Sunt log₂(8x) și 3+log₂ x aceeași funcție?

Da. Ambele sunt definite pe (0;+∞), iar proprietatea produsului dă aceeași valoare în fiecare punct. De aceea graficul lui log₂(8x) este graficul lui log₂ x urcat cu trei unități. Cu formule ca log₂(x²) și 2log₂ x trebuie însă atenție, pentru că domeniile lor diferă.

Funcția logaritmică: grafic și proprietăți (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un gaz închis într-un cilindru cu piston se dilată la temperatură constantă, iar un senzor transmite lucrul mecanic efectuat de gaz pe măsură ce volumul crește. Formula folosită de fizicieni conține un logaritm natural al raportului dintre volumul curent și cel inițial. Ca să răspunzi la întrebări de tipul „când este lucrul mecanic pozitiv?” sau „cum se schimbă el când volumul crește?”, ai nevoie de proprietățile funcției logaritmice, nu doar de valorile ei. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), ai citit aceste proprietăți pe grafice; în clasa a X-a le demonstrezi și le folosești ca unelte în rezolvări. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, iar programa lor are funcția logaritmică printre temele clasei a X-a, cu monotonia și semnul ei.

Lecția pornește de la funcția logaritmică și graficul ei la M2, în clasa a IX-a: acolo ai văzut domeniul, punctul $(1; 0)$ , simetria cu exponențiala și semnul citit pe desen. Numărul $lo g_{a} b$ și condițiile lui de existență sunt fixate în lecția despre logaritmul unui număr la M2, formulele pentru produs, cât și putere în proprietățile logaritmilor la M2, iar monotonia exponențialei, sprijinul demonstrațiilor de aici, în proprietățile funcției exponențiale la M2.

Ce vei învăța

Vei ști să demonstrezi monotonia funcției logaritmice pornind de la monotonia exponențialei, nu doar să o citești pe grafic.
Vei ști să folosești injectivitatea logaritmului și să compari logaritmi cu baze diferite, printr-un prag întreg sau fracționar.
Vei ști să stabilești semnul unui logaritm și al unei funcții de forma $lo g_{a} (m x + n)$ , comparând baza și argumentul cu $1$ .
Vei ști să citești domeniul, asimptotele și valoarea extremă ale unei funcții de forma $lo g_{a} f (x)$ , cu $f$ de gradul al doilea.
Vei ști să desenezi și să citești graficul unei funcții de forma $lo g_{a} (x - h) + k$ , cu asimptota mutată.
Vei ști să scrii inversa unei funcții logaritmice translatate și să interpretezi un model din fizică scris cu logaritm natural.

Hai să descoperim împreună

1. Ce aduce clasa a X-a peste graficul din clasa a IX-a?

Anul trecut ai obținut graficul lui $lo g_{a} x$ schimbând coordonatele punctelor exponențialei. Acum ai și limbajul potrivit pentru acest fapt, din lecția M2 despre funcția inversă.

Funcția logaritmică de bază $a$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , este funcția $f : (0; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ , inversa funcției exponențiale $g : R \to (0; + \infty)$ , $g (x) = a^{x}$ . Definiția inversei spune că cele două compuneri dau identitatea: $a^{l o g_{a} x} = x$ pentru orice $x > 0$ și $lo g_{a} (a^{x}) = x$ pentru orice $x$ real.

Aceste două egalități le-ai folosit deja la calcul, în lecția despre logaritmul unui număr și în proprietățile logaritmilor; aici nu le mai exersăm. Limbajul funcției inverse aduce altceva: tot ce știi despre exponențială se transferă logaritmului, cu rolurile schimbate, iar domeniul uneia devine mulțimea valorilor celeilalte.

2. De ce este logaritmul strict monoton?

Pe grafic se vedea că $lo g_{a} x$ urcă pentru $a > 1$ și coboară pentru $0 < a < 1$ . Acum demonstrăm regula, folosind doar monotonia exponențialei.

Fie $a > 1$ și două numere $0 < x_{1} < x_{2}$ . Notăm $u = lo g_{a} x_{1}$ și $v = lo g_{a} x_{2}$ , deci $x_{1} = a^{u}$ și $x_{2} = a^{v}$ . Presupunem, prin absurd, că $u \geq v$ . Exponențiala cu bază supraunitară este crescătoare, deci din $u \geq v$ ar rezulta $a^{u} \geq a^{v}$ , adică $x_{1} \geq x_{2}$ , contrar ipotezei. Rămâne $u < v$ : funcția logaritmică este strict crescătoare. Pentru $0 < a < 1$ raționamentul este același, dar exponențiala descrește, iar concluzia se întoarce: logaritmul este strict descrescător.

De ce mai demonstrăm ceva ce se vedea pe desen? Pentru că un desen arată doar o fereastră, câteva unități pe fiecare axă, iar monotonia este o afirmație despre toate numerele pozitive, inclusiv despre cele foarte mari sau foarte apropiate de zero. Demonstrația acoperă și regiunile pe care nu le-ai desenat niciodată și arată că regula nu depinde de bază, ci doar de poziția ei față de $1$ .

Regula se folosește imediat. Baza $13$ este supraunitară, iar $40 < 41$ , deci $lo g_{13} 40 < lo g_{13} 41$ . Nu ai calculat niciun logaritm; ai comparat doar argumentele și ai citit baza.

