Pentru două evenimente se știe că $$P(A) = 0{,}5$$, $$P(B) = 0{,}6$$ și $$P(A \cap B) = 0{,}3$$. Ce concluzie este corectă?

$$A$$ și $$B$$ sunt independente

$$A$$ și $$B$$ sunt dependente

Dintre $$150$$ de raci prinși într-un pârâu, $$60$$ sunt masculi, $$50$$ au clești de culoare albastră, iar $$25$$ sunt masculi cu clești albaștri. Alegând un rac la întâmplare, ce se poate spune despre evenimentele „mascul” și „clești albaștri”?

sunt dependente: printre masculi, cleștii albaștri sunt mai frecvenți

nu se poate decide fără alte date

Cum verific independența pe un tabel de date?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Evenimente independente

Calculezi $P (A)$ , $P (B)$ și $P (A \cap B)$ din tabel și compari intersecția cu produsul $P (A) \cdot P (B)$ . Exemplu: din $200$ de plante, $80$ sunt înalte, $50$ au flori roșii, iar $20$ sunt înalte cu flori roșii. Produsul este $0, 4 \cdot 0, 25 = 0, 1$ , iar intersecția este $\frac{20}{200} = 0, 1$ , deci în acest lot caracteristicile sunt independente. Altfel spus, printre plantele înalte proporția florilor roșii, $\frac{20}{80}$ , este aceeași ca în tot lotul.

Două evenimente sunt independente atunci când producerea unuia nu mută deloc șansele celuilalt.

Testul. Se calculează separat $P (A)$ , $P (B)$ și $P (A \cap B)$ . Dacă probabilitatea intersecției coincide exact cu produsul $P (A) \cdot P (B)$ , evenimentele sunt independente; orice diferență, oricât de mică, le face dependente. Se compară fracții exacte, nu valori rotunjite.

Pe un tabel cu date. Când un individ se alege la întâmplare dintr-un tabel cu două caracteristici, testul devine o comparație de proporții: partea lui $B$ din rândul lui $A$ trebuie să fie egală cu partea lui $B$ din întregul tabel. Concluzia descrie lotul măsurat, nu populația întreagă.

Capcane. Evenimentele care nu se pot produce împreună, dacă ambele au probabilități pozitive, sunt dependente: unul îl exclude pe celălalt. La fel, un eveniment cuprins în altul îl anunță pe acela, deci nu e independent de el decât în cazurile banale.

Extrageri. Punând obiectul înapoi, compoziția rămâne aceeași și extragerile sunt independente; fără punere înapoi, a doua extragere depinde de prima.

Cel puțin unul. La două evenimente independente se înmulțesc probabilitățile contrarelor și rezultatul se scade din $1$ .

De reținut

independență: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ , verificat cu fracții exacte
pe tabel: proporția lui $B$ în grupul $A$ egală cu proporția lui $B$ în tot lotul
disjuncte cu probabilități nenule înseamnă dependente

Greșeala tipică

Se confundă „independente” cu „disjuncte” și se scrie $P (A \cap B) = 0$ pentru evenimente independente; corect, intersecția lor este produsul $P (A) \cdot P (B)$ , care nu e zero.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru două evenimente se știe că $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ și $P (A \cap B) = 0, 3$ . Ce concluzie este corectă?
- a) $A$ și $B$ sunt disjuncte
- b) $A$ și $B$ sunt independente
- c) $A$ și $B$ sunt dependente
- d) $A$ este cuprins în $B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A$ și $B$ sunt independente

Produsul este $0, 5 \cdot 0, 6 = 0, 3$ , adică exact $P (A \cap B)$ , deci evenimentele sunt independente. Nu sunt disjuncte, fiindcă intersecția are probabilitate nenulă.
Dintre $150$ de raci prinși într-un pârâu, $60$ sunt masculi, $50$ au clești de culoare albastră, iar $25$ sunt masculi cu clești albaștri. Alegând un rac la întâmplare, ce se poate spune despre evenimentele „mascul” și „clești albaștri”?
- a) sunt independente
- b) sunt disjuncte
- c) sunt dependente: printre masculi, cleștii albaștri sunt mai frecvenți
- d) nu se poate decide fără alte date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sunt dependente: printre masculi, cleștii albaștri sunt mai frecvenți

