Funcții egale, restricții și imaginea unei mulțimi (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un model din științe vine întotdeauna cu o formulă și cu un interval pe care formula e valabilă: legea care descrie masa unei soluții are sens doar cât încape lichidul în vas, iar o formulă folosită în sport se aplică doar pentru anumite vârste. Două modele cu aceeași formulă, dar cu intervale diferite, sunt sau nu același model? Lecția de față, din clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), răspunde precis: vorbim despre funcții egale, despre restricția unei funcții și despre imaginea unei mulțimi printr-o funcție. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 funcțiile aparțin domeniului „Algebră”, iar programa probei numește mulțimea valorilor unei funcții, dar nu și egalitatea sau restricțiile. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție și restricțiile unei funcții.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: egalitatea a două funcții și restricțiile unei funcții sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a IX-a (Anexa 28); mulțimea valorilor unei funcții rămâne în Anexa 28, la capitolul de funcții al clasei a IX-a. Pornim de la noțiunea de funcție la M2, unde ai văzut ce înseamnă domeniu și codomeniu, și de la lectura graficului la M2. Dacă notația intervalelor nu îți mai e familiară, recitește operațiile cu mulțimi și intervale la M2.

Ce vei învăța

Vei ști să decizi dacă două funcții sunt egale, verificând în scris domeniul, codomeniul și valorile.
Vei ști să verifici egalitatea pe o mulțime finită, cu un tabel sau cu ecuația $f (x) = g (x)$ .
Vei ști de ce câteva valori comune nu dovedesc egalitatea pe un interval și ce dovadă folosești atunci.
Vei ști să scrii restricția unei funcții la o submulțime și să îi desenezi graficul, cu capetele corecte.
Vei ști să calculezi imaginea unei mulțimi printr-o funcție afină, printr-o funcție pe ramuri sau pe o mulțime finită.
Vei ști să recunoști într-un model din științe o funcție care este restricția alteia.

Hai să descoperim împreună

1. Când sunt egale două funcții?

Două funcții egale sunt două funcții care pornesc din aceeași mulțime, ajung în aceeași mulțime și dau, pentru fiecare intrare admisă, același rezultat. Scris cu simboluri: funcțiile $f : A \to B$ și $g : C \to D$ sunt egale, și notăm $f = g$ , dacă $A = C$ , $B = D$ și $f (x) = g (x)$ pentru orice $x$ din $A$ . Fiecare dintre cele trei condiții se verifică separat și se scrie în rezolvare.

Formula nu face parte din listă. Două funcții pot fi egale chiar dacă sunt date prin formule care arată complet diferit. Să luăm funcțiile $f, g : {0, 1} \to R$ , $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x$ . Domeniul are doar două elemente, iar valorile coincid în fiecare: $f (0) = 0 = g (0)$ și $f (1) = 1 = g (1)$ . Domeniile și codomeniile sunt aceleași, deci $f = g$ , deși un pătrat și numărul însuși nu sunt, în general, egale.

Invers, două funcții date prin aceeași formulă pot fi diferite, dacă domeniile sau codomeniile lor diferă. Tocmai de aceea, în lecția despre noțiunea de funcție, domeniul și codomeniul au fost scrise de fiecare dată lângă formulă: ele fac parte din funcție.

2. Cum verifici egalitatea pe o mulțime finită?

Când domeniul comun are puține elemente, verificarea este un tabel: pentru fiecare element calculezi ambele valori și le compari. Dacă toate coincid, funcțiile sunt egale; dacă una diferă, nu sunt.

Există și un drum mai general. Condiția „ $f (x) = g (x)$ pentru orice $x$ din domeniu” înseamnă că fiecare element al domeniului este o soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ . Prin urmare, două formule dau funcții egale pe o mulțime $A$ exact atunci când $A$ este inclusă în mulțimea soluțiilor acestei ecuații. Pentru expresiile $x^{2}$ și $3 x - 2$ , ecuația $x^{2} = 3 x - 2$ se scrie $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ și are soluțiile $1$ și $2$ . Rezultă că funcțiile definite cu aceste formule pe ${1, 2}$ sunt egale, la fel și cele definite pe ${1}$ sau pe ${2}$ , dar pe nicio mulțime care conține alt număr. Cea mai mare mulțime pe care cele două formule dau funcții egale este chiar ${1, 2}$ .

