Formulele sin(a ± b) și cos(a ± b) (M2, științe ale naturii)

Privită într-o fotografie cu expunere lungă, fiecare stea de pe cerul nordic lasă un arc de cerc în jurul Stelei Polare, rotindu-se cu cincisprezece grade pe oră. Ca să afli unde va fi o stea peste două ore, adaugi un unghi la unghiul pe care îl are acum, iar coordonatele noi se cer exprimate prin cele vechi: de aici se nasc formulele pentru sinusul și cosinusul unei sume. Lecția aparține clasei a IX-a, profilul științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema nu apare: programa acelei probe nu conține formulele de adunare. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit $\sin (a\pm b)$ și $\cos (a\pm b)$ în capitolul de trigonometrie al clasei a IX-a; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință cu ele.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: formulele pentru sinusul și cosinusul sumei și ale diferenței sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28) și nici la altă clasă a ei. Ai nevoie de trei unelte deja învățate: produsul scalar a doi vectori, descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari și funcțiile trigonometrice definite pe toată axa reală, din lecția precedentă a suplimentului.

Ce vei învăța

• Vei arăta cu un exemplu de trei rânduri că sinusul unei sume nu este suma sinusurilor.
• Vei obține formula pentru $\cos (a-b)$ din produsul scalar a doi vectori de lungime $1$, iar din ea celelalte trei formule.
• Vei calcula valori exacte pentru arce noi, scriindu-le ca sumă sau diferență de arce cunoscute, cu semnul controlat prin cadran.
• Vei calcula $\sin (a+b)$ sau $\cos (a-b)$ când cunoști o singură funcție a fiecărui număr și cadranul lui, ca la Subiectul I al examenului.
• Vei recunoaște formulele citite invers și vei simplifica expresii scrise cu ele.
• Vei folosi formulele pentru a afla coordonatele unui punct după o rotație, într-un model din astronomie sau din laborator.

Hai să descoperim împreună

1. De ce sinusul sumei nu este suma sinusurilor?

Tentația este mare: dacă $2\cdot (a+b)=2a+2b$, poate și „$\sin (a+b)=\sin a+\sin b$”. Un singur exemplu închide discuția. Pentru $a=b=\frac{\pi }{2}$, membrul stâng este $\sin \pi =0$, iar membrul drept este $\sin \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}=2$. Nu doar că diferă, dar $2$ nici nu poate fi valoarea unui sinus. Cu aceleași numere, $\cos \pi =-1$, în timp ce $\cos \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=0$.

De unde vine intuiția greșită? Din faptul că sinusul nu măsoară arcul, ci o coordonată. Dacă mergi pe cerc un sfert de tură și încă un sfert de tură, arcul parcurs s-a dublat, dar înălțimea punctului nu s-a dublat: după primul sfert erai sus, pe axa verticală, iar după al doilea ai coborât înapoi pe axa orizontală. Coordonatele unui punct care se rotește nu cresc proporțional cu unghiul, de aceea legea de compunere trebuie căutată altfel.

Formulele de adunare sunt egalitățile care exprimă sinusul și cosinusul sumei $a+b$ și ale diferenței $a-b$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, prin sinusurile și cosinusurile lui $a$ și $b$. Ele nu distribuie funcția peste sumă, ci amestecă cele două funcții. Toate patru se sprijină pe una singură, formula cosinusului diferenței, pe care o obținem acum cu o unealtă din suplimentul de vectori.

2. Cum se obține cos(a − b) din produsul scalar?

Fie $O$ originea, $A(1,0)$ și $B(0,1)$, iar $M=M(a)$ și $N=M(b)$ punctele asociate numerelor $a$ și $b$ pe cercul trigonometric. Coordonatele lor sunt $M(\cos a,\sin a)$ și $N(\cos b,\sin b)$. Vectorii $\overrightarrow{OA}$ și $\overrightarrow{OB}$ au lungimea $1$ și sunt perpendiculari, deci nu sunt coliniari și orice vector din plan se descompune după ei. Mergând din $O$ pe orizontală cu $\cos a$ și apoi pe verticală cu $\sin a$, ajungi în $M$, adică

$$\overrightarrow{OM}=\cos a\cdot \overrightarrow{OA}+\sin a\cdot \overrightarrow{OB},\overrightarrow{ON}=\cos b\cdot \overrightarrow{OA}+\sin b\cdot \overrightarrow{OB}.$$

Calculăm produsul scalar $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ în două feluri. Primul folosește proprietățile din lecția despre produsul scalar: desfacem parantezele, iar din condiția de perpendicularitate știm că $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$, în timp ce $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB}=1$. Rămân doar doi termeni:

$$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

Al doilea fel folosește definiția: lungimile sunt $1$ și $1$, iar cosinusul unghiului dintre vectori este $\cos (a-b)$, după cum arată secțiunea următoare. Deci $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=\cos (a-b)$. Egalând cele două rezultate obținem formula-mamă:

$$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

Citește formula și ca pe o informație despre figură. Numărul $\cos (a-b)$ spune cât de apropiate sunt pe cerc punctele $M$ și $N$: când ele aproape coincid, el este aproape de $1$; când sunt diametral opuse, ajunge la $-1$; când se văd din origine sub un unghi drept, este zero. Toată trigonometria sumelor de arce pornește din această egalitate simplă.

