; 2)$ . Care este mulțimea soluțiilor ecuației $f (x) = 2$ ?
- a) ${2}$
- b) ${- 3, 4}$
- c) ${(- 3; 2), (4; 2)}$
- d) ${- 3, 2, 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 3, 4}$

Soluțiile sunt abscisele punctelor comune: $- 3$ și $4$ . Ordonata comună este chiar nivelul $2$ .
Se dau $f, g : R \to R$ , $f (x) = 3 x /5 + 2$ și $g (x) = 6 - x /5$ . Care este abscisa punctului comun al graficelor?
- a) $4$
- b) $5/4$
- c) $20$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $5$

Din $3 x /5 + 2 = 6 - x /5$ rezultă $4 x /5 = 4$ , deci $x = 5$ . Valoarea comună este $5$ .
Graficul lui $f : [- 2, 4] \to R$ este linia frântă cu vârfurile $(- 2; 0)$ , $(1; 3)$ și $(4; - 1)$ , toate incluse. Câte soluții are ecuația $f (x) = 2$ ?
- a) $0$
- b) $1$
- c) $2$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2$

Prima latură urcă de la $0$ la $3$ , a doua coboară de la $3$ la $- 1$ . Nivelul $2$ este atins o dată pe fiecare latură.

Întrebări conexe

Cum citesc pe grafic soluțiile inecuației $f (x) > g (x)$ pentru două drepte?

Cauți abscisele la care graficul lui $f$ stă strict deasupra celui al lui $g$ . Pentru $f (x) = x + 1$ și $g (x) = 5 - x$ , dreptele se întâlnesc în $(2, 3)$ , iar la dreapta acestui punct $f$ urcă și $g$ coboară. Soluția este $(2, + \infty)$ ; punctul comun se exclude, fiindcă inegalitatea este strictă.

Cum aflu pe grafic când temperatura unei probe depășește un prag?

Dacă $T (t) = 15 + 2 t$ grade, cu $t \in [0, 10]$ minute, și pragul este $2 5^{\circ}$ C, tragi orizontala $T = 25$ . Ea taie graficul la $t = 5$ , iar după acest moment dreapta este deasupra. Pragul este depășit pentru $t \in (5, 10]$ ; capătul $10$ intră, fiindcă aparține intervalului modelului.

Pentru ce $m$ are ecuația $∣ x ∣ = m$ exact două soluții?

Graficul lui $∣ x ∣$ are forma literei V, cu vârful în origine. Orizontala $y = m$ îl taie în două puncte, $x = - m$ și $x = m$ , când $m > 0$ . Pentru $m = 0$ rămâne doar vârful, deci o soluție, iar pentru $m < 0$ orizontala trece sub grafic și nu există soluții.

Cum confirm algebric intersecția a două drepte citită aproximativ pe ecran?

Rezolvi ecuația dintre formule. Dacă ecranul arată $y = 3 x - 2$ și $y = x + 1, 5$ întâlnindu-se lângă $x = 1, 7$ , scrii $3 x - 2 = x + 1, 5$ , deci $2 x = 3, 5$ și $x = 1, 75$ . Proba: $3 \cdot 1, 75 - 2 = 3, 25$ și $1, 75 + 1, 5 = 3, 25$ . Valoarea exactă înlocuiește estimarea. Programa M2 cere astfel de rezolvări pentru ecuații $f (x) = g (x)$ cu funcții de gradul I, potrivite Subiectului I.

Cum rezolv grafic sistemul $x + y = 5$ , $x - y = 1$ ?

Scrii fiecare ecuație ca funcție: $y = 5 - x$ și $y = x - 1$ . Desenezi cele două drepte și citești punctul lor comun, $(3, 2)$ . Proba în sistem: $3 + 2 = 5$ și $3 - 2 = 1$ . Dacă dreptele ar fi paralele, sistemul n-ar avea soluție; dacă ar coincide, ar avea o infinitate.

Oamenii mai întreabă și: numărul de soluții ale ecuației f(x)=m · discuția după m pe grafic · câte intersecții are graficul cu dreapta y = m · rezolvarea grafică cu parametru