Evenimente independente (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un radiotelescop din Munții Apuseni și unul din Dobrogea ascultă, în aceeași noapte, un semnal slab venit de la un pulsar. Fiecare îl poate rata, din cauza zgomotului propriu, iar zgomotul unuia nu are nicio legătură cu al celuilalt. Cât de probabil e ca semnalul să fie prins de cel puțin un instrument? Răspunsul cere o singură idee nouă: două evenimente care nu se influențează au probabilitatea de a se produce împreună egală cu produsul probabilităților lor. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul de probabilități, unde independența se studiază explicit pentru două evenimente. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă nu conține independența: ea cuprinde operațiile cu evenimente și probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile.

În lecția despre probabilitățile condiționate ai văzut că o informație poate schimba o probabilitate. Aici ne ocupăm de situația opusă: informația despre un eveniment nu schimbă nimic la celălalt, iar asta se poate verifica printr-un singur calcul.

Ce vei învăța

Vei ști definiția independenței a două evenimente și o vei folosi ca test numeric, nu ca impresie despre enunț.
Vei ști să verifici independența pe un tabel cu date reale din biologie sau ecologie și să explici ce înseamnă verdictul pentru fenomenul studiat.
Vei ști de ce extragerile cu revenire dau evenimente independente, iar cele fără revenire nu, și unde apare fiecare model în laborator.
Vei ști să deosebești evenimentele independente de cele disjuncte și de cele aflate în relația de incluziune.
Vei ști să calculezi probabilitatea ca cel puțin unul dintre două evenimente independente să se producă.
Vei ști să afli o probabilitate sau un număr necunoscut dintr-un tabel pornind de la condiția de independență.

Hai să descoperim împreună

1. Produsul probabilităților ca test

Se aruncă simultan o monedă și un zar. Rezultatele sunt perechile (fața monedei, fața zarului), $2 \cdot 6 = 12$ la număr, toate egal posibile. Fie $A$ = „moneda arată stema” și $B$ = „zarul arată $6$ ”. Atunci $P (A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ , iar intersecția conține o singură pereche, (stemă, $6$ ), deci $P (A \cap B) = \frac{1}{12}$ . Observă că $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ : probabilitatea intersecției este exact produsul. Independența a două evenimente este tocmai această potrivire dintre probabilitatea intersecției și produsul probabilităților.

Definiție. Două evenimente $A$ și $B$ ale aceluiași experiment se numesc independente dacă $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Dacă egalitatea nu are loc, evenimentele se numesc dependente.

Definiția nu cere nicio condiție suplimentară și e simetrică: nu contează care eveniment e scris primul. Ea spune, în limbaj de laborator, că informația „ $A$ s-a produs” nu schimbă proporția cazurilor în care se produce $B$ . Printre cele $6$ rezultate cu stemă, zarul arată $6$ într-unul singur, adică tot într-o șesime, ca în toate cele $12$ rezultate.

Aceeași aruncare arată de ce nu ghicim după aparate. Fie $B^{'}$ = „zarul arată $6$ sau moneda arată stema”. Evenimentul are $6 + 1 = 7$ rezultate, deci $P (B^{'}) = \frac{7}{12}$ , iar $A \cap B^{'}$ conține toate cele $6$ rezultate cu stemă: $P (A \cap B^{'}) = \frac{1}{2}$ . Produsul este $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{24}$ , diferit de $\frac{1}{2}$ , deci $A$ și $B^{'}$ sunt dependente, deși moneda și zarul nu se ating. Independența e o proprietate a evenimentelor, nu a obiectelor folosite.

2. Cum verific independența pe un tabel de date?

La științe, evenimentele vin de obicei dintr-un tabel. Un grup de elevi a notat, pentru $200$ de voluntari, două trăsături vizibile care apar la orele de genetică: gropițele din obraji și pistruii.

	cu pistrui	fără pistrui	total
cu gropițe	$20$	$60$	$80$
fără gropițe	$30$	$90$	$120$
total	$50$	$150$	$200$

Se alege la întâmplare un voluntar dintre cei $200$ . Fie $I$ = „are gropițe” și $L$ = „are pistrui”. Testul are trei pași:

$P (I) = \frac{80}{200} = \frac{2}{5}$ și $P (L) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}$ , din totalurile tabelului;
$P (I \cap L) = \frac{20}{200} = \frac{1}{10}$ , din celula comună;
comparăm: $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ . Egalitate, deci $I$ și $L$ sunt independente.

