Poate o egalitate cu i să nu aibă soluții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · O egalitate complexă, două ecuații reale

Da. Egalitatea a două numere complexe dă două ecuații reale, iar o valoare trebuie să le verifice pe amândouă. Exemplu: $(m^{2} - 1) + (m + 2) i = 3 - i$ , cu $m$ real. Coeficienții lui $i$ cer $m + 2 = - 1$ , adică $m = - 3$ . Partea reală ar deveni atunci $9 - 1 = 8$ , nu $3$ . Singura valoare posibilă strică a doua ecuație, deci egalitatea nu are soluții. Valorile $m = \pm 2$ , care verifică doar partea reală, nu ajung.

Pentru numere reale $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , scrierile $a + bi$ și $c + d i$ reprezintă același număr numai dacă $a = c$ și $b = d$ . Regula funcționează pentru că $i$ nu este real: o diferență între termenii liberi nu poate fi compensată de o diferență între coeficienții lui $i$ .

De aici vine metoda de lucru. Aduci ambii membri la forma $a + bi$ , folosind $i^{2} = - 1$ și $- k = i k$ , apoi scrii două ecuații: una cu termenii fără $i$ , cealaltă cu coeficienții lui $i$ . Un număr complex e zero numai când ambele lui părți sunt zero. Sistemul obținut se rezolvă cu metodele din clasa a IX-a, prin substituție sau reducere; pe grafic, cele două ecuații liniare sunt două drepte, iar soluția stă în punctul lor de intersecție.

Sistemul poate avea o soluție, mai multe, niciuna sau o infinitate. Când una dintre ecuații conține un pătrat, ca $y = x^{2}$ , soluțiile sunt punctele comune ale unei parabole cu o dreaptă, iar fiecare valoare a lui $x$ are propriul $y$ . O valoare a parametrului se acceptă numai dacă satisface simultan ambele ecuații, nu doar una. Într-o foaie de calcul, un număr complex se construiește tot din două valori separate, tocmai pentru că e determinat de două numere reale.

De reținut

$a + bi = c + d i$ cu $a, b, c, d$ reale înseamnă $a = c$ și $b = d$
o valoare a parametrului se acceptă doar dacă verifică ambele ecuații
numărul de soluții se vede pe grafic: drepte sau parabole care se taie, coincid ori nu se întâlnesc

Greșeala tipică

Se rezolvă doar ecuația părților reale și se dau ca răspuns $m = \pm 2$ ; fără verificarea coeficienților lui $i$ , răspunsul este greșit.

Exerciții din această mini-lecție

Din $(x - 4) + (y + 1) i = 6 - 2 i$ , cu $x$ și $y$ reale, rezultă:
- a) $x = 10$ , $y = - 3$
- b) $x = 2$ , $y = - 1$
- c) $x = 10$ , $y = 3$
- d) $x = - 2$ , $y = - 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 10$ , $y = - 3$

Termenii fără $i$ : $x - 4 = 6$ , deci $x = 10$ ; coeficienții lui $i$ : $y + 1 = - 2$ , deci $y = - 3$ .
Egalitatea $(2 x + y) + (y - x) i = 12$ , cu $x$ și $y$ reale, are soluția:
- a) $x = 6$ , $y = 0$
- b) $x = 4$ , $y = 4$
- c) $x = 3$ , $y = 6$
- d) egalitatea nu are soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 4$ , $y = 4$

Numărul $12$ are partea imaginară $0$ : $y - x = 0$ și $2 x + y = 12$ , deci $3 x = 12$ , $x = 4$ și $y = 4$ .
Pentru ce număr real $m$ are loc $(m^{2} - m) + (2 m + 1) i = 12 + 9 i$ ?
- a) $m = - 3$
- b) $m \in {- 3, 4}$
- c) $m = 4$
- d) pentru nicio valoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m = 4$

Din $2 m + 1 = 9$ rezultă $m = 4$ , iar atunci $m^{2} - m = 16 - 4 = 12$ , deci și partea reală se potrivește. Valoarea $- 3$ verifică doar ecuația părților reale: pentru ea, partea imaginară ar fi $- 5$ .

