Ecuații și inecuații rezolvate grafic (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un senzor transmite o tensiune care crește în timp, iar aparatul are un prag admisibil. În ce moment este atins pragul și pe ce interval este depășit? Întrebarea se citește pe grafic: tragem o orizontală la nivelul pragului și privim unde o întâlnește curba. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), rezolvăm astfel ecuații de forma $f (x) = m$ și $f (x) = g (x)$ și citim inecuații asociate. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, a cărui programă cuprinde rezolvări grafice ale ecuațiilor și inecuațiilor de forma $f (x) = g (x)$ .

Folosim citirea graficului unei funcții la M2 și semnul funcției afine la M2. Modul de scriere a mulțimilor de soluții îl cunoști din reprezentarea soluțiilor unei inecuații din clasa a VIII-a. Graficele sunt date în figură sau produse cu o aplicație; calculul confirmă citirea.

Ce vei învăța

Vei citi soluțiile ecuației $f (x) = m$ ca abscise ale punctelor comune dintre grafic și orizontala $y = m$ .
Vei stabili câte soluții are ecuația pentru fiecare nivel $m$ , pe un grafic dat.
Vei citi soluțiile ecuației $f (x) = g (x)$ numai pe domeniul comun al celor două funcții.
Vei deosebi o citire aproximativă de pe ecran de soluția exactă și vei nota aproximările rotunjit.
Vei proiecta pe axa $O x$ porțiunea de grafic care răspunde unei inecuații.
Vei interpreta atingerea și depășirea unui prag într-un model din științe.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi grafic ecuația $f (x) = m$ ?

Fie $f : D \to R$ și $m$ un număr real. O soluție a ecuației $f (x) = m$ este un argument $x$ din domeniul $D$ pentru care $f (x) = m$ . Pe desen, punctul $(x; f (x))$ al graficului are atunci ordonata $m$ , deci se află pe dreapta orizontală $y = m$ . Soluțiile sunt abscisele punctelor comune dintre grafic și această orizontală.

Regula are două părți. Mai întâi găsim punctele comune; apoi le proiectăm pe axa $O x$ . Ordonata fiecărui punct comun este chiar $m$ , aceeași pentru toate, deci nu deosebește soluțiile între ele. Mulțimea soluțiilor este formată din abscise.

Să privim linia frântă $w$ din figură, cu vârfurile $(- 6; 2)$ , $(- 3; - 1)$ , $(2; 4)$ și $(5; 1)$ , toate incluse. Orizontala $y = 3$ o taie de două ori: o dată pe latura care urcă și o dată pe latura care coboară după vârful de sus. Ecuația $w (x) = 3$ are deci două soluții. Pentru valorile exacte folosim înclinarea fiecărei laturi.

2. Cum se schimbă numărul soluțiilor când mutăm orizontala?

Într-o aplicație precum GeoGebra sau Desmos, putem lega nivelul $m$ de un cursor și putem urmări orizontala $y = m$ cum urcă. Numărul punctelor comune rămâne același cât timp orizontala nu trece printr-un vârf sau printr-un capăt al graficului. El se poate schimba exact la nivelurile acestor puncte speciale.

Pe linia frântă $w$ , sub nivelul vârfului de jos orizontala nu întâlnește graficul. La nivelul vârfului de jos apare un singur punct comun. Imediat deasupra lui apar două. La nivelul capătului $(5; 1)$ se adaugă a treia latură. Numărul soluțiilor scade din nou când orizontala trece de capătul stâng și apoi de vârful de sus.

Cum se numără punctele comune dintr-un vârf sau dintr-un capăt am stabilit la lectura grafică la M2. Aici folosim acea numărare pentru a întocmi, nivel cu nivel, tabelul soluțiilor: verificăm separat nivelurile punctelor speciale și câte un nivel din fiecare interval dintre ele.

Pentru o funcție afină neconstantă definită pe $R$ , orice orizontală întâlnește dreapta exact o dată. Pe un domeniu restrâns, orizontalele situate în afara valorilor luate nu întâlnesc segmentul. Pentru o funcție constantă, orizontala fie nu atinge graficul, fie se suprapune cu el pe tot domeniul.