3. Ce se schimbă când arcele sunt departe unul de altul?

Unghiul dintre doi vectori se ia între $0$ și $\pi$, iar diferența $a-b$ poate fi negativă sau mai mare decât $\pi$. Nu contează, pentru că formula folosește numai cosinusul unghiului. Lucrăm întâi cu $d=|a-b|$ și, pentru $a$ și $b$ din $[0,2\pi ]$, avem $0\le d\le 2\pi$. Dacă $d\le \pi$, unghiul dintre vectori este chiar $d$. Dacă $\pi <d\le 2\pi$, drumul scurt între cele două puncte ocolește prin partea cealaltă, iar unghiul este $2\pi -d$; cum $\cos (2\pi -d)=\cos d$, după formulele pentru 2π − x, cosinusul unghiului este tot $\cos d$. În sfârșit, $\cos d=\cos (a-b)$ în ambele situații de semn, pentru că punctele lui $x$ și $-x$ sunt simetrice față de axa orizontală și au aceeași abscisă, deci cosinusul nu se schimbă când argumentul își schimbă semnul.

Un exemplu îți arată că nu e doar teorie. Pentru $a=\frac{5\pi }{3}$ și $b=\frac{\pi }{6}$, diferența este $\frac{3\pi }{2}$, mai mare decât $\pi$, dar punctele $M$ și $N$ se văd din origine sub un unghi drept, $2\pi -\frac{3\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$. Cosinusurile coincid: $\cos \frac{3\pi }{2}=\cos \frac{\pi }{2}=0$, deci vectorii sunt perpendiculari. În sfârșit, pentru numere reale oarecare, adăugarea unor ture întregi nu mută punctele, iar cosinusul are perioada $2\pi$. Formula este, prin urmare, adevărată pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$, cadrul examenului din 2027–2029; pe $[0,2\pi ]$ se aplică exact la fel.

4. Cum rezultă formula pentru cos(a + b)?

Scriem suma ca pe o diferență: $a+b=a-(-b)$. Aplicăm formula-mamă cu $-b$ în locul lui $b$. Avem nevoie de $\cos (-b)$ și de $\sin (-b)$. Punctul lui $-b$ este simetricul punctului lui $b$ față de axa orizontală, deci are aceeași abscisă și ordonata opusă: $\cos (-b)=\cos b$ și $\sin (-b)=-\sin b$. Pe cerc, este exact situația $2\pi -b$ din lecția de bază, cu o tură în minus. Obținem

$$\cos (a+b)=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$

Singura diferență față de cosinusul diferenței este semnul din mijloc, iar el este opus semnului din paranteză: sumă în argument, minus între produse. Nu a fost nevoie de o nouă figură sau de un nou produs scalar; tot ce am folosit este simetria punctelor față de axa orizontală, adică faptul că un număr și opusul lui au aceeași abscisă pe cerc.

5. De unde vin formulele pentru sinus?

Punem $a=\frac{\pi }{2}$ în formula-mamă. Cum $\cos \frac{\pi }{2}=0$ și $\sin \frac{\pi }{2}=1$, rămâne $\cos \left(\frac{\pi }{2}-b\right)=\sin b$, pentru orice număr real $b$. Aplicând aceeași egalitate numărului $\frac{\pi }{2}-b$, găsim și $\sin \left(\frac{\pi }{2}-b\right)=\cos b$. Lecția despre formulele cu π/2 le-a obținut prin simetrie pentru numere din primul sfert de tură; aici ele ies din calcul, pe toată axa reală.

Acum sinusul sumei se transformă în cosinusul unei diferențe:

$$\sin (a+b)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-a\right)-b\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos b+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin b=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

Înlocuind $b$ cu $-b$ și folosind din nou $\cos (-b)=\cos b$ și $\sin (-b)=-\sin b$, obținem $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$. La sinus, semnul dintre produse este același cu semnul din paranteză. Cele patru formule, adunate într-un singur loc:

$$\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b,\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b.$$

6. Cum verifici că ai scris corect o formulă?

O formulă generală trebuie să conțină, drept cazuri particulare, tot ce știi deja. Pentru $b=0$ toate patru dau identități evidente: $\sin (a+0)=\sin a$. Pentru $b=\pi$ regăsești reducerile din lecția de bază: $\cos (a+\pi )=\cos a\cdot (-1)-\sin a\cdot 0=-\cos a$. Dacă formula pe care ai scris-o nu trece testul $b=\pi$, ai greșit un semn.

