Formula fundamentală a trigonometriei (M2, științe ale naturii)

Un senzor montat pe capătul unui braț robotic raportează două numere: cât s-a deplasat capătul pe orizontală și cât pe verticală. Dacă brațul are lungimea cunoscută, cele două numere nu pot fi oricare; între ele există o legătură fixă, iar un raport care o încalcă semnalează o eroare de măsurare. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), această legătură se numește formula fundamentală a trigonometriei, iar programa cere s-o deducem pe cercul trigonometric. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 formula aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține capitolul „Elemente de trigonometrie”, cu cercul trigonometric și funcțiile sinus și cosinus; modelul oficial publicat are o cerință de trigonometrie la Subiectul I.

Ai nevoie de sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric și de distanța dintre două puncte în plan, pe care ai studiat-o în unitatea de geometrie analitică. Cu ele, formula se obține într-un singur rând, pentru orice $x$ din $[0,2\pi ]$, fără cazuri separate.

Ce vei învăța

• Vei deduce formula ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ din distanța de la origine la un punct al cercului trigonometric.
• Vei verifica dacă două numere date pot fi cosinusul și sinusul aceluiași număr, înainte de orice alt calcul.
• Vei obține sinusul din cosinus și invers, alegând semnul după cadranul precizat în enunț.
• Vei recunoaște în expresii bucățile care se înlocuiesc cu $1$ sau cu un singur pătrat.
• Vei folosi formula ca test de coerență pentru date măsurate sau calculate cu aproximări.
• Vei vedea de ce nicio valoare a sinusului sau a cosinusului nu poate depăși $1$ în modul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce legătură există între coordonatele unui punct de pe cercul trigonometric?

Pe cercul trigonometric, punctul asociat numărului $x\in [0,2\pi ]$ are abscisa $\cos x$ și ordonata $\sin x$. Cercul are centrul în origine și raza $1$, deci fiecare dintre punctele lui se află la distanța $1$ de origine. Această proprietate, scrisă cu coordonate, este chiar formula pe care o căutăm.

Formula fundamentală a trigonometriei este egalitatea ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, adevărată pentru orice $x$ din $[0,2\pi ]$. Aici ${\sin }^{2}x$ înseamnă pătratul numărului $\sin x$, adică $(\sin x{)}^2$, iar ${\cos }^{2}x$ înseamnă $(\cos x{)}^2$.

Formula nu depinde de cadran și nu are excepții. Ea leagă între ele două numere care, luate separat, pot avea orice semn: pătratele lor sunt nenegative și suma lor este mereu aceeași.

În figură, punctul $P$ este asociat lui $230^{\circ }$, în cadranul al III-lea. Ambele coordonate sunt negative, dar segmentele desenate pe axe au lungimile $|\cos x|$ și $|\sin x|$, iar raza $OP$ are lungimea $1$. Formula spune că pătratele celor două coordonate completează exact pătratul razei.

2. Cum deducem formula din distanța dintre două puncte?

În reperul cartezian, distanța dintre punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Aplicăm formula pentru originea $O(0,0)$ și pentru punctul $P(\cos x,\sin x)$ al cercului.

Obținem $OP=\sqrt{(\cos x-0{)}^2+(\sin x-0{)}^2}=\sqrt{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}$. Pe de altă parte, $OP$ este raza cercului, deci $OP=1$. Ridicând la pătrat ambele scrieri ale aceleiași lungimi, rezultă ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. Ridicarea la pătrat nu adaugă soluții false aici, pentru că ambele scrieri sunt numere nenegative: un radical și o lungime.

Merită un control pe un punct de pe o axă. Pentru $x=3\pi /2$, punctul este $(0,-1)$, iar formula distanței dă $\sqrt{0^2+(-1{)}^2}=1$. Semnul minus al ordonatei dispare la ridicarea la pătrat, exact ca în raționamentul general.

