Identități cu coeficienți binomiali (M2, științe ale naturii)

Lichenii sunt organisme sensibile la poluarea aerului, iar ecologii îi folosesc drept indicatori: pe scoarța unui copac notează, pentru fiecare specie urmărită, dacă apare sau lipsește. Cu $20$ de specii de licheni în lista de lucru, câte „profiluri” diferite poate avea un copac? Un ecolog le-ar putea grupa după câte specii sunt prezente: niciuna, una, două și așa mai departe. Un altul ar observa că fiecare specie aduce doar două variante, prezentă sau absentă. Cele două numărători trebuie să dea același rezultat, iar egalitatea lor este o identitate cu coeficienți binomiali. Lecția face parte din programa de clasa a 10-a de la profilul științe ale naturii (M2), capitolul „Metode de numărare”, și îți arată cum se obțin astfel de identități din formula binomului lui Newton și cum le folosești ca să calculezi rapid sume de combinări. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema: la capitolul de metode de numărare sunt trecute numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente și binomul lui Newton.

Vii din lecția despre termenul general al dezvoltării binomiale, unde ai citit dezvoltarea termen cu termen. Aici o citești altfel: toată deodată, după ce ai înlocuit literele cu numere bine alese.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o identitate cu coeficienți binomiali și cum se deosebește de o egalitate verificată pe un singur caz.
• Vei ști să obții suma $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ prin particularizarea binomului și să o legi de numărarea profilurilor.
• Vei ști să folosești suma alternantă, cu condiția ei, și să arăți că submulțimile cu număr par de elemente sunt tot atâtea cât cele cu număr impar.
• Vei ști să recunoști într-o sumă cu ponderi puterea $(1+t{)}^n$ sau $(a+t{)}^n$, inclusiv când ponderile au semne alternante.
• Vei ști să afli $n$ dintr-o sumă dată și să citești datele unei diagrame cu bare a profilurilor.
• Vei ști să deosebești, fără ezitare, suma coeficienților binomiali de suma coeficienților unei dezvoltări.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o identitate cu coeficienți binomiali?

O identitate cu coeficienți binomiali este o egalitate între două expresii care conțin combinări $C_n^k$, adevărată pentru toate numerele naturale $n$ (și $k$) pentru care cele două expresii au sens, eventual cu o condiție scrisă explicit lângă ea, de tipul $n\ge 1$. Numele de „coeficienți binomiali” vine de la faptul că numerele $C_n^k$ sunt chiar coeficienții din dezvoltarea binomului.

Ai întâlnit deja două identități de acest fel. Prima este formula combinărilor complementare, $C_n^k=C_n^{n-k}$, iar a doua este formula de recurență a combinărilor. Și formula binomului lui Newton, din lecția despre dezvoltarea binomului,

$$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +C_n^n{b}^n,$$

este o identitate: rămâne adevărată oricare ar fi numerele reale $a$ și $b$. Tocmai de aceea poți înlocui $a$ și $b$ cu valori alese de tine, iar egalitatea care rămâne este tot adevărată. Metoda lecției are trei pași: alegi valorile, le înlocuiești, citești ce a devenit fiecare membru.

Atenție la o capcană de logică. A verifica o egalitate pentru $n=2$, $n=3$ și $n=4$ nu o demonstrează pentru orice $n$. O identitate se demonstrează printr-un argument care nu depinde de valoarea lui $n$: o particularizare a binomului sau o numărare făcută în două feluri.

2. De unde vine suma $2^n$? Două drumuri spre același număr

Revenim la cele $20$ de specii de licheni. Primul drum este cel din lecția despre regula produsului: fiecare specie este prezentă sau absentă, independent de celelalte, deci profilurile sunt $2^{20}=1048576$. Al doilea drum este gruparea profilurilor după numărul de specii prezente, pe care ai folosit-o la triunghiul lui Pascal când ai adunat numerele unei linii: profilurile cu exact $k$ specii prezente sunt $C_{20}^k$, de exemplu $C_{20}^{10}=184756$ pentru zece specii, iar grupele adunate dau tot $1048576$.