Aceeași concluzie se citește pe proporții: printre cei cu gropițe, cei cu pistrui sunt $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$ , exact cât în tot grupul. Faptul că un voluntar are gropițe nu îți spune nimic despre pistrui. Probabilitatea din tabel e exactă, pentru că alegerea se face dintre cei $200$ de voluntari observați. Verdictul privește însă doar acest grup, nu toată populația.

3. Cum arată independența pe o figură?

Desenează un pătrat cu latura $1$ : aria lui reprezintă probabilitatea evenimentului sigur, adică $1$ . Evenimentul $A$ este o fâșie verticală de lățime $P (A)$ , evenimentul $B$ o fâșie orizontală de înălțime $P (B)$ . Intersecția lor este un dreptunghi cu laturile $P (A)$ și $P (B)$ , deci cu aria $P (A) \cdot P (B)$ . Independența înseamnă tocmai că cele două evenimente se pot desena ca fâșii perpendiculare.

Modelul ariei: fâșia A (lățime P(A)) și fâșia B (înălțime P(B)) se întâlnesc într-un dreptunghi cu aria P(A) · P(B).

În figură, $P (A) = 0, 6$ și $P (B) = 0, 3$ , iar dreptunghiul comun are aria $0, 18$ . Dacă $B$ ar fi o pată care nu e fâșie, ar putea acoperi din $A$ mai mult sau mai puțin decât $0, 18$ , și atunci evenimentele ar fi dependente.

Figura explică și de ce evenimentele disjuncte nu sunt independente. Două evenimente disjuncte au $P (A \cap B) = 0$ . Dacă ambele au probabilități strict pozitive, produsul $P (A) \cdot P (B)$ este strict pozitiv, deci egalitatea din definiție nu poate avea loc. Disjuncția e chiar o legătură puternică: dacă s-a produs $A$ , știi sigur că nu s-a produs $B$ . Noțiunea de evenimente disjuncte o ai din lecția despre diagramele Venn.

4. De ce contează dacă extragerea e cu revenire?

La orele de genetică a populațiilor, fondul de gene al unei populații se simulează adesea cu un săculeț de mărgele: aici, $9$ mărgele albe reprezintă alela $A$ , iar $6$ negre alela $a$ . Se extrag două mărgele, una după alta; fie $N_{1}$ = „prima mărgea e neagră” și $N_{2}$ = „a doua mărgea e neagră”. Rezultatele sunt perechi ordonate, toate egal posibile.

Cu revenire (prima mărgea se pune înapoi): perechile sunt $15 \cdot 15 = 225$ . Pentru $N_{1}$ prima mărgea e una dintre cele $6$ negre, iar a doua oricare, deci $6 \cdot 15 = 90$ de perechi și $P (N_{1}) = \frac{90}{225} = \frac{2}{5}$ ; la fel $P (N_{2}) = \frac{2}{5}$ . Perechile cu ambele negre sunt $6 \cdot 6 = 36$ , deci $P (N_{1} \cap N_{2}) = \frac{36}{225} = \frac{4}{25} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$ . Independente.

Fără revenire: perechile sunt $15 \cdot 14 = 210$ . Tot $P (N_{1}) = \frac{6 \cdot 14}{210} = \frac{2}{5}$ , iar pentru $N_{2}$ a doua mărgea e neagră ( $6$ variante) și prima e oricare dintre celelalte $14$ , deci $P (N_{2}) = \frac{84}{210} = \frac{2}{5}$ . Ambele negre: $6 \cdot 5 = 30$ de perechi, $P (N_{1} \cap N_{2}) = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}$ , diferit de $\frac{4}{25}$ . Dependente.

De ce modelul cu revenire se potrivește unei populații foarte mari ai văzut în lecția despre probabilitatea intersecției, la veverițele cu emițător; tot acolo e și calculul lui „ambele” pe arbore, cu regula înmulțirii. Aici l-am folosit doar ca test.

5. Redundanța: două instrumente care se pot înlocui

Revenim la cele două radiotelescoape din deschidere. Primul prinde semnalul cu probabilitatea $0, 7$ , al doilea cu $0, 8$ , iar zgomotele lor sunt independente. „Cel puțin unul prinde semnalul” are contrarul „niciunul nu îl prinde”, adică $\overline{A} \cap \overline{B}$ .

Contrarele a două evenimente independente sunt și ele independente. Cu formula reuniunii:

$P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P (A \cup B) = 1 - P (A) - P (B) + P (A) \cdot P (B) = (1 - P (A)) (1 - P (B)) .$

Deci $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 3 \cdot 0, 2 = 0, 06$ , iar semnalul e prins de cel puțin un radiotelescop cu probabilitatea $1 - 0, 06 = 0, 94$ . Un singur instrument ar fi dat cel mult $0, 8$ : redundanța funcționează tocmai pentru că erorile nu sunt legate între ele. Scăderea din $1$ vine din lecția despre evenimentul contrar.