Deducerea nu cere nicio figură specială. Ea funcționează la fel când punctul este pe o axă, unde un triunghi desenat ar degenera, și când coordonatele sunt negative, fiindcă formula distanței folosește pătrate. Pentru cei care preferă imaginea din clasa a VII-a, același rezultat se citește în triunghiul dreptunghic format de origine, de punct și de proiecția lui pe axa $Ox$, cu teorema lui Pitagora; acolo însă cazurile de pe axe trebuie tratate separat.

3. Ce perechi de numere pot fi cosinusul și sinusul aceluiași număr?

Formula funcționează în ambele sensuri. Dacă $a$ și $b$ sunt cosinusul și sinusul aceluiași $x$, atunci $a^2+b^2=1$. Reciproc, dacă două numere reale au suma pătratelor egală cu $1$, punctul $(a,b)$ se află pe cercul trigonometric, deci există un număr $x$ din $[0,2\pi )$ pentru care $\cos x=a$ și $\sin x=b$.

Testul este rapid și sigur. Perechea $(3/7,2\sqrt{10}/7)$ trece testul, fiindcă $9/49+40/49=1$; ea descrie un punct din primul cadran. Perechea $(0,5;0,9)$ nu trece: suma pătratelor este $0,25+0,81=1,06$, deci un astfel de punct este în afara cercului, nu pe el.

Folosește testul înainte de orice alt calcul, mai ales când datele vin dintr-un tabel sau dintr-un raport. O pereche care nu îl trece nu poate fi corectată prin alegerea semnelor; semnele nu schimbă pătratele.

4. Ce valori nu pot fi atinse?

Din formulă rezultă că ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x\le 1$, pentru că ${\cos }^{2}x$ nu este negativ. Deci $|\sin x|\le 1$. La fel, $|\cos x|\le 1$. Ai văzut aceste limite pe graficele funcțiilor; acum ele rezultă din calcul.

Mai mult, egalitatea $|\sin x|=1$ are loc exact când $\cos x=0$. Nu se poate ca ambele valori să fie mari în modul în același timp: dacă una se apropie de $1$, cealaltă se apropie de $0$. De exemplu, dacă sinusul unui număr este cel puțin $0,8$ în modul, pătratul lui este cel puțin $0,64$, iar pătratul cosinusului rămâne cel mult $0,36$; cosinusul nu depășește atunci $0,6$ în modul.

În aplicații, limita devine un control de plauzibilitate. Dacă un calcul dă pentru un sinus valoarea $1,03$, eroarea este undeva înainte, într-o împărțire sau într-o unitate de măsură. Formula nu repară rezultatul, dar îl semnalează.

5. De ce apar două semne și cine alege între ele?

Dacă știm $\cos x=c$, formula dă ${\sin }^{2}x=1-c^2$, adică pătratul sinusului, nu sinusul. Pentru $1-c^2>0$ există două numere cu acest pătrat, $\sqrt{1-c^2}$ și $-\sqrt{1-c^2}$.

Imaginea de pe cerc explică dublarea. Dreapta verticală de abscisă $c$, cu $-1<c<1$, taie cercul în două puncte, simetrice față de axa $Ox$. Au același cosinus și sinusuri opuse.

În figură, $P_1$ este asociat lui $50^{\circ }$, iar $P_2$ se obține rotind cu $50^{\circ }$ în sensul acelor de ceasornic, deci este punctul asociat lui $310^{\circ }$; eticheta $-50^{\circ }$ arată sensul rotirii. Liniile punctate coboară din ambele puncte pe același loc al axei $Ox$.

Informația care alege este cadranul. Deasupra axei $Ox$ ordonata, deci sinusul, este pozitivă, iar dedesubt negativă; la dreapta axei $Oy$ abscisa, deci cosinusul, este pozitivă, iar la stânga negativă. Este regula semnelor pe cadrane de la M2, folosită aici ca unealtă. Dacă enunțul nu precizează cadranul și datele nu îl impun, răspunsul corect le păstrează pe amândouă.

Lecția aceasta folosește pasul direct, de la sinus la cosinus și invers. Când intervine tangenta sau când calculul trece prin mai multe funcții, rețeta completă vine mai târziu, în lecția M2 despre trecerea de la o funcție trigonometrică la alta.