3. Unde se întâlnesc două grafice?

Pentru două funcții $f$ și $g$ , un argument $x$ este soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ dacă aparține ambelor domenii și valorile coincid. Pe desen, punctul $(x; f (x))$ aparține ambelor grafice. Soluțiile sunt abscisele punctelor comune.

Ordonata punctului comun are și ea un sens: este valoarea comună a celor două funcții în acea abscisă. Într-o problemă practică, abscisa răspunde de obicei la „când” sau „pentru ce cantitate”, iar ordonata la „cât este atunci”. Cele două informații se scriu separat.

Când ambele grafice sunt drepte, punctul comun rezolvă și sistemul format din ecuațiile lor. Metodele algebrice pentru sisteme sunt în sistemele de ecuații de gradul I la M2; aici graficul ne spune câte puncte comune există și unde să le căutăm. Dacă dreptele sunt paralele distincte, nu există soluții; dacă se suprapun, fiecare argument comun este soluție.

4. De ce contează domeniul comun și capetele?

Două formule afine au, în general, un punct comun al dreptelor lor. Graficele funcțiilor pot fi însă doar bucăți din aceste drepte. Dacă punctul comun al dreptelor are abscisa în afara domeniului comun, ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluție, deși calculul algebric produce un număr.

Controlul se face în doi pași. Scriem domeniul comun, adică intersecția domeniilor. Apoi verificăm dacă abscisa găsită aparține acestei mulțimi, cu atenție la capete. Un capăt plin poate fi soluție, un capăt gol nu poate.

Uneori graficele se suprapun pe o porțiune. Atunci toate argumentele de pe acea porțiune sunt soluții, iar mulțimea soluțiilor este un interval, nu un număr. Nu alegem un singur punct „reprezentativ”.

5. Cât de exactă este o citire de pe ecran?

Un punct comun aflat pe o gradație se citește exact. Dacă punctul cade între gradații, desenul oferă doar o estimare, de exemplu „între trei și patru”. Pentru o funcție dată prin formulă, soluția exactă se obține rezolvând ecuația; graficul ne-a spus deja câte soluții să căutăm și unde.

Când scriem o aproximare, folosim semnul $\approx$ și rotunjim corect: $2/3 \approx 0, 67$ , nu $0, 66$ . Precizăm și câte zecimale păstrăm. O aproximare nu se introduce apoi într-un calcul ca și cum ar fi valoarea exactă.

Aplicațiile digitale afișează coordonatele cu un număr fix de zecimale. Afișajul este rotunjit, deci o valoare afișată ca $1, 67$ poate proveni din fracția $5/3$ . Graficul digital este un instrument de explorare și de control, nu un înlocuitor al soluției exacte.

6. Cum citim o inecuație pe grafic?

Inegalitatea $f (x) > m$ înseamnă că punctul graficului se află strict deasupra orizontalei $y = m$ . Mulțimea soluțiilor este proiecția pe axa $O x$ a porțiunii de grafic situate deasupra orizontalei. Pentru $f (x) < m$ căutăm porțiunea de dedesubt.

Punctele comune cu orizontala sunt frontierele mulțimii de soluții. Ele se includ la inegalitățile nestricte și se exclud la cele stricte. Capetele domeniului își păstrează propriul marcaj, independent de inegalitate.

Pentru $f (x) > g (x)$ comparăm cele două grafice în aceeași abscisă și căutăm porțiunea în care graficul lui $f$ este deasupra graficului lui $g$ . Privim pe aceeași verticală: nu comparăm un punct al unui grafic cu un punct al celuilalt aflat la altă abscisă. Punctele comune separă zonele, iar în fiecare zonă ordinea celor două grafice rămâne aceeași dacă ele nu se mai întâlnesc. Comparația se face tot pe domeniul comun. Rezolvarea algebrică a inecuațiilor de gradul I, fără grafic, aparține suplimentului pentru examen, în ecuațiile și inecuațiile de gradul I la M2.

7. Cum se traduce un prag admisibil?

În tehnică și în laborator, un aparat are adesea un prag: o valoare a unei mărimi care nu trebuie depășită. Dacă mărimea este reprezentată în funcție de timp, pragul devine o orizontală pe grafic. Atingerea pragului corespunde ecuației, iar depășirea lui corespunde unei inecuații stricte.