3. Ce spune monotonia despre două argumente cu același logaritm?

O funcție strict monotonă nu poate lua aceeași valoare în două puncte diferite: dintre două argumente distincte, unul este mai mic, deci și valoarea lui este strict mai mică sau strict mai mare. Pentru logaritm obținem echivalența $lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v, u > 0, v > 0.$ De exemplu, dacă un număr pozitiv $w$ verifică $lo g_{6} w = lo g_{6} 45$ , atunci $w = 45$ .

Două cazuri particulare apar des: $lo g_{a} u = 0$ exact când $u = 1$ , iar $lo g_{a} u = 1$ exact când $u = a$ . Rezolvarea ecuațiilor care o folosesc are lecție proprie: ecuațiile logaritmice la M2. Aici reții doar condiția scrisă lângă ea: argumentele trebuie să fie strict pozitive, altfel logaritmii nu există.

4. Cum compari logaritmi cu baze diferite?

Monotonia compară logaritmi cu aceeași bază. Când bazele diferă, cauți un număr care să stea între cele două valori. Cel mai simplu prag este un întreg: puterile bazelor îți spun de ce parte a lui se află fiecare logaritm.

Să comparăm $lo g_{2} 9$ cu $lo g_{3} 26$ . Din $2^{3} = 8 < 9$ rezultă $lo g_{2} 9 > 3$ , iar din $26 < 27 = 3^{3}$ rezultă $lo g_{3} 26 < 3$ . Așadar $lo g_{2} 9 > 3 > lo g_{3} 26$ , deci primul număr este mai mare, fără să știi vreunul dintre ele cu zecimale.

Un caz special este perechea $lo g_{a} b$ și $lo g_{b} a$ , cu $a$ și $b$ supraunitare. Pragul natural este $1$ : logaritmul este mai mare decât $1$ exact când argumentul este mai mare decât baza. Dacă pragul întreg nu desparte cele două numere, pentru că ambele au aceeași parte întreagă, încerci o jumătate, cum vei vedea în Exemplul 1.

Alegerea pragului nu este o ghicitoare. Începi cu partea întreagă a fiecărui logaritm, citită din puterile consecutive ale bazei între care se află argumentul. Dacă părțile întregi diferă, ai terminat. Dacă sunt egale, pragul următor este mijlocul intervalului, iar puterea cu exponent fracționar o compari fără radicali, ridicând ambele numere la o putere întreagă potrivită.

5. Unde este pozitivă o funcție de forma log_a(mx+n)?

Semnul unui număr $lo g_{a} b$ l-ai stabilit în clasa a IX-a, în lecția despre definiția logaritmului, comparând cu $1$ atât baza, cât și argumentul. Acum îl justifici prin monotonie și $lo g_{a} 1 = 0$ : pentru $a > 1$ funcția crește, deci argumentele de după $1$ au valori pozitive; pentru $0 < a < 1$ funcția scade, deci aceleași argumente au valori negative.

Regula se aplică și unei funcții al cărei argument depinde de $x$ . Fie $g (x) = lo g_{0, 2} (x + 4)$ . Argumentul este strict pozitiv pentru $x > - 4$ , iar el este egal cu $1$ pentru $x = - 3$ . Baza $0, 2$ este subunitară, deci logaritmul este pozitiv exact când argumentul este între $0$ și $1$ . Obținem $g (x) > 0$ pentru $x \in (- 4; - 3)$ , $g (- 3) = 0$ și $g (x) < 0$ pentru $x \in (- 3; + \infty)$ .

Observă ordinea pașilor: întâi domeniul, apoi punctul în care argumentul trece prin $1$ , apoi baza. Nu rezolvi nicio inecuație logaritmică; compari un argument de gradul întâi cu $1$ și citești semnul din poziția bazei.

6. Cum arată o funcție de forma log_a f(x)?

Condițiile ca o expresie $lo g_{a} f (x)$ să aibă sens le-ai scris în lecția despre logaritmul unui număr. Acum privim funcția întreagă, cu graficul ei. Domeniul este mulțimea absciselor în care graficul lui $f$ stă deasupra axei $O x$ . În rădăcinile lui $f$ argumentul se apropie de zero, iar pentru o bază supraunitară valorile coboară fără limită: acolo graficul are asimptote verticale.

Fie $h (x) = lo g_{3} (12 + x - x^{2})$ . Parabola $y = 12 + x - x^{2}$ are ramurile în jos, taie axa $O x$ în $- 3$ și în $4$ și are vârful în $x = \frac{1}{2}$ , cu ordonata $\frac{49}{4}$ , cum ai văzut la semnul funcției de gradul al doilea la M2. Domeniul lui $h$ este $(- 3; 4)$ , iar dreptele $x = - 3$ și $x = 4$ sunt asimptote verticale.

Monotonia se transmite prin compunere. Baza $3$ este supraunitară, deci $h$ crește acolo unde crește argumentul și scade acolo unde scade argumentul: crește pe $(- 3; \frac{1}{2}]$ și scade pe $[\frac{1}{2}; 4)$ . Valoarea cea mai mare este $h (\frac{1}{2}) = lo g_{3} \frac{49}{4}$ , iar mulțimea valorilor este $(- \infty; lo g_{3} \frac{49}{4}]$ . Pentru o bază subunitară monotonia se întoarce: valoarea cea mai mică a funcției apare acolo unde argumentul este cel mai mare.