6. Cum scurtăm expresiile cu ajutorul formulei?

Formula se poate citi și de la dreapta la stânga: numărul $1$ poate fi înlocuit cu ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$, iar diferențele $1-{\cos }^{2}x$ și $1-{\sin }^{2}x$ devin un singur pătrat. Strategia obișnuită are trei gesturi: dai factor comun, recunoști o formulă de calcul prescurtat, apoi înlocuiești.

De exemplu, $4-4{\sin }^{2}x=4(1-{\sin }^{2}x)=4{\cos }^{2}x$. Iar un produs ca $(1-\cos x)(1+\cos x)$ este o diferență de pătrate, $1-{\cos }^{2}x$, deci ${\sin }^{2}x$. Fiecare transformare este o egalitate adevărată pentru orice $x$, așa că rezultatul se poate controla pe o valoare simplă, de exemplu în $x=0$.

Un control numeric nu înlocuiește demonstrația, dar prinde repede o greșeală de semn. Dacă expresia simplificată și cea inițială dau valori diferite într-un singur punct, simplificarea este greșită. Reciproca nu este adevărată: două expresii pot coincide într-un punct fără să fie egale peste tot, așa că un control reușit confirmă doar că nu ai o greșeală evidentă.

Ordinea gesturilor contează. Înainte de a înlocui ceva cu $1$, caută suma completă ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$, cu același argument și cu coeficienți egali. O expresie ca $2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ nu este $1$; ea se rescrie ca $1+{\sin }^{2}x$, după ce un ${\sin }^{2}x$ a fost pus deoparte.

7. Ce spune formula despre un braț care se rotește?

Un braț rigid de lungime $L$, fixat la un capăt, face unghiul $x$ cu orizontala. Proiecția lui pe orizontală are lungimea $L\cos x$, iar pe verticală $L\sin x$, pentru un unghi ascuțit. Formula fundamentală, înmulțită cu $L^2$, dă $(L\cos x{)}^2+(L\sin x{)}^2=L^2$.

Consecința practică: dacă măsori lungimea brațului și una dintre proiecții, cealaltă este determinată. Formula nu mai are nevoie de unghi. Iar dacă ai măsurat toate trei mărimile, suma pătratelor proiecțiilor trebuie să iasă, în limita preciziei aparatului, egală cu pătratul lungimii.

8. Cum afli cadranul când enunțul îl descrie în cuvinte?

În probleme aplicate, cadranul rar apare scris ca „cadranul al II-lea”. El se ascunde într-o descriere: „unghiul este obtuz”, „punctul se află sub axa orizontală”, „capătul brațului este la stânga articulației”, „faza este între jumătatea și trei sferturi din ciclu”. Fiecare asemenea propoziție fixează semnul unei coordonate.

Traducerea se face în doi pași. Întâi scrii ce spune descrierea despre abscisă și despre ordonată, apoi alegi cadranul în care ambele semne se potrivesc. „Sub axa orizontală” înseamnă sinus negativ; „la stânga” înseamnă cosinus negativ; împreună dau cadranul al III-lea. „Obtuz”, pentru un unghi între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$, înseamnă cadranul al II-lea.

Uneori descrierea fixează doar un semn. Atunci cadranul rămâne nedecis între două variante, iar valoarea căutată se poate afla numai dacă semnul ei este chiar cel fixat. Dacă se cere sinusul și știi doar că punctul este la dreapta axei $Oy$, ambele semne ale sinusului rămân posibile, iar răspunsul corect le păstrează pe amândouă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Găsește greșeala: două perechi dintr-un raport de laborator

Într-un raport, doi colegi au trecut, pentru același tip de mișcare, perechile $(\cos x,\sin x)=(0,5376;0,8432)$ și $(\cos x,\sin x)=(0,45;0,85)$. Care pereche poate fi corectă?

Rezolvare. Pentru prima pereche calculăm $0,5376^2+0,8432^2=0,28901376+0,71098624=1$. Suma pătratelor este exact $1$, deci perechea descrie un punct al cercului trigonometric, în primul cadran. Faptul că suma iese exact, fără rotunjire, arată că valorile au fost scrise cu toate zecimalele.

