Care pereche poate fi $$(\cos x,\sin x)$$ pentru un $$x\in[0,2\pi]$$?

$$\left(\frac{84}{205},\frac{187}{205}\right)$$

Cum simplific fracția (1-cos²x)/(sin x)?

Numărătorul este sin²x, din formula fundamentală, deci fracția devine sin²x/(sin x)=sin x. Simplificarea cere sin x≠0, adică x diferit de 0, π și 2π pe intervalul [0,2π]. Pentru x= π/6 fracția dă (1/4)/(1/2)= 1/2, exact sin π/6.

Cât face (sin x+cos x)²+(sin x-cos x)²?

Desfaci pătratele: sin²x+2sin xcos x+cos²x+sin²x-2sin xcos x+cos²x. Termenii din mijloc se reduc, iar ce rămâne este 2(sin²x+cos²x)=2, pentru orice x. Proba la x=0: 1+1=2. Identitatea scurtează calculul oricând apar ambele paranteze la pătrat.

Cum scriu mai simplu expresia sin⁴x-cos⁴x?

Este o diferență de pătrate: (sin²x-cos²x)(sin²x+cos²x). A doua paranteză este 1, deci expresia devine sin²x-cos²x, adică 1-2cos²x. Proba la x= π/2: 1-0=1, iar la x=0 ambele forme dau -1, deci simplificarea se potrivește.

Cum aflu o proiecție a unui braț din cealaltă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formula fundamentală

Un braț rigid de lungime $L$ , înclinat cu unghiul $α$ , are proiecțiile $L cos α$ pe orizontală și $L sin α$ pe verticală. Din $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ rezultă că suma pătratelor proiecțiilor este $L^{2}$ . Exemplu: un braț de $13$ cm cu proiecția orizontală de $5$ cm are proiecția verticală $169 - 25 = 12$ cm, fără să calculezi unghiul.

Pentru orice $x$ din $[0, 2 π]$ , punctul $(cos x, sin x)$ se află pe cercul trigonometric, deci la distanța unu de origine. Scrisă cu formula distanței, această proprietate devine $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ . Deducerea nu are cazuri speciale: merge și pe axe, și pentru coordonate negative.

Formula este mai întâi un test. O pereche de numere descrie cosinusul și sinusul unui același $x$ numai când suma pătratelor ei este exact unu; o pereche care nu trece testul nu se repară schimbând semnele. Tot din formulă rezultă că nici sinusul, nici cosinusul nu depășesc unu în modul.

Când cunoști una dintre valori, formula îți dă pătratul celeilalte. Rămân două variante, cu plus și cu minus, iar cadranul din enunț decide semnul: sinusul e pozitiv deasupra axei orizontale, cosinusul la dreapta axei verticale. Fără cadran, răspunsul păstrează ambele semne.

La simplificări, diferențele $1 - cos^{2} x$ și $1 - sin^{2} x$ devin un singur pătrat, iar unu poate fi scris ca sumă de pătrate. Pentru un braț rigid de lungime $L$ , suma pătratelor celor două proiecții este $L^{2}$ : cunoscând lungimea și o proiecție, o calculezi pe a doua fără să treci prin unghi.

De reținut

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ pentru orice $x$
proiecțiile unui braț de lungime $L$ verifică $p_{x}^{2} + p_{y}^{2} = L^{2}$
semnul radicalului se alege după cadran

Greșeala tipică

Se scrie $sin x = 1 - cos x$ , ca și cum formula ar fi fără pătrate; corect, $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , apoi se extrage radicalul cu semnul dat de cadran.

