Ecuații trigonometrice reductibile (M2, științe ale naturii)

Pe pianul din sala de muzică stau două metronoame identice, reglate la același tempo. Unul a fost pornit din poziția verticală, celălalt cu o șesime de perioadă mai devreme, așa că brațele lor nu bat împreună. Te întrebi când sunt vârfurile celor două brațe exact în dreptul aceluiași punct. Dacă notezi timpul cu $t$ și descrii poziția fiecărui braț, întrebarea devine o egalitate între două sinusuri cu argumente diferite, adică o ecuație care nu arată ca niciuna dintre cele patru forme elementare. Lecția de față, de clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), arată cum se aduc asemenea ecuații la formele cunoscute. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit ecuațiile de forma $\sin f(x)=\sin g(x)$, $\cos f(x)=\cos g(x)$, $\mathrm{tg}f(x)=\mathrm{tg}g(x)$ și $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)$; varianta-model publicată pentru 2026 nu are o ecuație trigonometrică.

Punctul de plecare este lecția despre ecuațiile trigonometrice elementare la M2: orice rezolvare de aici se termină cu una sau mai multe ecuații de acolo. Instrumentele de lucru sunt cercul trigonometric și formula fundamentală a trigonometriei la M2. Pentru elevii care dau examenul din 2027–2029, câteva ecuații cer și formulele din suplimentul clasei a IX-a, pe care doar le folosim, cu trimitere.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație care se reduce la ecuații elementare și să alegi transformarea potrivită: produs nul, funcții egale, substituție.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile $\sin f=\sin g$, $\cos f=\cos g$, $\mathrm{tg}f=\mathrm{tg}g$ și $\mathrm{ctg}f=\mathrm{ctg}g$, argumentând pe cerc.
• Vei ști să verifici domeniul la tangentă și cotangentă și să elimini valorile în care funcțiile nu există.
• Vei ști să treci de la cosinus la sinus și să rezolvi ecuațiile omogene de forma $a\sin x+b\cos x=0$.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile care, după notația $t=\sin x$, $t=\cos x$ sau $t=\mathrm{tg}x$, devin ecuații de gradul al doilea, și să respingi rădăcinile imposibile.
• Vei ști ce ecuații cer formulele de dublu unghi din supliment și cum le verifici pe graficul celor doi membri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație reductibilă?

Ecuația trigonometrică reductibilă este o ecuație care, prin transformări echivalente, se desface în una sau mai multe ecuații elementare. Nu există o singură formulă pentru ea; există câteva transformări, iar munca ta este să o alegi pe cea potrivită.

Cea mai simplă este produsul nul. Un produs de factori este zero exact când unul dintre factori este zero, deci ecuația $(2\sin x-1)(\cos x+1)=0$ se desface în $\sin x=\frac{1}{2}$ și $\cos x=-1$. Prima dă familiile $\frac{\pi }{6}+2k\pi$ și $\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, a doua dă $\pi +2k\pi$, iar mulțimea soluțiilor este reuniunea celor trei familii. Pentru ca metoda să funcționeze, membrul drept trebuie să fie zero; dacă nu e, muți totul într-un membru și dai factor comun.

Celelalte transformări din lecție urmăresc același scop: la final, fiecare ecuație rămasă are o singură funcție trigonometrică, aplicată unui singur argument, egală cu un număr. O transformare este echivalentă când nu adaugă și nu pierde soluții: adunarea aceluiași termen în ambii membri, înmulțirea cu un număr nenul sau o formulă adevărată pentru orice $x$ sunt sigure; împărțirea la o expresie care conține necunoscuta nu este, până nu verifici că expresia nu se anulează.

De aceea, înainte de a scrie primul calcul, e bine să-ți pui trei întrebări. Câte funcții apar, sinus, cosinus, tangentă? Cu ce argumente, același $x$ sau expresii diferite? La ce puteri? Răspunsurile aleg, aproape singure, una dintre secțiunile de mai jos.

2. De ce din sinusuri egale rezultă două familii?

Egalitatea $\sin u=\sin v$ spune că punctele cercului asociate lui $u$ și lui $v$ au aceeași ordonată.

