Egalitatea $$\sin u=\sin v$$ are loc exact când:

$$u=v+2k\pi$$ sau $$u=\pi-v+2k\pi$$

La ce se reduce ecuația $$2\cos^2x-9\cos x-5=0$$?

$$\cos x=5$$ sau $$\cos x=-\dfrac{1}{2}$$

Care este mulțimea soluțiilor ecuației $$2\sin x=7\cos x$$?

$$\left\{\operatorname{arctg}\dfrac72+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\operatorname{arctg}\dfrac27+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\operatorname{arctg}\dfrac72+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

$$\left\{\pm\operatorname{arctg}\dfrac72+k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}$$

Când sunt egale sinusurile a două unghiuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuații reduse la forme elementare

$sin u = sin v$ exact când argumentele diferă printr-un număr întreg de ture, $u = v + 2 k π$ , sau când $u = π - v + 2 k π$ , cu $k \in Z$ : pe cerc, două puncte de aceeași înălțime sunt același punct sau simetrice față de axa $O y$ . Exemplu: $sin 3 x = sin x$ . Prima familie dă $2 x = 2 k π$ , adică $x = k π$ . A doua dă $4 x = π + 2 k π$ , adică $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ .

O ecuație trigonometrică mai complicată se rezolvă desfăcând-o, prin transformări echivalente, în ecuații elementare. Un produs egal cu zero se împarte în factori. Egalitatea a două sinusuri înseamnă puncte cu aceeași ordonată pe cerc: argumentele diferă prin ture întregi sau unul este $π$ minus celălalt. La cosinusuri egale punctele sunt oglindite față de axa $O x$ , deci argumentele sunt egale sau opuse, plus ture întregi. La tangente egale argumentele diferă prin multipli de $π$ , apoi se elimină valorile în care vreo tangentă nu există.

Un cosinus se transformă în sinus cu relația $cos t = sin (\frac{π}{2} - t)$ , ca ambii membri să aibă aceeași funcție. La o ecuație omogenă, ca $a sin x + b cos x = 0$ , împărțirea la cosinus este permisă numai dacă numerele cu cosinusul nul nu verifică ecuația; atunci rămâne o tangentă egală cu un număr. Dacă apare o singură funcție la puteri diferite, o înlocuiești cu $t$ , afli rădăcinile trinomului și păstrezi, pentru sinus și cosinus, doar pe cele din $[- 1, 1]$ .

Pentru examenul M2 din sesiunile 2027–2029 se adaugă formulele de dublu unghi, demonstrate în supliment. Pentru toți elevii, graficele celor doi membri confirmă numărul soluțiilor dintr-un interval, iar o soluție comună a două familii se numără o singură dată.

De reținut

$sin u = sin v$ : $u = v + 2 k π$ sau $u = π - v + 2 k π$
$cos u = cos v$ : $u = \pm v + 2 k π$
$tg u = tg v$ : $u = v + k π$ , apoi se elimină punctele unde tangenta nu există

Greșeala tipică

La $sin u = sin v$ se scrie doar $u = v + 2 k π$ și se pierde a doua familie; la $sin 3 x = sin x$ lipsesc atunci soluțiile $\frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Egalitatea $sin u = sin v$ are loc exact când:
- a) $u = \pm v + 2 k π$
- b) $u = v + k π$
- c) $u = π + v + 2 k π$
- d) $u = v + 2 k π$ sau $u = π - v + 2 k π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $u = v + 2 k π$ sau $u = π - v + 2 k π$

Punctele cu aceeași ordonată coincid sau sunt oglindite față de axa $O y$ ; oglinda duce $v$ în $π - v$ .
La ce se reduce ecuația $2 cos^{2} x - 9 cos x - 5 = 0$ ?
- a) $cos x = - \frac{1}{2}$
- b) $cos x = 5$ sau $cos x = - \frac{1}{2}$
- c) $cos x = \frac{1}{2}$
- d) $cos x = 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $cos x = - \frac{1}{2}$