3. De ce câteva valori comune nu ajung pe un interval?

Rămânem la cele două formule de mai sus, dar le luăm pe toată mulțimea numerelor reale. Ele dau aceeași valoare în $1$ și în $2$ , dar în $0$ prima dă $0$ , iar a doua dă $- 2$ . Un singur punct de dezacord e suficient ca funcțiile definite pe $R$ să nu fie egale.

Aici e capcana: pe un domeniu infinit nu poți verifica toate punctele unul câte unul, oricâte ai încerca. Coincidența în câteva puncte alese la întâmplare nu dovedește nimic. Ai două drumuri corecte. Dacă bănuiești că funcțiile diferă, cauți un singur punct în care valorile diferă; e o dovadă completă. Dacă bănuiești că sunt egale, arăți algebric că expresiile sunt identice, prin calcul. De exemplu, $(x - 1) (x + 5) + 9 = x^{2} + 4 x - 5 + 9 = x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ pentru orice număr real $x$ , deci funcțiile definite pe $R$ cu aceste două formule sunt egale.

4. Ce este restricția unei funcții?

Restricția funcției $f : A \to B$ la o submulțime nevidă $C$ a lui $A$ este funcția $f ∣_{C} : C \to B$ , dată de $f ∣_{C} (x) = f (x)$ pentru fiecare $x$ din $C$ . Păstrezi legea și codomeniul, dar lași deoparte o parte din domeniu. Ori de câte ori $C$ diferă de $A$ , obții o funcție nouă, distinctă de $f$ , fiindcă mulțimile de intrări nu mai coincid.

De pildă, pentru funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ , restricția la mulțimea ${0, 1, 2}$ este funcția care duce $0$ în $1$ , $1$ în $3$ și $2$ în $5$ , și nimic altceva. Graficul lui $f$ este o dreaptă, graficul restricției sunt doar trei puncte ale acelei drepte. Nu s-a schimbat nicio valoare; s-a schimbat mulțimea de intrări admise.

Restricțiile apar natural în modelele din științe. Formula se scrie de obicei pentru toate numerele reale, dar fenomenul are sens doar pe un interval: timpul nu e negativ, un vas nu primește oricât lichid, o lege măsurată la temperaturi obișnuite nu se extinde la temperaturi extreme. Funcția care descrie fenomenul este restricția formulei la intervalul de valabilitate.

5. Cum arată graficul unei restricții?

Graficul restricției $f ∣_{C}$ este partea din graficul lui $f$ aflată deasupra sau dedesubtul mulțimii $C$ de pe axa $O x$ . Nimic nu se deformează: se păstrează doar bucata care corespunde intrărilor din $C$ . Capetele contează, exact ca în lectura graficului la M2: un capăt inclus în $C$ se desenează cu un punct plin, un capăt exclus cu un cerc gol.

În figura A, funcția $f : R \to R$ , $f (x) = - x + 4$ este desenată punctat, iar restricția ei la intervalul $[- 1, 3)$ este îngroșată. Capătul din stânga, $(- 1, 5)$ , este plin, pentru că $- 1$ aparține intervalului; capătul din dreapta, $(3, 1)$ , este gol, pentru că $3$ nu aparține. Pe axa $O y$ este marcată porțiunea de ordonate pe care o acoperă segmentul îngroșat; ea este subiectul subsecțiunii următoare.

6. Ce este imaginea unei mulțimi printr-o funcție?

Pentru o funcție $f : A \to B$ și o submulțime $M$ a lui $A$ , imaginea mulțimii $M$ prin $f$ este mulțimea $f (M) = {f (x) ∣ x \in M}$ , adică toate valorile pe care le ia funcția când intrarea parcurge $M$ . Cu alte cuvinte, $f (M)$ este mulțimea valorilor restricției $f ∣_{M}$ . Mulțimea valorilor întregii funcții, pe care ai studiat-o pentru parabole în mulțimea valorilor funcției de gradul doi la M2, este cazul particular $M = A$ .

Pentru o funcție afină pe un interval, drumul e scurt. Funcția e monotonă, deci valorile ei pe interval sunt cuprinse între valorile din capete, iar un capăt exclus al intervalului dă un capăt exclus al imaginii. În figura A, $f$ este descrescătoare: $f (- 1) = 5$ se atinge, iar $f (3) = 1$ nu se atinge, deci $f ([- 1, 3)) = (1, 5]$ . Ordinea capetelor în imagine este întotdeauna crescătoare, chiar dacă funcția coboară.

