Funcțiile arcsinus și arccosinus (M2, științe ale naturii)

În molecula de metan, atomul de carbon stă în centrul unui tetraedru regulat, iar cei patru atomi de hidrogen în vârfuri. Din geometria tetraedrului se calculează exact cosinusul unghiului dintre două legături carbon–hidrogen: este $-\frac{1}{3}$. Chimistul vrea însă unghiul, nu cosinusul lui, iar unghiul trebuie să fie unul singur, cuprins între $0$ și $\pi$. Funcția care face acest drum înapoi, de la valoarea cosinusului la unghi, se numește arccosinus, iar perechea ei pentru sinus se numește arcsinus. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), le definești, le desenezi și le folosești în calcule. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, unde programa numește funcțiile trigonometrice directe și inverse. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, iar programa lor are arcfuncțiile, alături de funcțiile trigonometrice, la clasa a X-a.

Lecția pornește de la ce știi din clasa a IX-a: graficele sinusului și cosinusului la M2, desenate pe $[0;2\pi ]$, valorile pentru unghiurile de bază și reducerea la primul cadran. Din clasa a X-a folosești funcția inversă la M2 și periodicitatea, din lecția despre funcțiile periodice.

Ce vei învăța

• Vei ști să arăți de ce sinusul și cosinusul se întorc doar după ce le restrângi la un interval potrivit și care sunt aceste intervale.
• Vei ști să calculezi sinusul și cosinusul unui număr negativ din intervalul $\left[-\frac{\pi }{2};0\right)$.
• Vei ști să calculezi valorile remarcabile ale lui $\arcsin$ și $\arccos$, inclusiv pentru argumente negative.
• Vei ști să desenezi graficele celor două funcții și să citești pe ele domeniul, mulțimea valorilor și monotonia.
• Vei ști să calculezi compuneri ca $\sin (\arcsin a)$, $\arcsin (\sin x)$ și $\cos (\arcsin a)$, cu atenție la interval și la semn.
• Vei ști să afli un unghi dintr-un model din fizică sau din chimie și să verifici dacă datele au sens.

Hai să descoperim împreună

1. Ce număr răspunde la întrebarea „al cui sinus este a”?

Pe intervalul $[0;2\pi ]$ sinusul nu se poate întoarce: o dreaptă orizontală $y=m$, cu $0<m<1$, taie graficul lui de două ori, cum ai numărat soluțiile în clasa a IX-a. Ca să obținem o funcție inversă, căutăm un interval pe care sinusul trece o singură dată prin fiecare valoare din $[-1;1]$. Intervalul ales este $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, care conține și numere negative.

În clasa a X-a sinusul și cosinusul sunt definite pe tot $\mathbb{R}$, cu perioada $2\pi$. Pentru $t\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, numărul $-t$ are același punct pe cerc ca $2\pi -t$, deci, cu formulele pentru $2\pi -x$ din clasa a IX-a, $\sin (-t)=\sin (2\pi -t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos (2\pi -t)=\cos t$. Pe cerc, $M(-t)$ și $M(t)$ sunt simetrice în raport cu axa $Ox$: pe $M(-t)$ îl atingi pornind din $A(1;0)$ și parcurgând arcul de lungime $t$ în sens orar, adică invers față de sensul trigonometric, ca la rotația în sens orar din lecția despre cercul trigonometric. De exemplu, $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ și $\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$: punctul are aceeași abscisă ca punctul lui $\frac{\pi }{6}$ și ordonata opusă. Tangenta, fiind raportul dintre sinus și cosinus, se extinde odată cu ele: pentru $t\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, $\mathrm{tg}(-t)=-\mathrm{tg}t$.

Pe $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ sinusul crește de la $0$ la $1$; din $\sin (-t)=-\sin t$ rezultă că pe $\left[-\frac{\pi }{2};0\right]$ crește de la $-1$ la $0$. Pe tot intervalul $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ sinusul este deci strict crescător și ia fiecare valoare din $[-1;1]$ exact o dată.

Arcsinusul unui număr $a\in [-1;1]$ este unicul număr $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ cu $\sin x=a$; îl notăm $\arcsin a$. Funcția $\arcsin :[-1;1]\to \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ este inversa restricției sinusului la acest interval.

2. De ce cosinusul se întoarce pe alt interval?

Pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ cosinusul urcă și apoi coboară, deci ia unele valori de două ori. În clasa a IX-a ai văzut însă că pe $[0;\pi ]$ cosinusul scade de la $1$ la $-1$ și că ecuația $\cos x=m$, cu $m\in [-1;1]$, are acolo exact o soluție.

