Egalitatea a două numere complexe (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un elev prelucrează într-o foaie de calcul rezultatele unei simulări de laborator, iar programul păstrează fiecare număr complex în două coloane: una pentru partea reală, cealaltă pentru partea imaginară. Ca să decidă dacă două rânduri conțin același număr, programul compară separat cele două coloane; o singură coloană potrivită nu ajunge, oricât de apropiate ar fi valorile. Aceasta este, pe scurt, ideea lecției: două numere complexe sunt egale numai când se potrivesc atât părțile reale, cât și părțile imaginare. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), regula aceasta transformă o singură egalitate între numere complexe în două ecuații cu numere reale. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține numerele complexe sub formă algebrică și operațiile cu ele; egalitatea nu apare ca titlu separat, ci ca unealtă folosită în aceste calcule.

Scrierea $a + bi$ și cele două părți ale ei le-ai învățat în lecția despre forma algebrică a unui număr complex la M2, unde sunt și condițiile pentru ca un număr să fie real sau pur imaginar. Sistemele de două ecuații de gradul întâi le-ai rezolvat în clasa a IX-a, la sistemele de ecuații și inecuații de gradul I la M2.

Ce vei învăța

Vei ști să decizi dacă două numere complexe date sunt egale, comparându-le părțile.
Vei ști să obții, dintr-o singură egalitate cu numere complexe, două ecuații în care apar numai numere reale.
Vei ști să scrii condiția ca un număr complex să fie egal cu zero.
Vei ști să rezolvi sisteme obținute astfel, liniare sau cu o ecuație de gradul al doilea, și să le verifici pe grafic.
Vei ști să recunoști egalitățile care nu au nicio soluție și pe cele cu o infinitate de soluții.
Vei ști să folosești egalitatea într-o foaie de calcul care lucrează cu numere complexe.

Hai să descoperim împreună

1. Două potriviri, nu una

Criteriul de egalitate este regula următoare: dacă $a$ , $b$ , $c$ și $d$ sunt numere reale, atunci $a + bi = c + d i$ dacă și numai dacă $a = c$ și $b = d$ . Spus în cuvinte, egalitatea cere să coincidă atât părțile reale, cât și coeficienții lui $i$ .

Motivul ține de faptul că $i$ nu este număr real. O diferență între părțile reale este un număr real, iar o diferență între părțile imaginare, înmulțită cu $i$ , ar trebui să o echilibreze; cum niciun număr real nenul nu se poate scrie ca multiplu real de $i$ , cele două diferențe trebuie să fie amândouă zero. Criteriul cere ca toate cele patru numere să fie reale; în enunțuri apare de aceea mereu precizarea că necunoscutele sunt numere reale.

Criteriul are două direcții, și amândouă sunt folosite. Într-o direcție, verifici dacă două numere date sunt egale: le aduci la forma algebrică și compari părțile. De pildă, $7 + - 1$ și $8 + i + i^{2}$ sunt egale, pentru că ambele devin $7 + i$ . În cealaltă direcție, știi că două numere sunt egale și afli din asta valori necunoscute; aceasta este direcția care produce ecuații.

2. O egalitate, două ecuații

Criteriul se folosește ca metodă de rezolvare. Pentru o egalitate în care apar necunoscute reale, parcurgi trei pași: aduci fiecare membru la forma algebrică, pui semnul egal între cele două părți reale și, separat, între cei doi coeficienți ai lui $i$ , apoi rezolvi sistemul obținut. Procedeul se numește identificarea părților.

Să vedem drumul pe egalitatea $(5 x - 2) + (3 - 2 y) i = 13 + 9 i$ , cu $x$ și $y$ reale. Membrul stâng este deja în formă algebrică: partea reală este $5 x - 2$ , partea imaginară $3 - 2 y$ . Identificăm: $5 x - 2 = 13$ și $3 - 2 y = 9$ . Prima ecuație dă $x = 3$ , a doua dă $y = - 3$ . Verificare: $5 \cdot 3 - 2 = 13$ și $3 - 2 \cdot (- 3) = 9$ . Egalitatea s-a desfăcut în două ecuații independente, fiecare cu câte o necunoscută.