Pentru o mulțime finită, imaginea este lista valorilor distincte. Pentru o funcție definită pe ramuri, calculezi imaginea fiecărei bucăți și reunești rezultatele. În ambele cazuri, imaginea poate avea mai puține elemente decât mulțimea de plecare, dacă două intrări dau aceeași valoare.

7. Când este o funcție restricția alteia?

Două funcții date pe mulțimi diferite, dar cu aceeași lege, nu sunt egale. Adesea însă una este restricția celeilalte: $f = g ∣_{C}$ înseamnă că $f$ are domeniul $C$ , inclus în domeniul lui $g$ , același codomeniu și aceleași valori ca $g$ pe $C$ . Aceasta e relația corectă dintre un model valabil pe un interval și formula lui scrisă pe toată mulțimea numerelor reale.

O restricție poate avea proprietăți pe care funcția întreagă nu le are. Funcția $h : R \to R$ , $h (x) = ∣ x - 1 ∣$ scade până în $1$ și apoi crește, deci nu este monotonă pe $R$ . Restricția ei la intervalul $[1, \infty)$ este însă crescătoare, iar restricția la $(- \infty, 1]$ este descrescătoare. Monotonia funcției afine, din lecția M2 despre monotonia funcției afine, se aplică apoi pe fiecare bucată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Egalitate pe o mulțime cu trei elemente

Se consideră funcțiile $f, g : {- 2, 1, 4} \to R$ , $f (x) = x^{3} + 8$ și $g (x) = 3 x^{2} + 6 x$ . Arată că $f = g$ . Ar fi egale și funcțiile date de aceleași formule pe $R$ ?

Rezolvare. Domeniile și codomeniile coincid. Calculăm valorile în cele trei puncte:

$x$	$- 2$	$1$	$4$
$f (x)$	$0$	$9$	$72$
$g (x)$	$0$	$9$	$72$

Detaliat: $f (- 2) = - 8 + 8 = 0$ și $g (- 2) = 12 - 12 = 0$ ; $f (1) = 9$ și $g (1) = 3 + 6 = 9$ ; $f (4) = 64 + 8 = 72$ și $g (4) = 48 + 24 = 72$ . Valorile coincid peste tot, deci $f = g$ .

Pe $R$ răspunsul este nu: în $0$ , prima formulă dă $8$ , iar a doua dă $0$ . Cele trei puncte ale domeniului sunt exact soluțiile ecuației $x^{3} + 8 = 3 x^{2} + 6 x$ , adică ale lui $(x + 2) (x - 1) (x - 4) = 0$ , iar în afara lor formulele diferă.

Exemplul 2 — O funcție cu modul, scrisă pe ramuri

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x - 1 ∣ + x$ și funcția $g : R \to R$ , dată de $g (x) = 1$ pentru $x < 1$ și $g (x) = 2 x - 1$ pentru $x \geq 1$ . Arată că $f = g$ .

Rezolvare. Domeniile și codomeniile coincid; rămân valorile. Pentru $x \geq 1$ , numărul $x - 1$ este pozitiv sau nul, deci $∣ x - 1 ∣ = x - 1$ și $f (x) = x - 1 + x = 2 x - 1 = g (x)$ . Pentru $x < 1$ , numărul $x - 1$ este negativ, deci $∣ x - 1 ∣ = 1 - x$ și $f (x) = 1 - x + x = 1 = g (x)$ . Cele două cazuri acoperă toate numerele reale, deci $f = g$ .

Observă metoda: pe un domeniu infinit n-am verificat puncte, ci am transformat expresia pe fiecare bucată a domeniului. Control în două puncte: $f (3) = 2 + 3 = 5 = g (3)$ și $f (- 2) = 3 - 2 = 1 = g (- 2)$ .

Exemplul 3 — Citește graficul: imaginea unui interval și a două puncte

Figura B arată graficul funcției $h : R \to R$ , $h (x) = ∣ x - 2 ∣$ , cu porțiunea de deasupra intervalului $[0, 3]$ îngroșată. Citește din figură $h ([0, 3])$ , apoi determină $h ({0, 4})$ .

Rezolvare. Porțiunea îngroșată coboară de la punctul $(0, 2)$ până la vârful $(2, 0)$ și urcă apoi până la $(3, 1)$ . Cea mai mică ordonată atinsă este $0$ , cea mai mare este $2$ , iar porțiunea e neîntreruptă, deci trece prin toate înălțimile dintre ele: $h ([0, 3]) = [0, 2]$ . Capătul $(3, 1)$ nu dă o margine a imaginii, pentru că înălțimea $1$ e depășită în stânga.