Două puncte de pe cerc cu aceeași ordonată fie coincid, fie sunt oglindite unul în celălalt de axa $Oy$. Dacă punctele coincid, numerele diferă printr-un număr întreg de ture: $u=v+2k\pi$. Dacă sunt oglindite, punctul lui $u$ este cel al lui $\pi -v$, deci $u=\pi -v+2k\pi$. Nu există altă posibilitate:

$$\sin u=\sin v⟺u=v+2k\pi \text{ sau }u=\pi -v+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Regula nu cere ca $u$ și $v$ să fie numere din aceeași tură sau pozitive: ea privește punctele de pe cerc, iar orice număr real are un punct. De aceea se aplică direct unor expresii ca $5x$ sau $x+\frac{\pi }{5}$, oricât de mari ar fi valorile lor. Pe un exemplu, $\sin 5x=\sin 3x$. Prima variantă dă $2x=2k\pi$, deci $x=k\pi$. A doua dă $8x=\pi +2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}$. Mulțimea soluțiilor este reuniunea celor două familii; ele nu au elemente comune, fiindcă un multiplu întreg de $\pi$ nu se poate scrie ca $\frac{\pi }{8}$ plus un multiplu de $\frac{\pi }{4}$.

3. Cosinusuri egale: oglinda față de axa Ox

La $\cos u=\cos v$ punctele au aceeași abscisă, deci coincid sau sunt oglindite de axa $Ox$. Oglinda față de $Ox$ schimbă numărul în opusul lui, astfel că $u=\pm v+2k\pi$. Pentru $\cos 7x=\cos 5x$: semnul plus dă $2x=2k\pi$, adică $x=k\pi$; semnul minus dă $12x=2k\pi$, adică $x=\frac{k\pi }{6}$.

Aici apare un fenomen nou: prima familie este cuprinsă în a doua, fiindcă pentru $k$ multiplu de $6$ a doua dă exact multiplii lui $\pi$. Răspunsul se scrie atunci scurt, $S=\left\{\frac{k\pi }{6}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Merită să verifici de fiecare dată dacă o familie o cuprinde pe alta: răspunsul devine mai clar, iar la numărarea soluțiilor dintr-un interval nu mai riști să numeri același număr de două ori.

4. Tangente egale: de ce contează domeniul?

Două puncte ale cercului au aceeași tangentă când se află pe aceeași dreaptă prin origine: coincid sau sunt diametral opuse. Deci $\mathrm{tg}u=\mathrm{tg}v$ duce la $u=v+k\pi$, cu o singură familie. Condiția esențială este ca ambele tangente să existe. Formula nu știe nimic despre domeniu, așa că poate produce numere în care una dintre funcții nu este definită; acestea se elimină la final.

Pentru $\mathrm{tg}3x=\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ obții $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$. Pentru $k$ par, de pildă $x=\frac{\pi }{6}$, argumentul $3x=\frac{\pi }{2}$ face ca $\mathrm{tg}3x$ să nu existe: aceste valori se aruncă. Pentru $k$ impar rămân numerele $\frac{2\pi }{3}+m\pi$, pentru care $3x$ este un multiplu de $\pi$ și $x+\frac{\pi }{3}=\pi +m\pi$: ambele tangente sunt zero. Jumătate dintre valorile formulei au căzut. Cotangentele egale se tratează la fel, cu condiția ca ambele sinusuri să fie nenule; ecuația cu cotangentă e cerută de programa de bacalaureat din 2014. Pe cerc, și aici punctele stau pe aceeași dreaptă prin origine, doar că mărimea citită este raportul invers al coordonatelor. Verificarea domeniului se face cel mai sigur înlocuind familia găsită în fiecare argument și întrebându-te dacă poate ajunge într-un punct interzis, adică pe axa $Oy$ la tangentă sau pe axa $Ox$ la cotangentă.

5. Cum treci de la cosinus la sinus?

Când într-un membru stă un sinus și în celălalt un cosinus, transformi unul dintre ele. Simetria față de prima bisectoare, folosită în lecția despre arctangentă și arccotangentă la M2, duce punctul lui $t$ în punctul lui $\frac{\pi }{2}-t$ și schimbă între ele coordonatele. Rezultă $\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$ pentru orice număr real $t$. În clasa a IX-a ai folosit relația pentru arce din primul sfert de tură, la formulele cu π/2; pentru elevii din traseul 2027–2029, ea este demonstrată pe toată axa în suplimentul despre formulele de adunare.

Pe $\sin 3x=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$: scrii $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ și aplici regula sinusurilor egale. Prima familie: $4x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$. A doua: $3x=\pi -\frac{\pi }{4}+x+2k\pi$, deci $2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$ și $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$. Dacă la mutarea termenilor $k$ ajunge cu semnul minus, nu contează, fiindcă $k$ parcurge toate numerele întregi.

6. Ecuațiile omogene: a·sin x + b·cos x = 0

O ecuație ca $2\sin x+3\cos x=0$, în care fiecare termen are exact un sinus sau un cosinus, se numește omogenă. Ideea este să împarți la $\cos x$, ca să apară tangenta, dar numai după ce verifici că nu pierzi nimic. Dacă $\cos x=0$, atunci $\sin x=\pm 1$ și membrul stâng devine $\pm 2$, nu zero: numerele cu cosinusul nul nu sunt soluții. Împărțirea este deci permisă și dă $2\mathrm{tg}x=-3$, adică $\mathrm{tg}x=-\frac{3}{2}$ și $x=-\mathrm{arctg}\frac{3}{2}+k\pi$.

