Cum se demonstrează formula fundamentală $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$?

Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul $$OPM$$ pe cercul trigonometric

Printr-o regulă de trei simplă

Se știe doar că $$\cos x = \dfrac{1}{4}$$ (fără informații despre cadran). Care este răspunsul corect pentru $$\sin x$$?

$$\sin x = \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$$, în funcție de cadran

$$\sin x = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$$, întotdeauna

$$\sin x$$ nu poate fi calculat

$$\sin x = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}$$, întotdeauna

Ce este formula fundamentală a trigonometriei?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formula fundamentală: sin²x+cos²x=1

Este egalitatea $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , adevărată pentru orice număr real. Vine din teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul format de origine, punctul de pe cercul de rază unu și proiecția lui pe axa orizontală. Din ea scoți una dintre funcții când o cunoști pe cealaltă, dar rezultatul iese cu două semne posibile, iar cadranul decide care se păstrează.

Formula fundamentală a trigonometriei, $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , este valabilă pentru orice număr real $x$ . Ea se demonstrează cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de originea $O$ , punctul $M (x) = (cos x, sin x)$ de pe cercul trigonometric și proiecția lui pe axa $O x$ : catetele au lungimile $∣ cos x ∣$ și $∣ sin x ∣$ , iar ipotenuza este raza, egală cu $1$ . Din formulă se obțin cele două forme de lucru: $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ și $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ ; oricare dintre ele dă doar pătratul mărimii căutate, iar extragerea radicalului lasă două variante, cu $+$ și cu $-$ . Alegerea semnului corect se face exclusiv după cadranul indicat în enunț: sinusul e pozitiv în cadranele I și II, cosinusul în I și IV. Fără precizarea cadranului, răspunsul rămâne cu $\pm$ , menționând ambele cazuri posibile. O consecință directă a formulei este mărginirea: $- 1 \leq sin x \leq 1$ și $- 1 \leq cos x \leq 1$ pentru orice $x$ , deci o ecuație precum $sin x = 1, 2$ nu are soluții. Formula servește și la simplificarea expresiilor: oriunde apare suma $sin^{2} x + cos^{2} x$ , ea se înlocuiește direct cu $1$ .

De reținut

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ pentru orice $x$ real
$sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ și $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$
extragerea radicalului lasă două semne; cadranul îl alege pe cel bun

Greșeala tipică

Se scrie direct rezultatul cu semnul plus după extragerea radicalului, deși fără cadran rămân valabile ambele semne; când enunțul nu precizează cadranul, răspunsul se dă cu plus sau minus.

Exerciții din această mini-lecție

Cum se demonstrează formula fundamentală $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ?
- a) Cu teorema lui Thales
- b) Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul $O P M$ pe cercul trigonometric
- c) Printr-o regulă de trei simplă
- d) Cu teorema unghiului la centru
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul $O P M$ pe cercul trigonometric

Catetele triunghiului dreptunghic $O P M$ (unde $P$ e proiecția lui $M$ pe $O x$ ) au lungimile $∣ cos x ∣$ și $∣ sin x ∣$ , iar ipotenuza este raza $1$ ; Pitagora dă direct $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .
Se știe că $cos x = \frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul I. Cât este $sin x$ ?
- a) $\frac{3}{5}$
- b) $\frac{4}{5}$
- c) $- \frac{4}{5}$
- d) $\frac{1}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{4}{5}$

$sin^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , deci $sin x = \pm \frac{4}{5}$ . În cadranul I sinusul este pozitiv, deci $sin x = \frac{4}{5}$ .
Se știe doar că $cos x = \frac{1}{4}$ (fără informații despre cadran). Care este răspunsul corect pentru $sin x$ ?
- a) $sin x = \frac{15}{4}$ , întotdeauna
- b) $sin x = \pm \frac{15}{4}$ , în funcție de cadran
- c) $sin x$ nu poate fi calculat
- d) $sin x = - \frac{15}{4}$ , întotdeauna
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $sin x = \pm \frac{15}{4}$ , în funcție de cadran

$sin^{2} x = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ , deci $sin x = \pm \frac{15}{4}$ . Un cosinus pozitiv este compatibil atât cu cadranul I (sinus pozitiv), cât și cu cadranul IV (sinus negativ); fără precizarea cadranului, ambele semne rămân valabile.

Întrebări conexe

Ce valori poate lua suma dintre sinusul și cosinusul aceluiași unghi?

Ea stă între minus radical din doi și radical din doi. Ridicând suma la pătrat și folosind formula fundamentală, rămâne unu plus dublul produsului celor două funcții, iar acel produs nu poate ieși din intervalul dintre minus o jumătate și o jumătate.

Cum scriu cosinus la pătrat de x în funcție de sinus la pătrat de x?

Muți termenul în cealaltă parte: pătratul cosinusului este unu minus pătratul sinusului. Simetric, pătratul sinusului este unu minus pătratul cosinusului. Aceste două forme se folosesc de fiecare dată când vrei să rămâi cu o singură funcție într-o expresie.

Cum verific dacă perechea 0,6 și 0,8 poate fi sinus și cosinus?

Ridici fiecare număr la pătrat și le aduni: $0, 36 + 0, 64 = 1$ , deci perechea este posibilă. Dacă suma pătratelor nu dă exact unu, valorile nu pot fi coordonatele unui punct de pe cercul de rază unu, deci nu pot proveni de la același argument.

De ce nu poate fi sinusul egal cu 1,2?

Fiindcă pătratul lui ar depăși unu, iar atunci pătratul cosinusului ar trebui să fie negativ, ceea ce nu se poate. Altfel spus, sinusul este ordonata unui punct aflat pe un cerc de rază unu, deci nu poate ieși din intervalul dintre minus unu și unu.

Cum folosesc formula fundamentală ca să simplific o expresie?

Cauți în expresie suma dintre pătratul sinusului și pătratul cosinusului, chiar dacă termenii nu sunt alăturați, și o înlocuiești cu unu. Uneori trebuie să dai întâi factor comun sau să grupezi termenii. Așa dispar deodată mai multe funcții.

Oamenii mai întreabă și: sin la pătrat plus cos la pătrat egal 1 · formula fundamentală din trigonometrie · relația dintre sinus și cosinus · de unde vine formula fundamentală