7. Cum se mută graficul când schimbi argumentul sau adaugi o constantă?

Graficul funcției $lo g_{a} (x - h) + k$ se obține din graficul lui $lo g_{a} x$ printr-o translație: cu $h$ unități pe orizontală și cu $k$ unități pe verticală. Odată cu graficul se mută și asimptota: axa $O y$ , adică dreapta $x = 0$ , devine dreapta $x = h$ . Domeniul devine $(h; + \infty)$ , iar punctul $(1; 0)$ ajunge în $(h + 1; k)$ .

Figura A arată $lo g_{3} x$ și funcția $lo g_{3} (x + 2) - 1$ . A doua are asimptota $x = - 2$ și trece prin $(- 1; - 1)$ , $(1; 0)$ și $(7; 1)$ : argumentul $x + 2$ ia pe rând valorile $1$ , $3$ și $9$ . Fiecare punct al primului grafic s-a mutat cu două unități la stânga și cu una în jos.

Unele translații se ascund în formule. Din proprietatea produsului, $lo g_{2} (8 x) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x = 3 + lo g_{2} x$ pentru $x > 0$ . O înmulțire a argumentului cu o putere a bazei se vede, așadar, ca o urcare a graficului cu exponentul acelei puteri.

O înmulțire a întregii funcții cu $- 1$ răstoarnă graficul față de axa $O x$ . Ai întâlnit deja această oglindire în clasa a IX-a, sub forma legăturii dintre bazele $a$ și $\frac{1}{a}$ : graficul lui $- lo g_{a} x$ coincide cu graficul lui $lo g_{\frac{1}{a}} x$ . Translațiile nu schimbă monotonia, dar oglindirea față de $O x$ o întoarce.

8. Cum găsești inversa unui logaritm translatat?

Funcția $f : (- 1; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} (x + 1)$ , este strict crescătoare și ia toate valorile reale, deci are inversă. Metoda este cea din lecția despre funcția inversă: scrii $y = lo g_{2} (x + 1)$ , treci la forma cu putere, $x + 1 = 2^{y}$ , izolezi $x = 2^{y} - 1$ și redenumești variabila. Obții $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 1$ , definită pe $R$ , cu valori în $(- 1; + \infty)$ .

În figura C, cele două grafice sunt simetrice față de dreapta $y = x$ și au două puncte comune, $(0; 0)$ și $(1; 1)$ , care stau chiar pe bisectoare. Asimptota verticală $x = - 1$ a lui $f$ devine asimptota orizontală $y = - 1$ a inversei. Controlul prin compunere se face ca la orice inversă: $f (f^{- 1} (x)) = lo g_{2} (2^{x}) = x$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un prag fracționar între doi logaritmi

Comparați numerele $lo g_{5} 80$ și $lo g_{4} 30$ , fără calculator.

Rezolvare. Încercăm întâi un prag întreg. Din $25 < 80 < 125$ rezultă $2 < lo g_{5} 80 < 3$ , iar din $16 < 30 < 64$ rezultă $2 < lo g_{4} 30 < 3$ . Ambele numere sunt între $2$ și $3$ , deci întregii nu decid.

Încercăm pragul $\frac{5}{2}$ . Avem $4^{5/2} = (4)^{5} = 2^{5} = 32$ , iar $30 < 32$ , deci $lo g_{4} 30 < \frac{5}{2}$ . Apoi $5^{5/2} = 5^{5} = 3125$ , iar $8 0^{2} = 6400 > 3125$ , deci $80 > 3125$ și $lo g_{5} 80 > \frac{5}{2}$ .

Concluzie: $lo g_{4} 30 < \frac{5}{2} < lo g_{5} 80$ . Pentru control, calculatorul dă $lo g_{5} 80 \approx 2, 723$ și $lo g_{4} 30 \approx 2, 453$ . Metoda nu cere radicali calculați: ai comparat doar pătrate și puteri de numere întregi.

Exemplul 2 — Domeniu, asimptote și valoarea cea mai mare

Se consideră funcția $h (x) = lo g_{3} (18 x - x^{2} - 72)$ . Determinați domeniul maxim, asimptotele verticale, intervalele de monotonie și mulțimea valorilor funcției.

Rezolvare. Argumentul $18 x - x^{2} - 72 = (x - 6) (12 - x)$ are rădăcinile $6$ și $12$ și coeficientul lui $x^{2}$ negativ, deci este pozitiv între rădăcini. Domeniul maxim este $D = (6; 12)$ , iar dreptele $x = 6$ și $x = 12$ sunt asimptote verticale.

Vârful parabolei $y = 18 x - x^{2} - 72$ este în $x = 9$ , cu ordonata $9$ . Baza $3$ este supraunitară, deci $h$ crește pe $(6; 9]$ și scade pe $[9; 12)$ , iar valoarea cea mai mare este $h (9) = lo g_{3} 9 = 2$ . Aproape de capete argumentul se apropie de zero și valorile coboară oricât de jos, deci mulțimea valorilor este $(- \infty; 2]$ .

