Funcții injective, surjective și bijective (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Pe secțiunea unui trunchi de stejar, fiecare an de viață a lăsat un inel, iar fiecare inel vine dintr-un singur an: dacă numeri inelele de la scoarță spre centru, afli exact anul în care s-a format fiecare. Grosimea inelului nu mai are această proprietate: doi ani la fel de ploioși pot lăsa inele la fel de groase, așa că, dintr-o grosime, nu poți deduce anul. Diferența dintre cele două corespondențe are un nume precis, iar lecția de față, pentru clasa a X-a la profilul științe ale naturii (M2), te învață să o demonstrezi prin calcul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: injectivitatea, surjectivitatea, bijectivitatea și condiția ca o funcție să fie inversabilă sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28), unde funcțiile bijective revin abia în clasa a XI-a, la aplicațiile derivatelor. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 funcțiile bijective aparțin domeniului „Analiză matematică”, unde sunt studiate pe intervale, la materia clasei a XI-a. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea la materia clasei a X-a.

În lecția despre funcția inversă la M2 ai recunoscut o funcție inversabilă citind un tabel, o diagramă sau un grafic, fără demonstrații; aici treci de la citire la argument. Ai nevoie de compunere, din lecția M2 despre compunerea funcțiilor, și de noțiunile de domeniu, codomeniu și mulțime a valorilor din lecția M2 despre funcții egale, restricții și imagine. Pasul anterior al suplimentului este graficul funcției putere și monotonia.

Ce vei învăța

Vei ști să demonstrezi injectivitatea plecând de la egalitatea a două valori ale funcției.
Vei ști să demonstrezi că o funcție este surjectivă, rezolvând ecuația $f (x) = y$ și verificând că soluția aparține domeniului.
Vei ști să infirmi fiecare proprietate printr-un contraexemplu calculat.
Vei ști să citești pe grafic, cu ajutorul dreptelor orizontale, dacă o funcție este injectivă, surjectivă sau bijectivă.
Vei ști de ce o funcție este inversabilă exact atunci când este bijectivă și cum se lucrează cu o funcție și cu inversa ei.
Vei ști să alegi domeniul și codomeniul unei legi din științe astfel încât ea să devină bijectivă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce arată egalitatea a două valori despre argumente?

Corespondența „an → inel” trimite ani diferiți în inele diferite. Corespondența „an → grosimea inelului” poate trimite doi ani diferiți în aceeași grosime. Prima păstrează deosebirea dintre argumente, a doua o pierde.

Funcția injectivă este funcția $f : A \to B$ la care oricare două argumente diferite au valori diferite: dacă $x_{1}, x_{2} \in A$ și $x_{1} \neq = x_{2}$ , atunci $f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$ . În demonstrații se folosește forma echivalentă, obținută prin contrapunere: dacă $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , atunci $x_{1} = x_{2}$ . Cele două formulări spun același lucru, dar a doua pornește de la o egalitate, iar cu egalități se poate calcula.

Iată drumul complet pe funcția $u : R \to R$ , $u (x) = 11 - 6 x$ . Presupui că două valori coincid: $11 - 6 x_{1} = 11 - 6 x_{2}$ . Scazi $11$ din ambii membri și obții $- 6 x_{1} = - 6 x_{2}$ ; împarți la $- 6$ , care nu este zero, și rămâne $x_{1} = x_{2}$ . Ai arătat că valori egale nu pot veni decât din același argument, deci $u$ este injectivă. Demonstrația nu a folosit niciun număr anume: ea acoperă toate perechile de argumente dintr-odată.

2. Cum dovedești că fiecare element din codomeniu este atins?

A doua întrebare privește codomeniul. O funcție $f : A \to B$ este surjectivă dacă orice element $y$ din $B$ este valoarea a cel puțin unui argument din $A$ ; altfel spus, mulțimea valorilor lui $f$ coincide cu $B$ .

Metoda de lucru este să iei un $y$ oarecare din $B$ , să rezolvi ecuația $f (x) = y$ cu necunoscuta $x$ și să verifici că soluția găsită aparține domeniului. Pe funcția $v : [- \frac{9}{2}, \infty) \to [0, \infty)$ , $v (x) = 2 x + 9$ , drumul arată așa: pentru $y \geq 0$ , ecuația $2 x + 9 = y$ dă, prin ridicare la pătrat, $2 x + 9 = y^{2}$ , adică $x = \frac{y ^{2} - 9}{2}$ . Cum $y^{2} \geq 0$ , avem $\frac{y ^{2} - 9}{2} \geq - \frac{9}{2}$ , deci soluția se află în domeniu. Orice număr nenegativ este atins, iar $v$ este surjectivă.

Verificarea apartenenței nu e o formalitate. Dacă am fi declarat codomeniul $R$ , valoarea $y = - 1$ n-ar fi fost atinsă, pentru că un radical de ordinul al doilea nu dă numere negative; aceeași lege de calcul ar fi dat o funcție nesurjectivă.

