Cât face cos(arcsin 3/5)?

Numărul t=arcsin 3/5 este în [- π/2, π/2], unde cosinusul nu e negativ. Din sin² t+cos² t=1 rezultă cos t= √(1- 9/25)= 4/5. Semnul plus e sigur, fără alte discuții de cadran, fiindcă intervalul arcsinusului stă în jumătatea din dreapta a cercului.

Cât face arcsin(sin 5π/6)?

Numărul 5π/6 nu este în intervalul [- π/2, π/2], deci rezultatul nu e 5π/6. Alegi, în acest interval, numărul care are același sinus: π- 5π/6= π/6, cu sinusul 1/2. Deci arcsin(sin 5π/6)= π/6.

Cum rezolv ecuația arccos(2x-1)= 2π/3?

Valoarea 2π/3 este în [0,π], deci ecuația are sens și echivalează cu 2x-1=cos 2π/3=- 1/2. Rezultă x= 1/4, iar 2x-1=- 1/2 e în [-1,1]. Verificarea: arccos(- 1/2)= 2π/3, deoarece cos 2π/3=- 1/2 și unghiul este în [0,π].

De ce arccosinus nu ia valori negative?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Arcsinus și arccosinus: intervale și compuneri

Pentru că arccosinusul întoarce cosinusul restrâns la intervalul $[0, π]$ , pe care cosinusul e strict descrescător și ia toate valorile din $[- 1, 1]$ . Rezultatul este deci mereu între $0$ și $π$ . Numerele negative nu mai aduc nimic nou: $cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ este deja luat de $\frac{π}{3}$ . Exemplu: $arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ , număr aflat în $[0, π]$ și cu cosinusul $- \frac{1}{2}$ . Pentru argumente negative se folosește $arccos (- a) = π - arccos a$ : $π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ .

Sinusul și cosinusul se întorc doar pe intervale pe care sunt strict monotone și trec prin toate valorile din $[- 1; 1]$ . Pentru sinus intervalul este $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , pentru cosinus $[0; π]$ . Astfel, $arcsin a$ este unicul număr din primul interval cu sinusul $a$ , iar $arccos a$ este unicul număr din al doilea cu cosinusul $a$ . Ambele funcții au domeniul $[- 1; 1]$ .

Pentru argumentele negative ale lui $arcsin$ se folosește $sin (- t) = - sin t$ , deci $arcsin (- a) = - arcsin a$ ; pentru $arccos$ are loc $arccos (- a) = π - arccos a$ , iar rezultatul nu este niciodată negativ. Pentru orice $a$ din $[- 1; 1]$ , $arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$ .

Graficele se obțin prin simetrie față de dreapta $y = x$ : $arcsin$ crește de la $- \frac{π}{2}$ la $\frac{π}{2}$ , $arccos$ scade de la $π$ la $0$ . Compunerea $sin (arcsin a)$ dă mereu $a$ , dar $arcsin (sin x)$ dă $x$ numai pe intervalul principal; în rest răspunsul este numărul din intervalul principal care are același sinus. În plus, $cos (arcsin a) = 1 - a^{2}$ , cu semnul plus pentru orice $a$ . Datele dintr-o problemă de fizică sau de chimie trebuie să dea un raport în $[- 1; 1]$ , altfel unghiul căutat nu există.

De reținut

$arccos a \in [0, π]$ , $arcsin a \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , pentru $a \in [- 1, 1]$
$arccos (- a) = π - arccos a$ și $arcsin (- a) = - arcsin a$
$arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$

Greșeala tipică

Se aplică la arccosinus regula de la arcsinus și se scrie $arccos (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{3}$ ; rezultatul trebuie să fie în $[0, π]$ , deci corect este $\frac{2 π}{3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea lui $arcsin (- \frac{3}{2})$ este:
- a) $\frac{4 π}{3}$
- b) $- \frac{π}{3}$
- c) $\frac{2 π}{3}$
- d) $- \frac{π}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{π}{3}$

Numărul din $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ cu sinusul $- \frac{3}{2}$ este $- \frac{π}{3}$ .
Care dintre numerele următoare NU poate fi valoarea unui arccosinus?
- a) $0$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $- \frac{π}{6}$
- d) $π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- \frac{π}{6}$

Arccosinusul ia valori în $[0; π]$ , deci nu poate fi negativ.
Valoarea lui $cos (arcsin (- \frac{3}{4}))$ este:
- a) $- \frac{7}{4}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $\frac{7}{16}$
- d) $\frac{7}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{7}{4}$

Numărul $arcsin (- \frac{3}{4})$ este între $- \frac{π}{2}$ și $0$ , unde cosinusul e pozitiv: $1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{4}$ .