Răspunsul are unități: momentele se exprimă în secunde sau minute, iar pragul în unitatea mărimii. Intervalul modelului rămâne cel declarat. Dacă pragul nu este atins în acest interval, răspunsul corect este că nu există moment de atingere în perioada modelată, nu un moment calculat din prelungirea dreptei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Câte soluții are ecuația pentru fiecare nivel?

Graficul funcției $f : [- 4, 5] \to R$ este linia frântă cu vârfurile $(- 4; 3)$ , $(- 1; - 3)$ , $(2; 1)$ și $(5; - 1)$ , toate incluse. Stabilește numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ pentru fiecare număr real $m$ , apoi rezolvă ecuația $f (x) = 0$ .

Rezolvare. Laturile iau, pe rând, valorile dintre $- 3$ și $3$ , dintre $- 3$ și $1$ și dintre $- 1$ și $1$ . Mutăm orizontala de jos în sus și numărăm punctele comune, ținând cont de vârfuri și de capete.

Nivelul $m$	Puncte comune
$m < - 3$ sau $m > 3$	$0$
$m = - 3$	$1$ (vârful de jos)
$- 3 < m < - 1$	$2$
$- 1 \leq m < 1$	$3$
$m = 1$	$2$ (vârful $(2; 1)$ se numără o dată)
$1 < m \leq 3$	$1$

La $m = - 1$ a treia soluție este capătul plin $(5; - 1)$ , iar la $m = 3$ singura soluție este capătul plin $(- 4; 3)$ .

Pentru $m = 0$ avem trei soluții, câte una pe fiecare latură. Prima latură coboară cu doi pe unitate de la $(- 4; 3)$ , deci ajunge la zero după o deplasare de $3/2$ : $x = - 5/2$ . A doua urcă cu $4/3$ pe unitate de la $(- 1; - 3)$ , deci ajunge la zero după $9/4$ : $x = 5/4$ . A treia coboară cu $2/3$ pe unitate de la $(2; 1)$ , deci ajunge la zero după $3/2$ : $x = 7/2$ . Mulțimea soluțiilor este ${- 5/2, 5/4, 7/2}$ .

Exemplul 2 — O intersecție între gradații

Se dau $f, g : R \to R$ , $f (x) = 2 x /5 + 1$ și $g (x) = 4 - x /2$ . Pe ecran, graficele se întâlnesc între gradațiile trei și patru. Determină exact punctul comun și scrie aproximările coordonatelor cu două zecimale.

Rezolvare. Figura arată o singură intersecție: o dreaptă urcă, cealaltă coboară. Egalăm valorile: $2 x /5 + 1 = 4 - x /2$ , deci $9 x /10 = 3$ și $x = 10/3$ . Valoarea comună este $f (10/3) = 7/3$ , iar controlul pe a doua formulă dă $g (10/3) = 7/3$ .

Punctul comun este $(10/3; 7/3)$ . Aproximările sunt $10/3 \approx 3, 33$ și $7/3 \approx 2, 33$ . O aplicație ar afișa probabil aceste zecimale; valoarea exactă se păstrează însă ca fracție. Dacă am fi citit doar „aproximativ trei și ceva”, n-am fi putut verifica egalitatea valorilor.

Exemplul 3 — Dreptele se taie, graficele nu

Se dau $f : [- 3, 1] \to R$ , $f (x) = 5 - x /3$ , și $g : [0, 6] \to R$ , $g (x) = x + 1$ . Rezolvă ecuația $f (x) = g (x)$ .

Rezolvare. Ecuația are sens numai pe domeniul comun, $[- 3, 1] \cap [0, 6] = [0, 1]$ . Dacă egalăm formulele, obținem $5 - x /3 = x + 1$ , deci $4 x /3 = 4$ și $x = 3$ . Numărul trei nu aparține domeniului comun: punctul $(3; 4)$ este intersecția dreptelor prelungite, nu a graficelor.