6. Ce spune un verdict obținut din date reale?

Când probabilitățile vin din alegerea unui individ dintr-un tabel, testul e exact, dar răspunde la o întrebare despre acel tabel. Un alt eșantion din aceeași populație dă de obicei alte numere, iar egalitatea poate să nu mai fie exactă. De aceea un biolog nu spune „cele două trăsături se moștenesc independent” pe baza unui singur grup de voluntari; spune că în lotul măsurat proporțiile coincid și propune repetarea măsurătorii. Lecția despre eșantionare arată de ce eșantioanele diferă între ele.

Pe scurt, independența se decide în trei feluri: prin calcul ( $P (A \cap B)$ comparat cu produsul), prin proporții (proporția lui $B$ printre cazurile lui $A$ comparată cu proporția lui $B$ în total) sau prin ipoteza enunțului (aparate separate, extrageri cu revenire). Numai ultima îți permite să înmulțești fără să verifici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cuiburile de pescăruș

Într-o colonie de pescăruși s-au urmărit $240$ de cuiburi: $90$ pe o insulă din lac și $150$ pe mal. Până la sfârșitul sezonului, $60$ de cuiburi au fost prădate de vulpi, dintre care $9$ pe insulă. Se alege la întâmplare un cuib. Stabilește dacă evenimentele $I$ = „cuibul e pe insulă” și $R$ = „cuibul a fost prădat” sunt independente și interpretează rezultatul.

Rezolvare. Din totaluri, $P (I) = \frac{90}{240} = \frac{3}{8}$ și $P (R) = \frac{60}{240} = \frac{1}{4}$ . Din celula comună, $P (I \cap R) = \frac{9}{240} = \frac{3}{80}$ . Produsul este $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32}$ , iar $\frac{3}{32} \neq = \frac{3}{80}$ , deci evenimentele sunt dependente.

Pe proporții: pe insulă a fost prădat $\frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ din cuiburi, pe când în toată colonia $\frac{1}{4}$ . Apa ține vulpile departe, deci amplasarea pe insulă protejează cuibul.

Exemplul 2 — Câți pești ar face independența?

Un acvariu de laborator are $45$ de pești zebră (Danio rerio), dintre care $18$ sunt mutanți fără pigment și $20$ sunt femele. Câte femele mutante ar trebui să fie în acvariu pentru ca, la alegerea unui pește la întâmplare, evenimentele „peștele e mutant” și „peștele e femelă” să fie independente? Completează apoi tabelul.

Rezolvare. Notăm cu $x$ numărul femelelor mutante. Condiția de independență cere

$\frac{x}{45} = \frac{18}{45} \cdot \frac{20}{45}, deci x = \frac{18 \cdot 20}{45} = 8.$

Tabelul: femele mutante $8$ , masculi mutanți $18 - 8 = 10$ , femele nemutante $20 - 8 = 12$ , masculi nemutanți $45 - 18 - 12 = 15$ . Proba pe proporții: printre femele, mutantele sunt $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ , cât printre toți peștii, $\frac{18}{45} = \frac{2}{5}$ . Dacă rezultatul nu ar fi fost un număr natural, niciun acvariu cu aceste totaluri nu ar fi avut evenimentele independente.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: bacil sau coc

La un laborator de microbiologie, o bacterie izolată la întâmplare dintr-o probă este un bacil cu probabilitatea $0, 4$ și un coc cu probabilitatea $0, 35$ . Un elev scrie: „Forma unei bacterii nu depinde de alta, deci evenimentele «bacil» și «coc» sunt independente, iar probabilitatea ca bacteria să fie și bacil, și coc este $0, 4 \cdot 0, 35 = 0, 14$ .” Găsește greșeala și calculează corect.

Rezolvare. Elevul a confundat două experimente cu unul singur. Este vorba despre aceeași bacterie, care are o singură formă, deci evenimentele sunt disjuncte: $P (bacil \cap coc) = 0$ . Cum produsul $0, 14$ e nenul, evenimentele sunt dependente: dacă știi că bacteria e un bacil, știi sigur că nu e un coc. Corect se poate calcula probabilitatea reuniunii, $P (bacil sau coc) = 0, 4 + 0, 35 = 0, 75$ , fiindcă la evenimente disjuncte intersecția e nulă.