La redactare, programa cere ca partea reală și partea imaginară să fie puse clar în evidență. O formă bună este: „Membrul stâng are partea reală … și partea imaginară …; membrul drept are partea reală … și partea imaginară …. Din criteriul de egalitate rezultă sistemul …”. Scrisă așa, rezolvarea poate fi urmărită de oricine, iar o greșeală de citire a părților se vede de la primul rând, înainte să se propage în calcule.

3. Ce condiții cere egalitatea cu zero?

Numărul $0$ are forma algebrică $0 + 0 i$ . Aplicând criteriul, pentru $a$ și $b$ reale

$a + bi = 0 ⟺ a = 0 ș i b = 0.$

Așadar zero se obține doar dacă se anulează fiecare dintre cele două părți. O parte reală negativă nu poate anula o parte imaginară pozitivă, pentru că ele nu se adună între ele. Cerințele de forma „determinați $x$ și $y$ pentru care numărul … este egal cu $0$ ” duc, așadar, la două ecuații, câte una pentru fiecare parte.

Cazul acesta se leagă de clasificarea din lecția precedentă: un număr real are partea imaginară nulă, un număr pur imaginar are partea reală nulă, iar numărul zero le are nule pe amândouă. Condiția „ $z = 0$ ” este, deci, cea mai strictă dintre cele trei: cere două egalități, nu una. Pentru numărul $(2 t + 14) + (t^{2} + 5 t - 14) i$ , de exemplu, partea reală se anulează doar pentru $t = - 7$ , iar pentru această valoare și partea imaginară este $49 - 35 - 14 = 0$ , deci numărul este nul exact când $t = - 7$ .

4. Necunoscute în ambii membri

Uneori necunoscutele apar și în stânga, și în dreapta. Criteriul se aplică la fel, doar că ecuațiile obținute au necunoscute în ambii membri. De exemplu, din $(2 x + 5) + (y + 1) i = (x - 4) + (7 - y) i$ rezultă $2 x + 5 = x - 4$ și $y + 1 = 7 - y$ , deci $x = - 9$ și $y = 3$ . Verificarea se face în egalitatea inițială: pentru aceste valori ambii membri devin $- 13 + 4 i$ .

Important este să nu amesteci părțile: partea reală din stânga se egalează cu partea reală din dreapta, partea imaginară cu partea imaginară. O schemă simplă ajută la început: subliniezi cu o culoare termenii fără $i$ din ambii membri și cu altă culoare coeficienții lui $i$ .

5. Sistemele liniare și verificarea pe grafic

Când fiecare parte depinde de ambele necunoscute, identificarea dă un sistem de două ecuații de gradul întâi. Îl rezolvi prin substituție sau prin reducere, ca în clasa a IX-a. Fiecare ecuație a sistemului reprezintă o dreaptă în reperul $x O y$ , iar soluția sistemului este punctul lor comun. Figura A arată cele două drepte din Exemplul 3 și punctul în care se taie.

Verificarea pe grafic este o confirmare, nu o rezolvare: coordonatele exacte vin din calcul. Desenul îți arată însă repede dacă ai greșit un semn, pentru că punctul găsit trebuie să se afle pe ambele drepte.

Desenul explică și cazurile neobișnuite. Dacă cele două drepte sunt paralele și distincte, ele nu au niciun punct comun, iar egalitatea nu are nicio soluție. Așa se întâmplă, de exemplu, la $(x + y) + (2 x + 2 y) i = 3 + 5 i$ : identificarea dă $x + y = 3$ și $x + y = \frac{5}{2}$ , două condiții care nu pot fi îndeplinite în același timp. Dacă dreptele coincid, orice punct al lor este soluție. O egalitate de numere complexe nu are deci neapărat o singură soluție; răspunsul îl decide sistemul.