Pe $[0, 1]$ , graficul lui $f$ rămâne deasupra graficului lui $g$ : $f (0) = 5 > 1 = g (0)$ și $f (1) = 14/3 > 2 = g (1)$ . Ecuația nu are soluții. Figura arată ambele segmente și le lasă fără punct comun; calculul explică de ce numărul găsit trebuie respins.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: un capăt gol la nivelul cerut

Graficul funcției $h : [- 3, 3) \to R$ , $h (x) = 3 x /2 + 5/2$ , pornește din punctul plin $(- 3; - 2)$ și urcă spre cerculețul gol $(3; 7)$ . Un elev scrie: „Ecuația $h (x) = 7$ are soluția $x = 3$ , iar inecuația $h (x) \geq 4$ are soluțiile $x \in [1, 3]$ .” Corectează.

Rezolvare. Argumentul trei nu aparține domeniului. Formula ar da șapte acolo, dar punctul $(3; 7)$ este marcat cu cerculeț gol. Orice alt argument din domeniu produce o valoare mai mică decât șapte, fiindcă graficul urcă. Ecuația $h (x) = 7$ nu are soluții.

Pentru inecuație, orizontala $y = 4$ întâlnește graficul la $x = 1$ , deoarece $3 \cdot 1/2 + 5/2 = 4$ . Porțiunea de deasupra ei merge până la capătul gol, care nu se include. Mulțimea corectă este $[1, 3)$ . Paranteza de la unu vine din inegalitatea nestrictă; paranteza de la trei vine din domeniu.

Exemplul 5 — Semnalul atinge pragul admisibil

Tensiunea la ieșirea unui senzor crește uniform după pornire: $U (t) = 3 t /4 + 1/2$ , cu $t$ în secunde și $U$ în volți, pe intervalul $[0, 8]$ . Pragul admisibil al circuitului este $5$ V. Când este atins pragul și în ce interval de timp este depășit?

Rezolvare. Orizontala $U = 5$ întâlnește graficul o singură dată. Din $3 t /4 + 1/2 = 5$ obținem $3 t /4 = 9/2$ , deci $t = 6$ s. Pragul este atins la secunda șase.

Graficul este deasupra orizontalei după momentul șase și până la capătul intervalului modelat. Pragul este depășit pentru $t \in (6, 8]$ , adică în ultimele două secunde ale modelului, când tensiunea urcă până la $U (8) = 13/2$ V. Pe $[0, 6]$ tensiunea rămâne cel mult egală cu pragul. Nu extindem răspunsul dincolo de secunda opt, unde modelul nu este declarat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 7 x /2 - 5$ și $g (x) = x /2 + 4$ . a) Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$ . b) Determină mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $f (x) \geq g (x)$ .

Rezolvare. a) Coordonatele punctului comun verifică $7 x /2 - 5 = x /2 + 4$ , deci $3 x = 9$ și $x = 3$ . Valoarea comună este $g (3) = 11/2$ , iar $f (3) = 11/2$ confirmă. Punctul este $(3; 11/2)$ .

b) Graficul lui $f$ urcă mai repede, deci la dreapta punctului comun este deasupra graficului lui $g$ , iar la stânga este dedesubt. Proba $f (5) = 25/2 > 13/2 = g (5)$ confirmă. Cu punctul comun inclus, mulțimea este $[3, + \infty)$ .

Cerința este construită pentru antrenament, în forma scurtă a Subiectului I. Modelul oficial M_șt-nat 2026 are la Subiectul I, cerința 2, o relație între două funcții afine; acest lucru nu fixează formularea unei sesiuni viitoare.

Să exersăm

Când graficul este dat, numără întâi punctele comune, apoi calculează. Scrie soluțiile ca abscise și precizează domeniul pe care lucrezi. Aproximările se rotunjesc la numărul de zecimale cerut.

1. Graficul funcției $f : [- 5, 4] \to R$ este linia frântă din figură, cu vârfurile $(- 5; 3)$ , $(- 3; - 1)$ , $(0; 2)$ și $(4; - 2)$ , toate incluse. Rezolvă ecuația $f (x) = 1$ și precizează câte soluții are ecuația $f (x) = 3$ .

2. Se dă $f : [0, 9] \to R$ , $f (x) = 2 x /3 + 1$ . Rezolvă grafic ecuațiile $f (x) = - 3$ și $f (x) = 5$ , apoi verifică prin calcul.

3. Pe ecranul unei aplicații, graficul funcției $f (x) = 3 x /7 + 1$ întâlnește orizontala $y = 3$ între gradațiile patru și cinci. Determină soluția exactă a ecuației $f (x) = 3$ și aproximarea ei cu două zecimale.

