Cum rezolv o ecuație folosind graficul?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Ecuații și inecuații, pe grafic

Desenezi graficul și cauți poziții, nu calcule. Soluțiile ecuației $f (x) = 0$ sunt abscisele punctelor în care curba atinge axa orizontală; pentru $f (x) = b$ tragi orizontala la înălțimea $b$ și citești abscisele întâlnirilor; pentru $f (x) = g (x)$ desenezi ambele curbe și iei abscisele punctelor comune. Metoda spune imediat câte soluții există, chiar și când valorile lor exacte nu se pot citi.

Un grafic transformă ecuațiile și inecuațiile în poziții, nu în calcule.

Ecuația $f (x) = 0$ : soluțiile sunt abscisele punctelor în care graficul taie axa $O x$ . Ecuația $f (x) = b$ : duci orizontala $y = b$ și citești abscisele punctelor de întâlnire. Ecuația $f (x) = g (x)$ : desenezi ambele grafice și citești abscisele punctelor lor de intersecție.

Inecuațiile se citesc la fel, dar cu „mai sus / mai jos" în loc de „se ating". $f (x) > 0$ înseamnă porțiunile în care graficul e deasupra axei $O x$ . $f (x) > g (x)$ înseamnă porțiunile în care graficul lui $f$ e deasupra graficului lui $g$ .

Graficul e imbatabil la o întrebare anume: câte soluții există. Le numeri din ochi, fără să rezolvi nimic — o dreaptă orizontală care taie curba în trei puncte spune imediat „trei soluții".

Două capcane de scriere. Soluțiile sunt abscise (numere de pe axa orizontală), nu ordonate. Și la inecuațiile cu $\geq$ sau $\leq$ punctul de atingere intră în răspuns, deci intervalul se scrie cu paranteză dreaptă.

De reținut

soluțiile se citesc pe axa orizontală, ca abscise
$f (x) > 0$ înseamnă porțiunea de grafic aflată deasupra axei
la inegalitate nestrictă, punctul de atingere intră în răspuns

Greșeala tipică

Din punctul de intersecție $(4, 5)$ se dă ca soluție $5$ , adică valoarea funcției. Soluția este umbra punctului pe axa orizontală, deci răspunsul corect este $4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Graficele funcțiilor $f$ și $g$ se intersectează într-un singur punct, de coordonate $(2, 5)$ . Care este soluția ecuației $f (x) = g (x)$ ?
- a) $x = 5$
- b) $x = 2$
- c) $x = 7$
- d) $x = 2$ și $x = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 2$

În punctul de intersecție cele două funcții au aceeași valoare, iar soluția ecuației este abscisa acelui punct: $x = 2$ . Numărul $5$ e valoarea comună, $f (2) = g (2) = 5$ , nu soluția.
Pe grafic, dreapta lui $f$ este deasupra dreptei lui $g$ pentru $x > 3$ și dedesubtul ei pentru $x < 3$ . Care este mulțimea soluțiilor inecuației $f (x) < g (x)$ ?
- a) $(- \infty, 3)$
- b) $(3, + \infty)$
- c) ${3}$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, 3)$

$f (x) < g (x)$ înseamnă „graficul lui $f$ e mai jos", iar asta se întâmplă pentru $x < 3$ , adică pe intervalul $(- \infty, 3)$ . Intervalul $(3, + \infty)$ răspunde la inecuația opusă. Capătul $3$ nu intră, pentru că acolo graficele sunt la fel de sus.
Graficul de mai jos este al funcției $f (x) = 3 x - 6$ . Care este mulțimea soluțiilor inecuației $3 x - 6 \geq 0$ ?
- a) $(- \infty, 2]$
- b) $[2, + \infty)$
- c) $(2, + \infty)$
- d) $[- 2, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[2, + \infty)$

Dreapta taie axa $O x$ în $x = 2$ și urcă, deci e pe axă sau deasupra ei pentru $x \geq 2$ . Cum inecuația are $\geq$ , capătul $2$ intră: $[2, + \infty)$ . Intervalul $(2, + \infty)$ îl scoate pe nedrept, iar $[- 2, + \infty)$ confundă zeroul cu termenul liber.

Întrebări conexe

Cum scriu soluția unei inecuații nestricte, cu paranteze?

Punctul de atingere intră în răspuns, deci paranteza de acolo este dreaptă. Pentru $f (x) \geq 0$ cu zeroul în $2$ și panta pozitivă, soluția se scrie $[2, \infty)$ . La inegalitatea strictă, același capăt s-ar scrie cu paranteză rotundă.

Ce se vede pe grafic când o ecuație are o infinitate de soluții?

Cele două curbe se suprapun pe o porțiune întreagă, nu se ating doar în puncte izolate. Situația apare, de exemplu, când ambele formule descriu aceeași dreaptă. Atunci orice număr din acea porțiune este soluție.

Cum aflu grafic de unde o ofertă devine mai ieftină decât alta?

Desenezi cele două funcții de cost pe același desen și cauți punctul lor de intersecție. La stânga lui este mai ieftină una, la dreapta cealaltă. Abscisa punctului comun spune de la ce cantitate se schimbă răspunsul.

Ce fac dacă punctul de intersecție cade între liniile caietului?

Citești o valoare aproximativă și apoi o confirmi prin calcul. Desenul este bun ca să vezi câte soluții sunt și cam pe unde se află, dar rezultatul exact se obține rezolvând ecuația. Cele două metode se completează.

Ce precizie am când citesc o soluție de pe hârtie?

Una limitată de grosimea liniei și de unitatea aleasă pe axe. Poți spune cu siguranță că soluția este între $2$ și $3$ , dar nu că este exact $2, 37$ . Pentru răspunsuri exacte se trece la calcul algebric.

Cum arată grafic o inecuație care nu are nicio soluție?

Curba nu ajunge niciodată în zona cerută. Pentru $f (x) < 0$ la o parabolă care stă în întregime deasupra axei orizontale, nu există nicio porțiune sub axă, deci mulțimea soluțiilor este vidă. Desenul arată asta dintr-o privire.

Oamenii mai întreabă și: rezolvare grafică a ecuațiilor · cum citesc soluțiile de pe grafic · inecuații rezolvate grafic · câte soluții are ecuația · intersecția a două grafice