Cum demonstrez că funcția f(x)=x²+4 este injectivă pe [0,+∞)?

Pornești de la f(x₁)=f(x₂): x₁²+4=x₂²+4, deci x₁²=x₂². Pe [0,+∞) ambele numere sunt nenegative, deci x₁=x₂. Pe tot ℝ argumentul n-ar merge, pentru că și x₁=-x₂ ar da aceeași valoare.

Cum arăt că funcția f(x)=x²-6x nu este injectivă pe ℝ?

E suficient un contraexemplu: o pereche de argumente distincte cu valori egale. f(1)=1-6=-5 și f(5)=25-30=-5, deci f(1)=f(5) deși 1≠ 5. Argumentele sunt simetrice față de abscisa vârfului, x=3, unde parabola își schimbă sensul.

Este bijectivă funcția f: ℝ→(0,+∞), f(x)=3^(x)?

Da. Este strict crescătoare, deci injectivă, iar orice y>0 este atins, în x=log₃ y, deci este surjectivă. Cu codomeniul ℝ n-ar mai fi surjectivă, pentru că valorile negative lipsesc. Alegerea codomeniului contează în orice exercițiu de tip bacalaureat M2.

Ce codomeniu face o funcție surjectivă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Injectiv, surjectiv, bijectiv

Funcția devine surjectivă când codomeniul este chiar mulțimea valorilor ei, fără elemente în plus. Exemplu: $f : [1, 4] \to B$ , $f (x) = 2 x - 1$ . Funcția crește de la $f (1) = 1$ la $f (4) = 7$ , iar pentru orice $y \in [1, 7]$ ecuația $2 x - 1 = y$ are soluția $x = \frac{y + 1}{2}$ în $[1, 4]$ . Deci $B = [1, 7]$ . Cu $B = R$ , valoarea $10$ n-ar fi atinsă și surjectivitatea s-ar pierde.

O funcție $f : A \to B$ este injectivă când valori egale vin numai din argumente egale: din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$ . Demonstrația pornește mereu de la egalitatea valorilor, iar pentru a arăta că proprietatea lipsește ajung două argumente diferite cu aceeași valoare, calculate efectiv. O funcție strict monotonă este întotdeauna injectivă.

Funcția este surjectivă când fiecare element $y$ al codomeniului este atins. Rezolvi ecuația $f (x) = y$ și controlezi că soluția aparține domeniului; când o valoare lipsește, o arăți cu o inegalitate care ține pentru orice $x$ , nu cu un tabel de valori. Alegerea codomeniului egal cu mulțimea valorilor face surjectivitatea automată.

Bijectivă înseamnă ambele proprietăți: la fiecare nivel al codomeniului, orizontala întâlnește graficul într-un singur punct. Inversabilitatea și bijectivitatea sunt echivalente, iar soluția ecuației $f (x) = y$ dă formula inversei. Pentru a afla $f^{- 1} (b)$ nu ai nevoie de formulă: rezolvi $f (x) = b$ . Într-o ecuație de forma $f (u) = f (v)$ cu $f$ injectivă, treci direct la $u = v$ .

De reținut

injectivă: $f (x_{1}) = f (x_{2})$ implică $x_{1} = x_{2}$
surjectivă: ecuația $f (x) = y$ are soluție pentru orice $y$ din codomeniu
bijectivă = injectivă și surjectivă = inversabilă

Greșeala tipică

Se declară o funcție surjectivă doar pentru că este de gradul întâi, fără a privi domeniul și codomeniul; $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = 2 x - 1$ , nu este surjectivă.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile $f : R \to R$ de mai jos este injectivă?
- a) $f (x) = x^{2} + 1$
- b) $f (x) = ∣ x ∣$
- c) $f (x) = 9 - 2 x$
- d) $f (x) = 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = 9 - 2 x$

Funcția $9 - 2 x$ este strict descrescătoare, deci injectivă. Celelalte iau aceeași valoare în două puncte: $1^{2} + 1 = (- 1)^{2} + 1$ , $∣3∣ = ∣ - 3∣$ , iar funcția constantă ia peste tot valoarea $4$ .
Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 12 x + 8$ , avem $f (2) = f (10) = - 12$ . Ce rezultă de aici?
- a) $f$ nu este surjectivă
- b) $f$ nu este injectivă
- c) $f$ este bijectivă
- d) $f$ este strict crescătoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f$ nu este injectivă