Pentru a doua, $0,45^2+0,85^2=0,2025+0,7225=0,925$. Suma este mai mică decât $1$, deci nu există niciun număr $x$ cu aceste valori. Una dintre măsurători sau unul dintre calcule este greșit; formula nu spune care, dar arată sigur că perechea nu poate rămâne așa.

Exemplul 2 — Cosinus negativ, cadranul al II-lea

Se știe că $\cos x=-\frac{45}{53}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculează $\sin x$.

Rezolvare. Din formulă, ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{2025}{2809}=\frac{784}{2809}$, deci $\sin x=\pm \frac{28}{53}$.

Intervalul dat este cadranul al II-lea, unde sinusul este pozitiv. Rezultă $\sin x=\frac{28}{53}$. Datele sunt compatibile: un cosinus negativ se potrivește cu acest cadran. Dacă enunțul ar fi pus același cosinus în cadranul I, datele s-ar fi contrazis, iar răspunsul corect ar fi fost să semnalezi contradicția, nu să calculezi.

Exemplul 3 — Un rezultat cu radical

Se știe că $\cos x=\frac{2}{7}$, iar punctul asociat lui $x$ se află în cadranul IV. Calculează $\sin x$ și dă o aproximare cu patru zecimale.

Rezolvare. Avem ${\sin }^{2}x=1-\frac{4}{49}=\frac{45}{49}$, deci $\sin x=\pm \frac{\sqrt{45}}{7}=\pm \frac{3\sqrt{5}}{7}$.

În cadranul IV sinusul este negativ, deci $\sin x=-\frac{3\sqrt{5}}{7}\approx -0,9583$. Radicalul s-a simplificat înainte de aproximare: $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Forma exactă este cea cerută de un rezultat final; aproximarea servește doar la control. Controlul arată și că valoarea este aproape de $-1$: punctul asociat se află jos, aproape de capătul inferior al cercului, cum se potrivește unui cosinus mic și pozitiv.

Exemplul 4 — Brațul robotic de laborator

Brațul unui robot de pipetare are lungimea de $73$ cm și face cu orizontala un unghi ascuțit $x$. Proiecția lui pe orizontală măsoară $55$ cm. La ce înălțime față de articulație se află capătul brațului?

Rezolvare. Proiecția orizontală este $73\cos x=55$, deci $\cos x=\frac{55}{73}$. Din formulă, ${\sin }^{2}x=1-\frac{3025}{5329}=\frac{2304}{5329}$, iar unghiul fiind ascuțit, $\sin x=\frac{48}{73}$.

Înălțimea capătului este $73\sin x=73\cdot \frac{48}{73}=48$ cm. Nu a fost nevoie să aflăm unghiul în grade. Rezultatul este mai mic decât lungimea brațului, cum trebuie pentru o proiecție.

Controlul final folosește toate cele trei lungimi: $55^2+48^2=3025+2304=5329=73^2$. Dacă un senzor ar fi raportat înălțimea $50$ cm, suma pătratelor proiecțiilor ar fi depășit pătratul lungimii, iar datele ar fi fost incompatibile.

Exemplul 5 — O expresie care nu depinde de x

Arată că $E=(2\sin x+3\cos x{)}^2+(3\sin x-2\cos x{)}^2$ are aceeași valoare pentru orice $x\in [0,2\pi ]$.

Rezolvare. Dezvoltăm: $(2\sin x+3\cos x{)}^2=4{\sin }^{2}x+12\sin x\cos x+9{\cos }^{2}x$ și $(3\sin x-2\cos x{)}^2=9{\sin }^{2}x-12\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x$.

Termenii mijlocii se reduc, iar suma devine $13{\sin }^{2}x+13{\cos }^{2}x=13({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=13$. Controlul în $x=0$: $(0+3{)}^2+(0-2{)}^2=9+4=13$.