Exemplul 4 — Două echipe numără cuiburile

Două echipe de voluntari numără, independent una de alta, cuiburile unei colonii de stârci. Prima echipă ratează un cuib anume cu probabilitatea $0, 2$ , a doua cu probabilitatea $0, 15$ . Calculează probabilitatea ca un cuib anume: a) să fie ratat de ambele echipe; b) să fie numărat de exact o echipă; c) să fie numărat de ambele.

Rezolvare. Fie $A$ = „prima echipă numără cuibul” și $B$ = „a doua echipă numără cuibul”, cu $P (A) = 0, 8$ și $P (B) = 0, 85$ .

a) $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 2 \cdot 0, 15 = 0, 03$ .

b) „Exact una” înseamnă $A \cap \overline{B}$ sau $\overline{A} \cap B$ , evenimente disjuncte: $0, 8 \cdot 0, 15 + 0, 2 \cdot 0, 85 = 0, 12 + 0, 17 = 0, 29$ .

c) $P (A \cap B) = 0, 8 \cdot 0, 85 = 0, 68$ .

Proba: $0, 03 + 0, 29 + 0, 68 = 1$ , pentru că cele trei situații nu se suprapun și acoperă toate cazurile. Ecologii folosesc tocmai cuiburile văzute de o singură echipă ca să estimeze câte cuiburi au scăpat amândurora.

Exemplul 5 — O probabilitate aflată din „cel puțin una”

O tulpină de bacterii poate dobândi, într-o generație, două mutații de rezistență la antibiotice, independent una de alta. A doua mutație apare cu o probabilitate de două ori mai mare decât prima. Se știe că probabilitatea ca în acea generație să apară cel puțin una dintre mutații este $0, 28$ . Află probabilitatea fiecărei mutații.

Rezolvare. Fie $p$ probabilitatea primei mutații; a doua are $2 p$ , deci trebuie $0 \leq 2 p \leq 1$ . Contrarul lui „cel puțin una” este „niciuna”, iar prin independență

$(1 - p) (1 - 2 p) = 1 - 0, 28 = 0, 72.$

Desfăcând parantezele, $2 p^{2} - 3 p + 1 = 0, 72$ , adică $2 p^{2} - 3 p + 0, 28 = 0$ . Înmulțind cu $50$ : $100 p^{2} - 150 p + 14 = 0$ , care se scrie $(10 p - 1) (10 p - 14) = 0$ . Rădăcinile sunt $p = 0, 1$ și $p = 1, 4$ ; a doua nu e o probabilitate. Așadar prima mutație are probabilitatea $0, 1$ , iar a doua $0, 2$ . Verificare: $1 - 0, 9 \cdot 0, 8 = 0, 28$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2 (MAT_P2 2030)

Se consideră mulțimea $M = {1, 2, 3, \dots, 24}$ și se alege la întâmplare un element al ei. Fie evenimentele $A$ = „numărul ales este multiplu de $3$ ”, $B$ = „numărul ales este multiplu de $8$ ” și $C$ = „numărul ales este multiplu de $4$ ”. a) Calculați $P (A)$ și $P (B)$ . b) Arătați că evenimentele $A$ și $B$ sunt independente. c) Stabiliți dacă evenimentele $B$ și $C$ sunt independente.

Rezolvare. Cazurile posibile sunt $24$ , egal posibile.

a) Multiplii lui $3$ din $M$ sunt $3, 6, \dots, 24$ , adică $8$ numere, deci $P (A) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ . Multiplii lui $8$ sunt $8$ , $16$ , $24$ , deci $P (B) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ .

b) Un număr e multiplu și de $3$ , și de $8$ exact când e multiplu de $24$ ; în $M$ există unul singur, $24$ . Deci $P (A \cap B) = \frac{1}{24}$ , iar $P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24}$ . Egalitatea are loc: $A$ și $B$ sunt independente.

c) Multiplii lui $4$ sunt $6$ , deci $P (C) = \frac{1}{4}$ . Orice multiplu de $8$ e multiplu de $4$ , deci $B \subseteq C$ și $B \cap C = B$ : $P (B \cap C) = \frac{1}{8}$ . Produsul este $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32} \neq = \frac{1}{8}$ , deci $B$ și $C$ sunt dependente.

Punctele a) și c) cer numărare pe cazuri egal posibile, ca cerința de probabilitate de la Subiectul I din modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026; independența de la b) și c) intră abia în programa probei MAT_P2 din 2030, pentru care nu există încă un model publicat.

Să exersăm

1. a) Se știe că $P (A) = \frac{2}{7}$ , $P (B) = \frac{7}{10}$ și $P (A \cap B) = \frac{1}{5}$ . Sunt $A$ și $B$ independente? b) Aceeași întrebare pentru $P (C) = 0, 45$ , $P (D) = 0, 2$ și $P (C \cap D) = 0, 1$ .

2. Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, cu $P (A) = 0, 6$ și $P (B) = 0, 35$ . Calculează $P (A \cap B)$ și $P (A \cup B)$ .

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Evenimentul sigur $Ω$ este independent de orice eveniment $A$ al aceluiași experiment.”

4. Un parc are $180$ de arbori; $60$ sunt tei, $45$ au scorburi, iar $20$ dintre tei au scorburi. Se alege la întâmplare un arbore. Stabilește dacă evenimentele „arborele e tei” și „arborele are scorbură” sunt independente.

5. O cutie conține $18$ inele de marcaj pentru păsări, dintre care $7$ sunt roșii. Se scot două inele, unul după altul. Fie $R_{1}$ = „primul inel e roșu” și $R_{2}$ = „al doilea inel e roșu”. Calculează $P (R_{1} \cap R_{2})$ și compară rezultatul cu produsul $P (R_{1}) \cdot P (R_{2})$ : a) dacă primul inel se pune înapoi; b) dacă nu se pune înapoi.

6. Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, $P (A) = 0, 4$ și $P (A \cap B) = 0, 1$ . Calculează $P (B)$ și $P (A \cup B)$ .

7. Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, cu $P (A) = \frac{3}{4}$ și $P (B) = \frac{2}{5}$ . Calculează $P (A \cap \overline{B})$ , $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ și probabilitatea ca exact unul dintre cele două evenimente să se producă.

8. Într-un oraș, $12%$ dintre adulți sunt stângaci și $30%$ au ochi albaștri. Presupunând că cele două trăsături sunt independente, ce procent dintre adulți sunt stângaci cu ochi albaștri?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se aruncă două zaruri, unul roșu și unul verde. Determinați probabilitatea ca zarul roșu să arate un pătrat perfect, iar zarul verde un divizor al lui $6$ .

10. (Problemă aplicată.) Doi câini de salvare caută, independent, o persoană rătăcită. Primul o găsește cu probabilitatea $0, 8$ . Ce probabilitate $q$ trebuie să aibă al doilea câine pentru ca persoana să fie găsită de cel puțin un câine cu probabilitatea de cel puțin $0, 95$ ?

11. Două evenimente independente au aceeași probabilitate $p$ , iar probabilitatea ca ambele să se producă este $0, 09$ . Află $p$ și probabilitatea ca cel puțin unul dintre ele să se producă.

12. Un elev știe că evenimentele independente $A$ și $B$ au $P (A) = 0, 5$ și $P (B) = 0, 4$ și scrie: „Atunci $P (A ∣ B) = P (B) = 0, 4$ .” Găsește greșeala și calculează corect $P (A ∣ B)$ .

13. Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, $P (A \cap \overline{B}) = 0, 27$ și $P (A) = 0, 45$ . Află $P (B)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un zar obișnuit este aruncat de două ori. Notăm $A$ = „prima aruncare dă un număr prim” și $B$ = „cele două aruncări dau aceeași față”. Stabiliți dacă evenimentele $A$ și $B$ sunt independente.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Dintr-un săculeț cu $9$ jetoane numerotate de la $1$ la $9$ se extrage un jeton, se notează numărul, jetonul se pune înapoi și se extrage încă unul. Fie $A$ = „primul număr este par” și $B$ = „suma celor două numere este pară”. Stabiliți dacă $A$ și $B$ sunt independente.

16. Într-o livadă cu $400$ de pomi, $25%$ sunt pruni, iar un îngheț târziu a atins $40%$ dintre pomi. Presupunând că atingerea de îngheț nu depinde de specie, completează tabelul „prun / alt pom” × „atins / neatins de îngheț”.

17. Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, $P (A) = \frac{1}{3}$ și $P (A \cup B) = \frac{3}{5}$ . Calculează $P (B)$ .

18. (Provocare.) Un eveniment $A$ este independent de el însuși, adică $A$ și $A$ verifică definiția independenței. Ce valori poate avea $P (A)$ ? Dă câte un exemplu de eveniment pentru fiecare valoare.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{14}{70} = \frac{1}{5} = P (A \cap B)$ , deci $A$ și $B$ sunt independente. b) $0, 45 \cdot 0, 2 = 0, 09 \neq = 0, 1$ , deci $C$ și $D$ sunt dependente.

2. $P (A \cap B) = 0, 6 \cdot 0, 35 = 0, 21$ , iar $P (A \cup B) = 0, 6 + 0, 35 - 0, 21 = 0, 74$ .