6. Ce se schimbă când o parte conține un pătrat?

Identificarea funcționează la fel și când partea reală sau cea imaginară conține pătratul unei necunoscute; se schimbă doar sistemul pe care îl obții, care nu mai este liniar. Pentru rezolvarea lui folosești ce știi deja: dacă o ecuație este de gradul întâi, scoți din ea o necunoscută și o înlocuiești în cealaltă, iar la sistemele cu o ecuație de gradul al doilea metoda este cea din lecția despre sistemele cu ecuații de gradul al doilea la M2. Noutatea lecției de față este doar primul pas: din egalitatea complexă apar cele două ecuații. Figura B arată cele două curbe din Exemplul 4, ca verificare a perechilor găsite.

Un sistem neliniar poate avea mai multe soluții, iar egalitatea complexă de la care ai pornit are atunci tot atâtea. Răspunsul se scrie ca listă de perechi $(x, y)$ , fiecare verificată în ambele părți ale egalității inițiale, nu doar în sistemul intermediar.

7. Egalitatea într-o foaie de calcul

Programa de științe recomandă folosirea instrumentelor digitale în studiul numerelor complexe. Foile de calcul au o funcție, numită COMPLEX în versiunile în limba engleză ale programelor, care construiește un număr complex din două valori: prima devine partea reală, a doua partea imaginară. Dacă cele două valori sunt calculate din alte celule, de exemplu printr-o formulă de gradul întâi, atunci a obține un număr complex dorit înseamnă a rezolva o egalitate între două numere complexe: numărul construit de formulă și numărul-țintă. Criteriul o desface în două ecuații separate, câte una pentru fiecare valoare, iar fiecare ecuație are o singură necunoscută. Faptul că funcția cere două argumente nu este o alegere întâmplătoare: un număr complex este determinat de două numere reale, deci nu poate fi fixat dintr-o singură celulă. Tot așa, două celule afișează același număr complex numai dacă funcțiile care extrag partea reală și partea imaginară dau aceleași rezultate pentru amândouă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două ecuații cu câte o necunoscută

Aflați numerele reale $x$ și $y$ care verifică egalitatea $(\frac{x}{2} + 3) + (5 - y) i = 7 - 2 i$ .

Rezolvare. Membrul drept are partea reală $7$ și partea imaginară $- 2$ . Identificăm: $\frac{x}{2} + 3 = 7$ , deci $\frac{x}{2} = 4$ și $x = 8$ ; $5 - y = - 2$ , deci $y = 7$ . Verificare: $\frac{8}{2} + 3 = 7$ și $5 - 7 = - 2$ . Cele două necunoscute nu se influențează: fiecare apare într-o singură parte, deci fiecare ecuație se rezolvă separat.

Exemplul 2 — Necunoscutele în ambii membri

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(3 x - 1) + (y + 9) i = (x + 6) + 4 y i$ .

Rezolvare. Părțile reale: $3 x - 1 = x + 6$ , deci $2 x = 7$ și $x = \frac{7}{2}$ . Părțile imaginare: $y + 9 = 4 y$ , deci $3 y = 9$ și $y = 3$ . Verificare: pentru $x = \frac{7}{2}$ , ambele părți reale sunt $\frac{19}{2}$ ; pentru $y = 3$ , ambele părți imaginare sunt $12$ . Soluția nu trebuie să fie un număr întreg: criteriul cere numere reale, iar $\frac{7}{2}$ este unul. Scrie-l ca fracție, nu rotunjit, ca verificarea să iasă exactă.

Exemplul 3 — Un sistem liniar, verificat pe grafic

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x + 3 y) + (2 x - y) i = - 1 + 12 i$ și confirmați soluția cu figura A.

Rezolvare. Identificarea dă sistemul

${x + 3 y = - 1 2 x - y = 12$

Din a doua ecuație, $y = 2 x - 12$ . Înlocuim în prima: $x + 3 (2 x - 12) = - 1$ , adică $7 x - 36 = - 1$ , deci $x = 5$ și $y = 2 \cdot 5 - 12 = - 2$ . Verificare: $5 + 3 \cdot (- 2) = - 1$ și $2 \cdot 5 - (- 2) = 12$ . În figura A, dreptele $x + 3 y = - 1$ și $2 x - y = 12$ se taie în punctul $(5, - 2)$ , cum a arătat calculul. Același rezultat se obține prin reducere: înmulțind a doua ecuație cu $3$ și adunând-o la prima, dispare $y$ și rămâne $7 x = 35$ .

