Egalitatea a două numere complexe: pe scurt

Criteriul de egalitate: pentru $a,b,c,d$ reale, $a+bi=c+di⟺a=c$ și $b=d$. Demonstrația se sprijină pe un singur fapt: nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie $-1$ — dacă $b\ne d$, ai putea izola $i$ ca un cât de numere reale, ceea ce l-ar face real, absurd.

Metoda identificării părților are trei pași: aduci fiecare membru la forma algebrică $a+bi$; identifici, egalând părțile reale între ele și cele imaginare între ele, obținând un sistem de două ecuații reale; rezolvi sistemul și verifici condițiile suplimentare. Trei consecințe imediate: $a+bi=0⟺a=0$ și $b=0$ (fără compensare între cele două părți); $z$ este real $⟺\mathrm{Im}(z)=0$ (o singură condiție); $z$ este pur imaginar $⟺\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ (două condiții — deosebirea cea mai punctată la barem).

Metoda funcționează numai dacă mărimile comparate sunt reale — de aceea enunțul precizează mereu «$x,y\in \mathbb{R}$»; fără această ipoteză, o egalitate de tipul $x+yi=3+2i$ ar avea o infinitate de soluții complexe.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ pentru care $(2x-1)+(y+3)i=5-2i$.

   • a) $x=3,y=-5$
   • b) $x=2,y=1$
   • c) $x=3,y=5$
   • d) $x=-3,y=-5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x=3,y=-5$

   Identificăm părțile: $2x-1=5\Rightarrow x=3$; $y+3=-2\Rightarrow y=-5$. Verificare: $(2\cdot 3-1)+(-5+3)i=5-2i$ ✓.

2. Determinați $x,y\in \mathbb{R}$ pentru care $(x+y)+(x-y)i=0$.

   • a) $x=1,y=-1$
   • b) $x=0,y=0$
   • c) orice $x=y$
   • d) nu există soluție
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $x=0,y=0$

   Un număr complex e nul $⟺$ ambele părți sunt nule: $x+y=0$ și $x-y=0$. Adunând, $2x=0\Rightarrow x=0$, apoi $y=0$.

3. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care $z=(m-3)+(m^2-9)i$ este număr real.

   • a) $m=-3$
   • b) $m=3$
   • c) $m\in \{-3,3\}$
   • d) $m\in \{-9,9\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $m\in \{-3,3\}$

   $z$ real $⟺\mathrm{Im}(z)=0$, adică $m^2-9=0$, deci $m\in \{-3,3\}$. Este o singură condiție, deci ambele valori convin.