Pe cerc, rezultatul are un sens simplu: ecuația cere ca ordonata să fie de $-\frac{3}{2}$ ori abscisa, adică punctul să stea pe o anumită dreaptă prin origine. Același raționament merge și la $a\sin x=b\cos x$, cu $a\ne 0$: ecuația cere ca punctul să stea pe dreapta prin origine cu panta $\frac{b}{a}$, deci $x=\mathrm{arctg}\frac{b}{a}+k\pi$. Dacă panta nu e o valoare de tabel, răspunsul rămâne scris cu arctangentă. Varianta în care membrul drept este un număr nenul, $a\sin x+b\cos x=c$ cu $c\ne 0$, nu face parte din lecția de bază de la științe ale naturii.

7. Substituția: o ecuație de gradul al doilea ascunsă

Când apare o singură funcție, dar la puteri diferite, o notezi cu $t$ și rezolvi o ecuație de gradul al doilea. Condiția nouă este mulțimea valorilor: pentru $t=\sin x$ sau $t=\cos x$ rădăcinile trebuie să fie în $[-1,1]$, iar pentru $t=\mathrm{tg}x$ orice rădăcină reală e bună.

La $2{\sin }^{2}x+5\sin x+2=0$, cu $t=\sin x$: $2t^2+5t+2=0$ are rădăcinile $t=-2$ și $t=-\frac{1}{2}$. Prima nu poate fi valoarea unui sinus și se respinge; a doua dă $\sin x=-\frac{1}{2}$, cu familiile $-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ și $\frac{7\pi }{6}+2k\pi$. Fiecare rădăcină admisă aduce ecuația ei elementară, cu toate familiile acesteia.

Substituția mai are un avantaj: îți arată dinainte câte familii vor apărea. O rădăcină strict între $-1$ și $1$ dă două familii la sinus și la cosinus, o rădăcină egală cu $1$ sau cu $-1$ dă o singură familie, iar la tangentă fiecare rădăcină reală dă exact o familie. Numărând astfel, știi de la început cum trebuie să arate mulțimea finală.

8. Ce faci când apar și sinusul, și cosinusul?

Dacă un membru are ${\sin }^{2}x$, iar restul ecuației folosește doar $\cos x$, formula fundamentală ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ elimină sinusul. Pe $2{\sin }^{2}x+5\cos x+1=0$: $2-2{\cos }^{2}x+5\cos x+1=0$, adică $2{\cos }^{2}x-5\cos x-3=0$. Cu $t=\cos x$, rădăcinile sunt $t=3$, respinsă, și $t=-\frac{1}{2}$, deci $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Alegi mereu să elimini funcția care apare la pătrat, astfel încât să rămână o singură funcție. Dacă ambele funcții apar la puterea întâi, ca în $\sin x+\cos x$, formula fundamentală nu mai ajută direct: nu există o scriere a cosinusului prin sinus fără radical și fără alegerea unui semn, iar asemenea ecuații cer alte metode.

Pentru programa de examen 2027–2029 mai există o sursă de asemenea ecuații: $\cos 2x$ și $\sin 2x$. Formulele $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$ și $\sin 2x=2\sin x\cos x$ sunt demonstrate în suplimentul despre formulele unghiului dublu; aici doar le folosești, alegând forma care lasă o singură funcție. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2026 nu au aceste formule în programă și rezolvă ecuațiile respective prin trecerea de la o funcție la alta, când se poate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sinusuri egale cu argumente diferite

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin \left(3x-\frac{\pi }{5}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{5}\right)$.

Rezolvare. Cazul punctelor care coincid: $3x-\frac{\pi }{5}=x+\frac{\pi }{5}+2k\pi$, adică $2x=\frac{2\pi }{5}+2k\pi$ și $x=\frac{\pi }{5}+k\pi$. Cazul oglinzii față de $Oy$: $3x-\frac{\pi }{5}=\pi -x-\frac{\pi }{5}+2k\pi$, de unde $4x=\pi +2k\pi$ și $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Așadar

$$S=\left\{\frac{\pi }{5}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Control, pentru $x=\frac{\pi }{5}$: ambele argumente sunt $\frac{2\pi }{5}$. Iar pentru $x=\frac{\pi }{4}$: $3x-\frac{\pi }{5}=\frac{11\pi }{20}$ și $x+\frac{\pi }{5}=\frac{9\pi }{20}$, cu suma $\pi$, deci aceeași ordonată pe cerc. Pasul celor două familii diferă: prima se repetă din $\pi$ în $\pi$, a doua de două ori mai des, fiindcă acolo coeficientul lui $x$ a devenit $4$ după mutarea termenilor. Familiile nu au elemente comune, iar pe o tură sunt $2+4=6$ soluții.