Exemplul 4 — O parabolă și o dreaptă

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x^{2} - y) + (x - y + 20) i = 0$ .

Rezolvare. Ambele părți trebuie să fie zero: $x^{2} - y = 0$ și $x - y + 20 = 0$ , adică $y = x^{2}$ și $y = x + 20$ . Egalăm: $x^{2} = x + 20$ , deci $x^{2} - x - 20 = 0$ , adică $(x - 5) (x + 4) = 0$ . Pentru $x = 5$ obținem $y = 25$ , iar pentru $x = - 4$ obținem $y = 16$ . Soluțiile sunt perechile $(5, 25)$ și $(- 4, 16)$ . Verificare pentru a doua: $(- 4)^{2} - 16 = 0$ și $- 4 - 16 + 20 = 0$ . În figura B, acestea sunt cele două puncte în care dreapta taie parabola. Observă că $x$ ia două valori, iar pentru fiecare $y$ se calculează separat; nu se pot combina valorile între ele la întâmplare.

Exemplul 5 — Întâi forma algebrică

Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x + 3 i^{2}) + (y - 1) i = 4 + - 25$ .

Rezolvare. Simplificăm fiecare membru, cu uneltele din lecția despre forma algebrică, secțiunea 5. În stânga, $3 i^{2} = - 3$ , deci membrul stâng este $(x - 3) + (y - 1) i$ . În dreapta, $- 25 = 5 i$ , deci membrul drept este $4 + 5 i$ . Identificăm: $x - 3 = 4$ , deci $x = 7$ ; $y - 1 = 5$ , deci $y = 6$ . Dacă nu am fi simplificat $3 i^{2}$ , am fi pus termenul acela, din greșeală, în partea imaginară. Verificare: pentru $x = 7$ și $y = 6$ , membrul stâng devine $(7 - 3) + (6 - 1) i = 4 + 5 i$ , exact membrul drept simplificat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie numerele complexe $z_{1} = (a + 1) + 3 i$ și $z_{2} = 5 + (b - 2) i$ , cu $a$ și $b$ numere reale. a) Aflați $a$ și $b$ pentru care $z_{1} = z_{2}$ . b) Arătați că $z_{1}$ nu este număr real pentru nicio valoare a lui $a$ și determinați $b$ pentru care $z_{2}$ este număr real.

Rezolvare. a) Identificăm părțile: $a + 1 = 5$ , deci $a = 4$ ; $3 = b - 2$ , deci $b = 5$ . Pentru aceste valori, $z_{1} = z_{2} = 5 + 3 i$ .

b) Partea imaginară a lui $z_{1}$ este $3$ , care nu depinde de $a$ și nu este zero, deci $z_{1}$ nu este real pentru nicio valoare a lui $a$ . Parametrul $a$ apare numai în partea reală, așa că nu poate schimba tipul numărului. $z_{2}$ este real când partea lui imaginară este zero: $b - 2 = 0$ , deci $b = 2$ , iar atunci $z_{2} = 5$ . Exemplul este construit pentru exersare, nu preluat dintr-o sesiune de examen.

Să exersăm

Precizează de fiecare dată partea reală și partea imaginară ale ambilor membri înainte de a scrie ecuațiile. Toate necunoscutele și toți parametrii sunt numere reale.

1. Determină $x$ și $y$ pentru care $3 x - y i = 12 + 5 i$ .

2. Determină $x$ și $y$ pentru care $(x - 7) + (2 y + 3) i = - 1 + 11 i$ .

3. Determină $x$ și $y$ pentru care $(4 x + 2) + (y - 5) i = (x - 7) + (3 - y) i$ .

4. Determină $x$ și $y$ pentru care $(2 x + y) + (x + 2 y) i = 10 + 11 i$ .

5. Determină $x$ și $y$ pentru care $(x - 2 y - 1) + (x + y - 7) i = 0$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $a$ și $b$ sunt numere reale și $(a - 3) + (b + 2) i = 0$ , atunci $a = 3$ și $b = 2$ .

