Cât este C₇⁰-2C₇¹+4C₇²-…-128C₇⁷?

Ponderile sunt puterile lui -2, cu tot cu semn, deci suma este dezvoltarea lui (1+t)⁷ pentru t=-2: (1-2)⁷=(-1)⁷=-1. Semnul ponderii se păstrează; cine citește doar 2^(k) obține 3⁷=2187.

Cât este C₁₀¹+C₁₀²+…+C₁₀⁹?

Din suma completă, 2¹⁰=1024, lipsesc primul și ultimul termen, C₁₀⁰=1 și C₁₀¹⁰=1. Rezultă 1024-2=1022, adică numărul submulțimilor care nu sunt nici vide, nici egale cu mulțimea întreagă.

Cum arăt prin numărare că k· Cₙ^(k)=n· Cₙ₋₁^(k-1)?

Numeri în două feluri grupele de k oameni dintre n, cu un șef ales din grupă. Alegi grupa, apoi șeful: k· Cₙ^(k). Sau alegi întâi șeful, apoi ceilalți k-1 din n-1: n· Cₙ₋₁^(k-1). Pentru n=6, k=3: 3· 20=6· 10=60.

Cum aflu n dintr-o sumă de combinări?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Identități cu coeficienți binomiali

Recunoști în sumă o identitate cunoscută, apoi rezolvi o ecuație exponențială simplă. Toți termenii dau $2^{n}$ , suma fără $C_{n}^{0}$ dă $2^{n} - 1$ , iar suma doar a indicilor pari sau doar a celor impari dă $2^{n - 1}$ . Exemplu: $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 255$ înseamnă $2^{n} - 1 = 255$ , deci $2^{n} = 256$ și $n = 8$ . La fel, $C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + \dots = 512$ dă $2^{n - 1} = 2^{9}$ , adică $n = 10$ .

Identitățile cu coeficienți binomiali sunt egalități cu combinări valabile pentru orice $n$ la care au sens. Cele mai folosite vin din formula binomului lui Newton, în care literele $a$ și $b$ se înlocuiesc cu numere alese convenabil.

Cu $a = b = 1$ se obține $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ . Suma numără submulțimile, grupate după mărime: dacă $n$ specii pot fi fiecare prezente sau absente, există $2^{n}$ combinații posibile. Cu $a = 1$ și $b = - 1$ apare suma alternantă, egală cu $0$ , dar numai pentru $n \geq 1$ . Din cele două rezultă că sumele combinărilor cu indice de sus par, respectiv impar, sunt egale, fiecare cu $2^{n - 1}$ ; tot jumătate din submulțimi conțin un element fixat.

Când fiecare $C_{n}^{k}$ este înmulțit cu $t^{k}$ , suma este $(1 + t)^{n}$ , iar semnele alternante arată un $t$ negativ. Înainte de formulă se verifică dacă suma are toți termenii: fără primul, rezultatul este $2^{n} - 1$ , fără primul și ultimul, $2^{n} - 2$ . Suma coeficienților binomiali nu se confundă cu suma coeficienților unei dezvoltări, care se obține punând $x = 1$ .

De reținut

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$
indicii pari sau indicii impari: câte $2^{n - 1}$ , pentru $n \geq 1$
$\sum C_{n}^{k} t^{k} = (1 + t)^{n}$ , cu semnul lui $t$ păstrat

Greșeala tipică

Se rezolvă $C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 255$ ca $2^{n} = 255$ și nu iese un $n$ natural; suma nu conține $C_{n}^{0} = 1$ , deci ecuația corectă este $2^{n} - 1 = 255$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este suma $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n}$ , pentru un număr natural $n$ ?
- a) $n^{2}$
- b) $2^{n}$
- c) $n!$
- d) $2 n$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $2^{n}$

Cu $a = b = 1$ în formula binomului, $(1 + 1)^{n} = 2^{n}$ ; suma numără toate submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente.
Cât este $C_{21}^{0} - C_{21}^{1} + \dots - C_{21}^{21}$ ?
- a) $1$
- b) $2^{21}$
- c) $0$
- d) $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Este suma alternantă pentru $n = 21 \geq 1$ , adică $(1 - 1)^{21} = 0$ .
Suma $C_{5}^{0} + 4 C_{5}^{1} + 16 C_{5}^{2} + 64 C_{5}^{3} + 256 C_{5}^{4} + 1024 C_{5}^{5}$ este egală cu:
- a) $1024$
- b) $3125$
- c) $243$
- d) $7776$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3125$

Ponderile sunt $4^{k}$ , deci suma este $(1 + 4)^{5} = 5^{5} = 3125$ .

