Funcțiile $$f,g:\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^4$$ și $$g(x)=x^2$$ sunt:

diferite, pentru că au formule diferite

diferite, pentru că $$f(2)\ne g(2)$$

Sunt egale funcțiile f(x)= (x²-1)/(x-1) și g(x)=x+1, fiecare pe domeniul maxim?

Nu. Deși f(x)=x+1 pentru x≠1, domeniul lui f este ℝ∖1, iar al lui g este ℝ. Funcțiile egale cer același domeniu. Restricția lui g la ℝ∖1 este însă egală cu f.

Ce este imaginea unei mulțimi printr-o funcție?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții egale și restricții

Pentru o funcție $f$ și o submulțime $M$ a domeniului, imaginea $f (M)$ este mulțimea valorilor $f (x)$ luate pentru $x \in M$ . Exemplu: pentru $f (x) = 2 x + 1$ , $f ({0, 1, 2}) = {1, 3, 5}$ , iar $f ([0, 2)) = [1, 5)$ , fiindcă funcția crește și capătul $2$ este exclus. Imaginea întregului domeniu se numește mulțimea valorilor funcției; $f (M)$ privește doar o parte din domeniu.

Două funcții sunt egale doar dacă au același domeniu, același codomeniu și dau același rezultat pentru fiecare intrare. Formula nu decide singură: formule diferite pot da funcții egale pe o mulțime mică, iar aceeași formulă pe domenii diferite dă funcții diferite.

Pe o mulțime finită verifici valorile una câte una. Formulele dau aceleași rezultate exact în punctele care rezolvă ecuația $f (x) = g (x)$ . Pe un interval sau pe $R$ , câteva valori comune nu dovedesc nimic: un singur punct de dezacord arată că funcțiile diferă, iar egalitatea se arată transformând expresiile.

Restricția $f ∣_{C}$ păstrează legea și codomeniul, dar folosește numai intrările din $C$ ; pe desen rămâne doar porțiunea de curbă corespunzătoare lui $C$ , cu capetele marcate plin sau gol. Un model din științe valabil pe un interval este restricția formulei la acel interval.

Imaginea unei mulțimi, $f (M)$ , adună valorile luate pe $M$ . La o funcție afină pe un interval se citește din capete, în ordine crescătoare, iar un capăt exclus al intervalului rămâne exclus în imagine.

De reținut

$f (M) = {f (x) ∣ x \in M}$
funcții egale: același domeniu, același codomeniu, aceleași valori
la o funcție monotonă pe un interval, $f (M)$ se citește din capete

Greșeala tipică

Se confundă $f (M)$ cu $M$ sau cu mulțimea valorilor pe tot domeniul; $f ([0, 2))$ pentru $2 x + 1$ este $[1, 5)$ , nu $[0, 2)$ și nici $R$ .

Exerciții din această mini-lecție

Funcțiile $f, g : {- 1, 0, 1} \to R$ , $f (x) = x^{4}$ și $g (x) = x^{2}$ sunt:
- a) egale
- b) diferite, pentru că au formule diferite
- c) diferite, pentru că $f (2) \neq = g (2)$
- d) egale pe orice domeniu comun
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) egale

Domeniile și codomeniile coincid, iar $f (- 1) = 1 = g (- 1)$ , $f (0) = 0 = g (0)$ și $f (1) = 1 = g (1)$ . Numărul $2$ nu aparține domeniului, deci nu contează; pe un domeniu care îl conține pe $2$ , funcțiile ar fi diferite.
Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 1 - 3 x$ , mulțimea $f ([0, 2))$ este:
- a) $[- 5, 1)$
- b) $(- 5, 1]$
- c) $(- 5, 1)$
- d) $[- 5, 1]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 5, 1]$

Funcția e descrescătoare: $f (0) = 1$ se atinge, iar $f (2) = - 5$ nu se atinge, pentru că $2$ nu aparține intervalului. Deci $f ([0, 2)) = (- 5, 1]$ .
Care este cea mai mare mulțime $A$ pe care formulele $x^{2}$ și $28 - 3 x$ dau funcții egale?
- a) ${7, - 4}$
- b) $[- 7, 4]$
- c) ${- 7, 4}$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${- 7, 4}$

Egalitatea cere $x^{2} = 28 - 3 x$ , adică $x^{2} + 3 x - 28 = 0$ , cu soluțiile $- 7$ și $4$ . Pe orice alt număr formulele diferă.

Întrebări conexe

Sunt egale funcțiile $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ și $g (x) = x + 1$ , fiecare pe domeniul maxim?

Nu. Deși $f (x) = x + 1$ pentru $x \neq = 1$ , domeniul lui $f$ este $R ∖ {1}$ , iar al lui $g$ este $R$ . Funcțiile egale cer același domeniu. Restricția lui $g$ la $R ∖ {1}$ este însă egală cu $f$ .

Ce restricție descrie căderea unui corp de la $45$ m?

Înălțimea este $h (t) = 45 - 5 t^{2}$ , iar corpul atinge solul la $t = 3$ s. Modelul este restricția formulei la $[0, 3]$ ; pentru $t = 4$ formula ar da $- 35$ , fără sens fizic. Imaginea restricției este $[0, 45]$ metri.

Cât este $f ([- 1, 4])$ pentru $f (x) = ∣ x - 1∣$ ?

Funcția scade până la $x = 1$ , unde valoarea este $0$ , apoi crește. În capete, $f (- 1) = 2$ și $f (4) = 3$ . Cea mai mică valoare este $0$ , cea mai mare $3$ , deci $f ([- 1, 4]) = [0, 3]$ .

Ajung trei valori comune ca două funcții pe $R$ să fie egale?

Nu. Funcțiile $f (x) = x^{3}$ și $g (x) = x$ au aceleași valori în $- 1$ , $0$ și $1$ , dar $f (2) = 8$ , iar $g (2) = 2$ . Pe un domeniu infinit egalitatea se demonstrează transformând expresiile, nu prin câteva încercări.

Ce imagine are conversia în kelvini a temperaturilor dintre $- 1 0^{\circ}$ C și $2 5^{\circ}$ C?

Conversia este $K (t) = t + 273, 15$ , o funcție crescătoare. Imaginea intervalului $[- 10, 25]$ este $[263, 15; 298, 15]$ , în kelvini. Capetele intervalului de temperaturi dau capetele imaginii, în aceeași ordine. Diferența dintre capete rămâne $35$ de grade în ambele scări.

Oamenii mai întreabă și: imaginea unei submulțimi · f de M la funcții · imaginea unui interval printr-o funcție · mulțimea valorilor pe o submulțime

Ce este imaginea unei mulțimi printr-o funcție?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Sunt egale funcțiile f(x)=x−1x2−1​ și g(x)=x+1, fiecare pe domeniul maxim?

Ce restricție descrie căderea unui corp de la 45 m?

Cât este f([−1,4]) pentru f(x)=∣x−1∣?

Ajung trei valori comune ca două funcții pe R să fie egale?

Ce imagine are conversia în kelvini a temperaturilor dintre −10∘C și 25∘C?

Continuă cu

Sunt egale funcțiile $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ și $g (x) = x + 1$ , fiecare pe domeniul maxim?

Ce restricție descrie căderea unui corp de la $45$ m?

Cât este $f ([- 1, 4])$ pentru $f (x) = ∣ x - 1∣$ ?

Ajung trei valori comune ca două funcții pe $R$ să fie egale?

Ce imagine are conversia în kelvini a temperaturilor dintre $- 1 0^{\circ}$ C și $2 5^{\circ}$ C?