Al doilea control este unul numeric, de zece secunde, pe un calculator: alege două numere oarecare, de exemplu $a=1$ și $b=0,5$ în radiani, și compară cele două membre. Nu demonstrează nimic, dar prinde imediat o formulă greșită. Alege numere care nu sunt din tabel și nu sunt egale între ele: un test cu $a=b$ sau cu arce speciale poate ascunde o greșeală, pentru că doi termeni diferiți pot avea din întâmplare aceeași valoare. Al treilea control privește semnul rezultatului: un arc din cadranul al III-lea trebuie să aibă sinusul negativ, oricât de lung ar fi calculul care a dus la el.

7. Ce se întâmplă cu tangenta?

Programa de examen enumeră numai formulele pentru sinus și cosinus. O formulă pentru tangenta sumei se deduce însă direct, prin împărțire, și e bine să știi de unde vine, nu s-o memorezi separat. Dacă $\cos a$, $\cos b$ și $\cos (a+b)$ sunt nenule, împărțim numărătorul și numitorul lui $\frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)}$ la $\cos a\cos b$:

$$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b},\mathrm{tg}(a-b)=\frac{\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}b}{1+\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}.$$

Condițiile nu sunt decor. Când numitorul $1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b$ se anulează, suma $a+b$ cade într-un punct în care tangenta nu există. Dacă ai nevoie de tangenta unei sume și nu ești sigur de formulă, calculează separat sinusul și cosinusul sumei și împarte-le: ajungi la același rezultat.

8. Unde apar formulele în științe?

Orice rotație a unui punct în jurul originii folosește formulele de adunare. Un punct $P$ aflat la distanța $r$ de origine, pe direcția care face unghiul $a$ cu axa $Ox$, are coordonatele $x=r\cos a$ și $y=r\sin a$. După o rotație cu unghiul $b$ în sens trigonometric, el ajunge pe direcția $a+b$, la aceeași distanță, deci are coordonatele $r\cos (a+b)$ și $r\sin (a+b)$. Dezvoltând cu formulele, obții

$$x^{\prime }=x\cos b-y\sin b,y^{\prime }=x\sin b+y\cos b.$$

Remarcabil este că unghiul inițial $a$ a dispărut: îți ajung coordonatele vechi și unghiul de rotație. Relațiile acestea descriu rotirea imaginii într-un telescop, deplasarea aparentă a stelelor, rotirea unei probe pe platina unui microscop sau a unei piese într-un strung. Distanța față de centru se păstrează: $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2$, pentru că ${\cos }^{2}b+{\sin }^{2}b=1$, un control util după orice calcul. Dacă rotești punctul întâi cu unghiul $b$ și apoi cu unghiul $c$, ajungi în același loc ca după o singură rotație cu $b+c$; cu alte cuvinte, formulele de adunare spun că două rotații succesive se compun adunând unghiurile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O valoare exactă nouă

Calculați $\sin \frac{19\pi }{12}$ și $\cos \frac{19\pi }{12}$.

Rezolvare. Căutăm două arce cunoscute cu suma $\frac{19\pi }{12}$: $\frac{4\pi }{3}+\frac{\pi }{4}=\frac{16\pi +3\pi }{12}=\frac{19\pi }{12}$. Cu $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$:

$$\sin \frac{19\pi }{12}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\cos \frac{19\pi }{12}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

Controlul de semn: $\frac{19\pi }{12}$ este între $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$, în cadranul al IV-lea, unde sinusul e negativ și cosinusul pozitiv. Aproximările, $-0,9659$ și $0,2588$, confirmă. Descompunerea nu este unică: poți scrie și $\frac{19\pi }{12}=\frac{7\pi }{4}-\frac{\pi }{6}$ și folosi formulele diferenței. Calculul arată altfel pe parcurs, dar rezultatul final trebuie să fie același, iar compararea celor două drumuri este un control excelent atunci când ai timp.

Exemplul 2 — Din date parțiale, cu cadran

Se știe că $\sin a=\frac{5}{7}$, cu $a\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, și $\cos b=-\frac{7}{8}$, cu $b\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculați $\sin (a+b)$ și $\cos (a-b)$.

