Care este forma corectă a formulei sinusului sumei?

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$

$$\sin(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$

Care dintre formulele de mai jos este „formula-mamă", demonstrată în lecție cu ajutorul coardei cercului trigonometric și al teoremei lui Pitagora?

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$

$$\operatorname{tg}(a+b)=\dfrac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}$$

Formula $$\operatorname{tg}(a+b)=\dfrac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{1-\operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}$$ este valabilă doar dacă:

$$\cos a\neq0$$, $$\cos b\neq0$$ și $$\cos(a+b)\neq0$$

$$\sin a\neq0$$ și $$\sin b\neq0$$

nicio condiție suplimentară, formula e valabilă mereu

Cât este sinus de a plus b?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formulele sumei și diferenței trigonometrice

Este $sin a cos b + cos a sin b$ . Cele două funcții se încrucișează, iar semnul din mijloc îl copiază pe cel scris în paranteză, deci la diferență apare minus. Sinusul nu este aditiv: pentru $a = b = 4 5^{\circ}$ membrul stâng dă $1$ , iar suma sinusurilor ar da $2$ . Cu formula se obțin valori exacte suplimentare, cum ar fi sinusul de $7 5^{\circ}$ .

Sinusul, cosinusul și tangenta nu sunt aditive: $sin (a + b) \neq = sin a + sin b$ , așa cum arată contraexemplul $a = b = 4 5^{\circ}$ , unde membrul stâng dă $1$ , iar cel drept $2 \approx 1, 414$ . Legea corectă se deduce geometric, calculând în două moduri lungimea aceleiași coarde a cercului trigonometric (cu teorema lui Pitagora), și dă formula-mamă: $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b .$ Din ea, folosind paritatea funcțiilor ( $cos (- b) = cos b$ , $sin (- b) = - sin b$ ) și relația cu cofuncțiile, se deduc în cascadă celelalte trei: $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b .$ Mnemonica ține totul minte: la sinus funcțiile se amestecă, iar semnul rămâne cel din paranteză; la cosinus funcțiile rămân perechi ( $cos cos$ , $sin sin$ ), iar semnul se schimbă. Împărțind formulele sinusului și cosinusului la $cos a cos b$ obținem tangenta: $tg (a \pm b) = \frac{tg a \pm tg b}{1 \mp tg a tg b},$ valabilă doar când $cos a \neq = 0$ , $cos b \neq = 0$ și $cos (a \pm b) \neq = 0$ . Formulele îmbogățesc tabelul de valori exacte cu unghiuri noi: $sin 7 5^{\circ} = cos 1 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ , $tg 1 5^{\circ} = 2 - 3$ . Ele stau la baza tuturor formulelor trigonometrice ulterioare — unghi dublu, unghi pe jumătate, transformarea sumelor în produse.

De reținut

$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$
$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$
$tg (a + b) = \frac{tg a + tg b}{1 - tg a tg b}$

Greșeala tipică

Se scrie sinusul sumei ca sumă de sinusuri; pentru două unghiuri de $4 5^{\circ}$ prima variantă dă unu, iar a doua dă radical din doi, deci egalitatea este falsă.

Exerciții din această mini-lecție

Care este forma corectă a formulei sinusului sumei?
- a) $sin (a + b) = sin a + sin b$
- b) $sin (a + b) = sin a cos b - cos a sin b$
- c) $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
- d) $sin (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$

Formula corectă, dedusă din formula-mamă prin trecerea la cofuncții, este $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ — varianta c. Varianta a e capcana clasică a lecției: sinusul nu e aditiv, contraexemplul $a = b = 4 5^{\circ}$ o infirmă imediat ( $1 \neq = 2$ ). Varianta b este de fapt formula lui $sin (a - b)$ , nu a sumei — semnul din mijloc trebuie să fie același cu cel din paranteză. Varianta d este formula lui $cos (a + b)$ , confundă cele două funcții.
Care dintre formulele de mai jos este „formula-mamă", demonstrată în lecție cu ajutorul coardei cercului trigonometric și al teoremei lui Pitagora?
- a) $cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b$
- b) $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$
- c) $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
- d) $tg (a + b) = \frac{tg a + tg b}{1 - tg a tg b}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$