3. Cum citești cele trei proprietăți pe un desen?

O valoare $m$ luată de funcție corespunde punctelor graficului aflate pe dreapta orizontală $y = m$ . Numărul acestor puncte spune de câte ori este atinsă valoarea $m$ . De aici, trei citiri:

$f$ este injectivă dacă orice dreaptă orizontală are cel mult un punct comun cu graficul;
$f$ este surjectivă dacă orice dreaptă orizontală $y = m$ , cu $m$ din codomeniu, are cel puțin un punct comun cu graficul;
$f$ este bijectivă, adică injectivă și surjectivă în același timp, dacă fiecare dreaptă $y = m$ , cu $m$ din codomeniu, are exact un punct comun cu graficul.

Figura A arată graficul funcției $w : R \to R$ , $w (x) = x^{2} - 6 x + 3$ , într-o fereastră. Orizontala $y = - 2$ taie graficul în două puncte, iar orizontala $y = - 8$ nu îl întâlnește deloc.

Figura sugerează răspunsul, dar nu îl dovedește: o fereastră arată doar o bucată din grafic. De aceea citirea pe desen se completează întotdeauna cu un calcul, ca în subsecțiunea următoare.

4. Cum se arată că o proprietate lipsește?

Pentru a nega injectivitatea ajunge o singură pereche de argumente diferite cu aceeași valoare, iar pentru a nega surjectivitatea ajunge o singură valoare din codomeniu care nu este atinsă. Ambele trebuie însă calculate, nu doar văzute pe desen.

Pentru $w$ , calculul confirmă figura: $w (1) = 1 - 6 + 3 = - 2$ și $w (5) = 25 - 30 + 3 = - 2$ , deși $1 \neq = 5$ , deci $w$ nu este injectivă. Scriind $w (x) = (x - 3)^{2} - 6$ , observi că $w (x) \geq - 6$ pentru orice $x$ real, deci valoarea $- 8$ nu este atinsă și $w$ nu este surjectivă spre $R$ .

Ai folosit două argumente de naturi diferite. Pentru injectivitate a fost suficient un exemplu concret de două argumente. Pentru surjectivitate a fost nevoie de o inegalitate valabilă pentru toți $x$ : faptul că $- 8$ nu apare printre valorile calculate de tine într-un tabel nu dovedește că nu apare nicăieri.

5. De ce o funcție strict monotonă este injectivă?

Fie $f$ strict crescătoare și $x_{1} \neq = x_{2}$ ; unul dintre argumente este mai mic, să zicem $x_{1} < x_{2}$ , iar atunci $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , deci valorile diferă. La fel pentru o funcție strict descrescătoare, cu inegalitatea inversată. Prin urmare, orice funcție strict monotonă este injectivă. Este motivul pentru care exponențiala și logaritmul sunt injective, proprietate numită în lecția despre proprietățile funcției exponențiale.

Reciproca nu este adevărată: o funcție poate fi injectivă fără să fie monotonă, așa că monotonia strictă este doar o cale comodă spre injectivitate, nu o condiție obligatorie.

6. De ce o funcție inversabilă este exact o funcție bijectivă?

În lecția despre funcția inversă, $f : A \to B$ a fost numită inversabilă dacă există $g : B \to A$ cu $g \circ f = 1_{A}$ și $f \circ g = 1_{B}$ . Programa de examen cere legătura dintre această definiție și bijectivitate.

Teoremă. Pentru o funcție $f : A \to B$ , cele două proprietăți sunt echivalente: $f$ are inversă exact atunci când este bijectivă.

Dacă $f$ este inversabilă, este bijectivă. Fie $g$ cu proprietățile de mai sus. Dacă $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , aplici $g$ și obții $g (f (x_{1})) = g (f (x_{2}))$ , adică $x_{1} = x_{2}$ , fiindcă $g \circ f = 1_{A}$ : $f$ este injectivă. Dacă $y \in B$ , atunci $x = g (y)$ aparține lui $A$ și $f (x) = f (g (y)) = y$ , fiindcă $f \circ g = 1_{B}$ : $f$ este surjectivă.

Dacă $f$ este bijectivă, este inversabilă. Pentru fiecare $y \in B$ există, prin surjectivitate, un argument $x$ cu $f (x) = y$ , iar prin injectivitate acest argument este unic. Definim $g (y)$ ca fiind acest $x$ . Atunci $f (g (y)) = y$ pentru orice $y \in B$ , iar pentru orice $x \in A$ elementul $g (f (x))$ este singurul argument cu valoarea $f (x)$ , adică $x$ însuși. Deci $g \circ f = 1_{A}$ și $f \circ g = 1_{B}$ .

Demonstrația arată și de unde vine formula inversei: rezolvarea ecuației $f (x) = y$ din proba surjectivității dă chiar $f^{- 1} (y)$ .