Rezolvare. Completăm întâi datele. ${\cos }^{2}a=1-\frac{25}{49}=\frac{24}{49}$, iar în primul cadran $\cos a=\frac{2\sqrt{6}}{7}$. ${\sin }^{2}b=1-\frac{49}{64}=\frac{15}{64}$, iar în cadranul al II-lea $\sin b=\frac{\sqrt{15}}{8}$. Apoi, cu $\sqrt{6}\cdot \sqrt{15}=3\sqrt{10}$,

$$\sin (a+b)=\frac{5}{7}\cdot \left(-\frac{7}{8}\right)+\frac{2\sqrt{6}}{7}\cdot \frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{-35+6\sqrt{10}}{56},$$

$$\cos (a-b)=\frac{2\sqrt{6}}{7}\cdot \left(-\frac{7}{8}\right)+\frac{5}{7}\cdot \frac{\sqrt{15}}{8}=\frac{-14\sqrt{6}+5\sqrt{15}}{56}.$$

Fără cadrane, fiecare radical ar fi avut două semne posibile și rezultatul n-ar fi fost unic. Un control rapid: $a$ este un număr din primul cadran, iar $b$ unul din al doilea, deci suma lor poate trece de $\pi$. Cum $6\sqrt{10}\approx 18,97<35$, sinusul sumei este negativ, deci exact asta s-a întâmplat, iar $a+b$ se află în cadranul al III-lea.

Exemplul 3 — Formula citită invers

Calculați fără tabele $E=\cos 70^{\circ }\cos 10^{\circ }+\sin 70^{\circ }\sin 10^{\circ }$ și $F=\sin \frac{3\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}+\cos \frac{3\pi }{8}\sin \frac{\pi }{8}$.

Rezolvare. $E$ are forma $\cos a\cos b+\sin a\sin b$, adică $\cos (a-b)$, cu $a=70^{\circ }$ și $b=10^{\circ }$: $E=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. $F$ are forma $\sin a\cos b+\cos a\sin b$, adică $\sin (a+b)$, cu $a=\frac{3\pi }{8}$ și $b=\frac{\pi }{8}$: $F=\sin \frac{4\pi }{8}=\sin \frac{\pi }{2}=1$. Niciunul dintre arcele date nu are valori în tabelele de bază, dar suma sau diferența lor are. Acesta este semnalul că formula trebuie citită de la dreapta la stânga. Uită-te întâi la tiparul expresiei: produse de cosinusuri și sinusuri ale acelorași două arce, legate printr-un semn. Perechile identice ($\cos \cdot \cos$ și $\sin \cdot \sin$) anunță un cosinus, iar perechile amestecate anunță un sinus.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$\cos (a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, pentru că la sumă se adună.” Arătați că formula lui este greșită și scrieți-o corect.

Rezolvare. Testăm pe $a=b=\frac{\pi }{3}$. Membrul stâng este $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, iar membrul drept al elevului dă $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$. Cele două diferă, deci formula e falsă. Corect este $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, iar cu ea membrul drept devine $\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$. Regula de reținut: la cosinus, semnul dintre produse este opus celui din argument.

Exemplul 5 — Stelele din jurul Stelei Polare

Într-o fotografie a cerului nordic, cu Steaua Polară în origine, o stea are coordonatele $(4,3)$, în centimetri. Stelele par să se rotească în jurul Polarei cu $15^{\circ }$ pe oră, în sens trigonometric. Unde se află steaua în fotografie după $2$ ore?

Rezolvare. Unghiul de rotație este $2\cdot 15^{\circ }=30^{\circ }$. Cu formulele de rotație din secțiunea 8:

$$x^{\prime }=4\cos 30^{\circ }-3\sin 30^{\circ }=2\sqrt{3}-\frac{3}{2}\approx 1,96,y^{\prime }=4\sin 30^{\circ }+3\cos 30^{\circ }=2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 4,60.$$

Distanța față de Polară rămâne $5$ cm, iar punctul nou, aproximativ $(1,96;4,60)$, confirmă: $1,96^2+4,60^2\approx 25$. Modelul presupune că Polara stă exact în polul ceresc și că fotografia nu deformează imaginea; în realitate Polara este la mai puțin de un grad de pol, iar pe o fotografie de două ore diferența se vede doar la stelele foarte apropiate de ea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră expresia $E(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, unde $x$ este număr real. a) Arătați că $E(x)=\sqrt{2}\sin x$, pentru orice număr real $x$. b) Calculați $E\left(\frac{7\pi }{6}\right)$.

Rezolvare. a) Cu $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$E(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\sin x=\sqrt{2}\sin x.$$

b) $E\left(\frac{7\pi }{6}\right)=\sqrt{2}\sin \frac{7\pi }{6}=\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Forma simplificată scutește de calculul unor arce ca $\frac{17\pi }{12}$.

Să exersăm

Scrie întâi formula pe care o folosești, apoi înlocuiește. La datele cu cadran, completează sinusul sau cosinusul lipsă cu semnul potrivit înainte de a aplica formula. Rezultatele rămân în formă exactă.

1. Calculează $\cos \frac{13\pi }{12}$, scriind $\frac{13\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$.

2. Calculează $\cos \frac{17\pi }{12}$.

3. Calculează $\sin 100^{\circ }\cos 40^{\circ }-\cos 100^{\circ }\sin 40^{\circ }$.

4. Se știe că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\sin a=\frac{5}{8}$ și $\cos b=\frac{19}{20}$. Calculează $\cos (a-b)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Oricum am alege numerele reale $a$ și $b$, are loc $\cos (a+b)\le \cos a+\cos b$.”