4. Se dau $f : [0, 5] \to R$ și $g : [3, 8] \to R$ , ambele cu formula $3 x /2 - 2$ . Rezolvă ecuația $f (x) = g (x)$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă, pentru orice număr real $m$ , ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție, atunci graficul lui $f$ este o dreaptă.

6. Graficul funcției $f : [- 3, 4] \to R$ este linia frântă din figură, cu vârfurile $(- 3; 4)$ , $(1; 0)$ și $(4; 3)$ , toate incluse. Discută, după valorile reale ale lui $m$ , numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ .

7. Pentru funcția de la exercițiul 6, citește pe grafic mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) < 2$ .

8. Pentru funcția $f$ de la exercițiul 1 și funcția $g : [- 5, 4] \to R$ , $g (x) = - x /2$ , câte soluții are ecuația $f (x) = g (x)$ ? Determină-le, apoi scrie mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) \geq g (x)$ .

9. Se dă $f : [- 4, 8] \to R$ , $f (x) = - 3 x /4 + 3$ . Rezolvă inecuația $f (x) \leq 6$ și explică rezultatul pe grafic.

10. (Problemă aplicată.) Două semnale de pe același circuit sunt modelate, pe $[0, 10]$ secunde, prin $U_{1} (t) = 6 - t /2$ și $U_{2} (t) = t /3 + 1$ , în volți. La ce moment au aceeași tensiune și cât este aceasta? În ce interval de timp este primul semnal mai mare decât al doilea?

11. Pentru funcția de la exercițiul 1, rezolvă ecuația $f (x) = - 1$ . Explică de ce una dintre laturi nu adaugă o soluție nouă.

12. Graficele funcțiilor $f, g : [- 3, 7] \to R$ , $f (x) = x /3 + 2$ și $g (x) = - 2 x /3 + 5$ , sunt date în figură. Citește punctul comun și mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) > g (x)$ .

13. Într-o aplicație, un cursor mută orizontala $y = m$ peste graficul funcției $f : [- 5, 5] \to R$ , $f (x) = - 2 x /5 + 3$ . Pentru ce valori ale lui $m$ ecuația $f (x) = m$ are exact o soluție? Pentru ce valori nu are niciuna?

14. Graficele funcțiilor $f, g : R \to R$ , $f (x) = 5 x /4 - 2$ și $g (x) = x /4 + 2$ , se intersectează într-un singur punct. Determină-l și spune ce reprezintă ordonata lui.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = a x + 11$ și $g (x) = 7 - x /2$ , unde $a$ este număr real. Determină numărul real $a$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ se intersectează în punctul de abscisă $4$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 6 - 5 x /2$ . Determină abscisa punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu dreapta de ecuație $y = - 9$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x /4 + 5/2$ și $g (x) = 2 x - 9/2$ . Determină mulțimea valorilor reale ale lui $x$ pentru care $0 \leq g (x) \leq f (x)$ .

18. (Provocare.) Pentru funcția de la exercițiul 6, determină numărul real $m$ pentru care ecuația $f (x) = m$ are două soluții situate la distanța $5$ una de cealaltă, apoi scrie soluțiile.

Răspunsuri și explicații

1. Orizontala $y = 1$ întâlnește fiecare latură o dată. Pe prima latură valoarea scade cu doi pe unitate de la $(- 5; 3)$ , deci ajunge la unu în $x = - 4$ . Pe a doua crește cu unu pe unitate de la $(- 3; - 1)$ , deci în $x = - 1$ . Pe a treia scade cu unu pe unitate de la $(0; 2)$ , deci în $x = 1$ . Soluțiile sunt $- 4$ , $- 1$ și $1$ . Ecuația $f (x) = 3$ are o singură soluție, capătul plin $x = - 5$ , fiindcă celelalte laturi nu urcă peste nivelul doi.

2. Graficul este segmentul de la $(0; 1)$ la $(9; 7)$ , deci ia numai valori între unu și șapte. Orizontala $y = - 3$ nu îl întâlnește: ecuația $f (x) = - 3$ nu are soluții în $[0, 9]$ , deși formula s-ar egala cu minus trei în $- 6$ . Ecuația $f (x) = 5$ are soluția $x = 6$ , deoarece $2 \cdot 6/3 + 1 = 5$ .