Egalând cele două expresii ale pătratului aceleiași coarde se obține direct $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ — varianta b, singura demonstrată geometric în lecție; toate celelalte trei formule se deduc ulterior din ea. Varianta a are semnul greșit: $cos (a + b)$ se obține din formula-mamă înlocuind $b$ cu $- b$ , ceea ce schimbă semnul lui $sin b$ , deci formula corectă pentru sumă are minus în față. Variantele c și d sunt formule derivate ulterior, nu punctul de plecare al demonstrației.
Formula $tg (a + b) = \frac{tg a + tg b}{1 - tg a tg b}$ este valabilă doar dacă:
- a) $sin a \neq = 0$ și $sin b \neq = 0$
- b) doar $cos (a + b) \neq = 0$
- c) nicio condiție suplimentară, formula e valabilă mereu
- d) $cos a \neq = 0$ , $cos b \neq = 0$ și $cos (a + b) \neq = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $cos a \neq = 0$ , $cos b \neq = 0$ și $cos (a + b) \neq = 0$

Pentru ca $tg a$ și $tg b$ să existe e nevoie de $cos a \neq = 0$ și $cos b \neq = 0$ , iar pentru ca fracția să aibă sens e nevoie ca $1 - tg a tg b \neq = 0$ , condiție echivalentă cu $cos (a + b) \neq = 0$ — toate trei împreună, varianta d. Varianta a confundă condițiile cotangentei cu ale tangentei. Varianta b e incompletă: chiar dacă $cos (a + b) \neq = 0$ , formula nu are sens dacă $tg a$ sau $tg b$ nici nu există. Varianta c ignoră exact punctul pe care lecția îl insistă: condițiile fac parte din formulă, nu sunt un detaliu opțional (cazul $a = b = 4 5^{\circ}$ , unde $a + b = 9 0^{\circ}$ , arată de ce sunt necesare).

Întrebări conexe

Cât este cosinus de a plus b?

Este $cos a cos b - sin a sin b$ . La cosinus funcțiile rămân în perechi, cosinus cu cosinus și sinus cu sinus, iar semnul din mijloc se schimbă față de cel din paranteză. De aceea suma are minus, iar diferența are plus.

Cât este cosinus de a minus b?

Este $cos a cos b + sin a sin b$ . Aceasta este formula din care se deduc toate celelalte, demonstrată prin calcularea în două feluri a lungimii aceleiași coarde de pe cercul trigonometric. Restul rezultă înlocuind pe $b$ cu opusul lui.

Care este formula tangentei sumei a două unghiuri?

Este raportul dintre suma tangentelor și unu minus produsul lor. Se obține împărțind formulele sinusului și cosinusului la produsul cosinusurilor. Are sens doar dacă tangentele celor două unghiuri există și dacă numitorul nu se anulează.

Cât este cosinus de 15 grade, exact?

Scrii unghiul ca diferență între $4 5^{\circ}$ și $3 0^{\circ}$ și aplici formula cosinusului diferenței. Rezultatul este $\frac{6 + 2}{4}$ , aproximativ $0, 966$ . Aceeași valoare o are și sinusul de $7 5^{\circ}$ , fiindcă unghiurile se completează până la un unghi drept.

Cum rețin semnele din formulele sumei și diferenței?

La sinus produsele se încrucișează, iar semnul dintre ele îl copiază pe cel din paranteză. La cosinus produsele rămân în perechi, iar semnul se întoarce. Două cuvinte ajută: amestec cu semn păstrat la sinus, pereche cu semn schimbat la cosinus.

Cum folosesc formulele sumei ca să calculez sinus de 105 grade?

Scrii $10 5^{\circ}$ ca $6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ și aplici formula sinusului sumei cu valorile din tabel. Rezultatul iese $\frac{6 + 2}{4}$ . Alegerea descompunerii nu contează: și $13 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ duce la același număr.

Oamenii mai întreabă și: formula pentru sin(a+b) · sinusul sumei a două unghiuri · formule de adunare în trigonometrie · cât face sin de a plus b