Pentru mulțimea ${0, 4}$ calculăm: $h (0) = ∣ - 2 ∣ = 2$ și $h (4) = ∣ 2 ∣ = 2$ . Imaginea are un singur element: $h ({0, 4}) = {2}$ . Două intrări simetrice față de vârf au aceeași valoare, deci imaginea unei mulțimi poate fi mai mică decât mulțimea însăși.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: trei puncte nu fac o egalitate

Pentru funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{3} + 19 x$ și $g (x) = 8 x^{2} + 12$ , un elev a scris: „am calculat în $1$ , în $3$ și în $4$ și am obținut de fiecare dată valori egale, deci funcțiile sunt egale”. Unde greșește?

Rezolvare. Calculele elevului sunt corecte: $f (1) = 20 = g (1)$ , $f (3) = 27 + 57 = 84 = g (3)$ și $f (4) = 64 + 76 = 140 = g (4)$ . Concluzia nu e: domeniul este $R$ , iar trei puncte nu acoperă un domeniu infinit. Un singur punct în care valorile diferă arată că $f \neq = g$ : $f (0) = 0$ , dar $g (0) = 12$ .

Ce a arătat de fapt elevul? Că restricțiile celor două funcții la mulțimea ${1, 3, 4}$ sunt egale. Cele trei numere sunt soluțiile ecuației $x^{3} - 8 x^{2} + 19 x - 12 = 0$ , iar în afara lor formulele dau valori diferite.

Exemplul 5 — Aceeași lege în două vase

O soluție are densitatea $1, 2$ g/mL, deci un volum de $V$ mililitri are masa de $1, 2 V$ grame. Într-un pahar încap cel mult $250$ mL, într-un balon cel mult $500$ mL. Modelăm masa soluției din pahar prin $m_{1} : [0, 250] \to R$ , $m_{1} (V) = 1, 2 V$ , iar pe cea din balon prin $m_{2} : [0, 500] \to R$ , $m_{2} (V) = 1, 2 V$ . Sunt egale cele două funcții? Ce mase sunt posibile în fiecare vas?

Rezolvare. Legile coincid, codomeniile coincid, dar domeniile $[0, 250]$ și $[0, 500]$ diferă, deci $m_{1} \neq = m_{2}$ . Relația corectă dintre ele este $m_{1} = m_{2} ∣_{[0, 250]}$ : modelul paharului este restricția modelului balonului. Ambele sunt restricții ale funcției $m : [0, \infty) \to R$ , $m (V) = 1, 2 V$ .

Funcția este crescătoare, deci masele posibile sunt cuprinse între valorile din capete: $m_{1} ([0, 250]) = [0, 300]$ grame și $m_{2} ([0, 500]) = [0, 600]$ grame. Diferența dintre modele are un sens concret: o masă de $450$ g e posibilă în balon, dar nu în pahar.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f, g : {- 2, 0, 2} \to R$ , $f (x) = x^{3}$ și $g (x) = 4 x$ . a) Arătați că $f = g$ . b) Determinați $f ({- 2, 0, 2})$ .

Rezolvare. a) Funcțiile au același domeniu și același codomeniu. Pentru valori: $f (- 2) = - 8 = g (- 2)$ , $f (0) = 0 = g (0)$ și $f (2) = 8 = g (2)$ . Cum valorile coincid în fiecare punct al domeniului, $f = g$ .

b) Imaginea domeniului este mulțimea valorilor calculate la punctul a): $f ({- 2, 0, 2}) = {- 8, 0, 8}$ . Remarcă legătura: cele trei elemente ale domeniului sunt soluțiile ecuației $x^{3} = 4 x$ , adică $x (x - 2) (x + 2) = 0$ .

Să exersăm

La fiecare exercițiu de egalitate, scrie explicit cele trei verificări: domeniul, codomeniul, valorile.

1. Se consideră funcțiile $f, g : {- 1, 3} \to R$ , $f (x) = x^{2} - 1$ și $g (x) = 2 x + 2$ . Arată că $f = g$ . Ar rămâne egale dacă domeniul ar fi ${- 1, 0, 3}$ ?

2. Funcțiile $f : {1, 2, 3} \to N$ , $f (x) = x + 1$ și $g : {1, 2, 3} \to R$ , $g (x) = x + 1$ au aceleași valori. Sunt egale?

3. Se consideră $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = 3 x - 1$ și $g : [0, 3] \to R$ , $g (x) = 3 x - 1$ . Sunt egale? Ce legătură există între ele?