Exemplul 2 — Găsește greșeala: pasul tangentei

Un elev rezolvă $\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{6}-x\right)$ și scrie: „$2x=\frac{\pi }{6}-x+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$.” Ce a pierdut?

Rezolvare. La tangentă, punctele cu aceeași tangentă pot fi și diametral opuse, deci argumentele diferă printr-un multiplu de $\pi$, nu de $2\pi$. Corect: $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$. Elevul a păstrat doar jumătate dintre soluții; de exemplu $x=\frac{7\pi }{18}$ lipsește din răspunsul lui, deși $\mathrm{tg}\frac{7\pi }{9}=\mathrm{tg}\left(-\frac{2\pi }{9}\right)$, cele două argumente diferind prin $\pi$. Domeniul nu elimină nimic aici: $2x$ și $\frac{\pi }{6}-x$ nu ajung niciodată la $\frac{\pi }{2}+m\pi$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Exemplul 3 — Verifică pe grafic

Rezolvați ecuația $\cos 2x=\sin x$ pe intervalul $[0,2\pi ]$ și confruntați rezultatul cu graficele celor doi membri.

Rezolvare. Scriem $\sin x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, deci $\cos 2x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. Semnul plus dă $3x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$; semnul minus dă $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$. În $[0,2\pi ]$, prima familie dă $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{3\pi }{2}$, iar a doua dă tot $\frac{3\pi }{2}$, deja numărat. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}$.

Pe figură, curbele se întâlnesc în trei puncte, iar în $\frac{3\pi }{2}$ se ating: ambele valori sunt $-1$. Elevii din traseul 2027–2029 pot ajunge la același rezultat cu formula $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$: ecuația devine $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$, cu $\sin x=\frac{1}{2}$ sau $\sin x=-1$.

Exemplul 4 — Substituție cu tangentă

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $3{\mathrm{tg}}^{2}x-4\sqrt{3}\mathrm{tg}x+3=0$.

Rezolvare. Condiția de existență: $x\ne \frac{\pi }{2}+m\pi$. Cu $t=\mathrm{tg}x$, fără restricție asupra lui $t$: $3t^2-4\sqrt{3}t+3=0$, cu discriminantul $48-36=12$ și rădăcinile $t=\frac{4\sqrt{3}\pm 2\sqrt{3}}{6}$, adică $t=\sqrt{3}$ și $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Revenind: $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$ dă $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ dă $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

$$S=\left\{\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Produsul rădăcinilor este $1$, ceea ce se vede și în rezultat: cele două unghiuri din primul cadran au suma $\frac{\pi }{2}$, deci tangentele lor sunt una inversa celeilalte.

Exemplul 5 — Cele două metronoame

Vârfurile brațelor a două metronoame identice se deplasează față de verticală după legile $d_1=4\sin \frac{\pi t}{2}$ și $d_2=4\sin \left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$, în centimetri, cu $t$ în secunde. a) La ce momente din primele $6$ secunde vârfurile sunt în dreptul aceluiași punct? b) La ce momente din același interval vârfurile sunt la aceeași distanță de verticală, dar în părți opuse ale verticalei?

Rezolvare. a) Cerem $\sin \frac{\pi t}{2}=\sin \left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$, adică sinusuri egale. Cazul punctelor care coincid cere $\frac{\pi }{3}=2k\pi$, imposibil. Cazul oglinzii: $\frac{\pi t}{2}=\pi -\frac{\pi t}{2}-\frac{\pi }{3}+2k\pi$, adică $\pi t=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ și $t=\frac{2}{3}+2k$. În intervalul $[0,6]$: $S=\left\{\frac{2}{3},\frac{8}{3},\frac{14}{3}\right\}$ secunde. În acele momente ambele deplasări sunt de $2\sqrt{3}\approx 3,46$ cm, alternativ spre dreapta și spre stânga.

b) Acum cerem $d_1=-d_2$. Cum $-\sin u=\sin (-u)$, ecuația devine $\sin \frac{\pi t}{2}=\sin \left(-\frac{\pi t}{2}-\frac{\pi }{3}\right)$. Cazul punctelor care coincid: $\pi t=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$, deci $t=-\frac{1}{3}+2k$; cazul oglinzii cere $\frac{\pi }{3}=-\pi +2k\pi$, imposibil. În $[0,6]$: $S=\left\{\frac{5}{3},\frac{11}{3},\frac{17}{3}\right\}$ secunde. Momentele de la a) și de la b) alternează din secundă în secundă. Modelul presupune o mișcare perfect sinusoidală, cu perioada de $4$ s, și metronoame fără nicio abatere de tempo; unele reale se desincronizează lent.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 2x-4\sin x=3$.