De aceea, arccosinusul unui număr $a\in [-1;1]$ este unicul număr $x\in [0;\pi ]$ cu $\cos x=a$; îl notăm $\arccos a$. Funcția $\arccos :[-1;1]\to [0;\pi ]$ este inversa restricției cosinusului la $[0;\pi ]$. Rezultatul unui arccosinus este mereu un număr între $0$ și $\pi$, deci nu este niciodată negativ.

Intervalele diferă pentru că sinusul și cosinusul își schimbă monotonia în puncte diferite. Sinusul are maximul în $\frac{\pi }{2}$ și minimul în $-\frac{\pi }{2}$, deci între ele urcă o singură dată; cosinusul are maximul în $0$ și minimul în $\pi$, deci între ele coboară o singură dată. Fiecare interval este cuprins între un minim și un maxim vecin, iar pe el funcția trece prin toate valorile din $[-1;1]$.

Definițiile au două părți, și amândouă se verifică: valoarea funcției directe și intervalul. Un număr care are sinusul egal cu $a$, dar stă în afara lui $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, nu este $\arcsin a$.

3. Cum citești valorile remarcabile?

Tabelul valorilor sinusului și cosinusului pentru unghiurile de bază se citește invers, cu grijă la interval. Pentru argumentele negative ale lui $\arcsin$ folosești $\sin (-t)=-\sin t$, iar pentru cele ale lui $\arccos$ cauți numărul din $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$.

Controlul fiecărei valori are doi pași: calculezi funcția directă în rezultat și verifici că rezultatul este în intervalul potrivit. Pentru valorile care nu sunt în tabel, calculatorul are tastele ${\sin }^{-1}$ și ${\cos }^{-1}$; în modul radiani, ele dau exact $\arcsin$ și $\arccos$.

Observă cum se citește rândul lui $\arccos$ pentru argumentele negative: fiecare valoare este $\pi$ minus valoarea pentru argumentul pozitiv din aceeași poziție. De pildă, $\frac{5\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}$. Pe cerc, punctul cu abscisa negativă este simetricul, față de axa $Oy$, al punctului cu abscisa pozitivă, iar unghiul lui se completează până la $\pi$.

4. Ce proprietăți au cele două funcții?

Graficul inversei este simetricul graficului funcției față de dreapta $y=x$. Figura A arată arcul de sinusoidă de pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ și oglinda lui, graficul lui $\arcsin$: o curbă care pleacă din $\left(-1;-\frac{\pi }{2}\right)$, trece prin origine și se oprește în $\left(1;\frac{\pi }{2}\right)$. Cele două capete sunt incluse. Punctul $\left(\frac{\pi }{3};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ al sinusului și punctul $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\pi }{3}\right)$ al arcsinusului sunt simetrice.

Din figură se citesc: domeniul $[-1;1]$, mulțimea valorilor $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ și monotonia. Monotonia trece de la sinus la arcsinus: dacă $a<b$ ar da $\arcsin a\ge \arcsin b$, atunci, aplicând sinusul, crescător pe intervalul principal, am obține $a\ge b$. Deci $\arcsin$ este strict crescătoare. Graficul este simetric față de origine, $\arcsin (-a)=-\arcsin a$: dacă $x=\arcsin a$, atunci $-x$ stă în același interval și are sinusul $-a$.

Figura B face același lucru pentru cosinus: arcul de pe $[0;\pi ]$ și oglinda lui, graficul lui $\arccos$, care coboară de la $(-1;\pi )$ la $(1;0)$ și trece prin $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Perechea de puncte simetrice marcată este $\left(\frac{\pi }{3};\frac{1}{2}\right)$ și $\left(\frac{1}{2};\frac{\pi }{3}\right)$. Funcția $\arccos$ este strict descrescătoare.

Capetele ambelor grafice sunt puncte pline, pentru că $\pm 1$ aparțin domeniului. Lângă capete curbele devin foarte abrupte, aproape verticale: sinusul este aproape orizontal lângă maxim și lângă minim, iar oglinda față de $y=x$ transformă o curbă aproape orizontală într-una aproape verticală.

Pentru $\arccos$ nu există simetrie față de origine, ci relația $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$. Motivul: dacă $x=\arccos a$, atunci $\pi -x$ este tot în $[0;\pi ]$, iar din formula de reducere $\cos (\pi -x)=-\cos x=-a$. Numărul $\pi -x$ îndeplinește ambele condiții din definiția lui $\arccos (-a)$.

5. Ce legătură există între arcsin a și arccos a?

Fie $a\in [-1;1]$ și $x=\arcsin a$, cu $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$. Numărul $\frac{\pi }{2}-x$ se află în $[0;\pi ]$, iar din formula pentru $\frac{\pi }{2}-x$ avem $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=a$. Deci $\frac{\pi }{2}-x=\arccos a$, adică $$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2},a\in [-1;1].$$

Relația leagă același argument: ea spune că, pentru orice $a$, cele două rezultate sunt complementare. De exemplu, $\arcsin 0,3+\arccos 0,3=\frac{\pi }{2}$, deși niciunul dintre cei doi termeni nu este o valoare remarcabilă.