Control: $h (7) = h (11) = lo g_{3} 5$ , pentru că argumentul ia în ambele puncte valoarea $5$ . Graficul este simetric față de dreapta $x = 9$ , ca și parabola din argument.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: inversa unui logaritm translatat

Un elev caută inversa funcției $g : (- 3; + \infty) \to R$ , $g (x) = lo g_{2} (x + 3) - 1$ , și scrie: „Inversul lui $lo g_{2}$ este $2^{x}$ , deci păstrez restul: $g^{- 1} (x) = 2^{x} + 3 - 1 = 2^{x} + 2$ .” Găsiți greșeala și scrieți inversa corectă.

Rezolvare. Elevul a înlocuit doar logaritmul și a lăsat constantele pe loc. Inversa desface operațiile lui $g$ în ordine inversă: $g$ adună $3$ , aplică $lo g_{2}$ , apoi scade $1$ ; inversa adună $1$ , ridică pe $2$ la putere, apoi scade $3$ .

Calculul: din $y = lo g_{2} (x + 3) - 1$ rezultă $lo g_{2} (x + 3) = y + 1$ , deci $x + 3 = 2^{y + 1}$ și $x = 2^{y + 1} - 3$ . Inversa este $g^{- 1} : R \to (- 3; + \infty)$ , $g^{- 1} (x) = 2^{x + 1} - 3$ . Control într-un punct: $g (5) = lo g_{2} 8 - 1 = 2$ , iar $g^{- 1} (2) = 2^{3} - 3 = 5$ . Formula elevului dă $g^{- 1} (2) = 6$ , deci nu întoarce punctul.

Exemplul 4 — Citește formula de pe grafic

Figura B arată graficul unei funcții de forma $g (x) = lo g_{a} (x - h) + k$ . Asimptota verticală este dreapta punctată $x = - 1$ , iar graficul trece prin punctele marcate $(0; 2)$ și $(3; 3)$ . Determinați $h$ , $k$ și baza $a$ .

Rezolvare. Asimptota unei funcții de această formă este dreapta $x = h$ , deci $h = - 1$ și $g (x) = lo g_{a} (x + 1) + k$ . În $x = 0$ argumentul este $1$ , iar $lo g_{a} 1 = 0$ , deci $g (0) = k$ ; din punctul $(0; 2)$ rezultă $k = 2$ .

Punctul $(3; 3)$ dă $lo g_{a} 4 + 2 = 3$ , adică $lo g_{a} 4 = 1$ , deci $a = 4$ . Funcția este $g (x) = lo g_{4} (x + 1) + 2$ . Verificare pe un al treilea punct: $g (15) = lo g_{4} 16 + 2 = 4$ , iar punctul $(15; 4)$ stă pe aceeași curbă, dincolo de fereastra desenată.

Exemplul 5 — Lucrul mecanic al unui gaz care se dilată

La temperatură constantă, lucrul mecanic efectuat de un gaz ideal când volumul trece de la $2$ litri la $V$ litri este $W (V) = 400 ln \frac{V}{2}$ jouli, unde produsul dintre cantitatea de gaz, constanta gazelor și temperatura absolută este egal cu $400$ de jouli. Modelul se folosește pentru $V \in [0, 5; 8]$ litri. Stabiliți semnul lui $W$ , monotonia și calculați $W (8)$ și $W (0, 5)$ .

Rezolvare. Baza logaritmului natural este $e > 1$ , iar argumentul $\frac{V}{2}$ este mai mare decât $1$ exact când $V > 2$ . Deci $W (V) > 0$ pentru $V \in (2; 8]$ , adică la destindere gazul efectuează lucru mecanic pozitiv; $W (2) = 0$ ; $W (V) < 0$ pentru $V \in [0, 5; 2)$ , adică la comprimare lucrul mecanic al gazului este negativ.

Când $V$ crește, crește și raportul $\frac{V}{2}$ , iar logaritmul natural este crescător, deci $W$ este strict crescătoare pe interval. Valorile cerute sunt $W (8) = 400 ln 4 \approx 554, 52$ jouli și $W (0, 5) = 400 ln \frac{1}{4} = - 400 ln 4 \approx - 554, 52$ jouli. Un volum de patru ori mai mare și unul de patru ori mai mic decât cel inițial dau lucruri mecanice opuse, fiindcă $ln \frac{1}{4} = - ln 4$ .

Rezultatele se scriu în jouli, unitatea produsului din fața logaritmului, pentru că logaritmul unui raport de volume nu are unitate. Modelul presupune un gaz ideal și o temperatură menținută constantă prin schimb de căldură cu mediul; de aceea el este declarat numai pe intervalul de volume pe care s-a lucrat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (3; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{2} (x - 3) + 1$ . a) Arătați că $f (4) + f (11) = 5$ . b) Arătați că punctul $A (\frac{7}{2}; 0)$ aparține graficului funcției $f$ și că este singurul punct al graficului situat pe axa $O x$ . c) Arătați că $f (x) > 1$ pentru orice $x > 4$ .