Același argument, cu $n$ în loc de $20$, dă identitatea

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^n=2^n.$$

Lecția de azi adaugă al treilea drum, cel algebric, de un singur rând: în formula binomului se iau $a=1$ și $b=1$. Membrul stâng devine $(1+1{)}^n=2^n$, iar în membrul drept toate puterile lui $a$ și $b$ devin $1$, deci rămân doar coeficienții. Drumurile se sprijină unul pe altul: numărarea explică ce reprezintă suma, iar particularizarea arată că rezultatul nu depinde de nicio listă concretă. Același procedeu, cu alte valori pentru $a$ și $b$, dă toate identitățile care urmează.

3. Ce se întâmplă când semnele alternează?

Alegem acum $a=1$ și $b=-1$. În membrul drept, termenul cu $b^k$ capătă semnul $(-1{)}^k$, deci semnele alternează; în membrul stâng apare $(1-1{)}^n=0^n$. Pentru $n\ge 1$ avem $0^n=0$, deci

$$C_n^0-C_n^1+C_n^2-\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0,n\ge 1.$$

Condiția nu e un detaliu de formă. Pentru $n=0$ suma are un singur termen, $C_0^0=1$, iar $0^0$ este, prin convenție, $1$; identitatea ar afirma că „$1=0$”, ceea ce e fals. Pe linia $n=10$ verificarea arată așa:

$$1-10+45-120+210-252+210-120+45-10+1=0.$$

4. De ce sunt tot atâtea submulțimi pare câte impare?

Notăm cu $P$ suma combinărilor cu indicele de sus par, $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\dots$, și cu $I$ suma celor cu indicele de sus impar. Suma de la punctul 2 spune $P+I=2^n$, iar suma alternantă spune $P-I=0$, pentru $n\ge 1$. Adunând cele două relații, obții $2P=2^n$, deci

$$P=I=2^{n-1},n\ge 1.$$

În limbajul mulțimilor: la o mulțime nevidă, submulțimile pare și cele impare sunt la fel de multe, câte $2^{n-1}$ din fiecare fel. Pentru mulțimea ionilor $\{{\text{Na}}^{+},{\text{K}}^{+},{\text{Ca}}^{2+}\}$, submulțimile pare sunt $\varnothing$, $\{{\text{Na}}^{+},{\text{K}}^{+}\}$, $\{{\text{Na}}^{+},{\text{Ca}}^{2+}\}$, $\{{\text{K}}^{+},{\text{Ca}}^{2+}\}$, iar cele impare sunt $\{{\text{Na}}^{+}\}$, $\{{\text{K}}^{+}\}$, $\{{\text{Ca}}^{2+}\}$ și mulțimea întreagă: câte patru.

Există și o explicație fără calcul. Alegem un element fix, aici ${\text{Na}}^{+}$, și asociem fiecărei submulțimi pe cea obținută comutând acest element: îl adăugăm dacă lipsește, îl scoatem dacă e prezent. Comutarea schimbă numărul de elemente cu exact $1$, deci trimite o submulțime pară într-una impară și invers, iar aplicată de două ori te întoarce de unde ai plecat. Submulțimile se împart astfel în perechi „pară–impară”, deci cele două grupe au același număr de elemente.

Aceeași comutare arată încă ceva util: submulțimile care conțin un element fixat sunt exact jumătate din total, adică $2^{n-1}$, pentru că fiecare dintre ele are pereche o submulțime care nu îl conține.

5. Cum recunosc o putere într-o sumă cu ponderi?

Dacă în formula binomului iei $a=1$ și lași $b=t$ oarecare, obții

$$C_n^0+C_n^1\cdot t+C_n^2\cdot t^2+\cdots +C_n^n\cdot t^n=(1+t{)}^n.$$

Regula de recunoaștere: fiecare combinare $C_n^k$ este înmulțită cu $t^k$, iar ponderile $1,t,t^2,\dots$ formează o progresie geometrică de rație $t$, ca în lecția despre suma primilor termeni ai unei progresii geometrice. Rația îți dă direct valoarea lui $t$. Dacă ponderile scad, de la $a^n$ la $a^0$, în timp ce altele cresc, de la $t^0$ la $t^n$, suma este $(a+t{)}^n$.

