Restul fără să împarți: f(a): pe scurt

Când împărțitorul are forma $X-a$, restul este întotdeauna o constantă — pentru că gradul lui trebuie să fie strict mai mic decât $1$. Teorema restului spune că această constantă este chiar valoarea polinomului în $a$: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$. Demonstrația încape într-un rând: din $f=(X-a)q+r$, substituind $X=a$, factorul $(X-a)$ se anulează și rămâne $f(a)=r$.

Aplicarea practică transformă o împărțire întreagă într-o simplă evaluare. La împărțitorul $X+a$, îl rescrii ca $X-(-a)$ și calculezi $f(-a)$ — semnul este greșeala numărul unu a acestei teme. La $aX+b$, restul este $f\left(-\frac{b}{a}\right)$.

Pentru un împărțitor de forma $(X-a)(X-b)$, cu $a\ne b$, restul are gradul cel mult $1$, deci se scrie $mX+n$; substituind pe rând $X=a$ și $X=b$ obții un sistem de două ecuații, fără nicio împărțire efectivă. Aceeași idee servește la determinarea parametrilor: orice condiție asupra restului se traduce printr-o egalitate de tip $f(\text{ceva})=\text{ceva}$. Teorema dă însă doar restul — când problema cere și câtul, rămâi la algoritmul clasic sau la schema lui Horner.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^3-3X^2+2X-5$ la $X-4$.

   • a) $19$
   • b) $-19$
   • c) $21$
   • d) $13$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $19$

   Conform teoremei restului, restul este $f(4)=64-48+8-5=19$.

2. Determinați restul împărțirii polinomului $f=2X^4-X^2+3X-1$ la $X+2$.

   • a) $-21$
   • b) $21$
   • c) $33$
   • d) $13$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $21$

   Scriem $X+2=X-(-2)$, deci restul este $f(-2)=2\cdot 16-4-6-1=32-4-6-1=21$. Dacă ai substituit din greșeală $X=2$, ai fi obținut $f(2)=2\cdot 16-4+6-1=33$ — greșeala clasică de semn.

3. Determinați restul împărțirii polinomului $f=3X^3-2X^2+X-4$ la $3X-2$.

   • a) $-\frac{8}{3}$
   • b) $\frac{10}{3}$
   • c) $-\frac{10}{3}$
   • d) $-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-\frac{10}{3}$

   Din $3X-2=0$ obținem $X=\frac{2}{3}$, deci restul este $f\left(\frac{2}{3}\right)=3\cdot \frac{8}{27}-2\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}-4=\frac{8}{9}-\frac{8}{9}+\frac{2}{3}-4=-\frac{10}{3}$.