Cum compar logaritmi cu baze diferite?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcția logaritmică: monotonie, semn, translații

Cauți un număr care stă între cei doi logaritmi, citit din puterile fiecărei baze. Exemplu: $lo g_{2} 5$ și $lo g_{3} 8$ . Cum $2^{2} = 4 < 5$ și baza $2$ e supraunitară, $lo g_{2} 5 > 2$ . Cum $8 < 9 = 3^{2}$ , $lo g_{3} 8 < 2$ . Pragul $2$ îi separă, deci $lo g_{2} 5 > lo g_{3} 8$ . Metoda folosește doar monotonia funcției logaritmice și nu cere calculator.

Funcția $lo g_{a} x$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , este inversa exponențialei cu aceeași bază. De aici vin toate proprietățile ei: domeniul $(0; + \infty)$ , mulțimea valorilor $R$ și monotonia, care se demonstrează din monotonia exponențialei. Cu o bază supraunitară, valorile urcă odată cu argumentul; cu o bază între $0$ și $1$ , coboară.

Din monotonie rezultă două unelte. Prima este injectivitatea: doi logaritmi cu aceeași bază sunt egali doar când argumentele pozitive sunt egale. A doua este regula semnului: logaritmul are semnul plus dacă baza și argumentul sunt amândouă peste $1$ sau amândouă sub $1$ , iar altfel are semnul minus. Pentru baze diferite cauți un număr care stă între cele două valori, citit din puterile bazelor.

Pentru o funcție de forma $lo g_{a} f (x)$ , domeniul este mulțimea pe care $f$ este pozitivă, iar monotonia se transmite de la argument, cu sensul dat de bază. Graficul lui $lo g_{a} (x - h) + k$ este graficul lui $lo g_{a} x$ mutat cu $h$ pe orizontală și cu $k$ pe verticală, cu asimptota $x = h$ . Inversa lui se obține desfăcând operațiile în ordine inversă și este $a^{x - k} + h$ .

De reținut

$lo g_{a} x$ crește pentru $a > 1$ și scade pentru $0 < a < 1$
la baze diferite, un număr aflat între cei doi logaritmi decide ordinea
$lo g_{a} (x - h) + k$ are asimptota $x = h$ și trece prin $(h + 1, k)$

Greșeala tipică

Se compară doar argumentele, $5 < 8$ , și se trage concluzia $lo g_{2} 5 < lo g_{3} 8$ ; regula argumentelor merge numai la aceeași bază.

Exerciții din această mini-lecție

Pe ce interval este negativă funcția $f (x) = lo g_{\frac{1}{4}} (x + 1)$ ?
- a) $(- 1; 0)$
- b) $(0; + \infty)$
- c) $(- 1; + \infty)$
- d) $(- \infty; 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0; + \infty)$

Baza $\frac{1}{4}$ este sub $1$ , deci logaritmul este negativ când argumentul trece de $1$ : $x + 1 > 1$ , adică $x > 0$ .
Asimptota verticală a graficului funcției $f (x) = lo g_{2} (x + 5) - 3$ este dreapta:
- a) $x = 5$
- b) $x = - 5$
- c) $y = - 3$
- d) $x = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = - 5$

Argumentul $x + 5$ se anulează în $x = - 5$ , deci domeniul este $(- 5; + \infty)$ și asimptota este $x = - 5$ .
Inversa funcției $f : (4; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} (x - 4) + 3$ , este:
- a) $f^{- 1} (x) = 2^{x - 3} + 4$
- b) $f^{- 1} (x) = 2^{x} + 1$
- c) $f^{- 1} (x) = 2^{x + 3} - 4$
- d) $f^{- 1} (x) = 2^{x - 4} + 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f^{- 1} (x) = 2^{x - 3} + 4$

Din $y = lo g_{2} (x - 4) + 3$ rezultă $x - 4 = 2^{y - 3}$ , deci $x = 2^{y - 3} + 4$ .

Întrebări conexe

Care e valoarea maximă a funcției $f (x) = lo g_{3} (10 x - x^{2} - 16)$ ?

Funcția există unde $10 x - x^{2} - 16 > 0$ , adică pe $(2, 8)$ . Argumentul are maximul în vârf, la $x = 5$ : $50 - 25 - 16 = 9$ . Baza $3$ este supraunitară, deci logaritmul urmează argumentul și are maximul $lo g_{3} 9 = 2$ , atins în $x = 5$ .

Ce semn are $lo g_{0, 5} 3$ fără să-l calculez?

Logaritmul este pozitiv când baza și argumentul sunt de aceeași parte a lui $1$ și negativ când sunt de părți diferite. Aici baza $0, 5$ e sub $1$ , iar argumentul $3$ e peste $1$ , deci $lo g_{0, 5} 3 < 0$ . Într-adevăr, $0, 5$ ridicat la o putere pozitivă nu poate da $3$ .

Cum desenez graficul funcției $f (x) = lo g_{2} (x - 3) + 1$ ?

Pornești de la $lo g_{2} x$ și îl muți cu $3$ unități la dreapta și cu $1$ în sus. Asimptota verticală devine $x = 3$ , iar punctul $(1, 0)$ ajunge în $(4, 1)$ . Alte puncte: $f (5) = 2$ și $f (7) = 3$ . Curba urcă lent și se apropie de asimptotă spre stânga.

Cum apare logaritmul natural în lucrul mecanic al unui gaz la temperatură constantă?

La destinderea izotermă, $L = ν R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}}$ . Pentru un mol la $300$ K, dublarea volumului dă $L \approx 8, 31 \cdot 300 \cdot 0, 693 \approx 1728$ J. O nouă dublare adaugă exact aceeași cantitate, pentru că logaritmul transformă înmulțirea volumelor în adunare.

Unde taie axa $O x$ graficul funcției $f (x) = lo g_{2} (x + 3) - 2$ ?

Rezolvi $lo g_{2} (x + 3) = 2$ , adică $x + 3 = 2^{2} = 4$ , deci $x = 1$ . Valoarea respectă domeniul $x > - 3$ , iar punctul de intersecție este $(1, 0)$ . Funcția este strict crescătoare, deci alt punct pe axa $O x$ nu există. Proba: $lo g_{2} 4 - 2 = 0$ .

Oamenii mai întreabă și: compararea logaritmilor cu baze diferite · care logaritm este mai mare · cum compar log în baza 2 cu log în baza 3 · comparare de logaritmi prin prag

Cum compar logaritmi cu baze diferite?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Care e valoarea maximă a funcției f(x)=log3​(10x−x2−16)?

Ce semn are log0,5​3 fără să-l calculez?

Cum desenez graficul funcției f(x)=log2​(x−3)+1?

Cum apare logaritmul natural în lucrul mecanic al unui gaz la temperatură constantă?

Unde taie axa Ox graficul funcției f(x)=log2​(x+3)−2?

Continuă cu

Care e valoarea maximă a funcției $f (x) = lo g_{3} (10 x - x^{2} - 16)$ ?

Ce semn are $lo g_{0, 5} 3$ fără să-l calculez?

Cum desenez graficul funcției $f (x) = lo g_{2} (x - 3) + 1$ ?

Unde taie axa $O x$ graficul funcției $f (x) = lo g_{2} (x + 3) - 2$ ?