Întrebări conexe

Cât este $C_{7}^{0} - 2 C_{7}^{1} + 4 C_{7}^{2} - \dots - 128 C_{7}^{7}$ ?

Ponderile sunt puterile lui $- 2$ , cu tot cu semn, deci suma este dezvoltarea lui $(1 + t)^{7}$ pentru $t = - 2$ : $(1 - 2)^{7} = (- 1)^{7} = - 1$ . Semnul ponderii se păstrează; cine citește doar $2^{k}$ obține $3^{7} = 2187$ .

Cum deosebesc suma coeficienților unei dezvoltări de suma coeficienților binomiali?

Suma coeficienților binomiali ai lui $(2 x + 1)^{4}$ este $2^{4} = 16$ . Suma coeficienților dezvoltării, $16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1$ , se obține punând $x = 1$ : $3^{4} = 81$ . Coincid doar când ambii termeni ai binomului au coeficientul $1$ .

Cât este $C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + \dots + C_{10}^{9}$ ?

Din suma completă, $2^{10} = 1024$ , lipsesc primul și ultimul termen, $C_{10}^{0} = 1$ și $C_{10}^{10} = 1$ . Rezultă $1024 - 2 = 1022$ , adică numărul submulțimilor care nu sunt nici vide, nici egale cu mulțimea întreagă.

Cum arăt prin numărare că $k \cdot C_{n}^{k} = n \cdot C_{n - 1}^{k - 1}$ ?

Numeri în două feluri grupele de $k$ oameni dintre $n$ , cu un șef ales din grupă. Alegi grupa, apoi șeful: $k \cdot C_{n}^{k}$ . Sau alegi întâi șeful, apoi ceilalți $k - 1$ din $n - 1$ : $n \cdot C_{n - 1}^{k - 1}$ . Pentru $n = 6$ , $k = 3$ : $3 \cdot 20 = 6 \cdot 10 = 60$ .

Cât este $C_{5}^{0} + 3 C_{5}^{1} + 9 C_{5}^{2} + \dots + 243 C_{5}^{5}$ comparat cu $4^{5}$ ?

Ponderile sunt $3^{k}$ , deci suma este $(1 + 3)^{5} = 4^{5} = 1024$ : cele două sunt egale. Identitatea funcționează pentru orice pondere $t$ , fiindcă este chiar formula binomului pentru $a = 1$ și $b = t$ .

Oamenii mai întreabă și: cum găsesc n din suma combinărilor · ecuație cu suma coeficienților binomiali · suma combinărilor egală cu o putere a lui 2 · aflarea lui n din C de n luate câte k

Cum aflu n dintr-o sumă de combinări?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este C70​−2C71​+4C72​−…−128C77​?

Cum deosebesc suma coeficienților unei dezvoltări de suma coeficienților binomiali?

Cât este C101​+C102​+…+C109​?

Cum arăt prin numărare că k⋅Cnk​=n⋅Cn−1k−1​?

Cât este C50​+3C51​+9C52​+…+243C55​ comparat cu 45?

Continuă cu

Cât este $C_{7}^{0} - 2 C_{7}^{1} + 4 C_{7}^{2} - \dots - 128 C_{7}^{7}$ ?

Cât este $C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + \dots + C_{10}^{9}$ ?

Cum arăt prin numărare că $k \cdot C_{n}^{k} = n \cdot C_{n - 1}^{k - 1}$ ?

Cât este $C_{5}^{0} + 3 C_{5}^{1} + 9 C_{5}^{2} + \dots + 243 C_{5}^{5}$ comparat cu $4^{5}$ ?