3. Adevărat. Intersecția lui $A$ cu $Ω$ este chiar $A$ , deci $P (A \cap Ω) = P (A)$ . Pe de altă parte, $P (A) \cdot P (Ω) = P (A) \cdot 1 = P (A)$ . Cele două numere coincid pentru orice $A$ , deci definiția e îndeplinită: știind că s-a produs evenimentul sigur, nu afli nimic nou.

4. $P (T) = \frac{60}{180} = \frac{1}{3}$ , $P (S) = \frac{45}{180} = \frac{1}{4}$ , $P (T \cap S) = \frac{20}{180} = \frac{1}{9}$ . Produsul este $\frac{1}{12} \neq = \frac{1}{9}$ , deci evenimentele sunt dependente: printre tei, cei cu scorburi sunt $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ , mai mult decât $\frac{1}{4}$ din tot parcul.

5. a) Perechile ordonate sunt $18 \cdot 18 = 324$ . $P (R_{1}) = P (R_{2}) = \frac{7 \cdot 18}{324} = \frac{7}{18}$ , iar $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{7 \cdot 7}{324} = \frac{49}{324}$ , exact produsul $\frac{7}{18} \cdot \frac{7}{18}$ . b) Perechile sunt $18 \cdot 17 = 306$ . Tot $P (R_{1}) = P (R_{2}) = \frac{7 \cdot 17}{306} = \frac{7}{18}$ , deci produsul rămâne $\frac{49}{324}$ , dar $P (R_{1} \cap R_{2}) = \frac{7 \cdot 6}{306} = \frac{7}{51}$ . Produsul în cruce, $7 \cdot 324 = 2268 < 2499 = 51 \cdot 49$ , arată că intersecția e mai mică decât produsul.

6. Din $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ : $P (B) = \frac{0 , 1}{0 , 4} = 0, 25$ . Atunci $P (A \cup B) = 0, 4 + 0, 25 - 0, 1 = 0, 55$ .

7. $P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A \cap B) = P (A) (1 - P (B)) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$ . $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$ . Exact unul: $\frac{9}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{20} + \frac{1}{10} = \frac{11}{20}$ .

8. $0, 12 \cdot 0, 3 = 0, 036$ , adică $3, 6%$ dintre adulți.

9. Perechile de fețe sunt $6 \cdot 6 = 36$ , egal posibile. Pătratele perfecte de pe zar sunt $1$ și $4$ ( $2$ variante), divizorii lui $6$ sunt $1, 2, 3, 6$ ( $4$ variante). Perechile favorabile sunt $2 \cdot 4 = 8$ , deci $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ .

10. Contrarul lui „cel puțin un câine o găsește” are probabilitatea $0, 2 \cdot (1 - q)$ . Condiția $1 - 0, 2 (1 - q) \geq 0, 95$ devine $0, 2 (1 - q) \leq 0, 05$ , adică $1 - q \leq 0, 25$ , deci $q \geq 0, 75$ .

11. $p^{2} = 0, 09$ și $p \geq 0$ , deci $p = 0, 3$ . Cel puțin unul: $0, 3 + 0, 3 - 0, 09 = 0, 51$ (sau $1 - 0, 7 \cdot 0, 7 = 0, 51$ ).

12. Elevul a pus probabilitatea condiției în locul celei a evenimentului căutat. Din definiția probabilității condiționate, $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 5 \cdot 0 , 4}{0 , 4} = 0, 5$ , adică tocmai $P (A)$ : informația că s-a produs $B$ nu schimbă probabilitatea lui $A$ .

13. Evenimentul $A$ se împarte în $A \cap B$ și $A \cap \overline{B}$ , deci $P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A) \cdot P (B) = P (A) (1 - P (B))$ . Rezultă $0, 45 (1 - P (B)) = 0, 27$ , adică $1 - P (B) = 0, 6$ și $P (B) = 0, 4$ .

14. Cazurile posibile sunt $36$ . Numerele prime de pe zar sunt $2, 3, 5$ , deci $A$ are $3 \cdot 6 = 18$ cazuri și $P (A) = \frac{1}{2}$ . Fețele egale sunt $6$ perechi, $P (B) = \frac{1}{6}$ . $A \cap B$ conține perechile $(2, 2)$ , $(3, 3)$ , $(5, 5)$ , deci $P (A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ . Cum $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ , evenimentele sunt independente.

15. Perechile sunt $9 \cdot 9 = 81$ . Numerele pare sunt $4$ , cele impare $5$ . $P (A) = \frac{4 \cdot 9}{81} = \frac{4}{9}$ . Suma e pară la aceeași paritate: $4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 = 41$ de perechi, $P (B) = \frac{41}{81}$ . $A \cap B$ cere ambele numere pare: $16$ perechi, $P (A \cap B) = \frac{16}{81}$ , iar $P (A) \cdot P (B) = \frac{164}{729}$ ; cum $\frac{16}{81} = \frac{144}{729}$ , cele două numere diferă, deci $A$ și $B$ sunt dependente: impare sunt mai multe decât pare.