Exerciții din această mini-lecție

Care pereche poate fi $(cos x, sin x)$ pentru un $x \in [0, 2 π]$ ?
- a) $(0, 5; 0, 5)$
- b) $(\frac{84}{205}, \frac{187}{205})$
- c) $(0, 9; 0, 3)$
- d) $(1; 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(\frac{84}{205}, \frac{187}{205})$

Numai la a doua pereche suma pătratelor este unu: $7056 + 34969 = 42025 = 20 5^{2}$ .
Pentru orice $x \in [0, 2 π]$ , expresia $1 - cos^{2} x$ este egală cu:
- a) $sin x$
- b) $sin^{2} x$
- c) $(1 - cos x)^{2}$
- d) $1 + sin^{2} x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin^{2} x$

Din formula fundamentală, $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ .
Se știe că $cos x = - \frac{96}{265}$ și $x \in (π, \frac{3 π}{2})$ . Cât este $sin x$ ?
- a) $\frac{247}{265}$
- b) $- \frac{247}{265}$
- c) $- \frac{96}{265}$
- d) $\frac{169}{265}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{247}{265}$

$sin^{2} x = 1 - \frac{9216}{70225} = \frac{61009}{70225}$ , iar în cadranul al III-lea sinusul este negativ: $sin x = - \frac{247}{265}$ .

Întrebări conexe

De ce formula $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ vine din distanța la origine?

Punctul $(cos x, sin x)$ se află pe cercul cu centrul în origine și raza $1$ . Pătratul distanței până la origine este $cos^{2} x + sin^{2} x$ , deci este $1$ . De exemplu, la $x = \frac{2 π}{3}$ : $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

Ce semn are sinusul aflat din cosinus în cadranul al IV-lea?

Negativ, fiindcă punctul este sub axa orizontală. Dacă $cos x = \frac{5}{13}$ și $x$ este în cadranul IV, atunci $sin^{2} x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , deci $sin x = - \frac{12}{13}$ . Cosinusul dat este pozitiv, cum trebuie în acest cadran.

Cum simplific fracția $\frac{1 - c o s ^{2} x}{s i n x}$ ?

Numărătorul este $sin^{2} x$ , din formula fundamentală, deci fracția devine $\frac{s i n ^{2} x}{s i n x} = sin x$ . Simplificarea cere $sin x \neq = 0$ , adică $x$ diferit de $0$ , $π$ și $2 π$ pe intervalul $[0, 2 π]$ . Pentru $x = \frac{π}{6}$ fracția dă $\frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ , exact $sin \frac{π}{6}$ .

Cât face $(sin x + cos x)^{2} + (sin x - cos x)^{2}$ ?

Desfaci pătratele: $sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x + sin^{2} x - 2 sin x cos x + cos^{2} x$ . Termenii din mijloc se reduc, iar ce rămâne este $2 (sin^{2} x + cos^{2} x) = 2$ , pentru orice $x$ . Proba la $x = 0$ : $1 + 1 = 2$ . Identitatea scurtează calculul oricând apar ambele paranteze la pătrat.

Cum scriu mai simplu expresia $sin^{4} x - cos^{4} x$ ?

Este o diferență de pătrate: $(sin^{2} x - cos^{2} x) (sin^{2} x + cos^{2} x)$ . A doua paranteză este $1$ , deci expresia devine $sin^{2} x - cos^{2} x$ , adică $1 - 2 cos^{2} x$ . Proba la $x = \frac{π}{2}$ : $1 - 0 = 1$ , iar la $x = 0$ ambele forme dau $- 1$ , deci simplificarea se potrivește.

Oamenii mai întreabă și: proiecțiile unui braț rotativ · proiecția pe verticală din lungime și proiecția orizontală · formula fundamentală în fizică · L cos alfa și L sin alfa

Cum aflu o proiecție a unui braț din cealaltă?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

De ce formula sin2x+cos2x=1 vine din distanța la origine?

Ce semn are sinusul aflat din cosinus în cadranul al IV-lea?

Cum simplific fracția sinx1−cos2x​?

Cât face (sinx+cosx)2+(sinx−cosx)2?

Cum scriu mai simplu expresia sin4x−cos4x?

Continuă cu

De ce formula $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ vine din distanța la origine?

Cum simplific fracția $\frac{1 - c o s ^{2} x}{s i n x}$ ?

Cât face $(sin x + cos x)^{2} + (sin x - cos x)^{2}$ ?

Cum scriu mai simplu expresia $sin^{4} x - cos^{4} x$ ?