7. Determină toate perechile $(x, y)$ pentru care $(x^{2} - 2 x) + (y^{2} - 1) i = 0$ .

8. Determină $x$ și $y$ pentru care $x i^{2} + y - 4 = 6 - 10 i$ .

9. Determină $x$ și $y$ pentru care $(x^{2} + y) + (x - 1) i = 7 + 2 i$ .

10. (Problemă aplicată.) Într-o foaie de calcul, celula C1 construiește un număr complex cu partea reală $0, 5 a - 2$ și partea imaginară $3 b + 1$ , unde $a$ și $b$ sunt valorile scrise în celulele A1 și B1. a) Ce valori trebuie scrise în A1 și B1 ca celula C1 să conțină numărul $8 - 3, 5 i$ ? b) Ce valori dau în C1 numărul real $1$ ?

11. Un elev rezolvă egalitatea $(x + 2) + (y - 1) i = 6 + 7 i$ și scrie: „ $x + 2 = 6$ și $y - 1 = 7$ , deci $x = 4$ și $y = 7 - 1 = 6$ ”. Găsește greșeala și scrie rezolvarea corectă.

12. Arată că nu există niciun număr real $m$ pentru care $(m + 1) + (m - 1) i = 4 + 4 i$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Aflați valoarea reală a lui $a$ pentru care numărul $(a^{2} - 2 a - 15) + (a + 3) i$ este egal cu $0$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că numerele $z_{1} = - 49 + 5 i^{2}$ și $z_{2} = \frac{- 15 + 21 i}{3}$ sunt egale.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Aflați numărul real $x$ care verifică egalitatea $x^{2} + (x + 4) i = 16 + 8 i$ .

16. Pentru ce numere reale $x$ și $y$ numărul $(x - y) + (x + y - 6) i$ este real și are partea reală egală cu $2$ ?

17. Determină toate perechile de numere reale $(x, y)$ pentru care $x + y i = y + x i$ .

18. (Provocare.) Arată că nu există numere reale $x$ și $y$ pentru care $(x^{2} + y^{2} + 1) + (x - y) i = 0$ .

Răspunsuri și explicații

1. Membrul stâng are partea reală $3 x$ și partea imaginară $- y$ . Din $3 x = 12$ și $- y = 5$ rezultă $x = 4$ și $y = - 5$ .

2. $x - 7 = - 1$ , deci $x = 6$ ; $2 y + 3 = 11$ , deci $y = 4$ .

3. $4 x + 2 = x - 7$ dă $3 x = - 9$ , deci $x = - 3$ ; $y - 5 = 3 - y$ dă $2 y = 8$ , deci $y = 4$ .

4. Sistemul $2 x + y = 10$ , $x + 2 y = 11$ . Adunând ecuațiile, $3 x + 3 y = 21$ , deci $x + y = 7$ ; scăzându-le, $x - y = - 1$ . Rezultă $x = 3$ și $y = 4$ . Verificare: $6 + 4 = 10$ și $3 + 8 = 11$ . Metoda folosește simetria sistemului: coeficienții lui $x$ și $y$ își schimbă locurile de la o ecuație la alta.

5. Ambele părți nule: $x - 2 y = 1$ și $x + y = 7$ . Scăzând prima ecuație din a doua, $3 y = 6$ , deci $y = 2$ și $x = 5$ .

6. Fals. Ambele părți trebuie să fie nule: $a - 3 = 0$ dă $a = 3$ , dar $b + 2 = 0$ dă $b = - 2$ , nu $2$ . Afirmația are dreptate doar pe jumătate, iar o afirmație cu o parte falsă este falsă.