7. Cum lucrezi cu o funcție și cu inversa ei?

Pentru o funcție bijectivă au loc egalitățile $f^{- 1} (f (x)) = x$ , pentru orice $x \in A$ , și $f (f^{- 1} (y)) = y$ , pentru orice $y \in B$ . Ele se citesc și ca regulă de calcul: $f^{- 1} (b) = a$ înseamnă exact $f (a) = b$ . Ca să afli $f^{- 1} (b)$ nu ai nevoie de formula inversei; ajunge să rezolvi ecuația $f (x) = b$ .

Injectivitatea singură are o consecință la fel de utilă în rezolvarea ecuațiilor: dacă $f$ este injectivă și $f (u) = f (v)$ , atunci $u = v$ . De pildă, pentru o funcție injectivă, din $f (2 x - 1) = f (5)$ rezultă $2 x - 1 = 5$ , fără să știi ce formulă are $f$ . Același raționament, aplicat exponențialei, stă la baza ecuațiilor exponențiale din clasa a X-a.

8. Cum alegi domeniul și codomeniul unei legi din științe?

O lege din fizică sau din chimie vine cu un interval de valabilitate, iar acesta devine domeniul funcției. Dacă alegi drept codomeniu exact mulțimea valorilor legii pe acel interval, surjectivitatea este asigurată prin construcție; rămâne de verificat injectivitatea. Pentru o lege strict monotonă pe interval, alegerea aceasta produce o bijecție. Citirea cauzei din efectul măsurat, cu inversa unei legi, se lucrează în lecția despre funcția inversă; aici contează doar alegerea domeniului și a codomeniului.

Dacă păstrezi un codomeniu mai mare, de exemplu toate numerele reale, funcția nu mai este surjectivă, iar formula inversei ar da, pentru valorile neatinse, argumente din afara intervalului de valabilitate. Alegerea codomeniului face parte din model, nu e un detaliu de scriere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție de gradul întâi, demonstrată complet

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{8 - 3 x}{2}$ . Arătați că $f$ este bijectivă și determinați inversa ei.

Rezolvare. Injectivitatea. Din $\frac{8 - 3 x _{1}}{2} = \frac{8 - 3 x _{2}}{2}$ rezultă $8 - 3 x_{1} = 8 - 3 x_{2}$ , apoi $- 3 x_{1} = - 3 x_{2}$ și $x_{1} = x_{2}$ .

Surjectivitatea. Pentru $y \in R$ , ecuația $\frac{8 - 3 x}{2} = y$ dă $8 - 3 x = 2 y$ , adică $x = \frac{8 - 2 y}{3}$ , un număr real. Orice $y$ este atins.

Fiind injectivă și surjectivă, $f$ este bijectivă, deci inversabilă, iar soluția ecuației dă inversa: $f^{- 1} : R \to R$ , $f^{- 1} (x) = \frac{8 - 2 x}{3}$ . Control: $f (2) = \frac{8 - 6}{2} = 1$ , iar $f^{- 1} (1) = \frac{8 - 2}{3} = 2$ .

Exemplul 2 — Debitul unui pârâu, citit pe grafic

După o ploaie torențială, debitul unui pârâu a fost modelat, pe primele $10$ ore, prin funcția $Q : [0, 10] \to [1, 8]$ din Figura B: debitul crește liniar de la $2$ m³/s la $8$ m³/s în primele $3$ ore, apoi scade liniar până la $1$ m³/s la ora $10$ . a) Este $Q$ injectivă? b) Este $Q$ surjectivă? c) Pe ce interval de timp, începând de la vârful debitului, restricția lui $Q$ este bijectivă spre $[1, 8]$ ?

Rezolvare. Pe cele două porțiuni, formulele sunt $Q (t) = 2 + 2 t$ pentru $t \in [0, 3]$ și $Q (t) = 11 - t$ pentru $t \in [3, 10]$ ; ambele dau $Q (3) = 8$ .

a) Orizontala $Q = 5$ taie graficul de două ori: din $2 + 2 t = 5$ rezultă $t = 1, 5$ , iar din $11 - t = 5$ rezultă $t = 6$ . Deci $Q (1, 5) = Q (6) = 5$ și $Q$ nu este injectivă: același debit se măsoară o dată la creștere și o dată la scădere.

b) Pe porțiunea descendentă, $11 - t$ ia toate valorile de la $8$ la $1$ : pentru $y \in [1, 8]$ , numărul $t = 11 - y$ se află în $[3, 10]$ . Orice nivel din codomeniu este atins, deci $Q$ este surjectivă.

c) Pe $[3, 10]$ funcția $Q (t) = 11 - t$ este strict descrescătoare, deci injectivă, iar calculul de la punctul b) arată că atinge toate valorile din $[1, 8]$ . Restricția ei la $[3, 10]$ este bijectivă, cu inversa $t = 11 - y$ : debitul măsurat după vârf spune ora măsurătorii. Restricția la $[0, 3]$ nu ajunge, pentru că atinge doar valorile din $[2, 8]$ .