Rezolvare. a) $f (4) = lo g_{2} 1 + 1 = 1$ , iar $f (11) = lo g_{2} 8 + 1 = 4$ . Suma este $1 + 4 = 5$ .

b) $\frac{7}{2}$ aparține domeniului, iar $f (\frac{7}{2}) = lo g_{2} \frac{1}{2} + 1 = - 1 + 1 = 0$ , deci $A$ este pe grafic și pe axa $O x$ . Baza $2$ este mai mare decât $1$ , deci $f$ este strict crescătoare și nu poate lua valoarea $0$ în două puncte diferite: $A$ este singurul punct al graficului de pe axa $O x$ .

c) Cu baza $2$ , mai mare decât $1$ , funcția $lo g_{2} (x - 3)$ crește strict, iar adunarea lui $1$ nu schimbă monotonia. Pentru $x > 4$ rezultă $f (x) > f (4) = 1$ . Cerințele sunt create pentru antrenament, după forma întrebărilor scurte despre funcții; nu provin dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

La fiecare funcție, scrie întâi domeniul, apoi lucrează. La comparări, spune ce prag ai folosit.

1. Funcția $g : R \to (0; + \infty)$ , $g (x) = (\frac{5}{8})^{x}$ , este inversabilă. Scrie inversa ei, cu domeniul și mulțimea valorilor, și spune ce monotonie are inversa.

2. Care dintre funcțiile $f (x) = lo g_{2} x$ , $g (x) = lo g_{\frac{π}{4}} x$ și $h (x) = lo g_{5 - 1} x$ sunt strict crescătoare? Justifică fără calculator, comparând baza cu $1$ .

3. Compară numerele $lo g_{4} 60$ și $lo g_{3} 80$ , alegând un prag întreg potrivit.

4. Compară numerele $lo g_{6} 5$ și $lo g_{5} 6$ . Justifică prin compararea fiecăruia cu $1$ .

5. Determină mulțimea valorilor funcției $f : R \to R$ , $f (x) = lo g_{2} (x^{2} + 4)$ .

6. Se consideră funcția $f : (- 2; 6) \to R$ , $f (x) = lo g_{5} (x + 2) + lo g_{5} (6 - x)$ . Scrie $f (x)$ cu un singur logaritm și arată că valoarea cea mai mare a funcției este $lo g_{5} 16$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul funcției $g (x) = lo g_{7} (x + 4) - 1$ intersectează axa $O y$ .”

8. Pentru funcția $g (x) = lo g_{5} (x - 1) + 2$ , scrie domeniul, ecuația asimptotei verticale și coordonatele punctelor graficului care au ordonatele $2$ și $3$ .

9. Graficul funcției $lo g_{2} x$ se translatează cu $4$ unități spre stânga și cu o unitate în jos. Scrie formula funcției $h$ obținute, domeniul ei și verifică faptul că graficul lui $h$ trece prin punctul $(- 2; 0)$ de pe axa $O x$ .

10. Studiază semnul funcției $f (x) = lo g_{0, 7} (3 x - 5)$ pe domeniul ei maxim.

11. Se consideră funcția $f : (- 2; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{5} (x + 2) + 1$ . Determină inversa ei și verifică rezultatul într-un punct.

12. Determină mulțimea valorilor funcției $f (x) = lo g_{5} (x - 3)$ pe intervalul $[\frac{16}{5}; 28]$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : (0; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{9} x$ . Arătați că $f (3) + f (27) = 2$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : (- 4; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} (x + 4)$ . Arătați că $f (x) < 2$ pentru orice $x \in (- 4; 5)$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : (- 2; + \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{4} (x + 2) - 1$ . Arătați că graficul funcției $f$ intersectează axa $O y$ în punctul $(0; - \frac{1}{2})$ și că punctul $(2; 0)$ aparține graficului.

16. (Problemă aplicată.) Viteza câștigată de o rachetă de probă după ce masa ei scade de la $120$ de tone la $m$ tone, prin arderea combustibilului, este $Δ v (m) = 3 ln \frac{120}{m}$ kilometri pe secundă, pentru $m \in [40; 120]$ . Calculează $Δ v (60)$ și $Δ v (40)$ , cu două zecimale, și explică de ce funcția este descrescătoare în raport cu masa.

17. Arată că funcția $g : (0; + \infty) \to R$ , $g (x) = lo g_{2} x + lo g_{2} (x + 3)$ , este strict crescătoare.

18. (Provocare.) Ordonează crescător numerele $lo g_{5} 11$ , $lo g_{6} 17$ și $lo g_{3} 7$ , folosind pragurile $\frac{3}{2}$ și $\frac{5}{3}$ și comparând doar puteri de numere întregi.

Răspunsuri și explicații

1. Inversa este $g^{- 1} : (0; + \infty) \to R$ , $g^{- 1} (x) = lo g_{\frac{5}{8}} x$ : domeniul ei este mulțimea valorilor lui $g$ , iar mulțimea valorilor ei este domeniul lui $g$ , adică $R$ . Baza $\frac{5}{8}$ este subunitară, pentru că $5 < 8$ , deci inversa este strict descrescătoare, ca și $g$ .

2. $2 > 1$ , pentru că $2 > 1$ , deci $f$ crește strict. $\frac{π}{4} < 1$ , pentru că $π < 4$ , deci $g$ scade strict. $5 - 1 > 1$ , pentru că $5 > 2$ , deci $h$ crește strict. Crescătoare sunt $f$ și $h$ .

3. Pragul $3$ : din $60 < 64 = 4^{3}$ rezultă $lo g_{4} 60 < 3$ , iar din $27 < 80$ rezultă $lo g_{3} 80 > 3$ . Deci $lo g_{4} 60 < 3 < lo g_{3} 80$ , adică $lo g_{4} 60 < lo g_{3} 80$ .

