Ce înseamnă arcsin de un număr?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcțiile arcsinus și arccosinus

Este unghiul din intervalul dintre $- \frac{π}{2}$ și $\frac{π}{2}$ al cărui sinus este numărul dat. Argumentul trebuie să fie între $- 1$ și $1$ , altfel expresia nu are sens. De exemplu, arcsinusul lui $\frac{3}{2}$ este $\frac{π}{3}$ . Restrângerea domeniului este necesară fiindcă, fiind periodic, sinusul repetă orice valoare de nenumărate ori.

Funcția $sin$ nu este inversabilă pe $R$ , pentru că nu este injectivă: fiind periodică, ia aceeași valoare pentru o infinitate de argumente (de exemplu $sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ ). Ca să obținem o inversă, restrângem domeniul la intervalul pe care sinusul este strict monoton: $sin : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1]$ devine bijectiv. Inversa acestei restricții este funcția $arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , definită prin $arcsin a = x ⟺ (sin x = a ș i x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}])$ . Analog, restrângem $cos$ la $[0, π]$ (aici cosinusul e strict descrescător) și obținem $arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ . Ambele funcții au domeniul $[- 1, 1]$ — pentru $∣ a ∣ > 1$ nu au sens. $arcsin$ este strict crescătoare și impară ( $arcsin (- a) = - arcsin a$ ); $arccos$ este strict descrescătoare și verifică $arccos (- a) = π - arccos a$ . Identitatea de aur, valabilă pentru orice $a \in [- 1, 1]$ , este $arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$ . Compunerile $sin (arcsin a) = a$ și $cos (arccos a) = a$ sunt mereu adevărate, dar $arcsin (sin x) = x$ funcționează doar pentru $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ — aici se ascunde cea mai frecventă capcană de examen: pentru $x$ din afara intervalului principal se reduce întâi, de exemplu $arcsin (sin \frac{5 π}{6}) = arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ . În plus, $cos (arcsin a) = sin (arccos a) = 1 - a^{2}$ , formulă utilă la calculul compunerilor mixte din exercițiile tip Bacalaureat.

De reținut

$arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$
$arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$
$cos (arcsin a) = 1 - a^{2}$

Greșeala tipică

Se simplifică orbește arcsinusul aplicat unui sinus și se scrie chiar argumentul, deși rezultatul nu poate ieși din intervalul principal; redu întâi unghiul, apoi aplică funcția.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $arcsin (\frac{3}{2})$ ?
- a) $\frac{π}{3}$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $\frac{2 π}{3}$
- d) $- \frac{π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{π}{3}$

Căutăm $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ cu $sin x = \frac{3}{2}$ . Din tabelul valorilor remarcabile, $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , iar $\frac{π}{3}$ aparține intervalului principal. Deci $arcsin \frac{3}{2} = \frac{π}{3}$ . Varianta c) ar fi corectă pentru $arccos (- \frac{1}{2})$ , nu pentru $arcsin$ .
Cât este $arccos (- \frac{1}{2})$ ?
- a) $\frac{π}{3}$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $\frac{2 π}{3}$
- d) $\frac{5 π}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{2 π}{3}$

Folosim $arccos (- a) = π - arccos a$ : $arccos (- \frac{1}{2}) = π - arccos \frac{1}{2} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ . Verificare: $\frac{2 π}{3} \in [0, π]$ ✓ și $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ ✓. Nu se aplică imparitatea la $arccos$ (aceea ar da greșit $- \frac{π}{3}$ ).
Cât este $arcsin (sin \frac{5 π}{6})$ ?
- a) $\frac{5 π}{6}$
- b) $\frac{π}{6}$
- c) $- \frac{π}{6}$
- d) $\frac{π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{π}{6}$

$\frac{5 π}{6} \in / [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , deci nu putem „simplifica direct". Calculăm $sin \frac{5 π}{6} = sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , deci $arcsin (sin \frac{5 π}{6}) = arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ . Varianta a) e capcana clasică: rezultatul unui $arcsin$ nu poate depăși niciodată $\frac{π}{2}$ în valoare absolută.

Întrebări conexe

Cât este arcsin de o jumătate?

Este $\frac{π}{6}$ , adică $3 0^{\circ}$ , fiindcă sinusul acelui unghi este $\frac{1}{2}$ , iar unghiul se află în intervalul principal. Pentru argumentul $- \frac{1}{2}$ rezultatul devine $- \frac{π}{6}$ , prin imparitatea funcției.

Cât este arccos de zero?

Este $\frac{π}{2}$ , adică $9 0^{\circ}$ , fiindcă acolo cosinusul se anulează, iar unghiul se află în intervalul de la zero la $π$ , unde ia valori arccosinusul. Suma dintre arcsinus și arccosinus pentru același argument dă mereu $\frac{π}{2}$ .

Cum aflu unghiul dacă îi știu sinusul?

Aplici arcsinusul valorii, ceea ce îți dă unghiul din intervalul principal. Dacă problema cere toate unghiurile posibile, adaugi și pe cel obținut prin scădere din $π$ , apoi ture complete. Pe calculator, operația se face cu tasta pentru sinusul invers.

Este arcsin de minus a egal cu minus arcsin de a?

Da, funcția arcsinus este impară, fiindcă intervalul ei principal este simetric față de zero, iar sinusul este impar. La arccosinus regula nu se aplică: acolo, pentru argumentul opus, se scade rezultatul din $π$ .

De ce funcția arccosinus este descrescătoare?

Fiindcă provine din cosinusul restrâns la intervalul de la zero la $π$ , unde acesta scade continuu de la unu la minus unu. Inversa unei funcții descrescătoare rămâne descrescătoare, deci la argumente mai mari corespund unghiuri mai mici.

Oamenii mai întreabă și: ce este arcsin · definiția arcsinusului · cum se calculează arcsin dintr-un număr · funcțiile arcsin și arccos