Coeficienții nu au fost aleși la întâmplare: în a doua paranteză, $3$ și $-2$ sunt ai primei paranteze, schimbați între ei și cu un semn. Așa produsele mixte au semne opuse și se anulează. Valoarea constantă, $13$, este suma pătratelor coeficienților, $4+9$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numărul real $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ cu $\cos x=-\frac{12}{37}$. a) Arătați că $\sin x=-\frac{35}{37}$. b) Calculați $(\sin x+\cos x{)}^2$.

Rezolvare. a) Avem ${\sin }^{2}x=1-\frac{144}{1369}=\frac{1225}{1369}$, deci $\sin x=\pm \frac{35}{37}$. În cadranul al III-lea sinusul este negativ, deci $\sin x=-\frac{35}{37}$.

b) Direct, $\sin x+\cos x=-\frac{47}{37}$, deci $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{2209}{1369}$. Același rezultat iese din $1+2\sin x\cos x=1+\frac{840}{1369}=\frac{2209}{1369}$, unde am folosit formula fundamentală după dezvoltarea pătratului. Enunțul este construit în stilul cerințelor scurte „arătați că” ale probei, fără a prezice un subiect anume.

Să exersăm

Pentru fiecare calcul, scrie întâi pătratul mărimii căutate, apoi ambele variante de semn și abia la final alegerea făcută după cadran. Radicalii se simplifică.

1. Verifică formula fundamentală pentru $x=\pi$ și pentru $x=\pi /4$.

2. Care dintre perechile $(\cos x,\sin x)$ pot corespunde aceluiași număr $x$: $(0,8;-0,5)$, $(\sqrt{3}/2;-1/2)$, $(-1;0)$?

3. Pentru un număr $x$ din cadranul I avem $\cos x=\frac{20}{101}$. Află $\sin x$.

4. Punctul asociat lui $x$ stă în cadranul II, iar $\sin x=\frac{60}{109}$. Află $\cos x$.

5. Pentru $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ cu $\cos x=-\frac{3}{4}$, determină $\sin x$.

6. Numărul $x$ corespunde unui punct din cadranul IV și $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Determină $\cos x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Perechea $\left(-\frac{160}{281};\frac{231}{281}\right)$ poate fi $(\cos x,\sin x)$ numai pentru un $x$ din cadranul al II-lea.

8. Determină numerele reale $a$ pentru care există un număr $x$ cu $\sin x=a$ și $\cos x=2a$.

9. Simplifică expresia $F=3-3{\cos }^{2}x-2{\sin }^{2}x$.

10. Arată că ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x={\cos }^{2}x$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$.

11. (Problemă aplicată.) Un corp oscilează armonic, fără pierderi de energie. În funcție de faza $x$ a mișcării, energia cinetică este $E_c=20{\sin }^{2}x$, iar energia potențială este $E_p=20{\cos }^{2}x$, ambele în milijouli. Arată că energia totală nu depinde de fază. În momentul în care $E_c=15$ mJ, cât este $E_p$ și cât este $|\cos x|$?

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ cu $\sin x=-\frac{88}{137}$. Arătați că $\cos x=\frac{105}{137}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $2{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x=2+{\cos }^{2}x$ pentru orice $x\in [0,2\pi ]$, apoi calculați valoarea expresiei pentru $x=\frac{\pi }{3}$.

14. Determină valoarea maximă și valoarea minimă a expresiei $E={\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x$, pentru $x\in [0,2\pi ]$.

15. (Găsește greșeala.) Pentru $\sin x=\frac{39}{89}$, cu $x$ în cadranul I, un elev scrie $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=1-\sin x=\frac{50}{89}$. Unde greșește? Care este valoarea corectă?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ cu $\cos x=-\frac{15}{113}$. Calculați $\sin x$ și $\sin x-\cos x$.

17. Pentru ce valori ale lui $a$ se află punctul $(a;2a-1)$ pe cercul trigonometric? Scrie coordonatele punctelor obținute.

18. (Provocare.) Există $x\in [0,2\pi ]$ pentru care $\sin x+\cos x=1,5$? Justifică.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $x=\pi$: ${\sin }^2\pi +{\cos }^2\pi =0+1=1$. Pentru $x=\pi /4$: ${\sin }^2\frac{\pi }{4}+{\cos }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Un caz de pe axă și unul din interiorul cadranului dau același rezultat.