Exemplul 3 — Surjectivitatea, cu soluția verificată în domeniu

Arătați că funcția $f : (0, \infty) \to (3, \infty)$ , $f (x) = 3 + \frac{6}{x}$ , este bijectivă și scrieți inversa ei.

Rezolvare. Injectivitatea. Din $3 + \frac{6}{x _{1}} = 3 + \frac{6}{x _{2}}$ rezultă $\frac{6}{x _{1}} = \frac{6}{x _{2}}$ , deci $x_{1} = x_{2}$ .

Surjectivitatea. Fie $y > 3$ . Ecuația $3 + \frac{6}{x} = y$ devine $\frac{6}{x} = y - 3$ , cu $y - 3 > 0$ , deci $x = \frac{6}{y - 3}$ . Acest număr este strict pozitiv, adică aparține domeniului $(0, \infty)$ . Prin urmare $f$ este surjectivă, deci bijectivă, iar $f^{- 1} : (3, \infty) \to (0, \infty)$ , $f^{- 1} (x) = \frac{6}{x - 3}$ . Control: $f (2) = 3 + 3 = 6$ și $f^{- 1} (6) = \frac{6}{3} = 2$ .

Condiția $y > 3$ a lucrat de două ori: a făcut împărțirea posibilă și a dat o soluție pozitivă. Cu codomeniul $R$ , valoarea $1$ ar fi cerut $x = - 3$ , în afara domeniului, iar valoarea $3$ n-ar fi fost atinsă deloc.

Exemplul 4 — Creșterea unui fir de păr

Un fir de păr crește aproximativ uniform: lungimea lui, măsurată de la o tunsoare, este $L (t) = 12 + 0, 35 t$ milimetri, unde $t \in [0, 40]$ este numărul de zile. a) Determinați intervalul $B$ pentru care $L : [0, 40] \to B$ este bijectivă și justificați. b) Explicați de ce $L : [0, 40] \to [10, 30]$ nu este surjectivă.

Rezolvare. a) Coeficientul $0, 35$ fiind pozitiv, $L$ este strict crescătoare, deci injectivă. Valorile la capete sunt $L (0) = 12$ și $L (40) = 12 + 14 = 26$ . Pentru $y \in [12, 26]$ , ecuația $12 + 0, 35 t = y$ dă $t = \frac{y - 12}{0 , 35}$ , iar din $12 \leq y \leq 26$ rezultă $0 \leq t \leq 40$ : soluția stă în intervalul de observație. Cu $B = [12, 26]$ funcția este surjectivă și, fiind injectivă, bijectivă.

b) Codomeniul $[10, 30]$ conține valori neatinse: pentru $y = 28$ ar trebui $t = \frac{16}{0 , 35} \approx 45, 7$ zile, în afara intervalului $[0, 40]$ , iar pentru $y = 11$ ar trebui un $t$ negativ. Codomeniul potrivit este exact mulțimea valorilor, $[12, 26]$ . Modelul liniar descrie creșterea doar pe perioada observată; în afara ei nu spune nimic.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: două soluții, dintre care una nu e în domeniu

Pentru funcția $f : [4, \infty) \to [- 7, \infty)$ , $f (x) = x^{2} - 8 x + 9$ , un elev scrie: „ $f (x) = (x - 4)^{2} - 7$ . Din $(x - 4)^{2} - 7 = y$ obțin $x = 4 \pm y + 7$ , deci fiecare valoare mai mare decât $- 7$ este atinsă de două ori și funcția nu este injectivă.” Unde greșește?

Rezolvare. Calculul algebric este corect, concluzia nu. Pentru $y > - 7$ , numărul $4 - y + 7$ este strict mai mic decât $4$ , deci nu aparține domeniului $[4, \infty)$ . Singura soluție din domeniu este $x = 4 + y + 7$ , așa că fiecare valoare este atinsă o singură dată.

Injectivitatea se poate arăta și direct: din $(x_{1} - 4)^{2} = (x_{2} - 4)^{2}$ , cu $x_{1} - 4 \geq 0$ și $x_{2} - 4 \geq 0$ , rezultă $x_{1} - 4 = x_{2} - 4$ , fiindcă un număr nenegativ este determinat de pătratul lui. Funcția este bijectivă, cu $f^{- 1} (x) = 4 + x + 7$ . Control: $f (6) = 36 - 48 + 9 = - 3$ și $f^{- 1} (- 3) = 4 + 2 = 6$ . Elevul a uitat exact pasul pe care metoda îl cere la final: apartenența soluției la domeniu.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 13 - 5 x$ . a) Arătați că funcția $f$ este injectivă. b) Arătați că funcția $f$ este surjectivă. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $f (x^{2} - 52) = f (9 x)$ .