Relația are și o citire geometrică. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi ascuțit $x$, celălalt unghi ascuțit este $\frac{\pi }{2}-x$, iar sinusul unuia este cosinusul celuilalt. Pentru $a$ pozitiv, $\arcsin a$ și $\arccos a$ sunt tocmai cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic în care o catetă este de $a$ ori ipotenuza. Relația rămâne adevărată și pentru $a$ negativ, unde imaginea cu triunghiul nu mai funcționează, dar demonstrația de mai sus rămâne valabilă.

6. Ce dau compunerile cu funcțiile directe?

Compunerea în ordinea „întâi arcfuncția, apoi funcția directă” nu schimbă nimic: $\sin (\arcsin a)=a$ și $\cos (\arccos a)=a$, pentru orice $a\in [-1;1]$. Este chiar definiția inversei.

Ordinea cealaltă cere atenție. Egalitatea $\arcsin (\sin x)=x$ are loc doar pentru $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, iar $\arccos (\cos x)=x$ doar pentru $x\in [0;\pi ]$. Pentru un $x$ din $[0;2\pi ]$ aflat în afara intervalului, cauți numărul din interval cu același sinus: pentru $x\in \left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ acesta este $\pi -x$, iar pentru $x\in \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ este $x-2\pi$. De exemplu, $\arcsin \left(\sin \frac{3\pi }{5}\right)=\pi -\frac{3\pi }{5}=\frac{2\pi }{5}$. Pentru cosinus, un $x\in [\pi ;2\pi ]$ se înlocuiește cu $2\pi -x$, care are același cosinus și stă în $[0;\pi ]$.

A treia familie combină funcția directă cu cealaltă arcfuncție. Dacă $x=\arcsin a$, atunci $\cos x\ge 0$, pentru că $x$ este în $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, iar formula fundamentală dă $\cos (\arcsin a)=\sqrt{1-a^2}$. La fel, $\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$, pentru că sinusul este nenegativ pe $[0;\pi ]$. Radicalul se ia cu semnul plus indiferent de semnul lui $a$.

7. Cum se folosesc arcfuncțiile în științe?

Într-un model, sinusul sau cosinusul unui unghi se obține ca raport a două mărimi măsurate, iar unghiul se află apoi cu arcfuncția potrivită. Alegerea contează: $\arcsin$ dă unghiuri între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, iar $\arccos$ între $0$ și $\pi$. Dacă unghiul căutat poate fi obtuz, ca unghiul dintre legăturile din molecula de metan, îl afli din cosinus: $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 1,9106$ radiani, adică aproximativ $109,47^{\circ }$.

Datele trebuie să producă un raport în $[-1;1]$. Un raport ca $1,03$, obținut din măsurători, nu are arcsinus: semnalează o eroare de măsură sau un model aplicat în afara condițiilor lui. Calculatorul arată în acest caz un mesaj de eroare, nu un unghi.

Rezultatele se scriu cu unitatea cerută. Arcfuncțiile dau un număr real, adică o măsură în radiani; transformarea în grade se face înmulțind cu $\frac{180}{\pi }$. De exemplu, $1,9106$ radiani înseamnă aproximativ $109,47^{\circ }$, iar valoarea în grade este cea pe care o vei găsi în manualul de chimie.

8. Ce faci cu o ecuație de forma arcsin x = c?

Ecuația $\arcsin x=c$ are soluție numai dacă $c$ se află în mulțimea valorilor, $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$; atunci soluția este $x=\sin c$. De exemplu, $\arcsin x=\frac{3\pi }{5}$ nu are soluție, deși $\sin \frac{3\pi }{5}$ există: numărul $\frac{3\pi }{5}$ depășește $\frac{\pi }{2}$, deci nu poate fi rezultatul unui arcsinus.

Pentru $\arccos x=c$ condiția este $c\in [0;\pi ]$, iar soluția este $x=\cos c$. Când argumentul este o expresie, ca $\arcsin (mx+n)=c$, rezolvi întâi $mx+n=\sin c$ și verifici apoi că argumentul obținut stă în $[-1;1]$; condiția e îndeplinită automat, pentru că valoarea unui sinus nu iese din acest interval. Ecuațiile de forma $\sin x=a$, cu necunoscuta sub sinus, sunt altceva: au o infinitate de soluții pe $\mathbb{R}$ și sunt tema lecției despre ecuațiile trigonometrice elementare la M2.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori cu argumente negative

Calculați $E=2\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)-3\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Rezolvare. Numărul din $[0;\pi ]$ cu cosinusul $-\frac{1}{2}$ este $\frac{2\pi }{3}$, deci $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$. Numărul din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ cu sinusul $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ este $-\frac{\pi }{4}$, deci $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$.