Identitatea are și ea o interpretare prin numărare. Ai $n$ poziții, iar fiecare rămâne goală sau primește una dintre $t$ variante. Direct, cu regula produsului, sunt $(1+t{)}^n$ configurații. Grupându-le după numărul $k$ al pozițiilor ocupate, alegi pozițiile în $C_n^k$ moduri și le umpli în $t^k$ moduri. Pentru $n=2$ poziții și $t=9$ variante:

$$1+2\cdot 9+81=100=10^2.$$

6. Coeficienți binomiali sau coeficienții dezvoltării?

Expresia „suma coeficienților binomiali ai dezvoltării” se referă numai la numerele $C_n^k$ și dă mereu $2^n$. Expresia „suma coeficienților dezvoltării” se referă la numerele care înmulțesc puterile lui $x$ după ce dezvolți, și se obține înlocuind $x=1$ în binom. Pentru $(3x-7{)}^3$, prima sumă este $1+3+3+1=8$, iar a doua este $(3\cdot 1-7{)}^3=-64$. Controlul prin dezvoltare:

$$(3x-7{)}^3=27x^3-189x^2+441x-343,27-189+441-343=-64.$$

Înainte de orice calcul, subliniază în enunț cuvântul „binomiali” sau lipsa lui.

7. Cum afli $n$ dintr-o sumă dată?

Dacă un enunț îți dă valoarea unei sume de combinări și îți cere $n$, transformi suma într-o putere a lui $2$ și compari exponenții. Pentru suma tuturor combinărilor ecuația este $2^n=S$; pentru suma celor cu indice par sau impar, $2^{n-1}=S$; pentru suma fără primul termen, $2^n-1=S$. Valoarea din enunț se descompune în factori primi; dacă în descompunere apare și alt factor decât $2$, ecuația nu are soluție naturală. Egalitatea exponenților se justifică prin faptul că funcția $n\mapsto 2^n$ este strict crescătoare, deci ia fiecare valoare o singură dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei sume pe aceeași linie

Calculați: a) $C_{28}^0+C_{28}^1+\cdots +C_{28}^{28}$; b) $C_{28}^0-C_{28}^1+\cdots +C_{28}^{28}$; c) $C_{28}^0+C_{28}^2+\cdots +C_{28}^{28}$.

Rezolvare. a) Suma tuturor combinărilor de ordin $28$ este $2^{28}=268435456$.

b) Suma alternantă, cu $n=28\ge 1$, este $0$. Ultimul termen are semnul plus, fiindcă $(-1{)}^{28}=1$.

c) Indicii de sus sunt $0,2,\dots ,28$, adică toți indicii pari până la $28$, deci suma este $P=2^{27}=134217728$. Control: $P$ este jumătate din rezultatul de la a), așa cum trebuie.

Exemplul 2 — Citește diagrama

Un test genetic urmărește $12$ markeri, iar pentru fiecare persoană se notează care markeri sunt prezenți. Diagrama cu bare arată, pentru fiecare $k$ de la $0$ la $12$, câte profiluri diferite au exact $k$ markeri prezenți; valorile primelor șase bare, de la $k=0$ la $k=5$, sunt scrise pe diagramă, iar bara $k=6$ este marcată cu semnul întrebării. a) Câte profiluri există în total? b) Folosind simetria diagramei și totalul, aflați valoarea barei $k=6$. c) Câte profiluri au cel mult $5$ markeri prezenți?

Rezolvare. a) Fiecare marker este prezent sau absent, deci profilurile sunt $2^{12}=4096$. Aceasta este și suma tuturor barelor.

b) Bara $k$ și bara $12-k$ au aceeași înălțime, pentru că $C_{12}^k=C_{12}^{12-k}$. Primele șase bare au împreună $1+12+66+220+495+792=1586$ de profiluri, iar ultimele șase, de la $7$ la $12$, au tot $1586$. Rămâne pentru bara din mijloc