Rezolvare. a) Dacă $13 - 5 x_{1} = 13 - 5 x_{2}$ , atunci $- 5 x_{1} = - 5 x_{2}$ , deci $x_{1} = x_{2}$ .

b) Pentru $y \in R$ , ecuația $13 - 5 x = y$ are soluția reală $x = \frac{13 - y}{5}$ .

c) Funcția fiind injectivă, egalitatea valorilor impune egalitatea argumentelor: $x^{2} - 52 = 9 x$ , adică $x^{2} - 9 x - 52 = 0$ , sau $(x - 13) (x + 4) = 0$ . Soluțiile sunt $x \in {- 4, 13}$ . Verificare: pentru $x = 13$ , $x^{2} - 52 = 117 = 9 \cdot 13$ ; pentru $x = - 4$ , $x^{2} - 52 = - 36 = 9 \cdot (- 4)$ .

Să exersăm

La fiecare demonstrație scrie explicit ce presupui și ce obții. La surjectivitate, după ce rezolvi ecuația, verifică apartenența soluției la domeniu; la un contraexemplu, calculează valorile.

1. Arată că funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x + 10}{4}$ , este injectivă.

2. Arată că funcția $g : R \to R$ , $g (x) = 17 - 4 x$ , este surjectivă și verifică soluția găsită.

3. Arată că funcția $h : R \to R$ , $h (x) = x^{2} + 12 x + 1$ , nu este nici injectivă, nici surjectivă.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție strict descrescătoare $f : R \to R$ este surjectivă.”

5. Figura C arată graficul unei funcții $f : [0, 6] \to [0, 6]$ , format din două segmente. Stabilește, pe baza figurii și a formulelor celor două segmente, dacă $f$ este injectivă și dacă este surjectivă.

6. Fie funcția $f : [- 2, 2] \to B$ , $f (x) = 14 - 3 x$ . Determină intervalul $B$ pentru care $f$ este bijectivă și justifică.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ , $f (x) = \frac{18}{x}$ . a) Arătați că $(f \circ f) (x) = x$ , pentru orice $x > 0$ . b) Deduceți că $f$ este bijectivă și precizați inversa ei.

8. Fie $f : [7, \infty) \to [0, \infty)$ , $f (x) = (x - 7)^{2}$ , și $g : [0, \infty) \to [7, \infty)$ , $g (y) = 7 + y$ . Calculează $g (f (x))$ și $f (g (y))$ și spune ce concluzie tragi despre $f$ .

9. (Problemă aplicată.) Lungimea unui ghețar alpin care se retrage este modelată prin $L (t) = 5400 - 30 t$ metri, unde $t \in [0, 50]$ este timpul, în ani, de la prima măsurătoare. a) Arată că $L : [0, 50] \to [3900, 5400]$ este bijectivă. b) După câți ani lungimea ghețarului este de $4500$ de metri? c) De ce nu poți folosi inversa pentru o lungime de $3600$ de metri?

10. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{4 x + 7}{5}$ . Arată că $f$ este injectivă și calculează $f^{- 1} (3)$ fără să scrii formula inversei.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $g : [7, \infty) \to [2, \infty)$ , $g (x) = x^{2} - 14 x + 51$ . a) Arătați că $g (x) = (x - 7)^{2} + 2$ , pentru orice $x \geq 7$ . b) Arătați că $g$ este injectivă. c) Arătați că $g$ este surjectivă.

12. Arată că funcția $f : Z \to Z$ , $f (n) = 6 n - 1$ , este injectivă, dar nu este surjectivă.

13. Fie $f : [- 7, 7] \to [0, 7]$ , $f (x) = 49 - x^{2}$ , al cărei grafic este un semicerc. Arată că $f$ nu este injectivă și găsește un interval $I$ , cu $0 \in I$ , pe care restricția lui $f$ este bijectivă spre $[0, 7]$ .

14. Fie $f : [0, 3] \to B$ , $f (x) = x^{2} + 17$ . Determină intervalul $B$ pentru care $f$ este bijectivă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = ∣2 x - 7∣$ . a) Calculați $f (1)$ și $f (6)$ . b) Arătați că $f$ nu este injectivă. c) Arătați că $f$ nu este surjectivă.

16. Știind că funcția $f : R \to R$ este strict crescătoare, rezolvă ecuația $f (x^{2} + x) = f (56)$ .

17. Arată că funcția $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $f (x) = x^{2} + 14 x$ , este bijectivă.

18. (Provocare.) Pentru numărul real $m$ , se consideră funcția $f : R \to R$ , definită prin $f (x) = x + m$ pentru $x \leq 1$ și $f (x) = 3 x - 2$ pentru $x > 1$ . Determină $m$ pentru care $f$ este bijectivă.

Răspunsuri și explicații

1. Din $\frac{x _{1} + 10}{4} = \frac{x _{2} + 10}{4}$ rezultă $x_{1} + 10 = x_{2} + 10$ , deci $x_{1} = x_{2}$ .

2. Pentru $y \in R$ , ecuația $17 - 4 x = y$ dă $x = \frac{17 - y}{4}$ , un număr real. Verificare: $g (\frac{17 - y}{4}) = 17 - (17 - y) = y$ .

