Formula lui Moivre: pe scurt

Formula lui Moivre: $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$, pentru orice $n\in \mathbb{Z}$ (demonstrată prin inducție pentru $n\in \mathbb{N}$, apoi extinsă la exponenți negativi prin $z^{-m}=\frac{1}{z^m}$). Forma folosită în probleme: pentru $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$,

$$z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi ).$$

Modulul se ridică la puterea $n$, argumentul se înmulțește cu $n$ — apoi argumentul $n\phi$ se reduce obligatoriu la $[0,2\pi )$, scăzând (sau adunând, la exponenți negativi) multipli de $2\pi$.

Natura rezultatului se citește direct din unghi: $z^n$ este real exact când $n\phi$ e multiplu de $\pi$, și pur imaginar exact când $n\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$. Așa se află cel mai mic exponent pentru care o putere devine reală: se pune condiția ca $n\phi$ să fie multiplu de $\pi$ și se rezolvă în numere naturale.

Egalând dezvoltarea binomială a lui $(\cos x+i\sin x{)}^n$ cu $\cos nx+i\sin nx$ și identificând părțile, Moivre produce și formulele unghiului dublu, triplu etc.

Algoritmul de calcul al unei puteri are patru pași ficși: scrii $z$ trigonometric (modul, cadran, argument), aplici Moivre (modulul la puterea $n$, argumentul înmulțit cu $n$), reduci argumentul obținut la $[0,2\pi )$, apoi revii la forma algebrică dacă enunțul o cere. Pasul de reducere este cel care se uită cel mai des, deși e obligatoriu pentru ca forma finală să fie standard.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați ${\left(\cos \frac{\pi }{9}+i\sin \frac{\pi }{9}\right)}^{18}$.

   • a) $1$
   • b) $-1$
   • c) $i$
   • d) $-i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $1$

   Modulul rămâne $1$; argumentul devine $18\cdot \frac{\pi }{9}=2\pi$, care se reduce la $0$, deci rezultatul este $\cos 0+i\sin 0=1$.

2. Pentru un număr $z$ cu modulul $2$ și argumentul $\frac{\pi }{5}$, calculați modulul lui $z^{10}$.

   • a) $20$
   • b) $1024$
   • c) $2$
   • d) $10$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $1024$

   Modulul se ridică la puterea $n$: $2^{10}=1024$.

3. Pentru $z=2\left(\cos \frac{\pi }{9}+i\sin \frac{\pi }{9}\right)$, calculați, în grade, argumentul redus al lui $z^{12}$.

   • a) $120°$
   • b) $20°$
   • c) $240°$
   • d) $480°$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $240°$

   Argumentul lui $z$ este $\frac{\pi }{9}=20°$, deci $12\cdot 20°=240°$, deja în $[0°,360°)$.