4. Determină cea mai mare mulțime $A$ de numere reale pentru care funcțiile $f, g : A \to R$ , $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x + 6$ sunt egale.

5. Arată că funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = (2 x + 1)^{2} - 1$ și $g (x) = 4 x (x + 1)$ sunt egale.

6. Se consideră $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣ + ∣ x - 2 ∣$ și $g : [0, 2] \to R$ , $g (x) = 2$ . Arată că $f = g$ . Rămân egale pe $[0, 3]$ ?

7. Pentru $h : R \to R$ , $h (x) = 2 x - 3$ , scrie restricția lui $h$ la intervalul $[1, 5]$ și determină $h ([1, 5])$ .

8. Pentru $h : R \to R$ , $h (x) = x^{2} - 4 x$ , determină $h ({0, 1, 2, 3, 4})$ . Câte elemente are imaginea și de ce are mai puține decât mulțimea de plecare?

9. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 5 - 2 x$ , determină $f ((- 1, 2])$ și explică de ce un capăt al imaginii este deschis.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două funcții $f, g : R \to R$ iau aceleași valori în toate numerele întregi, atunci $f = g$ .”

11. Figura C arată graficul unei funcții $g : [- 2, 4] \to R$ , format din două segmente: unul de la $(- 2, 0)$ la $(1, 3)$ și unul de la $(1, 3)$ la $(4, 0)$ . Citește din figură $g ([- 2, 0])$ , $g ([0, 3])$ și $g ([- 2, 4])$ .

12. (Problemă aplicată.) O formulă folosită în antrenamentele sportive estimează pulsul maxim, în bătăi pe minut, prin $f (a) = 220 - a$ , unde $a$ este vârsta în ani; formula se aplică doar între $15$ și $60$ de ani. Scrie modelul ca restricție a funcției $f : R \to R$ , determină $f ([15, 60])$ , apoi pulsurile maxime estimate pentru elevii de liceu, care au între $14$ și $19$ ani.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcțiile $f, g : {- 3, 10} \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - x$ și $g (x) = m x + 60$ , unde $m$ este un număr real. a) Determinați $m$ pentru care $f (- 3) = g (- 3)$ . b) Pentru valoarea găsită, verificați dacă funcțiile $f$ și $g$ sunt egale.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x + 3$ . Determinați $f ([- 2, 1])$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = a x + 3$ și $g (x) = 2 x + b$ sunt egale.

16. Se consideră $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ și $g : [0, 3] \to R$ , $g (x) = ∣ 2 x - 1 ∣$ . Sunt egale? Pe ce interval inclus în $[0, 3]$ au restricțiile egale?

17. Funcția $h : R \to R$ este dată de $h (x) = x + 3$ pentru $x < 2$ și $h (x) = 11 - 3 x$ pentru $x \geq 2$ . Arată că $h$ nu este monotonă, dar restricția ei la $[2, \infty)$ este descrescătoare. Folosește apoi această restricție ca să determini $h ([2, 4])$ .

18. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = ∣ x - 3 ∣$ , compară $f ([3, 5])$ cu $f ([1, 5])$ . Explică de ce, în general, din $C \subseteq D$ rezultă $f (C) \subseteq f (D)$ , dar egalitatea imaginilor nu înseamnă egalitatea mulțimilor.

Răspunsuri și explicații

1. Domeniile și codomeniile coincid. $f (- 1) = 0 = g (- 1)$ și $f (3) = 8 = g (3)$ , deci $f = g$ . Pe ${- 1, 0, 3}$ nu ar mai fi egale: $f (0) = - 1$ , iar $g (0) = 2$ . Elementele $- 1$ și $3$ sunt tocmai soluțiile ecuației $x^{2} - 1 = 2 x + 2$ , adică $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

2. Nu. Domeniile și valorile coincid, dar codomeniile sunt diferite: $N$ pentru prima funcție și $R$ pentru a doua. Deci $f \neq = g$ , chiar dacă tabelele lor de valori arată la fel.

3. Nu sunt egale, pentru că domeniile diferă: $3$ aparține domeniului lui $g$ , dar nu și celui al lui $f$ . Legătura este $f = g ∣_{[0, 2]}$ : $f$ este restricția lui $g$ la intervalul $[0, 2]$ .

4. Egalitatea cere $x^{2} = x + 6$ pentru fiecare element al lui $A$ , adică $x^{2} - x - 6 = 0$ , cu soluțiile $3$ și $- 2$ . Cea mai mare mulțime este $A = {- 2, 3}$ ; verificare: $f (- 2) = 4 = g (- 2)$ și $f (3) = 9 = g (3)$ .