3. $h (- 2) = 4 - 24 + 1 = - 19$ și $h (- 10) = 100 - 120 + 1 = - 19$ , cu $- 2 \neq = - 10$ : $h$ nu este injectivă. Cum $h (x) = (x + 6)^{2} - 35 \geq - 35$ , valoarea $- 40$ nu este atinsă, deci $h$ nu este surjectivă.

4. Fals. Funcția $f (x) = (\frac{4}{7})^{x}$ este strict descrescătoare pe $R$ , pentru că baza este subunitară, dar toate valorile ei sunt strict pozitive. Valoarea $- 1$ din codomeniul $R$ nu este atinsă, deci funcția nu este surjectivă.

5. Primul segment are formula $f (x) = \frac{2 x}{3}$ , pentru $x \in [0, 3]$ , cu valorile din $[0, 2]$ ; al doilea are formula $f (x) = \frac{2 x + 6}{3}$ , pentru $x \in (3, 6]$ , cu valorile din $(4, 6]$ . Fiecare porțiune este strict crescătoare, iar valorile lor nu se suprapun, deci orice orizontală taie graficul cel mult o dată: $f$ este injectivă. Nivelurile din $(2, 4]$ , de exemplu $3$ , nu sunt atinse, deci $f$ nu este surjectivă spre $[0, 6]$ .

6. Funcția este strict descrescătoare, deci injectivă, cu $f (- 2) = 20$ și $f (2) = 8$ . Pentru $y \in [8, 20]$ , soluția $x = \frac{14 - y}{3}$ se află în $[- 2, 2]$ . Așadar $B = [8, 20]$ .

7. a) $(f \circ f) (x) = \frac{18}{\frac{18}{x}} = x$ . b) Funcția $g = f$ verifică $g \circ f = 1$ și $f \circ g = 1$ pe $(0, \infty)$ , deci $f$ este inversabilă și, după teorema din subsecțiunea 6, bijectivă, iar $f^{- 1} = f$ . Control: $f (3) = 6$ și $f (6) = 3$ .

8. Pentru $x \geq 7$ : $g (f (x)) = 7 + (x - 7)^{2} = 7 + (x - 7) = x$ , pentru că $x - 7 \geq 0$ . Pentru $y \geq 0$ : $f (g (y)) = (y)^{2} = y$ . Ambele compuneri dau identitatea, deci $f$ este bijectivă și $g = f^{- 1}$ . Pe tot $R$ n-ar merge: $g (f (1)) = 7 + 6 = 13$ .

9. a) $L$ este strict descrescătoare, deci injectivă. Pentru $y \in [3900, 5400]$ , soluția $t = \frac{5 400 - y}{30}$ se află în $[0, 50]$ . b) Din $5400 - 30 t = 4500$ rezultă $t = 30$ de ani. c) Formula ar da $t = 60$ de ani, în afara intervalului pe care a fost construit modelul.

10. Din $\frac{4 x _{1} + 7}{5} = \frac{4 x _{2} + 7}{5}$ rezultă $x_{1} = x_{2}$ . Ecuația $\frac{4 x + 7}{5} = 3$ dă $4 x + 7 = 15$ , adică $x = 2$ , deci $f^{- 1} (3) = 2$ . Control: $f (2) = \frac{15}{5} = 3$ .

11. a) $(x - 7)^{2} + 2 = x^{2} - 14 x + 49 + 2 = x^{2} - 14 x + 51$ . b) Din $(x_{1} - 7)^{2} = (x_{2} - 7)^{2}$ , cu $x_{1} - 7 \geq 0$ și $x_{2} - 7 \geq 0$ , rezultă $x_{1} = x_{2}$ . c) Pentru $y \geq 2$ , $x = 7 + y - 2$ este cel puțin $7$ și verifică $(x - 7)^{2} + 2 = y$ .

12. Din $6 n_{1} - 1 = 6 n_{2} - 1$ rezultă $n_{1} = n_{2}$ . Valoarea $0$ nu este atinsă: ecuația $6 n - 1 = 0$ are soluția $n = \frac{1}{6}$ , care nu este întreagă.

13. $f (- 7) = 0 = f (7)$ și, mai general, $f (- x) = f (x)$ , deci $f$ nu este injectivă. Pe $I = [0, 7]$ funcția este strict descrescătoare, iar pentru $y \in [0, 7]$ numărul $x = 49 - y^{2}$ se află în $[0, 7]$ și dă $f (x) = y^{2} = y$ . Restricția la $[0, 7]$ este bijectivă.

14. Pe $[0, 3]$ funcția este strict crescătoare, cu $f (0) = 17$ și $f (3) = 26$ . Pentru $y \in [17, 26]$ , $x = y - 17$ se află în $[0, 3]$ . Deci $B = [17, 26]$ .

15. a) $f (1) = ∣2 - 7∣ = 5$ și $f (6) = ∣12 - 7∣ = 5$ . b) Argumentele $1$ și $6$ sunt diferite și au aceeași valoare. c) Un modul nu este negativ, deci $- 1$ nu este atins.