Argumentele $2$ și $10$ sunt diferite și au aceeași valoare, $f (2) = 4 - 24 + 8 = - 12$ și $f (10) = 100 - 120 + 8 = - 12$ , deci injectivitatea lipsește. Despre surjectivitate, egalitatea nu spune nimic.
Pentru ce codomeniu $B$ este surjectivă funcția $f : [0, 2] \to B$ , $f (x) = 3 x + 5$ ?
- a) $B = R$
- b) $B = [0, 2]$
- c) $B = [5, \infty)$
- d) $B = [5, 11]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $B = [5, 11]$

Funcția crește de la $f (0) = 5$ la $f (2) = 11$ , iar pentru $y \in [5, 11]$ soluția $x = \frac{y - 5}{3}$ se află în $[0, 2]$ . Orice codomeniu mai mare ar conține valori neatinse.

Întrebări conexe

Cum demonstrez că funcția $f (x) = x^{2} + 4$ este injectivă pe $[0, + \infty)$ ?

Pornești de la $f (x_{1}) = f (x_{2})$ : $x_{1}^{2} + 4 = x_{2}^{2} + 4$ , deci $x_{1}^{2} = x_{2}^{2}$ . Pe $[0, + \infty)$ ambele numere sunt nenegative, deci $x_{1} = x_{2}$ . Pe tot $R$ argumentul n-ar merge, pentru că și $x_{1} = - x_{2}$ ar da aceeași valoare.

Cum arăt că funcția $f (x) = x^{2} - 6 x$ nu este injectivă pe $R$ ?

E suficient un contraexemplu: o pereche de argumente distincte cu valori egale. $f (1) = 1 - 6 = - 5$ și $f (5) = 25 - 30 = - 5$ , deci $f (1) = f (5)$ deși $1 \neq = 5$ . Argumentele sunt simetrice față de abscisa vârfului, $x = 3$ , unde parabola își schimbă sensul.

Câte puncte comune are o orizontală cu graficul unei funcții bijective?

Exact unul, pentru fiecare nivel $y$ din codomeniu. Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3}$ , dreapta $y = 8$ taie graficul doar în $(2, 8)$ , iar $y = - 1$ doar în $(- 1, - 1)$ . Cel puțin un punct înseamnă surjectivitate, cel mult un punct înseamnă injectivitate.

Cum folosesc injectivitatea ca să rezolv o ecuație de forma $f (u) = f (v)$ ?

Dacă $f$ este injectivă, egalitatea valorilor cere egalitatea argumentelor. Funcția $f (x) = x^{3} + x$ este strict crescătoare, deci injectivă. Ecuația $f (2 x - 1) = f (x + 3)$ devine $2 x - 1 = x + 3$ , cu soluția $x = 4$ , fără să mai desfaci cuburile.

Este bijectivă funcția $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = 3^{x}$ ?

Da. Este strict crescătoare, deci injectivă, iar orice $y > 0$ este atins, în $x = lo g_{3} y$ , deci este surjectivă. Cu codomeniul $R$ n-ar mai fi surjectivă, pentru că valorile negative lipsesc. Alegerea codomeniului contează în orice exercițiu de tip bacalaureat M2.

Oamenii mai întreabă și: codomeniul pentru care funcția este surjectivă · cum aleg codomeniul unei funcții · mulțimea valorilor luată drept codomeniu · funcție surjectivă pe un interval

Ce codomeniu face o funcție surjectivă?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum demonstrez că funcția f(x)=x2+4 este injectivă pe [0,+∞)?

Cum arăt că funcția f(x)=x2−6x nu este injectivă pe R?

Câte puncte comune are o orizontală cu graficul unei funcții bijective?

Cum folosesc injectivitatea ca să rezolv o ecuație de forma f(u)=f(v)?

Este bijectivă funcția f:R→(0,+∞), f(x)=3x?

Continuă cu

Cum demonstrez că funcția $f (x) = x^{2} + 4$ este injectivă pe $[0, + \infty)$ ?

Cum arăt că funcția $f (x) = x^{2} - 6 x$ nu este injectivă pe $R$ ?

Cum folosesc injectivitatea ca să rezolv o ecuație de forma $f (u) = f (v)$ ?

Este bijectivă funcția $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = 3^{x}$ ?