5. Domeniile și codomeniile coincid. Pentru orice $x$ real, $(2 x + 1)^{2} - 1 = 4 x^{2} + 4 x + 1 - 1 = 4 x^{2} + 4 x = 4 x (x + 1)$ , deci $f (x) = g (x)$ și $f = g$ .

6. Pentru $x$ din $[0, 2]$ avem $∣ x ∣ = x$ și $∣ x - 2 ∣ = 2 - x$ , deci $f (x) = x + 2 - x = 2 = g (x)$ și $f = g$ . Pe $[0, 3]$ nu: pentru $x = 3$ , $∣ 3 ∣ + ∣ 1 ∣ = 4$ , dar valoarea constantă este $2$ .

7. $h ∣_{[1, 5]} : [1, 5] \to R$ , $h ∣_{[1, 5]} (x) = 2 x - 3$ . Funcția e crescătoare, iar valorile în capete sunt $h (1) = - 1$ și $h (5) = 7$ , ambele atinse, deci $h ([1, 5]) = [- 1, 7]$ .

8. $h (0) = 0$ , $h (1) = - 3$ , $h (2) = - 4$ , $h (3) = - 3$ , $h (4) = 0$ . Valorile distincte formează $h ({0, 1, 2, 3, 4}) = {- 4, - 3, 0}$ , cu trei elemente. Intrările $0$ și $4$ , apoi $1$ și $3$ , sunt simetrice față de abscisa vârfului, $2$ , și dau aceleași valori.

9. Funcția e descrescătoare. $f (- 1) = 7$ , dar $- 1$ nu aparține intervalului, deci valoarea $7$ nu se atinge; $f (2) = 1$ se atinge. Imaginea este $f ((- 1, 2]) = [1, 7)$ , cu capătul $7$ deschis din cauza capătului exclus $- 1$ .

10. Fals. Numerele întregi sunt o infinitate, dar nu acoperă domeniul $R$ . Contraexemplu: $f (x) = [x]$ , partea întreagă a lui $x$ , și $g (x) = x$ . Pentru orice întreg $k$ avem $[k] = k$ , deci valorile coincid în toate numerele întregi; în schimb $f (2, 5) = 2$ , iar $g (2, 5) = 2, 5$ , deci $f \neq = g$ .

11. Pe $[- 2, 0]$ graficul urcă de la $(- 2, 0)$ la $(0, 2)$ , deci $g ([- 2, 0]) = [0, 2]$ . Pe $[0, 3]$ urcă de la $(0, 2)$ la $(1, 3)$ și coboară apoi până la $(3, 1)$ ; valoarea minimă atinsă este $1$ , iar cea maximă $3$ , deci $g ([0, 3]) = [1, 3]$ . Pe tot domeniul, $g ([- 2, 4]) = [0, 3]$ .

12. Modelul este restricția $f ∣_{[15, 60]}$ . Funcția e descrescătoare, cu $f (15) = 205$ și $f (60) = 160$ , deci $f ([15, 60]) = [160, 205]$ bătăi pe minut: o vârstă mai mare dă un puls maxim estimat mai mic. Pentru elevii de liceu, modelul se poate folosi numai de la $15$ ani, pentru că $14$ nu aparține domeniului lui: $f ([15, 19]) = [201, 205]$ bătăi pe minut, iar pentru vârsta de $14$ ani formula nu dă o estimare în cadrul modelului.

13. a) $f (- 3) = 18 + 3 = 21$ și $g (- 3) = 60 - 3 m$ ; din $60 - 3 m = 21$ rezultă $m = 13$ . b) Pentru $m = 13$ : $f (10) = 200 - 10 = 190$ și $g (10) = 130 + 60 = 190$ . Domeniile și codomeniile coincid, iar valorile sunt egale în ambele elemente ale domeniului, deci $f = g$ . Al doilea punct nu era garantat de a): dacă ar fi dat valori diferite, nicio alegere a lui $m$ n-ar fi făcut funcțiile egale.

14. Funcția e crescătoare, $f (- 2) = - 5$ și $f (1) = 7$ , ambele atinse, deci $f ([- 2, 1]) = [- 5, 7]$ .

15. Egalitatea cere $a x + 3 = 2 x + b$ pentru orice $x$ real. Pentru $x = 0$ rezultă $3 = b$ , iar pentru $x = 1$ rezultă $a + 3 = 2 + b = 5$ , deci $a = 2$ . Pentru $a = 2$ și $b = 3$ formulele sunt identice, deci funcțiile sunt egale.