$$4096-2\cdot 1586=924.$$

c) Cel mult $5$ markeri înseamnă primele șase bare: $1586$ de profiluri. Exemplul nu a cerut nicio combinare calculată: totalul și simetria au făcut toată munca.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un mediu de cultură de bază poate fi îmbogățit cu oricare dintre $13$ suplimente diferite (vitamine, aminoacizi, săruri minerale), fiecare adăugat sau nu. Un elev calculează numărul mediilor îmbogățite, adică al celor care primesc cel puțin un supliment, astfel: „Suma $C_{13}^1+C_{13}^2+\cdots +C_{13}^{13}$ este suma tuturor combinărilor, deci răspunsul este $2^{13}=8192$.” Identificați greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Suma scrisă de elev începe de la $C_{13}^1$, deci nu este suma tuturor combinărilor: îi lipsește termenul $C_{13}^0=1$, adică mediul de bază, fără niciun supliment. Corect,

$$C_{13}^1+C_{13}^2+\cdots +C_{13}^{13}=2^{13}-1=8191.$$

Controlul de bun-simț: dintre toate cele $2^{13}$ variante, exact una nu primește niciun supliment, deci răspunsul corect e cu $1$ mai mic decât $2^{13}$.

Exemplul 4 — Modificările unei peptide

O peptidă are $7$ poziții la care se poate atașa o grupare chimică. Fiecare poziție rămâne nemodificată sau primește una dintre $2$ modificări: fosforilare sau acetilare. a) Câte forme diferite ale peptidei există? b) Arătați, grupând formele după numărul pozițiilor modificate, că rezultatul este egal cu $C_7^0+2C_7^1+4C_7^2+8C_7^3+16C_7^4+32C_7^5+64C_7^6+128C_7^7$. c) Câte forme au exact două poziții modificate?

Rezolvare. a) Fiecare poziție are $3$ stări, independent de celelalte: $3^7=2187$ forme.

b) O formă cu exact $k$ poziții modificate se obține alegând pozițiile în $C_7^k$ moduri, apoi modificarea fiecăreia în $2^k$ moduri. Adunând după $k$ de la $0$ la $7$:

$$1+14+84+280+560+672+448+128=2187.$$

Este identitatea de la punctul 5 al descoperirii, cu $t=2$: $(1+2{)}^7=3^7$.

c) Termenul cu $k=2$: $C_7^2\cdot 2^2=21\cdot 4=84$ de forme.

Exemplul 5 — Aflarea lui $n$

Determinați numărul natural $n$, $n\ge 1$, pentru care $C_n^1+C_n^3+C_n^5+\dots =8192$, unde suma cuprinde toate combinările de ordin $n$ cu indicele de sus impar.

Rezolvare. Suma combinărilor cu indice impar este $I=2^{n-1}$. Ecuația devine $2^{n-1}=8192=2^{13}$, deci $n-1=13$ și $n=14$. Condiția $n\ge 1$ este îndeplinită.

Verificare: pentru $n=14$ suma tuturor combinărilor este $2^{14}=16384$, iar jumătate din ea, $8192$, revine indicilor impari.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

a) Arătați că $C_{17}^1+C_{17}^3+\cdots +C_{17}^{17}=65536$. b) Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=4194304$. c) Se alege la întâmplare o submulțime nevidă a mulțimii $\{1,2,3,4,5\}$. Determinați probabilitatea ca ea să aibă exact două elemente.

Rezolvare. a) Suma cuprinde toți indicii impari de la $1$ la $17$, deci este $2^{17-1}=2^{16}=65536$.

b) Ecuația este $2^n=4194304=2^{22}$, deci $n=22$.

c) Submulțimile nevide sunt $2^5-1=31$, toate la fel de probabile, iar cele cu exact două elemente sunt $C_5^2=10$. Probabilitatea este $\frac{10}{31}$.

Exemplul reproduce forma cerințelor scurte de la Subiectul I; în modelul oficial M_șt-nat publicat pentru 2026, cerința de numărare este o probabilitate pe numerele de două cifre, iar binomul nu apare. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, scrie ce valori dai lui $a$ și lui $b$ sau ce argument de numărare folosești. Verifică apoi dacă suma din enunț are toți termenii, de la primul până la ultimul.

1. Calculează $C_{16}^0+C_{16}^1+\cdots +C_{16}^{16}$ și $C_{16}^1+C_{16}^2+\cdots +C_{16}^{15}$.

2. Calculează $C_{23}^0-C_{23}^1+\cdots -C_{23}^{23}$ și explică rezultatul fără binom, folosind combinările complementare.

