Forma trigonometrică: modul, argument: pe scurt

Orice număr complex nenul $z=a+bi$ se scrie unic sub forma trigonometrică $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, unde $r=|z|>0$ este modulul, iar $\phi =\arg z$ este argumentul redus, luat întotdeauna în $[0,2\pi )$. Legăturile dintre forme: $a=r\cos \phi$, $b=r\sin \phi$.

Un număr complex nenul are o infinitate de argumente, care diferă între ele prin multipli de $2\pi$; argumentul redus este reprezentantul unic din $[0,2\pi )$. Numărul $0$ nu are argument — imaginea lui e originea, prin care trec toate direcțiile.

Cadranul restrânge argumentul la un interval de lungime $\frac{\pi }{2}$ și trebuie stabilit înainte de a citi argumentul din tabelul valorilor remarcabile: cadranul I dă $\phi \in (0,\frac{\pi }{2})$, II dă $(\frac{\pi }{2},\pi )$, III dă $(\pi ,\frac{3\pi }{2})$, IV dă $(\frac{3\pi }{2},2\pi )$. Pe axe: $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$.

O scriere nu este formă trigonometrică dacă modulul din față e negativ sau dacă apare minus între cosinus și sinus — ambele situații se corectează, prima adunând $\pi$ la argument, a doua înlocuind $\phi$ cu $2\pi -\phi$.

O scurtătură utilă: numerele situate pe axe au argumentele $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, corespunzătoare semiaxelor pozitivă $Ox$, pozitivă $Oy$, negativă $Ox$, negativă $Oy$. Din tabelul valorilor remarcabile, argumentele care apar cel mai des la clasă sunt multipli de $\frac{\pi }{6}$ sau de $\frac{\pi }{4}$; recunoașterea rapidă a perechii $(\cos \phi ,\sin \phi )$ economisește timp prețios la examen.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte argumente diferite (nu neapărat reduse) poate avea un număr complex nenul $z$?

   • a) o infinitate
   • b) exact unul
   • c) exact doi
   • d) niciunul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) o infinitate

   Orice $\phi +2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, este un argument valid al lui $z$; dintre toate acestea, unul singur, cel din $[0,2\pi )$, este argumentul redus.

2. Numărul $-4\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ nu este scris sub formă trigonometrică standard. Care este forma corectă (modul pozitiv, argument redus)?

   • a) $4\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$
   • b) $4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$
   • c) $4\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)$
   • d) $-4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$

   Modulul negativ se corectează folosind $-1=\cos \pi +i\sin \pi$, adică adunând $\pi$ la argument: $\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$, cu modulul devenit $4$.

3. În ce cadran se află imaginea unui număr complex cu $|z|=5$ și argument redus $\phi =\frac{5\pi }{4}$?

   • a) cadranul II
   • b) cadranul I
   • c) cadranul III
   • d) cadranul IV
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) cadranul III

   $\frac{5\pi }{4}$ se află între $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$, intervalul specific cadranului III.