Întrebări conexe

Cât face $cos (arcsin \frac{3}{5})$ ?

Numărul $t = arcsin \frac{3}{5}$ este în $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , unde cosinusul nu e negativ. Din $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ rezultă $cos t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ . Semnul plus e sigur, fără alte discuții de cadran, fiindcă intervalul arcsinusului stă în jumătatea din dreapta a cercului.

Cât face $arcsin x + arccos x$ pentru orice $x$ din $[- 1, 1]$ ?

Suma este întotdeauna $\frac{π}{2}$ . De exemplu, $arcsin \frac{1}{2} + arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ , iar pentru $x = - 1$ : $- \frac{π}{2} + π = \frac{π}{2}$ . Relația permite calculul unei funcții din cealaltă: dacă știi $arcsin 0, 3$ , atunci $arccos 0, 3$ este $\frac{π}{2}$ minus acel număr.

Cum aflu unghiul de difracție din legea lui Bragg cu arcsinus?

Legea este $nλ = 2 d sin θ$ , deci $θ = arcsin \frac{nλ}{2 d}$ . Pentru $n = 1$ , lungimea de undă $λ = 0, 15$ nm și distanța dintre planuri $d = 0, 15$ nm, obții $sin θ = \frac{1}{2}$ și $θ = \frac{π}{6}$ , adică $3 0^{\circ}$ . Dacă raportul ar ieși peste $1$ , reflexia n-ar exista.

Cât face $arcsin (sin \frac{5 π}{6})$ ?

Numărul $\frac{5 π}{6}$ nu este în intervalul $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , deci rezultatul nu e $\frac{5 π}{6}$ . Alegi, în acest interval, numărul care are același sinus: $π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6}$ , cu sinusul $\frac{1}{2}$ . Deci $arcsin (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$ .

Cum rezolv ecuația $arccos (2 x - 1) = \frac{2 π}{3}$ ?

Valoarea $\frac{2 π}{3}$ este în $[0, π]$ , deci ecuația are sens și echivalează cu $2 x - 1 = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ . Rezultă $x = \frac{1}{4}$ , iar $2 x - 1 = - \frac{1}{2}$ e în $[- 1, 1]$ . Verificarea: $arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ , deoarece $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ și unghiul este în $[0, π]$ .

Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $arcsin (x - 2)$ ?

Arcsinusul primește doar numere din $[- 1, 1]$ , deci ceri $- 1 \leq x - 2 \leq 1$ , adică $1 \leq x \leq 3$ . Domeniul este $[1, 3]$ . Pentru $x = 3$ , $arcsin 1 = \frac{π}{2}$ , iar pentru $x = 1$ , $arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}$ . În afara intervalului, expresia nu are niciun sens.

Oamenii mai întreabă și: valorile funcției arccosinus · de ce arccos este între 0 și pi · arccos de un număr negativ · arccos de minus a

De ce arccosinus nu ia valori negative?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât face cos(arcsin53​)?

Cât face arcsinx+arccosx pentru orice x din [−1,1]?

Cum aflu unghiul de difracție din legea lui Bragg cu arcsinus?

Cât face arcsin(sin65π​)?

Cum rezolv ecuația arccos(2x−1)=32π​?

Pentru ce valori ale lui x are sens arcsin(x−2)?

Continuă cu

Cât face $cos (arcsin \frac{3}{5})$ ?

Cât face $arcsin x + arccos x$ pentru orice $x$ din $[- 1, 1]$ ?

Cât face $arcsin (sin \frac{5 π}{6})$ ?

Cum rezolv ecuația $arccos (2 x - 1) = \frac{2 π}{3}$ ?

Pentru ce valori ale lui $x$ are sens $arcsin (x - 2)$ ?