Atunci $E=\frac{4\pi }{3}+\frac{3\pi }{4}=\frac{16\pi +9\pi }{12}=\frac{25\pi }{12}$. Rezultatul depășește $2\pi$, ceea ce e în regulă: o sumă de arcfuncții nu mai este ea însăși un arcsinus sau un arccosinus.

Exemplul 2 — Citește graficul lui arccos

Figura C arată graficul funcției $\arccos$ și dreptele orizontale $y=\frac{2\pi }{3}$ și $y=\frac{\pi }{4}$. Citiți abscisele punctelor în care dreptele taie graficul, confirmați-le prin calcul și explicați de ce fiecare dreaptă taie graficul o singură dată.

Rezolvare. Dreapta $y=\frac{2\pi }{3}$ taie graficul la stânga axei $Oy$, cam la $-0,5$; dreapta $y=\frac{\pi }{4}$ îl taie la dreapta, cam la $0,7$. Calculul: punctul are ordonata $\arccos x$, deci $x=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, respectiv $x=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$.

Funcția $\arccos$ este strict descrescătoare, așa că două abscise diferite au ordonate diferite; orice dreaptă $y=c$ cu $c\in [0;\pi ]$ taie graficul exact o dată, iar una cu $c$ în afara acestui interval nu îl taie deloc. Citirea de pe desen dă o valoare aproximativă; valoarea exactă vine din definiție, iar desenul confirmă semnul și ordinul de mărime.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: oglinda unei bucăți prea lungi

Un coleg vrea să deseneze graficul lui $\arcsin$ și oglindește față de dreapta $y=x$ arcul de sinusoidă de pe $[0;\pi ]$. El scrie: „Am obținut graficul arcsinusului, cu valori între $0$ și $\pi$.” Găsiți greșeala.

Rezolvare. Pe $[0;\pi ]$ sinusul urcă până în $\frac{\pi }{2}$ și apoi coboară, deci ia valorile din $(0;1)$ de câte două ori. După oglindire, verticala $x=\frac{1}{2}$ taie curba în două puncte, $\left(\frac{1}{2};\frac{\pi }{6}\right)$ și $\left(\frac{1}{2};\frac{5\pi }{6}\right)$, iar o curbă cu două puncte pe aceeași verticală nu este graficul unei funcții.

Arcul corect este cel de pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, unde sinusul este strict crescător. Oglinda lui are pe fiecare verticală $x=a$, cu $a\in [-1;1]$, exact un punct, iar valorile sunt între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, nu între $0$ și $\pi$.

Exemplul 4 — Compuneri cu cealaltă funcție

Calculați $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)\right)$ și $\mathrm{tg}\left(\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)\right)$.

Rezolvare. Fie $x=\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$; atunci $x\in \left[-\frac{\pi }{2};0\right)$, unde cosinusul este pozitiv. Din formula fundamentală, $\cos x=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}$, deci $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)\right)=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Semnul minus al argumentului nu se transmite rezultatului.

Fie $y=\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)$; atunci $y\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, unde sinusul este pozitiv și tangenta negativă. Avem $\sin y=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$, deci $\mathrm{tg}y=\frac{2\sqrt{6}}{5}:\left(-\frac{1}{5}\right)=-2\sqrt{6}$. Așadar $\mathrm{tg}\left(\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)\right)=-2\sqrt{6}$. Control de semn: un unghi din cadranul al II-lea are tangenta negativă, iar rezultatul este negativ. Control numeric: $\arccos (-0,2)\approx 1,7722$, iar tangenta acestui număr este aproximativ $-4,899$, adică $-2\sqrt{6}$.

Exemplul 5 — Unghiurile de difracție pe un cristal de sare

Razele X cu lungimea de undă $\lambda =0,1541$ nm se reflectă pe planurile unui cristal de clorură de sodiu aflate la distanța $d=0,282$ nm unul de altul. Legea lui Bragg, $n\lambda =2d\sin \theta$, dă unghiurile $\theta$ la care apar maxime de difracție, unde $n$ este un număr natural nenul, ordinul maximului. Calculați unghiurile pentru toate ordinele posibile.

Rezolvare. Din lege, $\sin \theta =\frac{n\lambda }{2d}=\frac{0,1541n}{0,564}$, iar unghiul este între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, deci $\theta =\arcsin \frac{0,1541n}{0,564}$. Pentru $n=1$: $\sin \theta \approx 0,2732$ și $\theta \approx 15,86^{\circ }$. Pentru $n=2$: $\sin \theta \approx 0,5465$ și $\theta \approx 33,12^{\circ }$. Pentru $n=3$: $\sin \theta \approx 0,8197$ și $\theta \approx 55,05^{\circ }$.