16. Nu sunt egale: $f (0) = - 1$ , dar $g (0) = ∣ - 1 ∣ = 1$ . Pentru $x$ din $[\frac{1}{2}, 3]$ , $2 x - 1 \geq 0$ , deci $∣ 2 x - 1 ∣ = 2 x - 1$ ; restricțiile la acest interval sunt egale. Pe $[0, \frac{1}{2})$ , $f$ ia valori negative, iar $g$ valori pozitive, deci acolo diferă.

17. $h (0) = 3$ , $h (2) = 5$ și $h (4) = - 1$ : funcția crește, apoi scade, deci nu este monotonă. Pentru $x \geq 2$ , $h (x) = 11 - 3 x$ are coeficientul lui $x$ negativ, deci restricția la $[2, \infty)$ este descrescătoare. Intervalul $[2, 4]$ este inclus în $[2, \infty)$ , deci acolo funcția e descrescătoare și imaginea se citește din capete: $h (2) = 11 - 6 = 5$ se atinge, $h (4) = 11 - 12 = - 1$ se atinge, deci $h ([2, 4]) = [- 1, 5]$ .

18. $f ([3, 5]) = [0, 2]$ , pentru că pe acest interval $f (x) = x - 3$ crește de la $0$ la $2$ . Pe $[1, 5]$ graficul coboară de la $(1, 2)$ la $(3, 0)$ și urcă până la $(5, 2)$ , deci tot $f ([1, 5]) = [0, 2]$ . În general, orice valoare $f (x)$ cu $x$ în $C$ are $x$ și în $D$ , deci $f (C) \subseteq f (D)$ . Exemplul arată că două mulțimi diferite pot avea aceeași imagine.

De reținut

Două funcții sunt egale numai dacă au același domeniu, același codomeniu și aceleași valori în fiecare punct; formula singură nu decide.
Pe o mulțime finită, egalitatea se verifică punct cu punct; mulțimea pe care două formule coincid este mulțimea soluțiilor ecuației $f (x) = g (x)$ .
Pe un domeniu infinit, un singur punct de dezacord arată $f \neq = g$ , iar egalitatea se arată prin transformarea expresiilor, nu prin exemple.
Restricția $f ∣_{C}$ păstrează legea și codomeniul, micșorează domeniul, iar graficul ei este bucata de grafic de deasupra lui $C$ .
$f (M) = {f (x) ∣ x \in M}$ este mulțimea valorilor restricției la $M$ ; la o funcție afină se citește din capete, cu capetele excluse transmise imaginii.

Greșeli frecvente

Declari egalitatea după ce ai încercat câteva numere. Pe un interval, exemplele nu sunt o dovadă; caută fie un contraexemplu, fie o transformare algebrică valabilă pentru orice număr.
Uiți de codomeniu când compari două funcții. Scrie codomeniile unul lângă altul înainte de valori; două tabele identice nu garantează funcții egale.
Desenezi graficul restricției ca pe graficul întregii funcții. Graficul restricției se oprește la capetele mulțimii $C$ ; marchează capetele, cu punct plin sau cerc gol după cum aparțin sau nu mulțimii.
Iei marginile imaginii numai din capetele intervalului. Regula capetelor e sigură doar când funcția e monotonă pe tot intervalul. Dacă o funcție pe ramuri sau cu modul își schimbă sensul înăuntru, ca $∣ x - 2 ∣$ pe $[0, 3]$ , cea mai mică valoare se atinge în vârf, nu într-un capăt; verifică întâi unde crește și unde scade.
Treci într-o imagine finită aceeași valoare de două ori sau numeri intrările, nu valorile. Imaginea conține valorile distincte; două intrări cu aceeași valoare dau un singur element.

Aplică acasă

Două modele, un tabel. Alege o mărime din manualul de fizică sau de chimie descrisă printr-o formulă și caută intervalul de valabilitate indicat în manual. Scrie modelul ca restricție a formulei și calculează imaginea intervalului; notează unitatea de măsură.
Formule care se întâlnesc. Alege două expresii simple, de exemplu un pătrat și o funcție afină, și rezolvă ecuația în care le egalezi. Scrie apoi două funcții egale, cu domeniul format din soluții, și două funcții diferite, adăugând un singur număr domeniului.
Graficul decupat. Într-o aplicație de reprezentare grafică, desenează o funcție cu modul și reprezintă apoi aceeași formulă doar pe un interval ales de tine. Observă cum se schimbă mulțimea valorilor când muți unul dintre capete peste vârf.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează ideea că o funcție înseamnă domeniu, codomeniu și regulă, iar nu doar formulă. Elevii de la științe ale naturii o întâlnesc zilnic, sub altă formă: orice lege din fizică sau din chimie are un interval de valabilitate, iar modelul corect este restricția formulei la acel interval. Cereți-le să scrie domeniul de fiecare dată când scriu o formulă și să verifice cele trei condiții în ordine, înainte de concluzie.

