Identități cu coeficienți binomiali: pe scurt

Formula binomului lui Newton este o identitate: rămâne adevărată pentru orice $a$ și $b$, deci poți înlocui literele cu numere alese isteț, ca să obții relații noi între combinări. Cu $a=b=1$: $(1+1{)}^n=2^n$, deci $$C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$$ — numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente. Cu $a=1$, $b=-1$: $(1-1{)}^n=0$ (pentru $n\ge 1$), deci suma alternantă $C_n^0-C_n^1+C_n^2-\cdots =0$; de aici, coeficienții de rang par și cei de rang impar au aceeași sumă, $2^{n-1}$ fiecare.

Alte particularizări: cu $a=1$, $b=t$, obții $\sum C_n^k{t}^k=(1+t{)}^n$ — dacă în sumă $C_n^k$ e înmulțit cu $t^k$, recunoști direct rezultatul. Nu confunda «suma coeficienților binomiali» ($2^n$, se obține punând $a=b=1$ doar la combinări) cu «suma coeficienților dezvoltării» (se obține punând $x=1$ în tot binomul, inclusiv în factorii numerici).

O identitate utilă suplimentară: $k\cdot C_n^k=n\cdot C_{n-1}^{k-1}$, din care rezultă $\sum k{C}_n^k=n\cdot 2^{n-1}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $C_8^0+C_8^1+\cdots +C_8^8$.

   • a) $256$
   • b) $128$
   • c) $64$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $256$

   Suma tuturor coeficienților binomiali de ordin $n$ este $2^n$: pentru $n=8$, $2^8=256$.

2. Calculați suma coeficienților de rang impar din linia $9$: $C_9^1+C_9^3+C_9^5+C_9^7+C_9^9$.

   • a) $512$
   • b) $256$
   • c) $128$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $256$

   Coeficienții de indice par și cei de indice impar au sume egale, fiecare $2^{n-1}$: pentru $n=9$, $2^8=256$.

3. Recunoașteți suma $C_5^0+3C_5^1+9C_5^2+27C_5^3+81C_5^4+243C_5^5$.

   • a) $2^5=32$
   • b) $3^5=243$
   • c) $4^5=1024$
   • d) $5^4=625$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4^5=1024$

   Fiecare $C_5^k$ este înmulțit cu $3^k$: suma este dezvoltarea lui $(1+3{)}^5=4^5=1024$.