6. Folosind formulele de adunare, arată că $\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=-\cos x$ și $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$, pentru orice număr real $x$.

7. Arată că $\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\sqrt{3}\sin x$, pentru orice număr real $x$.

8. Se știe că $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\cos a=\frac{11}{16}$ și $\cos b=\frac{7}{17}$. Calculează $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$, apoi $\mathrm{tg}(a+b)$ ca raport al lor, și precizează cadranul în care se află $a+b$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)+\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\sqrt{3}\cos x$, pentru orice număr real $x$.

10. (Problemă aplicată.) Pe platina rotativă a unui microscop, o celulă se află în punctul de coordonate $(6,2)$, în micrometri, față de centrul de rotație. După ce platina se rotește în sens trigonometric cu un unghi $b$ din $(0^{\circ },180^{\circ })$, celula apare în punctul $\left(3-\sqrt{3},1+3\sqrt{3}\right)$. Verifică faptul că distanța față de centru s-a păstrat, apoi află $\cos b$ cu produsul scalar al celor doi vectori de poziție și deduce unghiul $b$.

11. Se știe că $\sin a=-\frac{2}{11}$, cu $a\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$, și $\cos b=-\frac{6}{7}$, cu $b\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculează $\sin (a-b)$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\cos a=\frac{9}{11}$ și $\sin b=\frac{3}{13}$. Arătați că $\sin (a+b)=\frac{107}{143}$.

13. Arată că $\frac{\sin (a+b)}{\cos a\cos b}=\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b$, pentru numerele $a$ și $b$ cu $\cos a\ne 0$ și $\cos b\ne 0$.

14. Vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ au lungimea $1$ și fac cu axa $Ox$ unghiurile de $40^{\circ }$, respectiv $160^{\circ }$. Calculează $\vec{u}\cdot \vec{v}$ în două feluri: din definiția produsului scalar și din descompunerea vectorilor după axe.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x+\cos x$, pentru orice număr real $x$.

16. Determină $x\in [0,\pi ]$ pentru care $\sin x\cos \frac{\pi }{5}+\cos x\sin \frac{\pi }{5}=1$.

17. Calculează $\sin (a-b)$ pentru $a=\frac{\pi }{3}$ și $b=\frac{7\pi }{4}$, apoi stabilește în ce cadran se află punctul asociat numărului $a-b$ și verifică semnul rezultatului.

18. (Provocare.) Triunghiul $ABC$ are $\cos A=\frac{10}{11}$ și $\cos B=\frac{10}{17}$. Folosind $A+B+C=\pi$, calculează $\sin C$ și $\cos C$ și stabilește felul unghiului $C$.

Răspunsuri și explicații

1. $\cos \frac{13\pi }{12}=\cos \frac{3\pi }{4}\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{3\pi }{4}\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$. Arcul este în cadranul al III-lea, deci cosinusul negativ se potrivește.

2. $\frac{17\pi }{12}=\frac{5\pi }{4}+\frac{\pi }{6}$, deci $\cos \frac{17\pi }{12}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$. Numărul este negativ, cum cere cadranul al III-lea.

3. Expresia are forma $\sin a\cos b-\cos a\sin b=\sin (a-b)$, cu $a=100^{\circ }$ și $b=40^{\circ }$, deci valoarea este $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. În primul cadran, $\cos a=\sqrt{1-\frac{25}{64}}=\frac{\sqrt{39}}{8}$ și $\sin b=\sqrt{1-\frac{361}{400}}=\frac{\sqrt{39}}{20}$. Atunci $\cos (a-b)=\frac{\sqrt{39}}{8}\cdot \frac{19}{20}+\frac{5}{8}\cdot \frac{\sqrt{39}}{20}=\frac{24\sqrt{39}}{160}=\frac{3\sqrt{39}}{20}$. Radicalul comun a permis scoaterea factorului $\sqrt{39}$.

5. Fals. Contraexemplu: pentru $a=b=\pi$, membrul stâng este $\cos 2\pi =1$, iar membrul drept este $\cos \pi +\cos \pi =-2$, iar inegalitatea „$1\le -2$” este falsă. Nu există nicio regulă de comparare între $\cos (a+b)$ și $\cos a+\cos b$ valabilă pentru orice numere.

6. $\sin \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin x\cos \frac{3\pi }{2}+\cos x\sin \frac{3\pi }{2}=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot (-1)=-\cos x$. $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=\cos \frac{3\pi }{2}\cos x+\sin \frac{3\pi }{2}\sin x=0\cdot \cos x+(-1)\cdot \sin x=-\sin x$.

7. Dezvoltăm: $\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$. Prin scădere, termenii cu $\cos x$ se reduc și rămân $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\sqrt{3}\sin x$.