Rezolvare. Folosim formula $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ din suplimentul despre unghiul dublu, forma care lasă doar sinusul: $1-2{\sin }^{2}x-4\sin x=3$, adică $2{\sin }^{2}x+4\sin x+2=0$, sau $2(\sin x+1{)}^2=0$. Cu $t=\sin x$, ecuația $2(t+1{)}^2=0$ are o singură rădăcină, $t=-1$, dublă și aflată în $[-1,1]$. Rămâne ecuația elementară $\sin x=-1$, cu o singură familie: $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$.

$$S=\left\{-\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Verificare pentru $x=-\frac{\pi }{2}$: $\cos (-\pi )-4\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1+4=3$. Pe graficul celor doi membri, curba $y=\cos 2x-4\sin x$ doar atinge dreapta $y=3$, fără s-o traverseze, exact cum arată rădăcina dublă. Ecuația este construită pentru antrenament, în forma cerințelor de bacalaureat M2 din 2027–2029, singurele care cer unghiul dublu.

Să exersăm

Decide întâi tipul ecuației: produs, funcții egale, omogenă sau cu o singură funcție la puteri diferite. Scrie condiția de existență acolo unde apar tangente sau cotangente, iar la final verifică o soluție din fiecare familie.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin 4x=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos 5x=\cos 3x$ și scrie răspunsul cât mai scurt.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{tg}5x=\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin 4x=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $3{\cos }^{2}x-2\cos x-8=0$ este vidă.”

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $5{\sin }^{2}x-3\sin x-2=0$.

7. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\mathrm{tg}}^{2}x-2=0$.

8. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $5\sin x-2\cos x=0$.

9. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2{\cos }^{2}x-7\sin x+2=0$.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $(\mathrm{tg}x-1)(2\sin x+1)=0$.

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $9{\cos }^{2}x=4$.

12. (Problemă aplicată.) Două rigle de oțel prinse la marginea mesei vibrează cu aceeași amplitudine, dar cu perioadele de $4$ și de $5$ sutimi de secundă. Ele pornesc în același moment din poziția de echilibru, în același sens, iar deplasările capetelor lor sunt proporționale cu $\sin \frac{\pi t}{2}$ și cu $\sin \frac{2\pi t}{5}$, cu $t$ în sutimi de secundă. În ce momente din intervalul $(0,10]$ cele două capete au aceeași deplasare?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați soluțiile din intervalul $[0,\pi ]$ ale ecuației $2{\cos }^{2}x=\sqrt{3}\cos x$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{ctg}2x=\mathrm{ctg}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

16. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\mathrm{tg}x=\mathrm{ctg}2x$, scriind cotangenta ca tangentă.

17. Determină soluțiile din intervalul $[0,\pi ]$ ale ecuației $\cos 5x=-\cos x$.

18. (Provocare.) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=\frac{1}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $4x=x+\frac{\pi }{3}+2k\pi$ dă $x=\frac{\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$; $4x=\pi -x-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ dă $5x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, adică $x=\frac{2\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{2\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$; familiile nu au elemente comune.

2. $5x=3x+2k\pi$ dă $x=k\pi$, iar $5x=-3x+2k\pi$ dă $x=\frac{k\pi }{4}$. Prima familie e cuprinsă în a doua, deci $S=\left\{\frac{k\pi }{4}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3. Formula dă $5x=x+\frac{\pi }{4}+k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$. Verificăm domeniul: $5x=\frac{5\pi }{16}+\frac{5k\pi }{4}$ și $x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}$. Ca unul dintre ele să fie $\frac{\pi }{2}+m\pi$, ar trebui ca $\frac{3\pi }{16}$ să fie un multiplu întreg de $\frac{\pi }{4}$, ceea ce nu se întâmplă. Nicio valoare nu se elimină: $S=\left\{\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4. $\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$, deci $\sin 4x=\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$. Prima familie: $5x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$, $x=\frac{\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}$. A doua: $4x=\pi -\frac{\pi }{3}+x+2k\pi$, $3x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

5. Adevărat. Cu $t=\cos x$: $3t^2-2t-8=0$, cu discriminantul $4+96=100$, are rădăcinile $t=2$ și $t=-\frac{4}{3}$, ambele în afara intervalului $[-1,1]$. Niciun cosinus nu ia aceste valori, deci mulțimea soluțiilor este vidă.

