Care egalitate este adevărată pentru orice numere reale $$a$$ și $$b$$?

$$\sin(a+b)=\sin a\sin b+\cos a\cos b$$

Cât este $$\cos\dfrac{23\pi}{12}$$?

$$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

$$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

$$-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

$$\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$

Cât este sin(a+b) dacă sin a= 3/5 în cadranul I și cos b=- 5/13 în cadranul II?

Completezi funcțiile lipsă după cadran: cos a= 4/5 și sin b= 12/13. Atunci sin(a+b)= 3/5·(- 5/13)+ 4/5· 12/13= (-15+48)/65= 33/65. Suma a+b cade în cadranul II, unde sinusul este pozitiv, ca rezultatul găsit; verificarea semnului prinde greșelile de cadran.

Cum găsesc coordonatele unui punct rotit?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formulele de adunare

Un punct $(x, y)$ rotit în jurul originii cu unghiul $b$ ajunge în $(x cos b - y sin b, x sin b + y cos b)$ . Formula vine din $cos (a + b)$ și $sin (a + b)$ , scriind $x = r cos a$ și $y = r sin a$ . Exemplu: $(2, 1)$ rotit cu $\frac{π}{2}$ ajunge în $(- 1, 2)$ . Rotit cu $\frac{π}{3}$ , ajunge în $(1 - \frac{3}{2}, 3 + \frac{1}{2}) \approx (0, 13; 2, 23)$ . Distanța până la origine rămâne $5$ .

Sinusul și cosinusul nu se distribuie peste sumă: $sin (a + b)$ nu este $sin a + sin b$ . Legea corectă pornește de la formula $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ , care este produsul scalar al vectorilor unitari spre punctele $M (a)$ și $N (b)$ de pe cerc, calculat o dată prin descompunerea lor după axe și o dată prin definiție.

Din ea urmează celelalte trei. Cosinusul unei sume înmulțește cosinus cu cosinus și sinus cu sinus, cu semnul opus celui din argument: $cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$ . Sinusul unei sume combină câte un sinus cu un cosinus și păstrează semnul din argument: $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ . Formulele sunt valabile pentru orice numere reale.

În exerciții, scrii întâi arcul ca sumă sau diferență de arce din tabel, completezi funcția lipsă cu semnul dat de cadran și verifici la final semnul rezultatului. Formulele se citesc și invers: o sumă de produse de sinusuri și cosinusuri ale acelorași două arce este sinusul sau cosinusul unei sume. Tot ele dau coordonatele unui punct după o rotație.

De reținut

$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$
$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
rotația cu $b$ : $(x cos b - y sin b, x sin b + y cos b)$

Greșeala tipică

Se scrie $cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b$ , păstrând plusul din argument; corect, la cosinusul unei sume între produse stă minus, iar la cosinusul unei diferențe stă plus.

Exerciții din această mini-lecție

Care egalitate este adevărată pentru orice numere reale $a$ și $b$ ?
- a) $cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b$
- b) $cos (a + b) = cos a + cos b$
- c) $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$
- d) $sin (a + b) = sin a sin b + cos a cos b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$

La cosinusul sumei, între produse stă semnul minus. Test: pentru $a = b = \frac{π}{2}$ , $cos π = - 1$ , iar $0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = - 1$ .
Cât este $cos \frac{23 π}{12}$ ?
- a) $\frac{6 - 2}{4}$
- b) $\frac{6 + 2}{4}$
- c) $- \frac{6 + 2}{4}$
- d) $\frac{2 - 6}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{6 + 2}{4}$

$\frac{23 π}{12} = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{6}$ , deci $cos \frac{23 π}{12} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - (- \frac{2}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ , pozitiv în cadranul al IV-lea.
Cât este $sin 5 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 5 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$ ?
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $\frac{2}{2}$
- c) $0$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{1}{2}$

Expresia este $sin (5 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Întrebări conexe

Cum recunosc o formulă de adunare scrisă invers?

Observi că apar doar două arce, fiecare o dată sub sinus și o dată sub cosinus, iar produsele sunt legate prin plus sau minus. Expresia $sin 7 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} - cos 7 0^{\circ} sin 1 0^{\circ}$ are forma $sin a cos b - cos a sin b$ , deci este $sin (7 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ . Minusul dintre produse indică, la sinus, o diferență de arce.

Cât este $sin (a + b)$ dacă $sin a = \frac{3}{5}$ în cadranul I și $cos b = - \frac{5}{13}$ în cadranul II?

Completezi funcțiile lipsă după cadran: $cos a = \frac{4}{5}$ și $sin b = \frac{12}{13}$ . Atunci $sin (a + b) = \frac{3}{5} \cdot (- \frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{- 15 + 48}{65} = \frac{33}{65}$ . Suma $a + b$ cade în cadranul II, unde sinusul este pozitiv, ca rezultatul găsit; verificarea semnului prinde greșelile de cadran.

Ce devine $cos (x + π)$ aplicând formula sumei?

Cu $cos π = - 1$ și $sin π = 0$ , obții $cos (x + π) = cos x \cdot (- 1) - sin x \cdot 0 = - cos x$ . Formulele de reducere la primul cadran sunt cazuri particulare ale formulelor de adunare, cu unul dintre arce multiplu de $\frac{π}{2}$ .

Cum simplific $sin (x + y) + sin (x - y)$ ?

Desfaci ambele sinusuri: $sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y - cos x sin y$ . Termenii cu $cos x sin y$ se reduc și rămâne $2 sin x cos y$ . Proba la $x = \frac{π}{2}$ , $y = 0$ : stânga dă $2$ , dreapta $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$ . Formula transformă o sumă de sinusuri într-un produs, ceea ce ajută la rezolvarea ecuațiilor.

De ce $sin (a + b)$ nu este egal cu $sin a + sin b$ ?

Sinusul nu este o funcție care se distribuie peste o sumă. Un contraexemplu ajunge: pentru $a = b = \frac{π}{2}$ , $sin π = 0$ , pe când $sin \frac{π}{2} + sin \frac{π}{2} = 2$ . Formula corectă amestecă sinusuri și cosinusuri: $sin a cos b + cos a sin b$ .

Oamenii mai întreabă și: rotația unui punct în jurul originii · coordonatele după rotație · formulele rotației cu sinus și cosinus · punct rotit cu un unghi

Cum găsesc coordonatele unui punct rotit?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum recunosc o formulă de adunare scrisă invers?

Cât este sin(a+b) dacă sina=53​ în cadranul I și cosb=−135​ în cadranul II?

Ce devine cos(x+π) aplicând formula sumei?

Cum simplific sin(x+y)+sin(x−y)?

De ce sin(a+b) nu este egal cu sina+sinb?

Continuă cu

Cât este $sin (a + b)$ dacă $sin a = \frac{3}{5}$ în cadranul I și $cos b = - \frac{5}{13}$ în cadranul II?

Ce devine $cos (x + π)$ aplicând formula sumei?

Cum simplific $sin (x + y) + sin (x - y)$ ?

De ce $sin (a + b)$ nu este egal cu $sin a + sin b$ ?