Semne de urmărit în caiet: egalitatea pe un interval nu e justificată prin exemple; imaginea unui interval are capetele în ordine crescătoare și parantezele corecte; imaginea unei mulțimi finite conține valori distincte. Întrebări de control: „Ce trebuie să verifici în plus față de formule?”; „De ce trei valori comune nu ajung pe $R$ ?”; „Ce legătură e între modelul dintr-un pahar și cel dintr-un balon?”.

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a IX-a, în capitolul „Funcții; lecturi grafice”, „egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții”. Programa nouă de științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, nu mai conține egalitatea a două funcții și restricțiile, dar păstrează mulțimea valorilor unei funcții, citită pe grafic, în capitolul de funcții al clasei a IX-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 are la Subiectul I o cerință cu două funcții date prin formule, dar nu una despre egalitatea sau restricțiile lor. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 funcțiile aparțin domeniului „Algebră”, iar programa probei numește mulțimea valorilor, nu și egalitatea sau restricțiile. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcții egale, restricția și imaginea unei funcții adaugă domeniul maxim de definiție, prelungirile și demonstrațiile prin dublă incluziune. Pe traseul M2, lecția următoare a unității este șirurile: moduri de definire și recurență la M2, iar recapitularea se face cu testul M2 de supliment pentru gradul I, gradul al doilea și șiruri. Pentru valoarea unei funcții într-un punct, poți relua lecția de clasa a VIII-a despre valoarea unei funcții într-un punct și imaginea funcției.

Întrebări frecvente

Ce aduce lecția M2 față de lecția de mate-info (M1) despre funcții egale și restricții? Lecția M2 se oprește la ce cere programa de științe ale naturii: egalitatea verificată pe mulțimi finite și prin transformări algebrice, restricțiile ca modele valabile pe un interval și imaginea unei mulțimi pentru funcții afine și pe ramuri. Lecția de mate-info (M1) adaugă domeniul maxim de definiție, prelungirile și demonstrațiile prin dublă incluziune.

La ce subiect pot apărea funcțiile egale la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 numește explicit egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi și restricțiile, în capitolul despre funcții. Modelul oficial publicat pentru 2026 are la Subiectul I o cerință cu două funcții, dar nu una despre egalitatea lor, deci nu putem spune ce formă ar avea o asemenea cerință. Exersează redactarea completă, cu cele trei verificări.

Dacă două funcții au graficele identice, sunt egale? Graficul conține domeniul și valorile, deci două funcții cu același grafic au același domeniu și aceleași valori. Rămâne codomeniul, care nu se vede pe desen: dacă și codomeniile coincid, funcțiile sunt egale. De aceea, într-o rezolvare scrisă, codomeniul se verifică separat, nu se deduce din figură.

Restricția unei funcții are același grafic ca funcția? Nu, graficul restricției este doar o bucată din graficul funcției: punctele care au abscisa în mulțimea la care restrângi. Dacă restrângi la o mulțime finită, rămân câteva puncte izolate; dacă restrângi la un interval, rămâne un arc sau un segment, cu capetele marcate după cum aparțin sau nu intervalului.

Care este diferența dintre $f (M)$ și mulțimea valorilor funcției? Mulțimea valorilor funcției este imaginea întregului domeniu. Imaginea unei mulțimi $M$ se referă doar la intrările din $M$ și este mulțimea valorilor restricției la $M$ . Pentru $M$ egală cu domeniul, cele două coincid; pentru o parte a domeniului, $f (M)$ este inclusă în mulțimea valorilor și poate fi mai mică.

De ce contează domeniul într-un model din fizică? Pentru că formula e valabilă numai în condițiile în care a fost stabilită: la anumite temperaturi, până la o anumită capacitate, pentru timpi pozitivi. Scriind modelul ca restricție la acel interval, calculezi doar valori care au sens, iar imaginea intervalului îți arată ce rezultate poți obține efectiv în experiment.