Pentru $n=4$ raportul este $\frac{0,6164}{0,564}\approx 1,093>1$, deci nu există unghi: al patrulea ordin nu apare. Domeniul lui $\arcsin$ spune aici un lucru fizic, și anume câte maxime poate vedea detectorul. Unghiurile cresc odată cu ordinul, pentru că $\arcsin$ este strict crescătoare, dar nu proporțional: al doilea unghi nu este dublul primului. Cristalografii fac drumul invers: măsoară unghiurile și calculează din ele distanța dintre planuri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)+\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{2}$. b) Calculați $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{1}{3}\right)$. c) Arătați că $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\pi }{4}$.

Rezolvare. a) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$ și $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$, iar $-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{-\pi +4\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$.

b) Numărul $\arcsin \frac{1}{3}$ este în $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, unde cosinusul este pozitiv, deci $\cos \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ și $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}:\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

c) Numărul $\frac{5\pi }{4}$ nu este în $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, deci rezultatul nu poate fi el. Avem $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar numărul din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ cu acest sinus este $-\frac{\pi }{4}$, adică $\pi -\frac{5\pi }{4}$. Deci $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{4}\right)=\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$. Cerințele sunt create pentru exersare, după forma întrebărilor scurte de trigonometrie; nu provin dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

La fiecare calcul, scrie întâi intervalul în care trebuie să cadă rezultatul. La compuneri, stabilește semnul înainte de a scoate radicalul.

1. Calculează $\arcsin 1$, $\arccos 1$, $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\arcsin 0$.

2. Calculează $6\arcsin \frac{1}{2}-4\arccos 0$.

3. Care dintre expresiile $\arcsin 1,2$, $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\arcsin \frac{\pi }{4}$ și $\arccos \left(1-\sqrt{2}\right)$ au sens? Justifică și calculează-o pe cea care are o valoare remarcabilă.

4. Ordonează crescător numerele $\arccos (-0,2)$, $\arccos 0,5$ și $\arccos 0,95$, fără calculator.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $a\in [-1;1]$, $\arcsin a\le \arccos a$.”

6. Calculează $\sin \left(\arccos \left(-\frac{3}{7}\right)\right)$.

7. Calculează $\mathrm{tg}\left(\arcsin \left(-\frac{7}{11}\right)\right)$.

8. Calculează $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{3}\right)$ și $\arccos \left(\cos \frac{5\pi }{3}\right)$.

9. Rezolvă ecuația $\arccos (2x-1)=\frac{\pi }{3}$.

10. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\arcsin (2x-3)$.

11. Ce valori ia funcția $f(x)=\pi -3\arcsin x$ când $x$ parcurge $[-1;1]$? Scrie mulțimea valorilor.

12. (Problemă aplicată.) Lumina Soarelui străbate prin atmosferă un drum de $\frac{1}{\cos z}$ ori mai lung decât atunci când Soarele este la zenit, unde $z$ este unghiul dintre direcția Soarelui și verticală. Raportul se numește masa de aer și modelul se folosește pentru $z$ între $0$ și aproximativ $75^{\circ }$. Află unghiul $z$ pentru masa de aer $2$, exact, și pentru masa de aer $1,5$, cu care se testează panourile solare, în grade, cu două zecimale.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Verificați că $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\pi }{12}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sin \left(\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+\arcsin \frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați valoarea numărului $\arccos \left(\sin \frac{\pi }{6}\right)$.

16. Pe figura A, citește aproximativ valoarea funcției $\arcsin$ în $0,9$, apoi verifică-o cu calculatorul, în radiani și în grade.

17. Arată că funcția $f:[-1;1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\arcsin x-\arccos x$, este strict crescătoare și calculează $f(-1)$ și $f(1)$.

18. (Provocare.) Determină mulțimea valorilor funcției $f:[-1;1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\arcsin x+\arccos (-x)$, scriind întâi $f(x)$ numai cu $\arcsin x$.

Răspunsuri și explicații

1. $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$, $\arccos 1=0$, $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$ și $\arcsin 0=0$. Fiecare rezultat este în intervalul funcției lui; primele două sunt capetele graficelor, $\left(1;\frac{\pi }{2}\right)$ pentru arcsinus și $(1;0)$ pentru arccosinus.

2. $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ și $\arccos 0=\frac{\pi }{2}$, deci $6\cdot \frac{\pi }{6}-4\cdot \frac{\pi }{2}=\pi -2\pi =-\pi$. Rezultatul negativ e posibil: nu este el însuși o valoare de arcfuncție.