3. Calculează $C_{18}^0+C_{18}^2+\cdots +C_{18}^{18}$.

4. Calculează $C_4^0+5C_4^1+25C_4^2+125C_4^3+625C_4^4$, spunând întâi ce valoare are $t$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr natural $n\ge 1$, suma coeficienților dezvoltării lui $(x-3{)}^n$ este un număr pozitiv.”

6. Determină numărul natural $n$, $n\ge 2$, pentru care $C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^{n-1}=2046$.

7. (Problemă aplicată.) Un fitotron (o cameră de creștere a plantelor) are $8$ parametri care pot fi modificați față de regimul standard: intensitatea luminii, spectrul luminii, temperatura de zi, temperatura de noapte, umiditatea, concentrația de dioxid de carbon, durata zilei și udarea. Fiecare parametru e lăsat standard sau modificat. a) Câte regimuri de lucru există? b) Câte regimuri au cel puțin doi parametri modificați? c) În câte regimuri numărul parametrilor modificați este par?

8. Calculează $C_3^0\cdot 7^3+C_3^1\cdot 7^2\cdot 3+C_3^2\cdot 7\cdot 3^2+C_3^3\cdot 3^3$, identificând $a$ și $t$.

9. Calculează $C_4^0+\frac{C_4^1}{3}+\frac{C_4^2}{9}+\frac{C_4^3}{27}+\frac{C_4^4}{81}$.

10. Arată că, pentru orice număr natural $n\ge 1$, $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+\cdots +C_{n-1}^{n-1})$.

11. Calculează $C_6^0-3C_6^1+9C_6^2-27C_6^3+81C_6^4-243C_6^5+729C_6^6$.

12. O mulțime $M$ are $9$ elemente, printre care $a$. Câte submulțimi ale lui $M$ îl conțin pe $a$? Câte dintre ele au, în plus, un număr par de elemente?

13. Pentru dezvoltarea lui $(x+2{)}^6$ calculează suma coeficienților binomiali și suma coeficienților dezvoltării. De ce diferă?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_{26}^0-C_{26}^1+\cdots +C_{26}^{26}=0$. b) Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^n=127$. c) Determinați câte submulțimi ale mulțimii $\{1,2,3,4,5,6\}$ au cel mult două elemente.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Calculați $C_{24}^0+C_{24}^2+\cdots +C_{24}^{24}$, scriind rezultatul ca putere a lui $2$. b) Arătați că suma $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n$ este număr par pentru orice număr natural $n\ge 1$. c) Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=4^{n-3}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) a) Arătați că $C_3^0+2C_3^1+4C_3^2+8C_3^3=27$. b) Determinați numărul natural $n$ pentru care $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+\cdots +2^n{C}_n^n=6561$. c) Determinați probabilitatea ca o submulțime a unei mulțimi cu $6$ elemente, aleasă la întâmplare, să conțină două elemente fixate ale mulțimii.

17. Arată că, pentru orice număr natural $n$, suma $C_n^0+3C_n^1+9C_n^2+\cdots +3^n{C}_n^n$ este de $2^n$ ori mai mare decât suma $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n$.

18. (Provocare.) Câte submulțimi ale mulțimii $\{1,2,3,\dots ,8\}$ au suma elementelor pară? (Mulțimea vidă are suma $0$.) Indicație: comută elementul $1$.

Răspunsuri și explicații

1. Suma tuturor combinărilor de ordin $16$ este $2^{16}=65536$. A doua sumă nu are primul și ultimul termen, $C_{16}^0=C_{16}^{16}=1$, deci este $65536-2=65534$.

2. Cu $n=23\ge 1$, suma alternantă este $0$. Fără binom: $C_{23}^k=C_{23}^{23-k}$, iar $k$ și $23-k$ au parități diferite, deci cei doi termeni au semne opuse și se anulează; cei $24$ de termeni formează $12$ astfel de perechi.

3. Indicii sunt toți cei pari de la $0$ la $18$, deci suma este $2^{18-1}=2^{17}=131072$.

4. Ponderile $1,5,25,125,625$ sunt puterile lui $5$, deci $t=5$ și suma este $(1+5{)}^4=6^4=1296$. Control: $1+20+150+500+625=1296$.