4. Din $5 < 6$ rezultă $lo g_{6} 5 < lo g_{6} 6 = 1$ , iar din $6 > 5$ rezultă $lo g_{5} 6 > lo g_{5} 5 = 1$ . Deci $lo g_{6} 5 < 1 < lo g_{5} 6$ .

5. Pentru orice $x$ real, $x^{2} + 4 \geq 4$ , cu egalitate în $x = 0$ , iar argumentul ia toate valorile din $[4; + \infty)$ . Baza $2$ este supraunitară, deci $f (x) \geq lo g_{2} 4 = 2$ , iar $f (0) = 2$ . Mulțimea valorilor este $[2; + \infty)$ .

6. Cu proprietatea produsului, $f (x) = lo g_{5} ((x + 2) (6 - x)) = lo g_{5} (- x^{2} + 4 x + 12)$ , pentru $x \in (- 2; 6)$ . Parabola din argument are vârful în $x = 2$ , cu ordonata $16$ , deci argumentul este cel mult $16$ . Baza $5$ fiind supraunitară, $f (x) \leq lo g_{5} 16$ , iar $f (2) = lo g_{5} 4 + lo g_{5} 4 = lo g_{5} 16$ .

7. Adevărat. Domeniul lui $g$ este $(- 4; + \infty)$ , care îl conține pe $0$ , deci axa $O y$ taie graficul. Punctul de intersecție este $(0; lo g_{7} 4 - 1)$ , iar $lo g_{7} 4 - 1 \approx - 0, 288$ .

8. Domeniul este $(1; + \infty)$ , asimptota este dreapta $x = 1$ . Ordonata $2$ se obține când argumentul este $1$ , în $x = 2$ ; ordonata $3$ când argumentul este $5$ , în $x = 6$ . Punctele sunt $(2; 2)$ și $(6; 3)$ : $g (2) = 2$ și $g (6) = 3$ .

9. $h (x) = lo g_{2} (x + 4) - 1$ , cu domeniul $(- 4; + \infty)$ . Numărul $- 2$ este în domeniu, iar $h (- 2) = lo g_{2} 2 - 1 = 0$ , deci graficul trece prin $(- 2; 0)$ , pe axa $O x$ .

10. Domeniul este $(\frac{5}{3}; + \infty)$ , iar argumentul $3 x - 5$ este egal cu $1$ pentru $x = 2$ . Baza $0, 7$ este subunitară, deci logaritmul e pozitiv când argumentul e între $0$ și $1$ , adică pentru $\frac{5}{3} < x < 2$ . Rezultă $f (x) > 0$ pentru $x \in (\frac{5}{3}; 2)$ , $f (2) = 0$ și $f (x) < 0$ pentru $x \in (2; + \infty)$ .

11. Din $y = lo g_{5} (x + 2) + 1$ rezultă $lo g_{5} (x + 2) = y - 1$ , deci $x + 2 = 5^{y - 1}$ și $x = 5^{y - 1} - 2$ . Inversa este $f^{- 1} : R \to (- 2; + \infty)$ , $f^{- 1} (x) = 5^{x - 1} - 2$ . Control: $f (3) = lo g_{5} 5 + 1 = 2$ și $f^{- 1} (2) = 5 - 2 = 3$ .

12. Funcția este strict crescătoare, deci ia valorile extreme la capete: $f (\frac{16}{5}) = lo g_{5} \frac{1}{5} = - 1$ și $f (28) = lo g_{5} 25 = 2$ . Mulțimea valorilor este $[- 1; 2]$ .

13. $f (3) = lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ , pentru că $9^{1/2} = 3$ , iar $f (27) = lo g_{9} 27 = \frac{3}{2}$ , pentru că $9^{3/2} = 27$ . Suma este $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$ .

14. Funcția crește strict, pentru că baza $3$ trece de $1$ . Pentru $x < 5$ rezultă $f (x) < f (5) = lo g_{3} 9 = 2$ .

15. Numărul $0$ este în domeniu și $f (0) = lo g_{4} 2 - 1 = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ , deci graficul taie axa $O y$ în $(0; - \frac{1}{2})$ . Apoi $f (2) = lo g_{4} 4 - 1 = 1 - 1 = 0$ , deci punctul $(2; 0)$ aparține graficului.

16. $Δ v (60) = 3 ln 2 \approx 2, 08$ kilometri pe secundă și $Δ v (40) = 3 ln 3 \approx 3, 30$ kilometri pe secundă. Când masa $m$ scade, raportul $\frac{120}{m}$ crește, iar logaritmul natural este crescător, deci viteza câștigată crește: funcția este descrescătoare în raport cu masa. Pentru $m = 120$ , adică înainte de ardere, $Δ v = 0$ . Modelul este declarat pe $[40; 120]$ : sub $40$ de tone racheta nu mai are combustibil, iar formula nu se mai aplică.

17. Pentru $0 < x_{1} < x_{2}$ avem $lo g_{2} x_{1} < lo g_{2} x_{2}$ și $x_{1} + 3 < x_{2} + 3$ , deci $lo g_{2} (x_{1} + 3) < lo g_{2} (x_{2} + 3)$ . Adunând cele două inegalități de același sens, obținem $g (x_{1}) < g (x_{2})$ : suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare. Același argument nu merge pentru o diferență de logaritmi, unde inegalitățile ar avea sensuri opuse.