16. Prunii sunt $100$ , pomii atinși $160$ . Prin independență, prunii atinși sunt $400 \cdot 0, 25 \cdot 0, 4 = 40$ . Tabelul: prun atins $40$ , prun neatins $60$ , alt pom atins $120$ , alt pom neatins $180$ .

17. Notăm $P (B) = b$ . Atunci $P (A \cup B) = \frac{1}{3} + b - \frac{b}{3} = \frac{3}{5}$ , deci $\frac{2 b}{3} = \frac{3}{5} - \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$ și $b = \frac{2}{5}$ .

18. Definiția cere $P (A \cap A) = P (A) \cdot P (A)$ , adică $P (A) = P (A)^{2}$ , deci $P (A) (P (A) - 1) = 0$ . Rezultă $P (A) = 0$ sau $P (A) = 1$ . Exemple: la aruncarea unui zar obișnuit, „apare fața $7$ ” are probabilitatea $0$ , iar „apare o față de la $1$ la $6$ ” are probabilitatea $1$ .

De reținut

Două evenimente $A$ și $B$ sunt independente exact când $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ ; verdictul se obține prin calcul, nu din impresia lăsată de enunț.
Pe un tabel, independența înseamnă că proporția lui $B$ printre cazurile lui $A$ este aceeași cu proporția lui $B$ în tot tabelul; verdictul privește lotul măsurat.
Extragerile cu revenire dau evenimente independente, cele fără revenire dau evenimente dependente; în ambele cazuri se compară intersecția cu produsul.
Evenimentele disjuncte cu probabilități nenule sunt dependente: dacă s-a produs unul dintre ele, sigur nu s-a produs celălalt.
La două evenimente independente, $P (cel pu ț in unul) = 1 - (1 - P (A)) (1 - P (B))$ .

Greșeli frecvente

Compari intersecția cu altceva decât produsul. Unii compară $P (A \cap B)$ cu suma $P (A) + P (B)$ sau cu $P (A \cup B)$ . Testul folosește numai produsul: la tabelul voluntarilor din lecție se compară $\frac{1}{10}$ cu $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .
Calculezi $P (A \cap \overline{B})$ ca $P (A) - P (B)$ . Pentru două evenimente independente cu $P (A) = 0, 7$ și $P (B) = 0, 2$ , corect este $P (A) (1 - P (B)) = 0, 7 \cdot 0, 8 = 0, 56$ , nu $0, 7 - 0, 2 = 0, 5$ : din $A$ se scoate doar partea comună cu $B$ , nu tot $B$ .
Crezi că incluziunea înseamnă independență. „ $B$ e cuprins în $C$ , deci nu adaugă nimic” e o impresie falsă: dacă știi că $B$ s-a produs, știi sigur că s-a produs și $C$ .
Scrii $1 - P (A) \cdot P (B)$ pentru „cel puțin unul”. Această expresie este probabilitatea lui „nu amândouă”. Pentru „cel puțin unul” se înmulțesc probabilitățile contrarelor.
Extinzi verdictul unui lot la toată populația. O egalitate găsită pe $200$ de voluntari nu dovedește independența în toată populația; alt eșantion poate da alt verdict.

Aplică acasă

Independența desenată. Pe o foaie cu pătrățele, desenează un pătrat de $10 \times 10$ . Colorează o fâșie de $6$ coloane (evenimentul $A$ ) și, cu altă culoare, o fâșie de $3$ rânduri (evenimentul $B$ ). Numără pătrățelele colorate de două ori și compară cu $\frac{6}{10} \cdot \frac{3}{10}$ . Apoi desenează un $B$ de tot $30$ de pătrățele, dar în formă de pată, și găsește o poziție în care evenimentele devin dependente.
Cifre aleatoare. Cu funcția de număr aleator a unei foi de calcul, folosită ca în lecția despre definiția clasică a probabilității, generează $100$ de perechi de cifre de la $0$ la $9$ . Calculează frecvența perechilor cu ambele cifre pare și compară-o cu produsul frecvențelor „prima pară” și „a doua pară”. Discută de ce cele două numere sunt apropiate, dar nu neapărat egale.
Sisteme de rezervă. Caută în jurul tău două mecanisme care fac aceeași treabă independent (două lacăte, două siguranțe, două surse de lumină la o ieșire de urgență). Atribuie fiecăruia o probabilitate de defectare și calculează cât crește siguranța ansamblului. Scrie o frază despre ce s-ar întâmpla dacă cele două s-ar defecta din aceeași cauză.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează independența a două evenimente, exact cât cere programa clasei a X-a, și o prezintă ca test numeric, cu trei citiri echivalente: produsul, proporțiile din tabel și modelul ariei. Accentul cade pe date reale din biologie și ecologie, pentru că la profilul științe ale naturii verdictul trebuie interpretat: „insula protejează cuiburile” e o concluzie despre fenomen, nu doar despre fracții. Limitele unui verdict obținut pe un singur eșantion sunt spuse explicit.