2. Prima nu: $0,8^2+0,5^2=0,64+0,25=0,89\ne 1$. A doua da: $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$. A treia da: $(-1{)}^2+0^2=1$, punctul din $\pi$.

3. ${\sin }^{2}x=1-\frac{400}{10201}=\frac{9801}{10201}$, deci $\sin x=\pm \frac{99}{101}$. În cadranul I, $\sin x=\frac{99}{101}$. Un cosinus mic și un sinus aproape de unu descriu un punct apropiat de vârful cercului.

4. ${\cos }^{2}x=1-\frac{3600}{11881}=\frac{8281}{11881}$, deci $\cos x=\pm \frac{91}{109}$. În cadranul II cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{91}{109}$. Pătratele numărătorilor se calculează o singură dată și se verifică: $60^2+91^2=109^2$.

5. ${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$, deci $\sin x=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$. În cadranul III sinusul este negativ: $\sin x=-\frac{\sqrt{7}}{4}\approx -0,6614$.

6. ${\cos }^{2}x=1-\frac{3}{9}=\frac{6}{9}$, deci $\cos x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. În cadranul IV cosinusul este pozitiv: $\cos x=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,8165$.

7. Adevărat. Avem $160^2+231^2=25600+53361=78961=281^2$, deci suma pătratelor este $1$ și perechea descrie un punct al cercului. Abscisa negativă și ordonata pozitivă îl așază la stânga axei $Oy$ și deasupra axei $Ox$, adică în cadranul al II-lea; niciun alt cadran nu are aceste semne.

8. Condiția este $a^2+4a^2=1$, adică $5a^2=1$, deci $a=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$. Ambele valori sunt bune: perechea $(2a,a)$ trece testul, deci descrie un punct al cercului.

9. $F=3(1-{\cos }^{2}x)-2{\sin }^{2}x=3{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x$.

10. Dăm factor comun: ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x={\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)={\cos }^{2}x$. Control în $x=\pi /4$: $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}={\cos }^2\frac{\pi }{4}$.

11. Energia totală este $E_c+E_p=20({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=20$ mJ, oricare ar fi faza: modelul fără pierderi păstrează energia mecanică. Când $E_c=15$ mJ, rămâne $E_p=20-15=5$ mJ. Din $20{\cos }^{2}x=5$ rezultă ${\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$, deci $|\cos x|=\frac{1}{2}$. Ambele energii sunt nenegative, ca pătratele din care provin.

12. ${\cos }^{2}x=1-\frac{7744}{18769}=\frac{11025}{18769}$, deci $\cos x=\pm \frac{105}{137}$. În cadranul IV cosinusul este pozitiv: $\cos x=\frac{105}{137}$.

13. $2{\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+{\cos }^{2}x=2+{\cos }^{2}x$. Pentru $x=\frac{\pi }{3}$ obținem $2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$.

14. $E=(1-{\cos }^{2}x)-2{\cos }^{2}x=1-3{\cos }^{2}x$. Cum $0\le {\cos }^{2}x\le 1$, valorile sunt între $1-3=-2$ și $1$. Maximul $1$ se obține când $\cos x=0$, iar minimul $-2$ când $\cos x=\pm 1$.

15. Radicalul unei diferențe nu este diferența radicalilor: $\sqrt{1-{\sin }^{2}x}\ne 1-\sin x$. Corect: ${\cos }^{2}x=1-\frac{1521}{7921}=\frac{6400}{7921}$, iar în cadranul I, $\cos x=\frac{80}{89}$.

16. ${\sin }^{2}x=1-\frac{225}{12769}=\frac{12544}{12769}$, iar în cadranul II sinusul este pozitiv: $\sin x=\frac{112}{113}$. Atunci $\sin x-\cos x=\frac{112}{113}+\frac{15}{113}=\frac{127}{113}$.