3. $\arcsin 1,2$ nu are sens, pentru că $1,2>1$. $\arcsin \frac{\pi }{4}$ are sens, pentru că $\frac{\pi }{4}\approx 0,785$ este în $[-1;1]$. $\arccos \left(1-\sqrt{2}\right)$ are sens, pentru că $1-\sqrt{2}\approx -0,414$. Valoarea remarcabilă: $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi }{6}$.

4. Funcția $\arccos$ este strict descrescătoare, iar $-0,2<0,5<0,95$, deci ordinea se întoarce: $\arccos 0,95<\arccos 0,5<\arccos (-0,2)$.

5. Fals. Pentru $a=1$ avem $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$ și $\arccos 1=0$, iar $\frac{\pi }{2}>0$. Inegalitatea are loc doar pentru $a\le \frac{\sqrt{2}}{2}$, unde cei doi termeni sunt egali sau primul e mai mic.

6. Numărul $\arccos \left(-\frac{3}{7}\right)$ este în $[0;\pi ]$, unde sinusul este nenegativ. Rezultă $\sin \left(\arccos \left(-\frac{3}{7}\right)\right)=\sqrt{1-\frac{9}{49}}=\frac{\sqrt{40}}{7}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$.

7. Fie $x=\arcsin \left(-\frac{7}{11}\right)\in \left[-\frac{\pi }{2};0\right)$, unde cosinusul e pozitiv și tangenta negativă. $\cos x=\sqrt{1-\frac{49}{121}}=\frac{\sqrt{72}}{11}=\frac{6\sqrt{2}}{11}$, deci $\mathrm{tg}x=-\frac{7}{11}:\frac{6\sqrt{2}}{11}=-\frac{7}{6\sqrt{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{12}$.

8. $\sin \frac{5\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{3}\right)=-\frac{\pi }{3}$, adică $\frac{5\pi }{3}-2\pi$. $\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$, deci $\arccos \left(\cos \frac{5\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}$, adică $2\pi -\frac{5\pi }{3}$. Niciunul nu este egal cu $\frac{5\pi }{3}$.

9. Ecuația are soluție, pentru că $\frac{\pi }{3}$ este în $[0;\pi ]$, mulțimea valorilor lui $\arccos$. Atunci $2x-1=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $x=\frac{3}{4}$; argumentul $\frac{1}{2}$ este în $[-1;1]$. Verificare: $\arccos \left(2\cdot \frac{3}{4}-1\right)=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$. $S=\left\{\frac{3}{4}\right\}$.

10. Argumentul trebuie să fie în $[-1;1]$: $-1\le 2x-3\le 1$, adică $2\le 2x\le 4$. Domeniul este $D=[1;2]$, cu ambele capete incluse: pentru $x=1$ argumentul este $-1$, iar pentru $x=2$ este $1$.

11. Pe $[-1;1]$, $\arcsin x$ ia toate valorile din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, deci $-3\arcsin x$ ia valorile din $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$. Mulțimea valorilor lui $f$ este $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.

12. Din $\frac{1}{\cos z}=m$ rezultă $\cos z=\frac{1}{m}$, iar $z$ este între $0$ și $\frac{\pi }{2}$, deci $z=\arccos \frac{1}{m}$. Pentru $m=2$: $z=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, adică $60^{\circ }$. Pentru $m=1,5$: $z=\arccos \frac{2}{3}\approx 0,8411$ radiani, adică aproximativ $48,19^{\circ }$. Ambele unghiuri sunt sub $75^{\circ }$, deci în intervalul modelului. Cu cât Soarele coboară spre orizont, cu atât $\cos z$ scade și masa de aer crește; pentru unghiuri mari atmosfera nu mai poate fi tratată ca un strat plan, de aceea modelul are o limită. Am folosit $\arccos$, pentru că datele dau cosinusul unghiului.

13. $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi }{3}$, numărul din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ cu acest sinus, iar $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$. Suma este $-\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}=-\frac{4\pi }{12}+\frac{3\pi }{12}=-\frac{\pi }{12}$.

14. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$ și $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, deci suma este $\frac{\pi }{3}$, iar $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

15. $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, deci $\arccos \left(\sin \frac{\pi }{6}\right)=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$.

16. Pe figură, deasupra abscisei $0,9$ curba este puțin peste $1,1$. Calculatorul, în modul radiani, dă $\arcsin 0,9\approx 1,1198$, iar în grade aproximativ $64,16^{\circ }$. Valoarea este mai mică decât $\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$, cum trebuie, și mai mare decât $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}\approx 1,0472$, pentru că $0,9>\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$ și funcția este crescătoare.