6. $t=\sin x$: $5t^2-3t-2=0$, cu discriminantul $9+40=49$ și rădăcinile $t=1$ și $t=-\frac{2}{5}$, ambele în $[-1,1]$. $\sin x=1$ dă o singură familie, iar $\sin x=-\frac{2}{5}$ dă două. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-\arcsin \frac{2}{5}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi +\arcsin \frac{2}{5}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

7. Condiția: $\cos x\ne 0$. $\mathrm{tg}x=\sqrt{2}$ sau $\mathrm{tg}x=-\sqrt{2}$; valoarea nu este de tabel, deci rămâne scrisă cu arctangentă, iar arctangenta fiind impară, $S=\left\{\pm \mathrm{arctg}\sqrt{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

8. Numerele cu $\cos x=0$ nu sunt soluții, fiindcă atunci membrul stâng este $\pm 5$. Împărțind la $\cos x$: $5\mathrm{tg}x=2$, adică $\mathrm{tg}x=\frac{2}{5}$, deci $S=\left\{\mathrm{arctg}\frac{2}{5}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Punctele soluție sunt în cadranele întâi și al treilea, unde sinusul și cosinusul au același semn, cum cere egalitatea $5\sin x=2\cos x$.

9. $2(1-{\sin }^{2}x)-7\sin x+2=0$ devine $2{\sin }^{2}x+7\sin x-4=0$, cu $\sin x=-4$, respinsă, și $\sin x=\frac{1}{2}$. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

10. Condiția: $\cos x\ne 0$. Primul factor dă $\mathrm{tg}x=1$, adică $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; al doilea dă $\sin x=-\frac{1}{2}$, adică $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, numere cu cosinusul nenul. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-\frac{\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{7\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

11. $\cos x=\frac{2}{3}$ sau $\cos x=-\frac{2}{3}$. Cele patru puncte de pe cerc formează două perechi diametral opuse, deci $S=\left\{\pm \arccos \frac{2}{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Control: pentru $x=\pi -\arccos \frac{2}{3}$ cosinusul este $-\frac{2}{3}$, iar pătratul lui dă tot $\frac{4}{9}$.

12. Egalitatea deplasărilor cere $\sin \frac{\pi t}{2}=\sin \frac{2\pi t}{5}$. Prima familie: $\frac{\pi t}{2}=\frac{2\pi t}{5}+2k\pi$, adică $\frac{\pi t}{10}=2k\pi$ și $t=20k$; a doua: $\frac{\pi t}{2}=\pi -\frac{2\pi t}{5}+2k\pi$, adică $\frac{9\pi t}{10}=\pi +2k\pi$ și $t=\frac{10}{9}+\frac{20k}{9}$. În $(0,10]$ prima familie nu dă nimic, iar a doua dă $S=\left\{\frac{10}{9},\frac{10}{3},\frac{50}{9},\frac{70}{9},10\right\}$ sutimi de secundă. Abia la $t=20$, cel mai mic multiplu comun al perioadelor, capetele revin simultan la echilibru, în același sens. Modelul presupune vibrații mici și fără amortizare.

13. $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}-x+2k\pi$ dă $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$. A doua variantă, $x+\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{3}+x+2k\pi$, cere $\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, imposibil pentru $k$ întreg. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{12}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

14. Nu se împarte la $\cos x$: se trece totul într-un membru, $\cos x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$. Pe $[0,\pi ]$, $\cos x=0$ dă $\frac{\pi }{2}$, iar $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ dă $\frac{\pi }{6}$; numărul $-\frac{\pi }{6}$, cu același cosinus, e în afara intervalului. Deci $S=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right\}$. Împărțirea la $\cos x$ ar fi pierdut soluția $\frac{\pi }{2}$.

15. Condițiile: $\sin 2x\ne 0$ și $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$. Formula dă $2x=x-\frac{\pi }{6}+k\pi$, adică $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$. Pentru aceste numere, $2x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ și $x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, deci ambele sinusuri sunt nenule. $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

16. Pe cerc, $\mathrm{ctg}t=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-t\right)$ (oglinda față de prima bisectoare schimbă coordonatele). Ecuația devine $\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, deci $3x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ și $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$. Domeniul cere $\cos x\ne 0$ și $\sin 2x\ne 0$: pentru $k=1$ obții $x=\frac{\pi }{2}$, exclus, și la fel la fiecare trei pași. Rămân $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și numerele aflate la multipli de $\pi$ de ele: $S=\left\{\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

17. $-\cos x=\cos (\pi -x)$, deci $\cos 5x=\cos (\pi -x)$. Plus: $6x=\pi +2k\pi$, $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$; minus: $4x=-\pi +2k\pi$, $x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. În $[0,\pi ]$ prima familie dă $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{6}$, iar a doua $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{3\pi }{4}$: $S=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{6}\right\}$.

18. ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$. Cu ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, ecuația devine $2{\sin }^{2}x-1=\frac{1}{2}$, deci ${\sin }^{2}x=\frac{3}{4}$ și $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Cele patru puncte sunt două perechi diametral opuse: $S=\left\{\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

De reținut

• O ecuație reductibilă se desface, prin transformări echivalente, în ecuații elementare: produs nul, funcții egale, substituție, eliminarea unei funcții cu formula fundamentală.
• $\sin u=\sin v$ dă $u=v+2k\pi$ sau $u=\pi -v+2k\pi$; $\cos u=\cos v$ dă $u=\pm v+2k\pi$; tangentele sau cotangentele egale dau $u=v+k\pi$, apoi elimini valorile din afara domeniului.
• Un sinus și un cosinus se aduc la aceeași funcție cu $\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$; ecuația omogenă $a\sin x+b\cos x=0$ devine o ecuație în tangentă, după ce verifici că $\cos x=0$ nu dă soluții.
• La substituția $t=\sin x$ sau $t=\cos x$ păstrezi doar rădăcinile din $[-1,1]$; la $t=\mathrm{tg}x$ le păstrezi pe toate.
• Formulele unghiului dublu, din suplimentul clasei a IX-a, se folosesc doar în traseul de examen 2027–2029; verificarea pe graficul celor doi membri e valabilă pentru toți.

Greșeli frecvente

• Împarți la o expresie care se poate anula. Din „$\sin x\cos x=\sin x$” se împarte la $\sin x$ și rămâne doar $\cos x=1$. Numerele $k\pi$, pentru care factorul împărțit e zero, dispar din răspuns. Muți totul într-un membru, dai factor comun și tratezi fiecare factor.
• Substitui înainte ca ecuația să aibă o singură funcție. Într-o ecuație ca $3{\cos }^{2}x-\sin x-3=0$, notația „$t=\sin x$” lasă netransformat pătratul cosinusului, iar ecuația în $t$ nu se poate scrie. Mai întâi înlocuiești ${\cos }^{2}x$ cu $1-{\sin }^{2}x$ și abia apoi notezi $t=\sin x$.
• Numeri de două ori aceeași soluție. Pe un interval, două familii pot trece prin același număr: familiile $\frac{k\pi }{2}$ și $k\pi$ au în comun toți multiplii lui $\pi$. Listează soluțiile concrete, ordonate, înainte de a spune câte sunt.
• Scrii $\pi +g$ în loc de $\pi -g$. A doua familie a sinusurilor egale vine din oglinda față de axa $Oy$, care duce $g$ în $\pi -g$. Cu „$\pi +g$” obții punctul diametral opus, care are sinusul opus.
• Greșești semnul la trecerea de la cosinus la sinus. „$\cos t=\sin \left(t-\frac{\pi }{2}\right)$” e fals: membrul drept este $-\cos t$. Relația corectă folosește $\frac{\pi }{2}-t$; o verifici pe $t=0$, unde $\cos 0=1=\sin \frac{\pi }{2}$.

Aplică acasă

1. Metronoamele pe telefon. Pornește pe două telefoane câte o aplicație de metronom la același tempo, de pildă $60$ de bătăi pe minut, a doua cu o jumătate de bătaie mai târziu. Urmărește când sunetele coincid și când alternează. Scrie pozițiile celor două brațe imaginare ca în Exemplul 5 și explică de ce ecuația obținută are o singură familie de soluții.
2. Aceeași ecuație, două drumuri. Alege o ecuație cu un sinus într-un membru și un cosinus în celălalt, de exemplu din exercițiile lecției. Rezolv-o o dată prin trecerea $\cos t=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$ și, dacă urmezi traseul de examen 2027–2029, o dată cu formulele din supliment. Desenează apoi într-o aplicație graficele celor doi membri pe $[0,2\pi ]$ și numără punctele comune.
3. Harta metodelor. Fă un tabel cu patru coloane: produs nul, funcții egale, ecuație omogenă, substituție. Așază în el toate cele optsprezece exerciții ale lecției, după prima transformare pe care o cer, și notează, separat, exemplele care au nevoie de formulele din supliment. Compară tabelul cu al unui coleg și discutați ecuațiile pe care le-ați așezat diferit: de obicei, ele se pot rezolva pe două drumuri.