16. O funcție strict crescătoare este injectivă, deci $x^{2} + x = 56$ , adică $x^{2} + x - 56 = 0$ , cu soluțiile $x \in {- 8, 7}$ .

17. Pe $[0, \infty)$ funcția este strict crescătoare, ca sumă a două funcții strict crescătoare, deci injectivă. Pentru $y \geq 0$ , ecuația $x^{2} + 14 x = y$ se scrie $(x + 7)^{2} = y + 49$ , cu soluția nenegativă $x = - 7 + y + 49$ , fiindcă $y + 49 \geq 7$ . Deci $f$ este bijectivă.

18. Pe $x > 1$ valorile $3 x - 2$ acoperă exact $(1, \infty)$ , iar pe $x \leq 1$ valorile $x + m$ acoperă $(- \infty, 1 + m]$ . Pentru bijectivitate, cele două mulțimi trebuie să nu se suprapună și să acopere împreună tot $R$ . Dacă $1 + m > 1$ , un număr ca $1 + \frac{m}{2}$ este atins de două ori; dacă $1 + m < 1$ , numerele dintre $1 + m$ și $1$ nu sunt atinse. Rămâne $m = 0$ .

De reținut

$f : A \to B$ este injectivă dacă din $f (x_{1}) = f (x_{2})$ rezultă $x_{1} = x_{2}$ ; se demonstrează pornind de la egalitatea valorilor și se infirmă prin două argumente diferite cu aceeași valoare, calculate.
$f$ este surjectivă dacă ecuația $f (x) = y$ are soluție în $A$ pentru orice $y \in B$ ; soluția găsită se verifică în domeniu, iar o valoare neatinsă se justifică printr-o inegalitate valabilă pentru toți $x$ .
Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă: fiecare orizontală $y = m$ , cu $m$ din codomeniu, taie graficul exact o dată; o figură sugerează, calculul demonstrează.
O funcție are inversă exact atunci când este bijectivă, iar $f^{- 1} (b) = a$ înseamnă $f (a) = b$ ; rezolvarea ecuației $f (x) = y$ dă inversa.
Orice funcție strict monotonă este injectivă, iar pentru o funcție injectivă $f (u) = f (v)$ implică $u = v$ ; pentru o lege din științe, domeniul este intervalul de valabilitate, iar codomeniul, mulțimea valorilor.

Greșeli frecvente

Confunzi definiția funcției cu injectivitatea. „Fiecărui $x$ îi corespunde o singură valoare” este condiția ca $f$ să fie funcție. Injectivitatea spune altceva: fiecare valoare vine dintr-un singur $x$ . O parabolă pe $R$ îndeplinește prima condiție și încalcă a doua.
Scrii demonstrația de injectivitate în sensul greșit. Pornind de la $x_{1} = x_{2}$ și ajungând la $f (x_{1}) = f (x_{2})$ nu ai dovedit nimic: implicația aceasta e adevărată pentru orice funcție. Punctul de plecare corect este egalitatea valorilor.
Alegi un contraexemplu din afara domeniului. Pentru funcția din Exemplul 5, perechea $3$ și $5$ are valori egale, dar $3$ nu aparține lui $[4, \infty)$ , deci nu contrazice nimic. Argumentele unui contraexemplu trebuie să fie în domeniu.
Crezi că orice funcție $f : A \to B$ este surjectivă, fiindcă valorile ei sunt în $B$ . Faptul că fiecare valoare cade în codomeniu face parte din definiția funcției. Surjectivitatea cere incluziunea inversă: fiecare element al lui $B$ trebuie să fie o valoare. Pentru $∣ x - 4∣ + 1$ cu codomeniul $R$ , toate valorile sunt reale, dar $0$ nu este atins, fiindcă $∣ x - 4∣ + 1 \geq 1$ .
Scrii formula inversei înainte de a verifica bijectivitatea. Rezolvarea formală a ecuației $f (x) = y$ produce o expresie chiar și pentru funcții neinversabile, uneori cu $\pm$ . Formula devine inversă abia după ce ai arătat că, pentru fiecare $y$ , există exact o soluție în domeniu.