17. Pentru $-1\le x_1<x_2\le 1$ avem $\arcsin x_1<\arcsin x_2$, pentru că $\arcsin$ este strict crescătoare, și $\arccos x_1>\arccos x_2$, pentru că $\arccos$ este strict descrescătoare, deci $-\arccos x_1<-\arccos x_2$. Adunând, $f(x_1)<f(x_2)$. Valorile: $f(-1)=-\frac{\pi }{2}-\pi =-\frac{3\pi }{2}$ și $f(1)=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$.

18. Din relația pentru argumentul opus, $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$, iar din relația de complementaritate, $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$. Rezultă $f(x)=\arcsin x+\frac{\pi }{2}+\arcsin x=2\arcsin x+\frac{\pi }{2}$. Cum $\arcsin x$ ia toate valorile din $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, mulțimea valorilor lui $f$ este $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$.

De reținut

• Pentru $a$ din $[-1;1]$: $\arcsin a$ stă în $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ și are sinusul $a$, iar $\arccos a$ stă în $[0;\pi ]$ și are cosinusul $a$; în afara lui $[-1;1]$ nu există.
• Pentru numerele negative, $\sin (-t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos t$, pentru că $M(-t)$ se obține oglindind $M(t)$ în axa $Ox$.
• $\arcsin$ este strict crescătoare, cu $\arcsin (-a)=-\arcsin a$; $\arccos$ este strict descrescătoare, cu $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$; pentru orice $a$, $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$.
• $\sin (\arcsin a)=a$ mereu, dar $\arcsin (\sin x)=x$ numai pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$; altfel cauți numărul din interval cu același sinus.
• $\cos (\arcsin a)=\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$, cu semnul plus pentru orice $a$ din $[-1;1]$.

Greșeli frecvente

• Dai ca domeniu al unei compuneri chiar intervalul $[-1;1]$. Pentru $\arccos (3x+1)$ scrii domeniul $[-1;1]$. Intervalul acesta este pentru argument, nu pentru $x$: din $-1\le 3x+1\le 1$ rezultă $x\in \left[-\frac{2}{3};0\right]$.
• Folosești complementaritatea cu argumente diferite. Scrii „$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{2}$”. Relația cere același argument în ambii termeni; aici suma este $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{12}$.
• Aplici tot arcsinusul la ecuația $\arcsin x=c$. Din $\arcsin x=\frac{\pi }{5}$ scrii „$x=\arcsin \frac{\pi }{5}$”. Ca să scapi de arcsinus aplici funcția inversă lui, adică sinusul: $x=\sin \frac{\pi }{5}\approx 0,5878$. Verificarea cu calculatorul arată diferența: $\arcsin 0,5878\approx 0,6283$, adică aproximativ $\frac{\pi }{5}$.
• Afli cu arcsin un unghi care poate fi obtuz. Un unghi dintre două legături sau dintre două forțe poate depăși $90^{\circ }$, dar $\arcsin$ dă doar valori până la $\frac{\pi }{2}$. Când unghiul poate fi obtuz, lucrează cu cosinusul lui și cu $\arccos$.
• Reduci cu $\pi -x$ și în cadranul al IV-lea. Pentru $x=\frac{9\pi }{5}$ scrii „$\arcsin (\sin x)=\pi -\frac{9\pi }{5}=-\frac{4\pi }{5}$”, un număr în afara intervalului. Pentru $x\in \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$ numărul potrivit este $x-2\pi =-\frac{\pi }{5}$.

Aplică acasă

1. Deschide o aplicație de grafice și desenează sinusul numai pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, funcția $\arcsin$ și dreapta $y=x$, cu aceeași unitate pe axe. Alege trei puncte ale sinusului, scrie punctele simetrice față de dreaptă și verifică pe desen că stau pe graficul arcsinusului. Repetă pentru cosinus pe $[0;\pi ]$.
2. În întuneric, luminează cu lanterna telefonului un CD sau un DVD și privește benzile colorate reflectate pe perete: suprafața lui se comportă ca o rețea de difracție. Pentru un CD, distanța dintre piste este de aproximativ $1,6$ micrometri, iar lumina roșie are lungimea de undă de aproximativ $0,65$ micrometri. Calculează unghiul primei benzi roșii, $\theta =\arcsin \frac{0,65}{1,6}$, în grade, și explică de ce nu poate exista o a treia bandă roșie.
3. Construiește din plastilină și scobitori un model al moleculei de metan: o bilă în centru și patru scobitori îndreptate spre vârfurile unui tetraedru. Măsoară cu raportorul unghiul dintre două scobitori și compară-l cu valoarea exactă, $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$. Explică de ce unghiul se află cu arccosinus și nu cu arcsinus.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă două teme: trigonometria din clasa a IX-a, lucrată pe $[0;2\pi ]$, și funcția inversă din clasa a X-a. Primul pas este extinderea la numere negative, făcută cu formulele pentru $2\pi -x$ și cu periodicitatea, fără formule noi. Al doilea este alegerea intervalelor: elevul trebuie să poată spune de ce sinusul se întoarce pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ și cosinusul pe $[0;\pi ]$, cu argumentul monotoniei.