Pentru părinți și profesori

Cu această lecție se închide unitatea de funcții a clasei a X-a de științe: ecuațiile care se aduc la cele elementare. Pentru traseul de bază, totul se sprijină pe cerc și pe formula fundamentală: sinusuri egale înseamnă ordonate egale, cosinusuri egale înseamnă abscise egale, tangente egale înseamnă aceeași dreaptă prin origine. Formulele de dublu unghi apar doar în exemplele marcate pentru traseul de examen 2027–2029, cu trimitere la suplimentul clasei a IX-a, unde sunt demonstrate. De urmărit în caiet: tipul ecuației, numit înainte de calcul; condiția de existență, scrisă la tangentă și cotangentă; rădăcinile imposibile, respinse explicit; familiile care se cuprind una pe alta, simplificate.

Cele două generații de elevi au aici parcursuri ușor diferite, iar lecția le marchează explicit. Un elev intrat în clasa a IX-a în 2026 nu are formulele de dublu unghi, așa că exemplele care le folosesc sunt pentru el lecturi de informare, nu materie de lucru. Un elev care dă examenul între 2027 și 2029 le are în supliment și le exersează aici, în forma cerută de programa lui de examen.

Întrebări utile la finalul orei: „De ce la sinusuri egale apare $\pi -v$, iar la cosinusuri $-v$?”; „Când ai voie să împarți o ecuație la $\cos x$?”; „Ce faci cu o rădăcină $t=3$ când $t=\cos x$?”; „Cum verifici pe grafic numărul soluțiilor dintr-un interval?”. Semne că elevul a înțeles: alege singur transformarea, nu pierde soluții prin împărțire și își controlează răspunsul înlocuind câte o valoare din fiecare familie.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, unde capitolul de funcții cere „ecuații trigonometrice”, iar competența X.CS.3.3 cere metode diferite pentru aceeași ecuație și verificarea soluțiilor pe grafic. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”; programa lor nu conține formulele de adunare și de dublu unghi. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care enumeră ecuațiile $\sin f(x)=\sin g(x)$, $\cos f(x)=\cos g(x)$, $\mathrm{tg}f(x)=\mathrm{tg}g(x)$, $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)$ și cuprinde formulele de dublu unghi; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ cu $c\ne 0$, tratată la mate-info prin metoda unghiului auxiliar, nu face parte din lecția de bază M2. Varianta-model publicată pentru 2026 nu are o ecuație trigonometrică; exercițiile marcate aici sunt construite pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: ecuațiile trigonometrice reductibile, mate-info (M1). Lecția precedentă a traseului este ecuațiile trigonometrice elementare la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre ecuațiile reductibile?

Varianta M2 argumentează regulile pe cercul trigonometric, prin simetrii, fără transformarea sumelor în produse, pe care traseul de bază nu o are. Nu tratează ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ cu membrul drept nenul și folosește formulele de dublu unghi doar în exemplele marcate pentru examenul din 2027–2029.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea ecuațiile reductibile?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 enumeră ecuațiile cu sinusuri, cosinusuri, tangente sau cotangente egale, deci ele pot fi cerute. Varianta-model publicată pentru 2026 nu are o ecuație trigonometrică, așa că nu arată în ce parte a lucrării ar apărea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Am nevoie de formulele unghiului dublu dacă am intrat în clasa a IX-a în 2026?

Nu. Programa ta nu conține formulele de adunare și de dublu unghi, așa că ecuațiile care le cer nu sunt pentru traseul tău. Rezolvi prin cerc, prin formula fundamentală și prin trecerea de la sinus la cosinus. Formulele sunt necesare elevilor care dau bacalaureatul M2 între 2027 și 2029.

Când am voie să împart o ecuație la cos x?

Numai după ce ai verificat că numerele cu $\cos x=0$ nu sunt soluții. La o ecuație omogenă de gradul întâi verificarea e imediată: acolo sinusul e $\pm 1$, iar membrul stâng nu se anulează. Dacă însă $\cos x$ este factor al ambilor membri, împărțirea pierde soluții, iar metoda corectă este factorul comun.

Cum aleg metoda potrivită pentru o ecuație dată?

Privește ce funcții apar și cum. Un produs egal cu zero se desface în factori. Aceeași funcție în ambii membri, cu argumente diferite, cere regula funcțiilor egale. O singură funcție la puteri diferite cere substituția. Un sinus și un cosinus la aceeași putere, fără termen liber, dau o ecuație omogenă.

De ce lipsește din lecție cazul cu termen liber nenul?

Ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ cu $c\ne 0$ se rezolvă, în general, cu formula sinusului unei sume, pe care programa de bază a științelor nu o are, și o metodă specială, studiată la mate-info. În lecție întâlnești doar cazul $c=0$, ecuația omogenă, care se reduce la o tangentă. Pentru examenul M2 din 2027–2029, programa de examen enumeră formele de la începutul lecției.