5. Fals. Suma coeficienților dezvoltării se obține pentru $x=1$: $(1-3{)}^n=(-2{)}^n$, care este negativ pentru orice $n$ impar. Contraexemplu: $n=1$, dezvoltarea $x-3$ are coeficienții $1$ și $-3$, cu suma $-2$.

6. Suma nu are termenii $C_n^0$ și $C_n^n$, deci este $2^n-2$. Ecuația $2^n-2=2046$ dă $2^n=2048=2^{11}$, deci $n=11$.

7. a) Fiecare parametru are două stări: $2^8=256$ de regimuri. b) Scădem regimul standard complet ($1$) și regimurile cu un singur parametru modificat ($C_8^1=8$): $256-1-8=247$. c) Regimurile cu număr par de parametri modificați sunt jumătate: $2^{8-1}=128$.

8. Puterile lui $7$ scad de la $7^3$ la $7^0$, cele ale lui $3$ cresc de la $3^0$ la $3^3$, deci $a=7$, $t=3$, iar suma este $(7+3{)}^3=10^3=1000$. Control: $343+441+189+27=1000$.

9. Ponderile sunt ${\left(\frac{1}{3}\right)}^k$, deci rația lor este $\frac{1}{3}$ și suma este ${\left(1+\frac{1}{3}\right)}^4={\left(\frac{4}{3}\right)}^4=\frac{256}{81}$.

10. Membrul stâng este $2^n$, iar paranteza din membrul drept este $2^{n-1}$, pentru că $n-1\ge 0$. Cum $2\cdot 2^{n-1}=2^n$, egalitatea are loc. Interpretare: submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente se împart în cele care conțin un element fixat și cele care nu îl conțin, câte $2^{n-1}$ în fiecare grupă.

11. Ponderile sunt $(-3{)}^k$, deci suma este $(1-3{)}^6=(-2{)}^6=64$.

12. Submulțimile care îl conțin pe $a$ sunt jumătate din total: $2^{9-1}=256$. O astfel de submulțime are un număr par de elemente exact când partea ei din celelalte $8$ elemente are un număr impar de elemente; mulțimea celor $8$ elemente are $2^{8-1}=128$ de submulțimi impare, deci răspunsul este $128$.

13. Suma coeficienților binomiali este $2^6=64$. Suma coeficienților dezvoltării este $(1+2{)}^6=729$. Diferă pentru că în dezvoltare fiecare $C_6^k$ este înmulțit cu o putere a lui $2$, iar aceste puteri nu sunt toate egale cu $1$.

14. a) Suma alternantă, cu $n=26\ge 1$, este $0$. b) Suma fără termenul $C_n^0=1$ este $2^n-1$, deci $2^n=128=2^7$ și $n=7$. c) Cele cu cel mult două elemente sunt $C_6^0+C_6^1+C_6^2=1+6+15=22$, din totalul de $2^6=64$ de submulțimi.

15. a) Suma cuprinde toți indicii pari de la $0$ la $24$, deci este $2^{23}$. b) Suma este $2^n$, iar pentru $n\ge 1$ numărul $2^n=2\cdot 2^{n-1}$ se divide cu $2$. c) Membrul stâng este $2^n$, iar $4^{n-3}=(2^2{)}^{n-3}=2^{2n-6}$. Ecuația $2^n=2^{2n-6}$ cere egalitatea exponenților, pentru că $n\mapsto 2^n$ este strict crescătoare: $n=2n-6$, deci $n=6$. Verificare: $2^6=64=4^3$.

16. a) $1+6+12+8=27=3^3$, adică $(1+2{)}^3$. b) Suma este $(1+2{)}^n=3^n$, iar $3^n=6561=3^8$ dă $n=8$. c) Pentru cele două elemente fixate decizia e luată, iar celelalte $4$ elemente rămân libere: $2^4=16$ submulțimi din cele $2^6=64$. Probabilitatea este $\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$.

17. Prima sumă are ponderile $3^k$, deci este $(1+3{)}^n=4^n$, iar a doua este $2^n$. Raportul lor este $\frac{4^n}{2^n}=2^n$, pentru că $4^n=(2^2{)}^n=2^n\cdot 2^n$. Pentru $n=0$ ambele sume sunt $1$, iar $2^0=1$, deci afirmația rămâne adevărată.

