Testul independenței evenimentelor: pe scurt

Două evenimente $A$ și $B$ sunt independente dacă $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ — un test numeric, nu o presupunere din context. Formularea echivalentă, pentru $P(A)>0$: $P(B\mid A)=P(B)$, adică informația că s-a produs $A$ nu schimbă șansele lui $B$.

Independent nu înseamnă disjunct — sunt noțiuni aproape opuse. Disjunct înseamnă $P(A\cap B)=0$; dacă $P(A)>0$ și $P(B)>0$, două evenimente disjuncte sunt întotdeauna dependente, pentru că a ști că s-a produs unul îți spune sigur că celălalt nu s-a produs.

Situațiile tipice de independență: aruncări repetate, extrageri cu revenire, dispozitive care funcționează separat. Situațiile tipice de dependență: extrageri fără revenire (compoziția urnei se schimbă) și date reale dintr-un tabel.

La evenimente independente, calculele se scurtează: $P(\text{amaˆndoua˘})=P(A)\cdot P(B)$, iar $P(\text{cel puțin unul})=1-P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$, folosind faptul că și evenimentele contrare rămân independente. Testul se aplică mereu la fel: calculezi $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ și compari intersecția cu produsul — nu ghici din enunț.

Un exemplu care surprinde: la aruncarea unui singur zar, „față pară” și „față cel mult egală cu $4$” sunt independente ($\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$), deși provin din același experiment — independența e o proprietate numerică, nu una fizică. Reține și greșeala clasică a „legii seriilor”: după cinci steme la rând, probabilitatea de stemă la a șasea aruncare rămâne tot $\frac{1}{2}$, pentru că aruncările independente nu au memorie.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se aruncă un zar de două ori. Fie $A$ = „prima aruncare arată $5$” și $B$ = „suma celor două fețe este $9$”. Ce poți spune despre $A$ și $B$?

   • a) Sunt dependente, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{36}\ne \frac{1}{54}=P(A)\cdot P(B)$
   • b) Sunt independente, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{36}=P(A)\cdot P(B)$
   • c) Sunt disjuncte, deci independente
   • d) Sunt independente, pentru că ambele provin din același zar
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) Sunt dependente, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{36}\ne \frac{1}{54}=P(A)\cdot P(B)$

   $P(A)=\frac{1}{6}$, iar $B$ e format din perechile $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$, deci $P(B)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. Intersecția cere prima $=5$ și suma $=9$, adică a doua $=4$: un singur caz din $36$, deci $P(A\cap B)=\frac{1}{36}$. Produsul este $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{54}\ne \frac{1}{36}$, deci evenimentele sunt dependente.

2. O urnă conține $6$ bile roșii și $4$ albastre. Se extrag două bile, fără revenire. Fie $A$ = „prima bilă e roșie” și $B$ = „a doua bilă e roșie”. Sunt $A$ și $B$ independente?

   • a) Da, pentru că $P(A)=P(B)=0,6$
   • b) Nu, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{3}\ne 0,36=P(A)\cdot P(B)$
   • c) Da, pentru că bilele vin din aceeași urnă
   • d) Nu se poate determina fără mai multe informații
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) Nu, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{3}\ne 0,36=P(A)\cdot P(B)$

   $P(A)=P(B)=0,6$, dar fără revenire compoziția urnei se schimbă: $P(A\cap B)=\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{9}=\frac{1}{3}\approx 0,333$. Produsul $P(A)\cdot P(B)=0,36$ este diferit, deci evenimentele sunt dependente. (Cu revenire, în schimb, ar fi independente: $P(A\cap B)=0,6\cdot 0,6=0,36$.)

3. Evenimentele $A$ și $B$ sunt disjuncte, cu $P(A)=0,4$ și $P(B)=0,5$. Care este concluzia corectă?

   • a) $P(A\cap B)=0,2$ și evenimentele sunt independente
   • b) $P(A\cap B)=0$ și evenimentele sunt independente
   • c) $P(A\cap B)=0$ și evenimentele sunt dependente
   • d) $P(A\cap B)=0,9$ și evenimentele sunt dependente
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $P(A\cap B)=0$ și evenimentele sunt dependente

   Fiind disjuncte, $P(A\cap B)=0$. Produsul $P(A)\cdot P(B)=0,4\cdot 0,5=0,2\ne 0$, deci testul independenței eșuează: evenimentele sunt dependente. Este exact regula din lecție — disjuncte cu probabilități nenule înseamnă întotdeauna dependente, niciodată independente.