18. Din $5^{3} = 125 > 121 = 1 1^{2}$ rezultă $5^{3/2} > 11$ , deci $lo g_{5} 11 < \frac{3}{2}$ . Din $6^{3} = 216 < 289 = 1 7^{2}$ rezultă $lo g_{6} 17 > \frac{3}{2}$ , iar din $6^{5} = 7776 > 4913 = 1 7^{3}$ rezultă $6^{5/3} > 17$ , deci $lo g_{6} 17 < \frac{5}{3}$ . Din $3^{5} = 243 < 343 = 7^{3}$ rezultă $lo g_{3} 7 > \frac{5}{3}$ . Ordinea este $lo g_{5} 11 < lo g_{6} 17 < lo g_{3} 7$ .

De reținut

Funcția $lo g_{a} x$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , este inversa exponențialei $a^{x}$ , cu domeniul $(0; + \infty)$ și mulțimea valorilor $R$ ; logaritmii cu baze diferite se compară printr-un prag, întreg sau fracționar, citit din puterile bazelor.
Monotonia se demonstrează din monotonia exponențialei: pentru $a > 1$ funcția crește strict, pentru $0 < a < 1$ descrește strict; de aici $lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v$ , cu $u, v > 0$ .
Semnul unei funcții $lo g_{a} (m x + n)$ se schimbă acolo unde argumentul trece prin $1$ , iar baza decide care parte este pozitivă.
Funcția $lo g_{a} f (x)$ există unde graficul lui $f$ este deasupra axei $O x$ , are asimptote verticale în rădăcinile lui $f$ și, pentru $a > 1$ , crește și scade odată cu argumentul.
Graficul lui $lo g_{a} (x - h) + k$ are asimptota $x = h$ și trece prin $(h + 1; k)$ , iar inversa lui este $a^{x - k} + h$ .

Greșeli frecvente

Muți asimptota în sensul semnului din paranteză. La $lo g_{3} (x + 2)$ asimptota este $x = - 2$ , nu $x = 2$ : argumentul se anulează când $x + 2 = 0$ . Scrie mereu ecuația „argumentul este zero” și citește din ea poziția asimptotei.
Compari logaritmi cu baze diferite doar după argumente. Din $5 < 9$ nu rezultă nimic despre $lo g_{2} 5$ și $lo g_{7} 9$ : primul trece de $2$ , al doilea rămâne sub $2$ . Între baze diferite ai nevoie de un prag comun, nu de ordinea argumentelor.
Scoți factorul din argument în fața logaritmului. Scrii „ $lo g_{2} (8 x) = 8 lo g_{2} x$ ”. Proprietatea produsului dă $lo g_{2} (8 x) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} x = 3 + lo g_{2} x$ : graficul urcă cu trei unități, nu se întinde de opt ori. Controlul pe $x = 2$ : $lo g_{2} 16 = 4$ , pe când $8 lo g_{2} 2 = 8$ .
Păstrezi asimptota lui $lo g_{a} x$ la o funcție $lo g_{a} f (x)$ . Din obișnuința graficului lui $lo g_{2} x$ , desenezi axa $O y$ ca asimptotă pentru $lo g_{2} (x^{2} - 4 x + 3)$ . Argumentul se anulează în $1$ și în $3$ , deci asimptotele verticale sunt $x = 1$ și $x = 3$ , iar în $x = 0$ funcția este definită și valorează $lo g_{2} 3$ .
Scrii domeniul inversei ca domeniul funcției. Pentru $f (x) = lo g_{3} (x - 6)$ , definită pe $(6; + \infty)$ , inversa $3^{x} + 6$ este definită pe $R$ și ia valori în $(6; + \infty)$ . La inversare, domeniul și mulțimea valorilor își schimbă locurile; dacă le păstrezi, scrii o funcție care nu întoarce nimic.

Aplică acasă

Calculează, cu funcția de logaritm a unui program de calcul tabelar, valorile lui $lo g_{3} (18 x - x^{2} - 72)$ din Exemplul 2 pentru $x = 6, 5$ ; $7$ ; $7, 5$ ; …; $11, 5$ . Fă din ele un grafic de puncte, marchează cea mai mare valoare și verifică perechile de rânduri egale, simetrice față de $x = 9$ . Spune ce se întâmplă cu valorile lângă $6$ și lângă $12$ .
Pe hârtie milimetrică, desenează $lo g_{2} x$ din punctele cu argumentele $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ , $2$ , $4$ și $8$ . Fără niciun tabel nou, desenează apoi $lo g_{2} (x - 3)$ și $lo g_{2} x + 2$ , mutând fiecare punct cu vectorul potrivit, și verifică două puncte ale fiecărei curbe prin calcul.
Pentru gazul din Exemplul 5, calculează lucrul mecanic pentru volumele de $1$ , $2$ , $4$ și $8$ litri, cu calculatorul. Observă că fiecare dublare a volumului adaugă aceeași cantitate, $400 ln 2$ jouli, și explică de ce, cu proprietatea produsului. Scrie apoi, cu inversa, volumul la care lucrul mecanic ar fi de $1000$ de jouli.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la funcția logaritmică văzută pe grafic, în clasa a IX-a, la funcția logaritmică folosită ca unealtă. Monotonia nu mai este o observație, ci o consecință demonstrată a monotoniei exponențialei, iar injectivitatea este scrisă ca echivalență, cu condiția de pozitivitate lângă ea. Merită urmărit dacă elevul poate explica de ce $lo g_{a} b$ și $lo g_{b} a$ sunt de o parte și de alta a lui $1$ și dacă alege singur un prag atunci când compară logaritmi cu baze diferite.