17. Condiția este $a^2+(2a-1{)}^2=1$, adică $5a^2-4a=0$, deci $a(5a-4)=0$. Pentru $a=0$ se obține punctul $(0;-1)$, de pe axa $Oy$, asociat lui $\frac{3\pi }{2}$. Pentru $a=\frac{4}{5}$ se obține $\left(\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$, în primul cadran; verificare: $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$.

18. Nu. Din $(\sin x-\cos x{)}^2\ge 0$ rezultă $2\sin x\cos x\le {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Atunci $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x\le 2$, deci $\sin x+\cos x\le \sqrt{2}\approx 1,4142$, mai puțin decât $1,5$.

De reținut

• Formula ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ este distanța $OP=1$ scrisă cu coordonate; e valabilă pentru orice $x$ din $[0,2\pi ]$, fără excepții.
• Două numere pot fi cosinusul și sinusul aceluiași $x$ exact când suma pătratelor lor este $1$; testul se face înaintea oricărui alt calcul.
• Formula dă pătratul valorii căutate; semnul se alege din cadran, iar fără cadran răspunsul păstrează ambele variante.
• La simplificări, $1-{\cos }^{2}x$ și $1-{\sin }^{2}x$ devin un singur pătrat, iar $1$ poate fi înlocuit cu ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$.
• În modele, proiecțiile unui braț de lungime $L$ au suma pătratelor $L^2$, deci din lungime și o proiecție o afli pe cealaltă, fără unghi.

Greșeli frecvente

• Radicalul unei diferențe desfăcut termen cu termen. $\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$ nu este $1-\sin x$; calculează întâi diferența, apoi radicalul.
• Pereche incompatibilă tratată ca bună. Un sinus și un cosinus care nu trec testul sumei pătratelor nu pot fi reparate prin schimbarea semnelor; datele sunt greșite.
• Rezultatul aproximat înainte de simplificare. Scrie $\frac{3\sqrt{5}}{7}$, nu $0,9583$, ca rezultat final; aproximarea e doar pentru control.
• Proiecția pusă în locul valorii funcției. Într-un model cu braț de lungime $L$, proiecția este $L\cos x$, nu $\cos x$; împarte la $L$ înainte de a folosi formula, altfel „cosinusul” iese mai mare decât unu și calculul se oprește fără sens.
• Cadranul dedus din semnul datei, fără enunț. Un cosinus pozitiv nu spune singur că $x$ este în cadranul I; poate fi și în cadranul IV. Citește intervalul sau descrierea din enunț și abia apoi alege semnul valorii căutate.

Aplică acasă

1. Accelerometrul telefonului. Multe aplicații gratuite afișează componentele accelerației gravitaționale pe axele ecranului. Sprijină telefonul vertical, pe o muchie, și rotește-l în planul lui în patru poziții diferite. Notează de fiecare dată cele două componente, împarte-le la $9,8$ și aplică testul sumei pătratelor. Din semnele lor, spune în ce cadran al axelor telefonului se află direcția „în jos”.
2. Punctul tras pe cerc. Într-o aplicație de geometrie dinamică, desenează cercul trigonometric și un punct legat de el, apoi afișează coordonatele punctului și valoarea expresiei $x^2+y^2$ calculată din ele. Trage punctul prin toate cele patru cadrane: notează ce rămâne neschimbat și cum se schimbă semnele coordonatelor, apoi leagă observațiile de secțiunile 1 și 5.
3. Controlul unei simplificări. Alege două simplificări din secțiunea 6 sau din exerciții. Calculează cu aplicația, în radiani, expresia inițială și pe cea simplificată pentru trei valori diferite ale lui $x$ din $[0,2\pi ]$. Notează rezultatele și explică de ce potrivirea lor nu ține loc de demonstrație, dar o nepotrivire arată sigur o greșeală.

