Funcția logaritmică: proprietăți: pe scurt

Funcția logaritmică $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$ (cu $a>0$, $a\ne 1$), este inversa funcției exponențiale $g(x)=a^x$. De aici vin, aproape gratuit, toate proprietățile ei.

Domeniul este exact $(0,\infty )$ — codomeniul exponențialei — pentru că nu există exponent care să dea un rezultat negativ sau nul. Graficul este simetricul graficului exponențialei față de prima bisectoare $y=x$; trece prin $(1,0)$ pentru orice bază, fiindcă ${\log }_{a}1=0$. Monotonia se transportă din exponențială: pentru $a>1$ funcția e strict crescătoare, pentru $0<a<1$ e strict descrescătoare — și aici se schimbă sensul la comparări și, mai târziu, la inecuații.

Din monotonie rezultă injectivitatea: pentru $u,v>0$, ${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v$, regula pe care se sprijină toate ecuațiile logaritmice. Semnul se citește comparând argumentul cu $1$, nu cu $0$: pentru $a>1$, funcția e negativă pe $(0,1)$ și pozitivă pe $(1,\infty )$; pentru $0<a<1$, invers. Când baza însăși depinde de $x$, domeniul cere trei condiții: argument pozitiv, bază pozitivă și diferită de $1$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)={\log }_{x-1}(6-x)$.

   • a) $(1,2)\cup (2,6)$
   • b) $(1,6)$
   • c) $(-\infty ,6)$
   • d) $(2,6)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(1,2)\cup (2,6)$

   Trei condiții: $6-x>0\Rightarrow x<6$; $x-1>0\Rightarrow x>1$; $x-1\ne 1\Rightarrow x\ne 2$. Intersectând: $(1,2)\cup (2,6)$. Varianta b) uită condiția asupra bazei.

2. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) ${\log }_{0,2}4<{\log }_{0,2}9$
   • b) ${\log }_{0,2}4>{\log }_{0,2}9$
   • c) ${\log }_{0,2}4={\log }_{0,2}9$
   • d) nu se pot compara
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) ${\log }_{0,2}4>{\log }_{0,2}9$

   Baza $0,2$ este subunitară, deci funcția e strict descrescătoare: din $4<9$ rezultă ${\log }_{0,2}4>{\log }_{0,2}9$. La baze subunitare ordinea se inversează față de ordinea argumentelor.

3. Pentru $a>1$, mulțimea pe care ${\log }_{a}x<0$ este:

   • a) $(-\infty ,0)$
   • b) $(1,\infty )$
   • c) $(0,1)$
   • d) $(0,a)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(0,1)$

   Pentru $a>1$ funcția e crescătoare și se anulează în $x=1$: e negativă înaintea lui $1$, deci pe $(0,1)$, și pozitivă pe $(1,\infty )$.