18. Comutăm elementul $1$, care este impar: adăugarea sau scoaterea lui schimbă paritatea sumei, fără să atingă celelalte elemente. Submulțimile se împart în perechi „sumă pară–sumă impară”, deci jumătate au suma pară: $\frac{2^8}{2}=128$.

De reținut

• O identitate cu coeficienți binomiali se demonstrează prin particularizarea binomului sau prin numărarea aceluiași lucru în două feluri, nu prin verificări pe câteva valori ale lui $n$.
• $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ (cu $a=b=1$): numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente, adică al profilurilor de tip prezent–absent.
• $C_n^0-C_n^1+\cdots +(-1{)}^n{C}_n^n=0$ numai pentru $n\ge 1$; de aici, sumele cu indice par și cu indice impar sunt egale, fiecare $2^{n-1}$.
• Dacă fiecare $C_n^k$ este înmulțit cu $t^k$, suma este $(1+t{)}^n$; cu ponderi $a^{n-k}{t}^k$, suma este $(a+t{)}^n$, iar semnele alternante înseamnă $t$ negativ.
• Sumele cărora le lipsesc termeni se corectează înainte de formulă: fără primul termen, $2^n-1$; fără primul și ultimul, $2^n-2$.

Greșeli frecvente

• Termenii de la capăt, uitați. Suma $C_n^1+C_n^2+\cdots +C_n^n$ nu este $2^n$, ci $2^n-1$: îi lipsește $C_n^0=1$. Înainte să scrii rezultatul, citește primul și ultimul indice de sus.
• Semnul lui $t$, pierdut pe drum. La $C_n^0-7C_n^1+49C_n^2-\dots$ ponderile sunt $(-7{)}^k$, deci suma este $(1-7{)}^n=(-6{)}^n$, nu $(1+7{)}^n=8^n$. Cine citește doar valoarea ponderilor, fără semn, schimbă complet rezultatul.
• $n$ citit din ultimul indice de sus. În $C_{11}^0+C_{11}^2+\cdots +C_{11}^{10}$ ordinul este $11$, indicele de jos, deci suma este $2^{10}$. Cine ia $n=10$, după ultimul termen, obține $2^9$.
• Sumă de paritate oprită prea devreme. Formula $2^{n-1}$ este valabilă doar dacă suma conține toți indicii de aceeași paritate, până la $n$. Suma $C_{12}^0+C_{12}^2+C_{12}^4$ are doar trei termeni și nu este $2^{11}$.
• Obiecte identice numărate ca distincte. Formula $2^n$ presupune $n$ elemente diferite. Din patru eprubete identice, cu aceeași soluție, poți lua $0,1,2,3$ sau $4$ eprubete, adică $5$ alegeri, nu $2^4=16$.

Aplică acasă

1. Linia $20$ în foaia de calcul. Într-o foaie de calcul scrie în coloana A numerele de la $0$ la $20$, iar în coloana B formula =COMBIN(20;A1), trasă în jos. Calculează suma coloanei, apoi suma alternantă și suma valorilor de pe rândurile cu $k$ par. Compară cele trei rezultate cu $2^{20}$, cu $0$ și cu $2^{19}$.

2. Monedele și paritatea. Aruncă patru monede de $40$ de ori și notează de fiecare dată dacă numărul de steme a fost par sau impar. Calculează frecvența aruncărilor „pare” și compar-o cu $\frac{1}{2}$. Explică, folosind submulțimile pare și impare ale unei mulțimi cu patru elemente, de ce aceasta este valoarea așteptată.

3. O problemă cu $(1+t{)}^n$, inventată de tine. Construiește o situație în care fiecare dintre $n$ obiecte lipsește sau apare într-una dintre $t$ variante, de exemplu melodiile unei liste, fiecare lăsată deoparte sau cântată într-una dintre două versiuni. Scrie numărul total ca putere, apoi ca sumă grupată după numărul obiectelor folosite. Verifică pentru $n=2$ scriind toate cazurile.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă formula binomului dintr-o rețetă de dezvoltare într-un instrument de calcul: înlocuind literele cu numere bine alese, elevul obține sume de combinări pe care altfel le-ar aduna termen cu termen. Programa profilului cere ca numărarea să fie abordată prin contexte practice, de aceea fiecare identitate are și o citire prin numărare: profiluri de prezență și absență, perechi de submulțimi pare și impare, configurații cu poziții goale sau ocupate. Identitățile care nu sunt cerute de programă, cum sunt cele cu factorul $k$ în fața combinării sau cu pătratele combinărilor, nu apar în lecție.