De urmărit în caiet: scrie elevul cele trei probabilități înainte de comparație; compară fracții exacte; spune în cuvinte ce înseamnă verdictul; separă corect evenimentele disjuncte de cele independente. Întrebări bune de control: „Care e proporția lui $B$ printre cazurile lui $A$ ?”, „Extragerea e cu revenire?”, „Ce afli despre $B$ dacă știi că s-a produs $A$ ?”. Semn de înțelegere: elevul spune singur că două forme ale aceleiași bacterii nu pot fi independente.

Lecția următoare, despre probabilitățile în situații practice, folosește independența la repetarea unui test medical. Legătura cu clasa a IX-a este conjuncția propozițiilor legate prin „și”: intersecția a două evenimente corespunde conjuncției propozițiilor care le descriu. Unitatea se verifică prin testul de probabilități. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: evenimente independente.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa clasei a X-a numește „evenimente independente (două evenimente)”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde „operații cu evenimente” și „probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile”, dar nu numește independența; de aceea exercițiile de verificare a independenței poartă marcajul „MAT_P2 2030”, iar numărarea pe cazuri egal posibile rămâne „Bacalaureat M2”. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I conține o cerință de probabilitate rezolvată prin numărarea cazurilor, pe numerele naturale de două cifre. Programa de examen din 2014 cere ca aplicațiile acestui capitol să fie din domeniul financiar; exercițiile lecției folosesc contexte de laborator și de teren.

Întrebări frecvente

Ce diferă între lecția despre evenimente independente de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Definiția prin produs este aceeași. La științe ale naturii, lecția verifică independența mai ales pe tabele cu date din biologie și ecologie, interpretează verdictul pentru fenomenul studiat, arată modelul ariei și leagă extragerile cu revenire de genetica populațiilor. Nu folosește cărți de joc, iar zarurile apar doar ca model de numărare.

La ce subiect apare independența la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 nu numește independența; ea cere probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile, iar în modelul oficial 2026 cerința de probabilitate de la Subiectul I se rezolvă prin numărare. Independența a două evenimente apare în programa probei MAT_P2 din 2030, pentru care nu există încă un model publicat.

Ce legătură are independența cu probabilitățile condiționate? Dacă $P (A) > 0$ , independența înseamnă că probabilitatea lui $B$ condiționată de $A$ este egală cu $P (B)$ : restrângerea la cazurile lui $A$ nu schimbă proporția lui $B$ . Pe un tabel, compari proporția din linia lui $A$ cu proporția din total. Definiția prin produs rămâne cea de bază, pentru că funcționează și când $P (A) = 0$ .

Ce înseamnă independența pentru două aparate montate în serie? Un circuit în serie funcționează numai dacă funcționează ambele aparate. Dacă defectările lor au cauze separate, evenimentele „primul funcționează” și „al doilea funcționează” sunt independente, iar probabilitatea ca circuitul să meargă este produsul lor: la $0, 95$ și $0, 8$ , circuitul merge cu probabilitatea $0, 76$ , mai puțin decât oricare aparat. Montajul de rezervă din subsecțiunea 5 face invers și crește siguranța.

Dacă într-un tabel produsul și intersecția sunt foarte apropiate, dar nu egale, ce concluzie trag? Matematic, evenimentele din acel tabel sunt dependente, pentru că definiția cere egalitate. Practic, o diferență mică poate veni din întâmplarea eșantionării: un alt lot ar putea da diferența de semn opus. Un cercetător repetă măsurătorile pe mai multe eșantioane înainte să afirme o legătură.

Ce arată modelul ariei despre independență? În pătratul cu latura $1$ , un eveniment e o regiune cu aria egală cu probabilitatea lui. Două evenimente independente se pot desena ca o fâșie verticală și una orizontală, iar dreptunghiul lor comun are aria egală cu produsul. Când regiunile nu pot fi așezate astfel, intersecția are altă arie și evenimentele sunt dependente.