8. În primul cadran, $\sin a=\sqrt{1-\frac{121}{256}}=\frac{3\sqrt{15}}{16}$ și $\sin b=\sqrt{1-\frac{49}{289}}=\frac{4\sqrt{15}}{17}$. Atunci $\sin (a+b)=\frac{3\sqrt{15}\cdot 7+11\cdot 4\sqrt{15}}{272}=\frac{65\sqrt{15}}{272}$ și $\cos (a+b)=\frac{11\cdot 7-3\sqrt{15}\cdot 4\sqrt{15}}{272}=\frac{77-180}{272}=-\frac{103}{272}$. Raportul lor este $\mathrm{tg}(a+b)=-\frac{65\sqrt{15}}{103}$. Sinusul pozitiv și cosinusul negativ pun $a+b$ în cadranul al II-lea.

9. $\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x$, iar $\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x$. Adunând, termenii cu $\sin x$ se reduc și rămâne $\sqrt{3}\cos x$.

10. Pătratul distanței este $6^2+2^2=40$ înainte și $(3-\sqrt{3}{)}^2+(1+3\sqrt{3}{)}^2=12-6\sqrt{3}+28+6\sqrt{3}=40$ după, deci distanța s-a păstrat. Produsul scalar al vectorilor de poziție este $6(3-\sqrt{3})+2(1+3\sqrt{3})=20$, iar vectorii au amândoi lungimea $\sqrt{40}$, deci $\cos b=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$. Cum $b\in (0^{\circ },180^{\circ })$, rezultă $b=60^{\circ }$. Control cu formulele de rotație: $6\cos 60^{\circ }-2\sin 60^{\circ }=3-\sqrt{3}$ și $6\sin 60^{\circ }+2\cos 60^{\circ }=3\sqrt{3}+1$.

11. În cadranul al IV-lea cosinusul e pozitiv: $\cos a=\sqrt{1-\frac{4}{121}}=\frac{3\sqrt{13}}{11}$; în cadranul al II-lea sinusul e pozitiv: $\sin b=\sqrt{1-\frac{36}{49}}=\frac{\sqrt{13}}{7}$. Atunci $\sin (a-b)=\left(-\frac{2}{11}\right)\cdot \left(-\frac{6}{7}\right)-\frac{3\sqrt{13}}{11}\cdot \frac{\sqrt{13}}{7}=\frac{12-39}{77}=-\frac{27}{77}$.

12. În primul cadran, $\sin a=\sqrt{1-\frac{81}{121}}=\frac{2\sqrt{10}}{11}$ și $\cos b=\sqrt{1-\frac{9}{169}}=\frac{4\sqrt{10}}{13}$. Atunci $\sin (a+b)=\frac{2\sqrt{10}}{11}\cdot \frac{4\sqrt{10}}{13}+\frac{9}{11}\cdot \frac{3}{13}=\frac{80+27}{143}=\frac{107}{143}$.

13. $\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b}=\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}=\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b$. Condițiile asigură că împărțirile au sens.

14. Din definiție: unghiul dintre vectori este $160^{\circ }-40^{\circ }=120^{\circ }$, deci $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 1\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Din descompunere: $\vec{u}\cdot \vec{v}=\cos 40^{\circ }\cos 160^{\circ }+\sin 40^{\circ }\sin 160^{\circ }$, adică $\cos (160^{\circ }-40^{\circ })=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Produsul negativ confirmă că unghiul dintre vectori este obtuz.

15. $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, iar înmulțind cu $\sqrt{2}$ obținem $\frac{2}{2}(\cos x+\sin x)=\sin x+\cos x$.

16. Membrul stâng este $\sin \left(x+\frac{\pi }{5}\right)$. Pentru $x\in [0,\pi ]$, argumentul $x+\frac{\pi }{5}$ este între $\frac{\pi }{5}$ și $\frac{6\pi }{5}$, iar pe acest interval sinusul ia valoarea $1$ numai în $\frac{\pi }{2}$. Deci $x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}=\frac{3\pi }{10}$.

17. $\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{7\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{7\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Numărul $a-b=-\frac{17\pi }{12}$ este negativ; adunând o tură obții $\frac{7\pi }{12}$, deci punctul este în cadranul al II-lea, unde sinusul este pozitiv, iar rezultatul chiar este pozitiv.

18. Unghiurile $A$ și $B$ sunt ascuțite, fiindcă au cosinusurile pozitive, deci $\sin A=\frac{\sqrt{21}}{11}$ și $\sin B=\sqrt{1-\frac{100}{289}}=\frac{3\sqrt{21}}{17}$. Din $C=\pi -(A+B)$ rezultă $\sin C=\sin (A+B)=\frac{\sqrt{21}}{11}\cdot \frac{10}{17}+\frac{10}{11}\cdot \frac{3\sqrt{21}}{17}=\frac{40\sqrt{21}}{187}$ și $\cos C=-\cos (A+B)=\sin A\sin B-\cos A\cos B=\frac{63-100}{187}=-\frac{37}{187}$. Cosinusul negativ arată că unghiul $C$ este obtuz. Control: $\frac{1600\cdot 21+37^2}{187^2}=\frac{33600+1369}{34969}=1$.