3. Din $3 x /7 + 1 = 3$ obținem $3 x /7 = 2$ , deci $x = 14/3$ . Aproximarea cu două zecimale este $14/3 \approx 4, 67$ , în acord cu poziția dintre gradațiile patru și cinci.

4. Domeniul comun este $[3, 5]$ . Pe el, cele două funcții au aceeași formulă, deci graficele se suprapun, iar fiecare argument este soluție. Mulțimea soluțiilor este intervalul $[3, 5]$ .

5. Fals. Graficul format din semidreapta $y = x$ pentru $x \leq 0$ și semidreapta $y = 2 x$ pentru $x > 0$ este întâlnit o singură dată de orice orizontală, fiindcă funcția urcă peste tot. Totuși, graficul nu este o dreaptă: are un colț în origine, unde înclinarea se schimbă.

6. Prima latură ia valorile dintre zero și patru, a doua pe cele dintre zero și trei. Pentru $m < 0$ sau $m > 4$ nu există soluții. Pentru $m = 0$ există una, vârful $(1; 0)$ . Pentru $0 < m \leq 3$ există două, câte una pe fiecare latură. Pentru $3 < m \leq 4$ există una, pe prima latură; la $m = 4$ ea este capătul plin $(- 3; 4)$ .

7. Orizontala $y = 2$ întâlnește prima latură în $x = - 1$ și a doua în $x = 3$ . Între aceste abscise graficul este sub orizontală, deci mulțimea soluțiilor este $(- 1, 3)$ . Capetele sunt excluse, fiindcă inegalitatea este strictă.

8. Graficul lui $g$ este segmentul care coboară cu $1/2$ pe unitate de la $(- 5; 5/2)$ la $(4; - 2)$ . Pe prima latură formula lui $f$ este $- 2 x - 7$ , iar $- 2 x - 7 = - x /2$ dă $x = - 14/3$ , număr din $[- 5, - 3]$ . Pe a doua latură formula este $x + 2$ , iar $x + 2 = - x /2$ dă $x = - 4/3$ , din $[- 3, 0]$ . Pe a treia formula este $2 - x$ , iar $2 - x = - x /2$ dă $x = 4$ , adică capătul plin $(4; - 2)$ , comun celor două grafice. Ecuația are trei soluții: $- 14/3$ , $- 4/3$ și $4$ . Comparăm valorile lui $f$ și $g$ în $- 5$ , $- 3$ și $0$ : $3 > 5/2$ , $- 1 < 3/2$ și $2 > 0$ . Ele arată ordinea graficelor între soluții, deci $f (x) \geq g (x)$ pentru $x \in [- 5, - 14/3] \cup [- 4/3, 4]$ .

9. Graficul coboară de la $(- 4; 6)$ la $(8; - 3)$ . Cea mai mare valoare este chiar șase, în capătul stâng, deci orice punct al graficului este pe orizontala $y = 6$ sau sub ea. Mulțimea soluțiilor este întregul domeniu, $[- 4, 8]$ .

10. Din $6 - t /2 = t /3 + 1$ obținem $5 t /6 = 5$ , deci $t = 6$ s, iar tensiunea comună este $3$ V. Primul semnal scade, al doilea crește, deci primul este mai mare înaintea momentului comun: $t \in [0, 6)$ .

11. Orizontala $y = - 1$ trece prin vârful $(- 3; - 1)$ , comun primelor două laturi, și întâlnește a treia latură în $x = 3$ , fiindcă aceasta scade de la doi cu unu pe unitate. Soluțiile sunt $- 3$ și $3$ . Vârful se numără o singură dată, deci a doua latură nu adaugă o soluție nouă.

12. Din $x /3 + 2 = - 2 x /3 + 5$ rezultă $x = 3$ , iar valoarea comună este trei: punctul $(3; 3)$ . Graficul lui $f$ urcă, cel al lui $g$ coboară, deci $f$ este deasupra la dreapta punctului comun. Mulțimea soluțiilor este $(3, 7]$ .

13. Graficul este segmentul care coboară de la $(- 5; 5)$ la $(5; 1)$ . Ecuația are exact o soluție pentru $m \in [1, 5]$ și nu are soluții pentru $m < 1$ sau $m > 5$ . Niciun nivel nu produce două soluții, fiindcă segmentul coboară tot timpul.