7. $x^{2} - 2 x = 0$ dă $x (x - 2) = 0$ , deci $x = 0$ sau $x = 2$ . $y^{2} - 1 = 0$ dă $y = 1$ sau $y = - 1$ . Cele două ecuații sunt independente, deci se combină orice valoare a lui $x$ cu orice valoare a lui $y$ : perechile $(0, 1)$ , $(0, - 1)$ , $(2, 1)$ și $(2, - 1)$ .

8. $x i^{2} = - x$ și $y - 4 = 2 y i$ , deci membrul stâng este $- x + 2 y i$ . Identificăm: $- x = 6$ , deci $x = - 6$ , și $2 y = - 10$ , deci $y = - 5$ .

9. Din partea imaginară, $x - 1 = 2$ , deci $x = 3$ . Din partea reală, $9 + y = 7$ , deci $y = - 2$ . Ordinea contează: ecuația cu o singură necunoscută se rezolvă prima, iar valoarea găsită se înlocuiește în cealaltă.

10. a) Egalitatea $(0, 5 a - 2) + (3 b + 1) i = 8 - 3, 5 i$ dă $0, 5 a - 2 = 8$ , deci $a = 20$ , și $3 b + 1 = - 3, 5$ , deci $b = - 1, 5$ . b) Numărul real $1$ are forma $1 + 0 i$ : $0, 5 a - 2 = 1$ dă $a = 6$ , iar $3 b + 1 = 0$ dă $b = - \frac{1}{3}$ . Partea imaginară trebuie anulată și ea, altfel celula ar conține un număr nereal.

11. Identificarea este corectă, iar $x = 4$ la fel. Greșeala e la a doua ecuație: termenul $- 1$ trece în membrul drept cu semn schimbat, deci $y = 7 + 1 = 8$ , nu $6$ . Verificare: $(4 + 2) + (8 - 1) i = 6 + 7 i$ , pe când valoarea elevului ar da partea imaginară $5$ .

12. Identificarea dă $m + 1 = 4$ și $m - 1 = 4$ , adică $m = 3$ și $m = 5$ în același timp, imposibil. Nicio valoare nu verifică ambele ecuații. Se vede și fără calcul: partea reală a numărului din stânga este mereu cu $2$ mai mare decât partea imaginară, pe când la $4 + 4 i$ părțile sunt egale.

13. Ambele părți nule: $a^{2} - 2 a - 15 = 0$ , adică $(a - 5) (a + 3) = 0$ , dă $a = 5$ sau $a = - 3$ , iar $a + 3 = 0$ dă $a = - 3$ . Valoarea comună este $a = - 3$ .

14. $- 49 = 7 i$ și $5 i^{2} = - 5$ , deci $z_{1} = - 5 + 7 i$ ; împărțind ambele părți la $3$ , $z_{2} = - 5 + 7 i$ . Părțile reale coincid, amândouă fiind $- 5$ , la fel și coeficienții lui $i$ , amândoi $7$ , deci numerele sunt egale.

15. Din partea imaginară, $x + 4 = 8$ , deci $x = 4$ . Verificăm partea reală: $4^{2} = 16$ , deci valoarea convine. Valoarea $- 4$ , care verifică doar $x^{2} = 16$ , nu convine, pentru că partea imaginară ar fi $0 \neq = 8$ .

16. Numărul trebuie să fie egal cu $2 + 0 i$ : $x - y = 2$ și $x + y - 6 = 0$ . Adunând, $2 x = 8$ , deci $x = 4$ și $y = 2$ . Verificare: $(4 - 2) + (4 + 2 - 6) i = 2$ , un număr real egal cu $2$ .

17. Identificarea dă $x = y$ și $y = x$ , adică o singură condiție: $x = y$ . Toate perechile de forma $(t, t)$ , cu $t$ real, sunt soluții, deci există o infinitate de soluții.

18. Numărul ar trebui să aibă ambele părți nule. Partea reală, $x^{2} + y^{2} + 1$ , este cel puțin $1$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deoarece pătratele nu sunt negative, deci nu se poate anula. Așadar nu există asemenea numere reale, oricare ar fi partea imaginară; a doua ecuație, $x - y = 0$ , nu mai are importanță.