De reținut

• Funcțiile trigonometrice nu se distribuie peste sumă: $\sin (a+b)$ nu este, în general, $\sin a+\sin b$, iar un singur exemplu numeric o arată.
• Formula-mamă $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ este produsul scalar al vectorilor unitari $\overrightarrow{OM}$ și $\overrightarrow{ON}$ ai punctelor $M(a)$ și $N(b)$, scris în două feluri.
• La cosinus perechile rămân aceleași și semnul se inversează: $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$; la sinus funcțiile se amestecă și semnul se păstrează: $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$.
• Când cunoști o singură funcție a fiecărui număr, cadranul dă semnul celeilalte, iar fără cadran rezultatul nu este unic.
• Formulele sunt valabile pentru orice numere reale, se citesc și de la dreapta la stânga și conțin ca și cazuri particulare reducerile la primul cadran.

Greșeli frecvente

• Semnul radicalului ales fără cadran. Din $\cos b=-\frac{7}{8}$ se scrie „$\sin b=-\frac{\sqrt{15}}{8}$”, ca să se potrivească semnele. Semnul sinusului depinde numai de cadranul lui $b$, iar în cadranul al II-lea sinusul este pozitiv.
• Formula folosită în grade și radiani amestecați. Se scrie $\frac{19\pi }{12}=\frac{4\pi }{3}+45^{\circ }$, apoi se caută valori în două tabele. Alege o singură unitate la începutul calculului.
• Arcul descompus în termeni fără valori cunoscute. $\frac{13\pi }{12}$ se scrie $\frac{\pi }{12}+\pi$ și calculul se blochează, pentru că $\frac{\pi }{12}$ nu are valori în tabelul de bază. Descompunerea bună folosește arce din tabel, de pildă $\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$.
• Rezultatul lăsat fără control de semn. Un calcul lung dă un cosinus pozitiv pentru un arc din cadranul al III-lea și rămâne așa. Controlul de cadran, la final, prinde cele mai multe greșeli de semn intermediare.
• Formula citită invers cu arcele în ordinea greșită. La $\sin 70^{\circ }\cos 25^{\circ }-\cos 70^{\circ }\sin 25^{\circ }$ se scrie $\sin (25^{\circ }-70^{\circ })$, iar rezultatul iese cu semnul schimbat. În tiparul $\sin a\cos b-\cos a\sin b$, arcul din fața sinusului care apare primul este cel din care se scade: rezultatul corect este $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Aplică acasă

1. Rotirea unei hărți. Pe o foaie cu pătrățele, desenează un reper și marchează trei puncte cu coordonate întregi. Calculează, cu formulele de rotație, unde ajung punctele după o rotire cu $90^{\circ }$, apoi cu $30^{\circ }$. Decupează un pătrat de hârtie transparentă cu aceleași puncte, rotește-l cu raportorul în jurul originii și compară pozițiile măsurate cu cele calculate.

2. Două rotații la rând. Pe o foaie cu pătrățele, marchează punctul $(6,0)$ și rotește-l cu raportorul în jurul originii întâi cu $20^{\circ }$, apoi cu încă $35^{\circ }$. Separat, rotește-l o singură dată cu $55^{\circ }$. Măsoară coordonatele în ambele cazuri și calculează-le cu formulele de rotație. Explică de ce coincid: este chiar conținutul formulelor de adunare.

3. Traseul stelelor. Într-o noapte senină, fotografiază de două ori, la o oră distanță, zona Stelei Polare, cu telefonul sprijinit fix. Alege o stea strălucitoare, măsoară pe ecran coordonatele ei față de Polară în cele două imagini și calculează unghiul cu care s-a rotit. Compară rezultatul cu $15^{\circ }$ pe oră și explică diferența.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează formulele pe care programa nouă de științe le-a scos din clasa a IX-a, dar pe care examenul din 2027–2029 le cere în continuare. Am ales o demonstrație proprie profilului: formula cosinusului diferenței iese din produsul scalar a doi vectori unitari, scris o dată prin coordonate și o dată prin definiție. Elevul reia astfel, într-un context nou, trei achiziții din suplimentul de vectori: descompunerea după doi vectori necoliniari, distributivitatea produsului scalar și condiția de perpendicularitate. Celelalte trei formule urmează fără geometrie suplimentară, iar formula tangentei este prezentată numai ca urmare prin împărțire, nu ca materie de memorat.