Merită urmărite trei deprinderi: verificarea dublă a fiecărei valori, adică funcția directă și intervalul; alegerea semnului în compunerile de tipul $\cos (\arcsin a)$; recunoașterea situațiilor în care o ecuație $\arcsin x=c$ nu are soluție. Pentru calculator, merită discutată diferența dintre modurile de lucru: aceeași tastă dă $0,5236$ în radiani și $30$ în grade, iar confuzia se vede imediat dacă elevul verifică rezultatul cu funcția directă. Formulele de adunare pentru arcfuncții nu fac parte din lecție; relația $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ se obține doar din formula de reducere pentru $\frac{\pi }{2}-x$.

Întrebări bune de control: „De ce $\arccos$ nu dă niciodată un rezultat negativ?”; „Cât este $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{4}\right)$ și de ce nu $\frac{5\pi }{4}$?”; „Ce înseamnă, într-o problemă de fizică, un raport mai mare decât $1$ sub arcsinus?”. Exemplul cu difracția se poate discuta cu profesorul de fizică, iar cel cu metanul cu profesorul de chimie.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, care numește la capitolul de funcții „Funcții trigonometrice directe și inverse: definire, proprietăți; ecuații trigonometrice”. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, în care rândul „Funcții trigonometrice directe și inverse” este la clasa a X-a; așa se justifică marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model din 2026 nu apare nicio arcfuncție; exercițiile marcate aici sunt create pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: arcsinusul și arccosinusul la mate-info (M1), în clasa a IX-a. Pe traseu, înainte vin ecuațiile logaritmice la M2, iar după ea urmează funcțiile arctangentă și arccotangentă la M2; exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre arcsinus și arccosinus?

La M1 lecția este în clasa a IX-a și demonstrează bijectivitatea restricțiilor. La M2 ea vine în clasa a X-a, după funcția inversă, și pornește de la graficele din clasa a IX-a, desenate pe $[0;2\pi ]$: extinde întâi sinusul și cosinusul la numere negative. Accentul cade pe citirea graficelor, pe compuneri și pe unghiuri din modele de fizică și chimie.

La ce subiect al bacalaureatului M2 folosesc arcsinusul și arccosinusul?

În programa M_șt-nat pentru 2027–2029, arcfuncțiile sunt materie de clasa a X-a, cu definire și proprietăți. În varianta-model publicată pentru 2026 nu apar, deci exercițiile de aici sunt doar antrenament pe tema din programă. Pentru MAT_P2 din 2030, tema e în domeniul „Algebră”.

De ce apar numere negative, dacă în clasa a IX-a lucram doar pe [0; 2π]?

În clasa a X-a funcțiile trigonometrice sunt definite pe tot $\mathbb{R}$, iar intervalul pe care sinusul se întoarce, $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, este așezat simetric față de zero. Un număr negativ înseamnă doar parcurgerea cercului în sens orar; valorile lui se obțin din cele ale numerelor pozitive, cu $\sin (-t)=-\sin t$ și $\cos (-t)=\cos t$.

Cum verific un rezultat de arcsinus fără tabel?

Faci două controale. Calculezi sinusul rezultatului și vezi dacă dă argumentul inițial. Apoi verifici că rezultatul este între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$. Dacă primul control merge, dar al doilea nu, ai găsit un număr cu același sinus, dar nu arcsinusul. Pentru arccosinus intervalul de control este $[0;\pi ]$.

Cum aleg între arcsin și arccos când caut un unghi?

Te uiți ce mărime cunoști și ce valori poate avea unghiul. Dacă știi cosinusul și unghiul poate fi între $0$ și $\pi$, inclusiv obtuz, folosești $\arccos$. Dacă știi sinusul și unghiul este sigur între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, folosești $\arcsin$. Un unghi obtuz aflat din sinus iese greșit, ca unghiul ascuțit cu același sinus.

De ce graficul arcsinusului are capete, iar al sinusului nu?

Sinusul este definit pe tot $\mathbb{R}$, deci graficul lui continuă la nesfârșit. Arcsinusul are ca domeniu doar intervalul $[-1;1]$, mulțimea valorilor sinusului, așa că graficul lui începe în $\left(-1;-\frac{\pi }{2}\right)$ și se termină în $\left(1;\frac{\pi }{2}\right)$. Capetele sunt puncte pline, pentru că $-1$ și $1$ aparțin domeniului.