14. Din $5 x /4 - 2 = x /4 + 2$ rezultă $x = 4$ ; punctul comun este $(4; 3)$ . Ordonata trei este valoarea comună a celor două funcții în argumentul patru: $f (4) = 3$ și $g (4) = 3$ .

15. Punctul comun are abscisa patru și aparține graficului lui $g$ : $g (4) = 7 - 2 = 5$ , deci punctul este $(4; 5)$ . El aparține și graficului lui $f$ , așa că $4 a + 11 = 5$ , deci $a = - 3/2$ . Verificare: $- 3 \cdot 4/2 + 11 = 5$ .

16. Punctul comun are ordonata minus nouă: $6 - 5 x /2 = - 9$ dă $5 x /2 = 15$ , deci $x = 6$ . Punctul de intersecție este $(6; - 9)$ .

17. Punctul comun are abscisa patru, deoarece $4/4 + 5/2 = 7/2$ și $2 \cdot 4 - 9/2 = 7/2$ . Graficul lui $g$ urcă mai repede, deci este sub graficul lui $f$ la stânga punctului comun: $g (x) \leq f (x)$ pentru $x \in (- \infty, 4]$ . Graficul lui $g$ traversează axa $O x$ în $9/4$ , deoarece $2 \cdot 9/4 - 9/2 = 0$ , și este deasupra ei la dreapta acestui punct: $g (x) \geq 0$ pentru $x \in [9/4, + \infty)$ . Ambele condiții au loc pe porțiunea comună, $x \in [9/4, 4]$ .

18. Două soluții există numai pentru $0 < m \leq 3$ , câte una pe fiecare latură. Prima latură coboară cu unu pe unitate până în vârful $(1; 0)$ , deci nivelul $m$ este atins în abscisa $1 - m$ ; a doua urcă cu unu pe unitate din vârf, deci nivelul este atins în $1 + m$ . Distanța dintre soluții este $(1 + m) - (1 - m) = 2 m$ , iar condiția $2 m = 5$ dă $m = 5/2$ , valoare cuprinsă între zero și trei. Soluțiile sunt $- 3/2$ și $7/2$ .

De reținut

Soluțiile ecuației $f (x) = m$ sunt abscisele punctelor comune dintre grafic și orizontala $y = m$ ; numărul lor este numărul acestor puncte.
Numărul soluțiilor se poate schimba doar la nivelurile vârfurilor și ale capetelor; la discuția după $m$ verifici separat aceste niveluri și câte un nivel din fiecare interval dintre ele.
Ecuația $f (x) = g (x)$ se rezolvă pe domeniul comun: intersecția dreptelor prelungite în afara lui nu este soluție.
O citire de pe ecran este o estimare; soluția exactă se scrie ca număr exact, iar aproximarea se rotunjește corect.
O inecuație se citește proiectând pe $O x$ porțiunea de grafic situată deasupra sau dedesubt; capetele se decid separat, după inegalitate și după domeniu.

Greșeli frecvente

Pui la capătul domeniului paranteza cerută de inegalitate. Paranteza de la frontiera citită pe orizontală vine din inegalitate, dar cea de la capătul domeniului vine din marcajul capătului, ca în Exemplul 4.
Accepți abscisa în care se taie dreptele prelungite. Verifică întâi dacă ea aparține domeniului comun al celor două funcții.
Cauți o singură soluție pe un grafic care urcă și coboară. Unicitatea soluției este o proprietate a funcțiilor monotone; pe o linie frântă, numără punctele comune.
Tratezi afișajul unei aplicații drept valoare exactă. Afișajul este rotunjit; rezolvă ecuația și scrie separat aproximarea.
Tragi orizontala pragului fără să verifici unitatea axei. Un prag de $2$ kg, pe o axă gradată în grame, se trasează la nivelul $2000$ , nu la nivelul $2$ .