Aplică acasă

Inelele unui trunchi. Fotografiază secțiunea unui buștean sau a unui ciot și numără inelele de la scoarță spre centru. Construiește tabelul „an → număr al inelului” și tabelul „an → grosimea inelului”, măsurată cu rigla pe fotografie mărită. Arată, cu datele tale, că prima corespondență este bijectivă, iar a doua nu este injectivă, dacă găsești două inele la fel de groase.
Tabelul periodic, ca funcție. Pentru primele $30$ de elemente, construiește corespondența „element → număr atomic” și corespondența „element → masă atomică rotunjită la unități”, cu valorile din manualul de chimie. Arată că prima este injectivă și găsește, la a doua, două elemente cu aceeași valoare, cum sunt argonul și calciul. Explică ce informație se pierde când un element e descris doar prin masa rotunjită.
Jocul „ghicește numărul”. Un coleg alege în secret un număr real și îți spune doar rezultatul obținut aplicând o funcție dintr-o listă: $3 x + 1$ , $x^{2}$ , $∣ x ∣$ , $2^{x}$ . Pentru fiecare funcție, decide dacă poți afla numărul ales, oricare ar fi el, și leagă răspunsul de injectivitate. Pentru funcțiile la care nu poți, găsește două numere care dau același rezultat.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă în demonstrație ceea ce traseul de bază al clasei a X-a lasă la nivel de citire. Elevul pleacă de aici cu două metode scrise complet, „pornesc de la $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ” și „rezolv $f (x) = y$ și verific domeniul”, cu disciplina contraexemplului calculat și cu teorema care leagă inversabilitatea de bijectivitate, demonstrată în ambele sensuri. Numărarea funcțiilor injective sau bijective între mulțimi finite rămâne în lecția despre numărarea prin funcții, iar studiul bijectivității pe intervale cu ajutorul derivatei este tema lecției de clasa a XI-a despre funcții bijective pe intervale.

Întrebări bune de control: „Ce presupui la începutul unei demonstrații de injectivitate?”; „Ce verifici după ce ai rezolvat ecuația $f (x) = y$ ?”; „De ce o singură pereche ajunge pentru a nega injectivitatea, dar un tabel de valori nu ajunge pentru a nega surjectivitatea?”. Semn bun: elevul își verifică inversa calculând o valoare în ambele sensuri.

Programa și examenul. Tema aparține programei de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014), care numește, la materia clasei a X-a, injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea, precum și funcțiile inversabile, cu proprietățile lor grafice și cu condiția de inversabilitate. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28) păstrează din această temă, la clasa a X-a, doar „compunerea funcțiilor; funcție inversabilă: definiție”, iar funcțiile bijective apar abia la clasa a XI-a, în capitolul despre aplicațiile derivatelor; tema intră, prin urmare, în suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. La proba MAT_P2 din 2030 funcțiile bijective aparțin domeniului „Analiză matematică”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu conține nicio cerință despre injectivitate, surjectivitate sau bijectivitate.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: injectivitatea și surjectivitatea în clasa a IX-a. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre puteri reale, bijectivitate și numere complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de lecția M1 despre funcții injective?

La mate-info (M1) tema se studiază în clasa a IX-a, împreună cu numărarea pe mulțimi finite și cu demonstrații pentru funcții pe ramuri. Varianta M2 intră în suplimentul pentru bacalaureatul 2027–2029 și pune accentul pe legătura cu funcția inversă din clasa a X-a: teorema „inversabilă dacă și numai dacă bijectivă”, compunerea cu inversa și alegerea domeniului pentru legi din științe.

La ce probă și la ce subiect al bacalaureatului M2 intră bijectivitatea?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 conține injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea la materia clasei a X-a, fără să spună la care dintre cele trei subiecte. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o asemenea cerință. Pentru proba MAT_P2 din 2030, funcțiile bijective apar în domeniul „Analiză matematică”, studiate pe intervale în clasa a XI-a.

Ce aduce lecția în plus față de lecția despre funcția inversă?

În lecția despre funcția inversă, inversabilitatea este definită cu ajutorul compunerii și este recunoscută pe tabele și pe grafice. Aici se demonstrează prin calcul cele două proprietăți care o asigură, injectivitatea și surjectivitatea, și se arată că inversabilitatea este echivalentă cu bijectivitatea. Tot aici afli de ce rezolvarea ecuației $f (x) = y$ dă chiar formula inversei.

Este orice funcție de gradul întâi bijectivă?

Pe $R$ , cu codomeniul $R$ , funcția $a x + b$ este bijectivă exact când $a \neq = 0$ : pentru $a = 0$ devine constantă și nu mai e injectivă. Pe un interval $[p, q]$ ea rămâne injectivă, dar este surjectivă doar dacă alegi drept codomeniu intervalul valorilor ei, cuprins între $f (p)$ și $f (q)$ .

Pot folosi un grafic desenat de aplicație ca demonstrație?

Graficul te ajută să ghicești răspunsul și să alegi un contraexemplu, dar nu înlocuiește calculul. O aplicație desenează doar o fereastră, cu o precizie limitată, iar două valori foarte apropiate pot părea egale. Pentru un răspuns complet, confirmi prin calcul fiecare afirmație citită pe desen: valorile egale, nivelul neatins sau monotonia.

Ce se schimbă la bijectivitate în clasa a XI-a?

În clasa a XI-a, bijectivitatea unei funcții definite pe un interval se studiază cu ajutorul derivatei: semnul derivatei dă monotonia strictă, deci injectivitatea, iar tabelul de variație dă mulțimea valorilor, deci codomeniul pentru care funcția este surjectivă. Metodele din lecția de față rămân valabile și sunt folosite ca verificare.