Cum calculez curentul cu impedanța complexă?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Câtul a două numere complexe

Câtul a două numere complexe, cu împărțitorul nenul, este numărul care, înmulțit cu împărțitorul, dă deîmpărțitul. De aici vine și controlul oricărui calcul: înmulțești rezultatul cu împărțitorul și trebuie să regăsești numărătorul.

Pentru a scrie câtul în formă algebrică, amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Dacă numitorul este $c+di$, produsul lui cu $c-di$ este $c^2+d^2$, un număr real pozitiv, iar împărțirea la un număr real se face separat pe partea reală și pe cea imaginară. Rezultatul poate avea fracții; important este să se vadă clar cele două părți.

Inversul unui număr nenul $a+bi$ are numitorul $a^2+b^2$ și partea imaginară cu semnul schimbat; pentru numărul $i$, inversul este $-i$. Când un cât depinde de un parametru real, îl aduci la formă algebrică și pui condiția: parte imaginară zero pentru un cât real, parte reală zero și parte imaginară nenulă pentru un cât pur imaginar.

Ecuațiile de forma $a\cdot z=b$ se rezolvă prin împărțire, iar cele de forma $\frac{z}{a}=b$ prin înmulțire. În electrotehnică, legea lui Ohm pentru curent alternativ, $I=\frac{U}{Z}$, este exact o asemenea împărțire.

De reținut

• $\frac{z_1}{z_2}$ se aduce la forma algebrică amplificând cu ${\bar{z}}_2$
• inversul lui $a+bi\ne 0$ este $\frac{a-bi}{a^2+b^2}$
• orice cât se verifică înmulțindu-l cu împărțitorul

Greșeala tipică

Se amplifică cu conjugatul numărătorului în loc de cel al numitorului; numitorul rămâne atunci complex, iar fracția nu ajunge la forma $a+bi$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Conjugatul numitorului fracției $\frac{6-i}{4+7i}$, cu care o amplifici ca numitorul să devină real, este:

   • a) $6+i$
   • b) $4-7i$
   • c) $-4+7i$
   • d) $4+7i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $4-7i$

   Se amplifică cu conjugatul numitorului: $\overline{4+7i}=4-7i$, iar $(4+7i)(4-7i)=16+49=65$.

2. Inversul numărului $-2i$ este:

   • a) $2i$
   • b) $-\frac{1}{2}i$
   • c) $\frac{1}{2}i$
   • d) $-2i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{1}{2}i$

   Căutăm numărul care, înmulțit cu $-2i$, dă $1$: $(-2i)\cdot \frac{1}{2}i=-i^2=1$.

3. Forma algebrică a numărului $\frac{-8-25i}{3-2i}$ este:

   • a) $2-7i$
   • b) $-7+2i$
   • c) $2+7i$
   • d) $-\frac{8}{3}+\frac{25}{2}i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2-7i$

   Amplificăm cu $3+2i$; numitorul devine $13$, iar $(-8-25i)(3+2i)=-24-16i-75i-50i^2=26-91i$. Împărțim la $13$: $2-7i$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: legea lui Ohm cu impedanță complexă · curentul I egal U supra Z cu numere complexe · împărțirea numerelor complexe în electrotehnică · impedanța complexă și curentul