De reținut

Pentru $a, b, c, d$ reale: $a + bi = c + d i$ dacă și numai dacă $a = c$ și $b = d$ .
Din egalitatea a două numere complexe cu necunoscute reale obții două ecuații reale: una pentru părțile reale, una pentru coeficienții lui $i$ .
$a + bi = 0$ , cu $a$ și $b$ reale, dacă și numai dacă $a = 0$ și $b = 0$ .
Nu orice egalitate are o soluție unică: sistemul obținut poate avea mai multe perechi-soluție, niciuna sau o infinitate; graficul arată cazul, calculul dă valorile exacte.
Orice soluție găsită se verifică în ambele ecuații, iar la sistemele cu mai multe soluții răspunsul se scrie ca listă de perechi.

Greșeli frecvente

Egalezi părțile „în cruce”. Partea reală din stânga se egalează cu partea reală din dreapta, nu cu partea imaginară; subliniază termenii fără $i$ într-o culoare și coeficienții lui $i$ în alta.
Aduni cele două părți într-o singură ecuație. Din $(x + 1) + (y - 2) i = 3 + 4 i$ nu rezultă $x + 1 + y - 2 = 7$ ; egalitatea dă două ecuații separate, nu una.
Lași $i$ în ecuație. Din $(y - 1) i = 5 i$ , ecuația reală este $y - 1 = 5$ , nu $y - 1 = 5 i$ : identifici coeficienții lui $i$ , fără $i$ .
Amesteci perechile. La un sistem cu două soluții, fiecare $x$ are propriul $y$ ; în Exemplul 4, perechea $(5, 16)$ nu este soluție, pentru că $5^{2} \neq = 16$ .
Folosești doar una dintre condiții. Când un singur parametru trebuie să verifice două ecuații, o valoare care o satisface numai pe una nu este soluție; verifică mereu amândouă.

Aplică acasă

Într-o aplicație de grafice, desenează dreptele din exercițiul 4 și din exercițiul 5 și citește punctele în care se taie. Compară coordonatele citite cu soluțiile obținute prin calcul și notează la care dintre cele două sisteme citirea pe desen este mai sigură.
Construiește într-o foaie de calcul un comparator de numere complexe: scrie părțile a două numere în patru celule, construiește numerele cu funcția COMPLEX și scrie o formulă care afișează „egale” numai dacă funcțiile de extragere a părții reale și a părții imaginare dau aceleași rezultate pentru amândouă. Încearcă-l pe trei perechi alese de tine, printre care una în care coincid doar părțile reale, și notează ce afișează.
Pregătește un joc de memorie cu doisprezece cartonașe: pe fiecare pereche de cartonașe scrie același număr complex în două forme diferite, de exemplu $3 + - 4$ și $5 + 2 i + 2 i^{2}$ . Amestecă-le și joacă-te cu un coleg: o pereche se câștigă doar dacă jucătorul arată, prin forma algebrică, că numerele sunt egale.

Pentru părinți și profesori

Lecția face din criteriul de egalitate o metodă de lucru: o egalitate între numere complexe devine un sistem de două ecuații reale. Nu se folosesc încă operații între numere complexe; membrii se aduc la forma algebrică doar cu $i^{2} = - 1$ și cu radicalii din numere negative, ca în lecția precedentă. Sistemele obținute sunt cele din clasa a IX-a: de gradul întâi, rezolvate prin substituție sau reducere, și sisteme simple cu o ecuație de gradul al doilea, rezolvate prin descompunere în factori.

Dificultatea principală nu este criteriul, pe care elevii îl acceptă ușor, ci citirea corectă a părților atunci când membrii nu sunt scriși ordonat: termeni cu $i$ în față, $i^{2}$ ascuns într-un produs, radicali din numere negative. Merită cerut ca, înainte de orice ecuație, elevul să scrie explicit pe un rând partea reală și partea imaginară ale fiecărui membru. Al doilea punct sensibil sunt cerințele cu parametru care trebuie să verifice două condiții în același timp; o valoare găsită dintr-o singură ecuație trebuie verificată în cealaltă înainte de a fi scrisă în răspuns.