Întrebări conexe

Ce soluții dă egalitatea $(y - x^{2}) + (y - x - 2) i = 0$ ?

Ambele părți trebuie să fie zero: $y = x^{2}$ și $y = x + 2$ . Egalând, $x^{2} - x - 2 = 0$ , cu $x = 2$ sau $x = - 1$ . Obții perechile $(2, 4)$ și $(- 1, 1)$ . Pe grafic, ele sunt punctele comune ale parabolei $y = x^{2}$ cu dreapta $y = x + 2$ .

Poate o egalitate de numere complexe să aibă o infinitate de soluții?

Da, dacă cele două ecuații spun același lucru. Din $(x + y) + (2 x + 2 y) i = 3 + 6 i$ rezultă $x + y = 3$ și $2 x + 2 y = 6$ , care este aceeași ecuație înmulțită cu $2$ . Orice pereche cu $x + y = 3$ convine, de exemplu $(0, 3)$ sau $(1, 5; 1, 5)$ .

Cât este $x y$ dacă $(3 x - 1) + (x + 2 y) i = 5 + 6 i$ ?

Identifici părțile: $3 x - 1 = 5$ dă $x = 2$ , iar $x + 2 y = 6$ dă $2 + 2 y = 6$ , deci $y = 2$ . Produsul este $x y = 4$ . Verificarea în ambele ecuații confirmă perechea. Un exercițiu de tip bacalaureat M2 cere adesea o combinație a necunoscutelor, nu doar valorile lor.

Ce număr complex $z$ verifică egalitatea $2 z + 3 i = 4 + z$ ?

Scrii $z = a + bi$ cu $a$ și $b$ reale. Membrul stâng este $2 a + (2 b + 3) i$ , cel drept $(4 + a) + bi$ . Identificând, $2 a = 4 + a$ dă $a = 4$ , iar $2 b + 3 = b$ dă $b = - 3$ . Deci $z = 4 - 3 i$ ; verificare: $8 - 6 i + 3 i = 8 - 3 i = 4 + (4 - 3 i)$ .

Pentru ce $m$ real are loc $(m^{2} + m) + (m^{2} - 1) i = 2$ ?

Numărul $2$ are partea imaginară $0$ , deci $m^{2} - 1 = 0$ , adică $m = 1$ sau $m = - 1$ . Verifici partea reală: pentru $m = 1$ ea este $1 + 1 = 2$ , corect; pentru $m = - 1$ este $1 - 1 = 0$ , nu $2$ . Rămâne doar $m = 1$ , iar a doua valoare se respinge.

Oamenii mai întreabă și: egalitate de numere complexe fără soluții · când nu există m într-o egalitate cu numere complexe · egalitatea numerelor complexe cu parametru · sistem fără soluții din egalitatea cu i

Poate o egalitate cu i să nu aibă soluții?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce soluții dă egalitatea (y−x2)+(y−x−2)i=0?

Poate o egalitate de numere complexe să aibă o infinitate de soluții?

Cât este xy dacă (3x−1)+(x+2y)i=5+6i?

Ce număr complex z verifică egalitatea 2z+3i=4+z?

Pentru ce m real are loc (m2+m)+(m2−1)i=2?

Continuă cu

Ce soluții dă egalitatea $(y - x^{2}) + (y - x - 2) i = 0$ ?

Cât este $x y$ dacă $(3 x - 1) + (x + 2 y) i = 5 + 6 i$ ?

Ce număr complex $z$ verifică egalitatea $2 z + 3 i = 4 + z$ ?

Pentru ce $m$ real are loc $(m^{2} + m) + (m^{2} - 1) i = 2$ ?