Ce merită urmărit în caiet: scrie elevul valorile date lui $a$ și lui $b$ înainte de rezultat; pune condiția $n\ge 1$ lângă suma alternantă; verifică primul și ultimul termen al sumei; deosebește suma coeficienților binomiali de suma coeficienților unei dezvoltări. Întrebări bune de control: „Ce numără suma aceasta?”, „Ce se întâmplă pentru $n=0$?”, „Cât este rația ponderilor?”. Semnul că elevul a înțeles: explică, fără calcul, de ce submulțimile care conțin un element fixat sunt exact jumătate.

Lecția folosește fără să le repredea triunghiul lui Pascal, combinările complementare și dezvoltarea binomului; ideea de submulțime vine din clasa a IX-a, de la mulțimi și operații cu mulțimi. Unitatea se încheie cu problemele practice de numărare, iar identitățile de aici sunt verificate în testul de includere–excludere și binomul lui Newton. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: identități cu coeficienți binomiali.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Algebră”, la capitolul „Metode de numărare” de clasa a X-a, unde programa trece dezvoltarea binomului lui Newton. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) conține, la „Metode de numărare”, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente și binomul lui Newton; de aceea exercițiile marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare de la Subiectul I este o probabilitate, iar binomul nu apare; exercițiile sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce diferă la identitățile cu coeficienți binomiali între M2 și mate-info (M1)? Identitățile de bază sunt aceleași: suma $2^n$, suma alternantă și sumele cu ponderi. La științe ale naturii fiecare identitate primește o citire prin numărare, pe profiluri din biologie și chimie, iar lecția se oprește la ce cere programa. Lecția de la mate-info (M1) mai adaugă o identitate cu factorul $k$ în fața combinării și o problemă cu pătratele combinărilor.

La ce subiect apar identitățile cu coeficienți binomiali la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 conține numărul tuturor submulțimilor și binomul lui Newton, fără să împartă temele pe subiecte. În modelul oficial publicat pentru 2026, cerința de numărare a Subiectului I este o probabilitate, fără binom. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat, deci forma cerințelor nu se poate anticipa.

Pot demonstra o identitate verificând-o pe câteva valori ale lui $n$? Nu. O verificare pe $n=3$, $n=4$ și $n=5$ arată doar că egalitatea e adevărată în acele trei cazuri. Demonstrația are nevoie de un argument valabil pentru orice $n$: o particularizare a formulei binomului, care este ea însăși adevărată pentru orice $n$, sau o numărare a aceluiași lucru pe două căi.

Ce numără suma cu ponderi $t^k$ când $t$ nu este număr natural? Nimic. Egalitatea cu $(1+t{)}^n$ rămâne adevărată pentru orice $t$ real, fiindcă vine din formula binomului. Citirea prin numărare, cu poziții goale sau ocupate de una dintre $t$ variante, cere însă ca $t$ să fie un număr natural. Pentru o fracție sau pentru un număr negativ, suma e doar un calcul algebric, iar rezultatul ei nu mai e un număr de configurații.

Ce legătură are $2^n$ cu profilurile de prezență și absență din biologie? Un profil de prezență și absență notează, pentru fiecare dintre $n$ specii sau markeri, dacă apare sau nu. Fiecare poziție are două variante, deci profilurile sunt $2^n$. Grupate după numărul elementelor prezente, ele dau combinările $C_n^0,C_n^1,\dots ,C_n^n$, iar suma lor este tocmai $2^n$.

Câte submulțimi ale unei mulțimi cu $n$ elemente conțin un element fixat? Exact jumătate, adică $2^{n-1}$, pentru $n\ge 1$. Asociezi fiecărei submulțimi care conține elementul fixat pe cea obținută scoțându-l; perechile acoperă toate submulțimile, iar fiecare pereche are câte una din fiecare grupă. La fel se arată că submulțimile care nu îl conțin sunt tot $2^{n-1}$.