Avem $P (M) = \frac{60}{150} = \frac{2}{5}$ , $P (A) = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$ , iar $P (M \cap A) = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}$ . Produsul este $\frac{2}{15}$ , diferit de $\frac{1}{6}$ . Printre masculi, partea cu clești albaștri este $\frac{25}{60}$ , mai mare decât $\frac{1}{3}$ .
O cutie are $14$ jetoane, dintre care $3$ galbene. Se extrage un jeton, se pune înapoi, apoi se extrage încă unul; cele două extrageri sunt independente. Care este probabilitatea ca ambele jetoane să fie galbene?
- a) $\frac{9}{196}$
- b) $\frac{3}{91}$
- c) $\frac{3}{14}$
- d) $\frac{3}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{9}{196}$

Cu punere înapoi, perechile ordonate sunt $14 \cdot 14 = 196$ , iar cele cu ambele jetoane galbene $3 \cdot 3 = 9$ ; la fel dă produsul $\frac{3}{14} \cdot \frac{3}{14}$ . Varianta $\frac{3}{91}$ ar corespunde extragerii fără punere înapoi: $\frac{3}{14} \cdot \frac{2}{13} = \frac{6}{182}$ .

Întrebări conexe

De ce două evenimente disjuncte nu sunt independente?

Dacă $A$ și $B$ nu se pot produce împreună, $P (A \cap B) = 0$ , dar produsul $P (A) \cdot P (B)$ e pozitiv când ambele au probabilități nenule. La un zar, „iese $1$ ” și „iese $6$ ” au intersecția $0$ , iar produsul este $\frac{1}{36}$ . Aflând că a ieșit $1$ , știi sigur că nu a ieșit $6$ .

Cum aflu un număr necunoscut din condiția de independență?

Scrii egalitatea dintre intersecție și produs și o rezolvi. Dintr-o clasă de $60$ de elevi, $24$ fac înot și $15$ joacă șah. Ca evenimentele să fie independente, numărul celor care fac ambele trebuie să fie $x$ cu $\frac{x}{60} = \frac{24}{60} \cdot \frac{15}{60}$ , adică $x = 6$ .

Cât e probabilitatea ca măcar un senzor din doi independenți să detecteze fumul?

Treci prin contrar: niciun senzor nu detectează. Dacă senzorii funcționează independent și detectează cu probabilitățile $0, 9$ și $0, 8$ , ratează amândoi cu $0, 1 \cdot 0, 2 = 0, 02$ . Măcar unul detectează cu $1 - 0, 02 = 0, 98$ .

Cum apar evenimentele independente la încrucișările lui Mendel?

Două gene aflate pe cromozomi diferiți se transmit independent. La încrucișarea $A a B b \times A a B b$ , un urmaș arată trăsătura dominantă pentru prima genă cu $\frac{3}{4}$ și pentru a doua tot cu $\frac{3}{4}$ . Ambele trăsături dominante apar cu $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ , raportul clasic $9 : 3 : 3 : 1$ .

Sunt independente două evenimente dacă unul îl include pe celălalt?

De regulă nu. La un zar, „iese $6$ ” este cuprins în „iese par”, deci intersecția are probabilitatea $\frac{1}{6}$ . Produsul este $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ , diferit. Excepțiile sunt doar cazurile banale, când unul dintre evenimente are probabilitatea $0$ sau $1$ .

Cum arăt cu un zar că „iese par” și „iese cel mult $2$ ” sunt independente?

$A = {2, 4, 6}$ are probabilitatea $\frac{1}{2}$ , $B = {1, 2}$ are $\frac{1}{3}$ , iar $A \cap B = {2}$ are $\frac{1}{6}$ . Cum $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ , evenimentele sunt independente. Verificarea se face prin calcul, nu prin intuiție, ca într-un exercițiu de tip bacalaureat M2.

Oamenii mai întreabă și: verificarea independenței evenimentelor dintr-un tabel · cum arăt că două evenimente sunt independente · testul produsului pentru evenimente independente · independența a două caracteristici în date reale