De urmărit în caiet: formula e scrisă înainte de înlocuire; datele lipsă sunt completate cu semnul dictat de cadran; rezultatul final trece un control de semn. Întrebări de control: „Ce devine $\cos (a+b)$ pentru $b=\pi$ și de ce trebuie să iasă $-\cos a$?”; „De ce ai nevoie de cadran când știi doar $\sin a$?”; „Cum recunoști o formulă de adunare citită invers?”; „Ce se păstrează la o rotație, oricare ar fi unghiul?”. Semn că elevul a înțeles: la un arc ca $\frac{13\pi }{12}$ alege singur o descompunere în arce din tabel și își verifică semnul pe cerc.

Pentru elevul de științe, formulele au și o miză practică pe care merită s-o subliniați. Ele sunt aceleași cu regulile după care se rotesc coordonatele în fizică, în astronomie sau în imagistica medicală, unde o imagine se rotește pentru a fi comparată cu alta. Un exercițiu bun de clasă este rotirea aceluiași punct cu două unghiuri succesive și compararea rezultatului cu rotirea directă cu suma unghiurilor: faptul că cele două drumuri coincid este chiar conținutul formulelor de adunare, văzut dintr-o parte neașteptată.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru examen: programa de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) enumeră, la capitolul „Elemente de trigonometrie” al clasei a IX-a, formulele $\sin (a+b)$, $\sin (a-b)$, $\cos (a+b)$ și $\cos (a-b)$, alături de unghiul dublu și de transformarea sumei în produs; formula tangentei sumei nu este enumerată, de aceea în lecție ea apare numai ca urmare și niciun exercițiu marcat pentru examen nu o folosește. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, cere la trigonometrie numai formula fundamentală și formulele de reducere la primul cadran, iar formulele de adunare nu apar la nicio clasă. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema nu apare. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o singură cerință de trigonometrie, într-un triunghi dreptunghic, fără formule de adunare, așa că exercițiile marcate aici sunt construite în stilul Subiectului I, nu preluate dintr-un subiect oficial. Programa de examen din 2014 prevede patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, iar planurile-cadru noi (OMEC 4350/2025) prevăd trei ore. Pentru definițiile din gimnaziu, legătura utilă este lecția despre sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: formulele pentru sumă și diferență are alt parcurs și alte exerciții. Pe traseul M2, lecția următoare este cea despre formulele unghiului dublu, care pornește de la formulele de aici cu $b=a$, iar exercițiile de sinteză ale unității sunt în testul M2 de supliment despre produsul scalar și formulele trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce diferă la formulele de adunare între varianta M2 și cea M1?

La științe ale naturii formulele sunt materie de supliment, cerută doar de bacalaureatul M2 din 2027–2029, și se obțin din produsul scalar a doi vectori unitari, unealtă pe care traseul M2 o are din clasa a IX-a. Lecția insistă pe calculul cu date și cadran și pe modele de rotație, iar formula tangentei apare numai ca urmare.

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea formulele de adunare?

Programa pentru 2027–2029 le cuprinde în capitolul de trigonometrie al clasei a IX-a, iar cerințele scurte de trigonometrie stau la Subiectul I. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu le folosește: singura lui cerință de trigonometrie privește un triunghi dreptunghic. Exercițiile marcate aici sunt construite în stilul acelui subiect, cu verbul „Arătați”.

De ce apare produsul scalar într-o lecție de trigonometrie?

Pentru că produsul scalar a doi vectori de lungime $1$ este chiar cosinusul unghiului dintre ei. Scriind același produs o dată cu definiția și o dată prin descompunerea vectorilor după axe, obții formula pentru $\cos (a-b)$ fără altă construcție. La științe ale naturii, produsul scalar e în suplimentul clasei a IX-a, deci unealta e la îndemână.

Cum aleg descompunerea unui arc ca 13π/12?

Cauți două arce din tabelul de bază, cu multipli de $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{\pi }{4}$, a căror sumă sau diferență să dea arcul cerut. Pentru $\frac{13\pi }{12}$ merge $\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{3}$ sau $\frac{5\pi }{4}-\frac{\pi }{6}$. Orice descompunere corectă duce la același rezultat, iar semnul se verifică la final prin cadran.

De ce am nevoie de cadran când se dă doar sinusul unui număr?

Pentru că din $\sin a$ afli numai pătratul cosinusului, iar cosinusul poate fi pozitiv sau negativ. Cadranul lui $a$ alege semnul. Fără această informație, $\sin (a+b)$ sau $\cos (a-b)$ ar avea două valori posibile, iar un exercițiu de examen cere întotdeauna un rezultat unic, deci precizează intervalul.

Formulele sunt valabile și când lucrez în grade?

Da, formulele nu depind de unitatea de măsură, cu condiția ca toate arcele dintr-un calcul să fie în aceeași unitate. $\sin (50^{\circ }+10^{\circ })$ și $\sin \left(\frac{5\pi }{18}+\frac{\pi }{18}\right)$ dau același număr. Greșeala apare când amesteci un arc în radiani cu unul în grade sau când calculatorul e în alt mod decât datele.