Aplică acasă

Jocul nivelurilor. Desenează pe hârtie milimetrică o linie frântă cu patru vârfuri. Propune-i unui coleg să găsească un nivel cu o soluție, unul cu două și unul cu trei soluții, apoi verificați împreună, mutând o riglă orizontal.
Domenii care se despart. Într-o aplicație de grafice, definește două funcții afine pe domenii restrânse. Mută capetele domeniilor și urmărește momentul în care punctul lor comun dispare, deși dreptele complete continuă să se taie.
Rigla față de calcul. Trasează pe hârtie două drepte date prin formule, citește cu rigla coordonatele punctului comun, apoi calculează-le exact. Notează diferența în zecimi și explică de unde provine.

Pentru părinți și profesori

O rezolvare bună spune câte soluții există înainte de a le calcula, lucrează pe domeniul comun și separă valoarea exactă de aproximarea citită. Merită cerut elevului să confrunte fiecare abscisă calculată cu domeniul comun și să spună de ce o păstrează sau o respinge. Pentru inecuații, verificați dacă fiecare paranteză are o justificare: inegalitatea sau domeniul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027: nota unității IX.6 cere evidențierea grafică a soluțiilor ecuațiilor $f (x) = m$ și $f (x) = g (x)$ , iar competența IX.CS.5.6 cere interpretarea soluțiilor unor ecuații sau inecuații pe reprezentări grafice date. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 (programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă (OMEN 4430/2014) cuprinde rezolvări grafice ale ecuațiilor și inecuațiilor de forma $f (x) = g (x)$ . Modelul oficial 2026 conține la Subiectul I, cerința 2, o relație între două funcții afine; un singur model nu arată ce cerințe vor apărea într-o anumită sesiune.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuații și inecuații rezolvate grafic. La științe ale naturii, accentul cade pe numărul de soluții citit pe grafice date, pe domeniul comun și pe precizia citirii. Pentru funcția de gradul al doilea, aceeași lectură continuă în inecuațiile de gradul al doilea rezolvate grafic la M2. Lecția următoare este funcția afină ca model la M2, iar verificarea unității se face prin testul M2 despre funcții și lecturi grafice.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 față de varianta M1 despre rezolvarea grafică?

Ideea de bază este aceeași: soluțiile sunt abscisele punctelor comune. Aici lucrăm mai mult cu grafice date, inclusiv linii frânte, și urmărim cum se schimbă numărul soluțiilor, ce face domeniul comun și cât de exactă este o citire pe ecran. Lecția este completă pentru profilul de științe; varianta M1 rămâne o comparație opțională.

La ce parte a bacalaureatului M2 folosesc rezolvarea grafică?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde rezolvări grafice ale ecuațiilor și inecuațiilor de forma $f (x) = g (x)$ , iar cerințele scurte cu funcții de gradul I se potrivesc Subiectului I. Modelul oficial 2026 are acolo o cerință cu două funcții afine. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Cum aleg nivelurile pe care le verific la discuția după $m$ ?

Pornești de la ordonatele vârfurilor și ale capetelor, scrise în ordine crescătoare. Verifici separat fiecare dintre aceste niveluri, apoi câte un nivel ales între două niveluri vecine, unul sub cel mai mic și unul peste cel mai mare. Între două niveluri speciale vecine numărul punctelor comune nu se schimbă, deci o singură probă ajunge.

Ce fac dacă dreptele se intersectează în afara domeniului comun?

Respingi abscisa găsită. Ea arată unde s-ar întâlni dreptele complete, dar funcțiile nu sunt definite simultan acolo. Scrie domeniul comun, verifică apartenența și, dacă abscisa lipsește din el, spune că ecuația nu are soluții. Poți confirma comparând valorile funcțiilor în capetele domeniului comun.

Cum scriu o soluție pe care aplicația o afișează cu zecimale?

Consideră afișajul o aproximare, fiindcă aplicația rotunjește coordonatele. Rezolvă ecuația și scrie soluția exactă, de obicei ca fracție. Dacă se cere o aproximare, folosește semnul $\approx$ și rotunjește la numărul de zecimale cerut. Nu înlocui fracția cu zecimalele afișate în calculele următoare, pentru că eroarea se poate mări.

Cum traduc un prag admisibil în ecuații și inecuații?

Pragul devine o orizontală pe graficul mărimii în funcție de timp. Momentele în care mărimea este egală cu pragul sunt soluțiile ecuației, iar intervalele de depășire sunt soluțiile unei inecuații stricte. Răspunsul se dă cu unități și numai în intervalul în care modelul este declarat.