Cu $t = cos x$ : $2 t^{2} - 9 t - 5 = 0$ are rădăcinile $5$ și $- \frac{1}{2}$ ; $t = 5$ nu poate fi un cosinus și se respinge.
Care este mulțimea soluțiilor ecuației $2 sin x = 7 cos x$ ?
- a) ${arctg \frac{7}{2} + k π ∣ k \in Z}$
- b) ${arctg \frac{2}{7} + k π ∣ k \in Z}$
- c) ${arctg \frac{7}{2} + 2 k π ∣ k \in Z}$
- d) ${\pm arctg \frac{7}{2} + k π ∣ k \in Z}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${arctg \frac{7}{2} + k π ∣ k \in Z}$

Numerele cu $cos x = 0$ nu sunt soluții, fiindcă atunci membrul stâng este $\pm 2$ ; împărțind la $cos x$ obții $tg x = \frac{7}{2}$ , deci $x = arctg \frac{7}{2} + k π$ .

Întrebări conexe

Când sunt egale două cosinusuri, ca în $cos 4 x = cos x$ ?

$cos u = cos v$ exact când $u = \pm v + 2 k π$ , pentru că punctele cu aceeași abscisă sunt oglindite față de axa $O x$ . Pentru $cos 4 x = cos x$ obții $3 x = 2 k π$ sau $5 x = 2 k π$ , deci $x = \frac{2 k π}{3}$ sau $x = \frac{2 k π}{5}$ , cu $k \in Z$ .

De ce trebuie eliminate unele valori la ecuația $tg 3 x = tg x$ ?

Tangentele egale dau $3 x = x + k π$ , adică $x = \frac{k π}{2}$ . Pentru $k$ impar, $x$ este de forma $\frac{π}{2} + mπ$ , unde $tg x$ nu există, deci aceste valori se elimină. Rămân $x = mπ$ , cu $m \in Z$ , unde ambele tangente sunt $0$ .

Se resping rădăcini la substituția $t = tg x$ ?

Nu, tangenta ia orice valoare reală. La $tg^{2} x - 4 tg x + 3 = 0$ obții $t = 1$ sau $t = 3$ , ambele acceptate: $x = \frac{π}{4} + k π$ sau $x = arctg 3 + k π$ . Respingerea rădăcinilor din afara lui $[- 1, 1]$ privește doar substituțiile cu sinus sau cosinus.

Cum rezolv $sin 2 x = cos x$ transformând cosinusul în sinus?

Scrii $cos x = sin (\frac{π}{2} - x)$ și ai sinusuri egale. Prima familie: $2 x = \frac{π}{2} - x + 2 k π$ , deci $x = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$ . A doua: $2 x = π - \frac{π}{2} + x + 2 k π$ , deci $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ . Verificare la $x = \frac{π}{6}$ : ambii membri sunt $\frac{3}{2}$ , deci rezultatul se confirmă prin calcul direct.

Câte soluții are ecuația $sin 2 x = sin x$ în intervalul $[0, π]$ ?

Prima familie, $2 x = x + 2 k π$ , dă $x = 2 k π$ , deci doar $0$ în interval. A doua, $2 x = π - x + 2 k π$ , dă $x = \frac{π}{3} + \frac{2 k π}{3}$ , deci $\frac{π}{3}$ și $π$ . Sunt trei soluții: $0$ , $\frac{π}{3}$ și $π$ . Numărarea soluțiilor pe interval este o cerință de tip bacalaureat M2.

Oamenii mai întreabă și: ecuația sin u egal sin v · sinusuri egale soluții · când au două unghiuri același sinus · sin 3x egal sin x

Când sunt egale sinusurile a două unghiuri?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Când sunt egale două cosinusuri, ca în cos4x=cosx?

De ce trebuie eliminate unele valori la ecuația tg3x=tgx?

Se resping rădăcini la substituția t=tgx?

Cum rezolv sin2x=cosx transformând cosinusul în sinus?

Câte soluții are ecuația sin2x=sinx în intervalul [0,π]?

Continuă cu

Când sunt egale două cosinusuri, ca în $cos 4 x = cos x$ ?

De ce trebuie eliminate unele valori la ecuația $tg 3 x = tg x$ ?

Se resping rădăcini la substituția $t = tg x$ ?

Cum rezolv $sin 2 x = cos x$ transformând cosinusul în sinus?

Câte soluții are ecuația $sin 2 x = sin x$ în intervalul $[0, π]$ ?