Legătura cu graficele este intenționată: fiecare ecuație a sistemului este o dreaptă sau o parabolă, iar soluțiile sunt punctele comune. Planul acesta este reperul $x O y$ al necunoscutelor, nu planul complex, care are lecție proprie mai târziu. Întrebări bune de control: „Câte ecuații obții dintr-o egalitate de numere complexe?”; „Ce faci cu $3 i^{2}$ dintr-un membru înainte de identificare?”; „De ce $(5, 16)$ nu este soluție în Exemplul 4?”; „Ce înseamnă că o egalitate cu parametru nu are soluții?”.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul X.4 conține numerele complexe sub forma algebrică și operațiile cu ele, iar sugestiile metodologice recomandă explicit fixarea aplicării condiției de egalitate a două numere complexe. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care numește la clasa a X-a „Numere complexe sub formă algebrică” și operațiile cu numere complexe; egalitatea nu apare ca titlu separat, dar orice cerință care cere aflarea unor numere reale dintr-o egalitate se rezolvă prin identificarea părților, de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model pentru 2026, prima cerință a lucrării se încheie cu o egalitate între un număr complex și un număr real, verificată prin calcul. Programa recomandă instrumentele digitale; exercițiul 10 și a doua activitate din „Aplică acasă” folosesc o foaie de calcul.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: egalitatea numerelor complexe, varianta mate-info (M1). Lecția precedentă a traseului este forma algebrică a unui număr complex la M2, iar cea următoare, adunarea și scăderea numerelor complexe la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre numere complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre egalitatea numerelor complexe?

Varianta de mate-info demonstrează criteriul de egalitate și discută ce se întâmplă când necunoscutele nu sunt reale. Varianta M2 folosește criteriul direct, cum cere programa de științe, și pune accentul pe sistemele obținute, verificate pe grafic cu drepte sau cu o parabolă, și pe o foaie de calcul care lucrează cu numere complexe.

Cum poate apărea egalitatea numerelor complexe la bacalaureatul M2?

Programa pentru 2027–2029 conține numerele complexe sub formă algebrică și operațiile cu ele; egalitatea este unealta cu care se află numere reale din asemenea calcule. În varianta-model pentru 2026, prima cerință se încheie cu o egalitate între un număr complex și un număr real. Pentru MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Algebră”.

Ce legătură are lecția cu sistemele din clasa a IX-a?

Identificarea părților produce un sistem de două ecuații reale, iar sistemul se rezolvă exact cu metodele din clasa a IX-a: substituție, reducere sau lectură grafică. Partea nouă este doar primul pas, traducerea egalității complexe în două ecuații. Cine a exersat bine sistemele are, de fapt, aproape toată lecția deja învățată.

De ce apar tot două ecuații când un membru este un număr real?

Pentru că un număr real $c$ are și el forma algebrică $c + 0 i$ : partea lui imaginară este zero. Egalitatea cu $c$ cere deci ca partea reală a celuilalt membru să fie $c$ , iar coeficientul lui $i$ să fie $0$ . Cine scrie doar prima ecuație pierde o condiție și poate accepta valori pentru care numărul rămâne nereal.

De ce desenăm drepte pentru o egalitate de numere complexe?

Pentru că, după identificare, egalitatea s-a transformat în ecuații cu necunoscute reale $x$ și $y$ , iar fiecare ecuație de gradul întâi în două necunoscute are ca grafic o dreaptă în reperul $x O y$ . Punctul comun al dreptelor dă soluția. Desenul nu reprezintă numerele complexe, ci ecuațiile obținute din ele.

Cum compară o foaie de calcul două numere complexe?

Funcția COMPLEX afișează numărul ca text, de pildă „3+4i”, iar compararea o faci tu: extragi partea reală și partea imaginară cu funcțiile dedicate și compari separat cele două rezultate. Două celule conțin același număr numai dacă ambele comparații ies adevărate, exact criteriul din lecție. Valorile zecimale rotunjite pot înșela, așa că pentru radicali egalitatea exactă o arăți în scris.