Pentru părinți și profesori

Programa de științe cere explicit deducerea formulei fundamentale pe cercul trigonometric, nu doar folosirea ei. Varianta din lecție folosește distanța dintre două puncte, studiată în unitatea de geometrie analitică a clasei a IX-a, și are avantajul că nu cere cazuri separate pentru punctele de pe axe. Un răspuns complet la un calcul de tipul „se dă cosinusul, află sinusul” conține pătratul, ambele variante de semn și justificarea alegerii prin cadran. Merită exersat și testul de compatibilitate al unei perechi: el formează obiceiul de a verifica datele înainte de a calcula cu ele.

Întrebări bune de control, după lecție: de ce formula nu depinde de cadran; ce înseamnă că o pereche de numere „nu trece testul”; ce informație din enunț alege semnul; ce se schimbă în răspuns când enunțul nu precizează cadranul. Un elev care răspunde fără să recite formula, ci explicând cu punctul de pe cerc, a înțeles lecția. Pentru reluarea teoremei lui Pitagora sau a formulei distanței, legăturile din lecție duc direct la lecțiile de bază.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; formula ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ este prima dintre formulele trigonometrice de bază ale unității IX.7, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Geometrie. Trigonometrie”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține capitolul „Elemente de trigonometrie”, cu cercul trigonometric și funcțiile sinus și cosinus. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de trigonometrie de la Subiectul I privește un triunghi dreptunghic; exercițiile marcate aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formula fundamentală are alt parcurs și alte exemple. Lecția anterioară din traseul M2 este graficele funcțiilor sinus și cosinus, iar următoarea este reducerea la primul cadran. Exercițiile de sinteză sunt în testul M2 de trigonometrie.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă lecția M2 despre formula fundamentală de lecția M1?

Formula este aceeași, dar aici este dedusă din distanța dintre două puncte, fără cazuri separate, și este folosită ca test de compatibilitate pentru date din măsurători și ca instrument de control în modele. Toate definițiile de care ai nevoie sunt pe această pagină. Lecția de mate-info rămâne o comparație opțională, utilă dacă vrei să vezi și demonstrația clasică, prin triunghiul dreptunghic.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 folosesc formula fundamentală?

Programa de examen pentru 2027–2029 conține capitolul „Elemente de trigonometrie”, cu cercul trigonometric și funcțiile sinus și cosinus, iar formula este unealta cu care treci de la o valoare la alta. În modelul oficial 2026, singura cerință de trigonometrie este la Subiectul I, într-un triunghi. Formula îți folosește oriunde apar împreună un sinus și un cosinus ale aceluiași unghi.

Cum verific repede dacă două valori pot fi sinusul și cosinusul aceluiași număr?

Ridici fiecare valoare la pătrat și aduni. Dacă suma este exact $1$, perechea corespunde unui punct al cercului trigonometric și există un număr cu aceste valori. Dacă suma diferă de $1$, perechea este imposibilă, oricum ai alege semnele: pătratele nu păstrează semnul.

Formula rămâne adevărată când unghiul este dat în grade?

Da. Gradele și radianii sunt două unități pentru același unghi, iar unghiul fixează același punct pe cercul trigonometric, aflat la distanța $1$ de origine. De exemplu, ${\sin }^{2}37^{\circ }+{\cos }^{2}37^{\circ }=1$, la fel ca pentru orice arc exprimat în radiani. În problemele de fizică, unde unghiurile vin des în grade, poți folosi formula direct, fără să transformi unghiul în radiani.

Programa de științe cere și deducerea formulei, sau doar folosirea ei?

Cere ambele. Competența de stabilire a unor caracteristici folosind funcții trigonometrice include explicit deducerea formulei fundamentale pe cercul trigonometric, iar competența de aplicare a formulelor de bază cere folosirea ei în probleme. Varianta cu distanța $OP=1$ este cea mai scurtă și funcționează pentru orice $x$ din $[0,2\pi ]$.

Ce rămâne pentru lecția despre calculul unei funcții când se cunoaște alta?

Aici folosești formula pentru pasul direct, de la sinus la cosinus și invers, cu semnul ales din cadran. O lecție ulterioară a unității adaugă tangenta, legătura ei cu sinusul și cosinusul și calculele care trec prin mai multe funcții. Obiceiurile formate acum, pătratul, ambele semne, cadranul, rămân aceleași acolo.