Partea nouă cea mai folositoare pentru ecuații și pentru problemele din științe este lucrul cu argumente compuse: graficul unei funcții ca $lo g_{3} (12 + x - x^{2})$ , cu asimptotele și valoarea ei extremă, semnul unei funcții ca $lo g_{0, 2} (x + 4)$ , translațiile graficului și inversa unui logaritm translatat. Condițiile de existență ale unei expresii sunt fixate în lecția despre logaritmul unui număr și aici doar se folosesc. Inecuațiile logaritmice nu fac parte din lecție: semnul se află comparând un argument de gradul întâi cu $1$ .

Întrebări bune de control: „De ce $lo g_{a} u = lo g_{a} v$ nu se poate simplifica atunci când $u$ sau $v$ sunt negative?”; „Unde este asimptota lui $lo g_{2} (x - 5) + 3$ ?”; „Ce semn are lucrul mecanic din Exemplul 5 la comprimare și de ce?”. Semnul că elevul a înțeles: scrie domeniul înaintea oricărui calcul și verifică o inversă compunând.

Pentru o oră cu calculatorul sau cu o aplicație de grafice, se pot trasa $lo g_{2} (x - h) + k$ pentru câteva perechi de constante și se poate cere clasei să scrie, fără calcul, asimptota și punctul în care argumentul este $1$ . Discuția despre Exemplul 5 poate fi făcută împreună cu profesorul de fizică: semnul lucrului mecanic la destindere și la comprimare este chiar semnul unui logaritm.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, în care rândul despre logaritmi este „noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, funcția logaritmică […]; monotonie; ecuații logaritmice”, iar alt rând cere compunerea și funcția inversabilă. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014: funcția logaritmică apare acolo la clasa a X-a, iar nota despre funcții cere intersecțiile cu axele și lectura grafică a monotoniei, a inversabilității și a semnului; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model din 2026, cerința a 3-a de la Subiectul I este o ecuație logaritmică, rezolvată pe domeniul ei; exercițiile marcate aici sunt create pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: graficul și proprietățile logaritmului, la mate-info (M1). Înaintea ei, pe traseu, se află schimbarea bazei logaritmilor la M2, lecția următoare este ecuațiile logaritmice la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 a funcției logaritmice?

Varianta M2 nu reia definiția și graficul de la zero: pornește de la lecția de clasa a IX-a și adaugă demonstrația monotoniei, compararea logaritmilor cu baze diferite, translațiile și inversa unui logaritm translatat. Nu lucrează cu baze care depind de $x$ și nu pregătește inecuații logaritmice, care nu sunt în programa de științe.

La ce subiect al bacalaureatului M2 folosesc proprietățile funcției logaritmice?

În programa M_șt-nat pentru 2027–2029, funcția logaritmică este materie de clasa a X-a, cu lectura grafică a monotoniei și a semnului, iar exercițiile cu funcții se sprijină pe ele. Varianta-model din 2026 are la Subiectul I o ecuație logaritmică, rezolvată pe domeniul ei. Pentru MAT_P2 din 2030, tema e în domeniul „Algebră”.

Cum aleg pragul când doi logaritmi au aceeași parte întreagă?

Încerci jumătatea dintre cei doi întregi. Compari baza ridicată la acea putere cu argumentul, iar puterea cu exponent $\frac{1}{2}$ o eviți ridicând totul la pătrat: compari pătratul argumentului cu puterea întreagă a bazei. Dacă nici jumătatea nu desparte numerele, încerci treimi, comparând cuburi.

Mai trec toate graficele translatate prin punctul (1;0)?

Nu. Punctul $(1; 0)$ este comun doar graficelor de forma $lo g_{a} x$ . După o translație, punctul în care argumentul este $1$ se mută în $(h + 1; k)$ , la o unitate la dreapta asimptotei. Pe el îl cauți primul când citești o formulă de pe desen, pentru că îți dă direct constanta $k$ .

Sunt $lo g_{2} (8 x)$ și $3 + lo g_{2} x$ aceeași funcție?

Da. Ambele sunt definite pe $(0; + \infty)$ , iar proprietatea produsului dă aceeași valoare în fiecare punct. De aceea graficul lui $lo g_{2} (8 x)$ este graficul lui $lo g_{2} x$ urcat cu trei unități. Cu formule ca $lo g_{2} (x^{2})$ și $2 lo g_{2} x$ trebuie însă atenție, pentru că domeniile lor diferă.

La ce folosește inversa unei funcții logaritmice într-o problemă din științe?

Inversa răspunde la întrebarea opusă modelului. Dacă modelul dă lucrul mecanic în funcție de volum, inversa dă volumul la care se atinge un lucru mecanic dorit. Se obține trecând de la logaritm la putere, iar domeniul și mulțimea valorilor își schimbă rolurile, împreună cu unitățile de măsură.