Împărțirea numerelor complexe (M2, științe ale naturii)

Într-un circuit de curent alternativ, tensiunea, curentul și impedanța se scriu ca numere complexe, iar legea lui Ohm își păstrează forma cunoscută din fizică: curentul este tensiunea împărțită la impedanță. Ca să afli curentul trebuie deci să împarți la un număr complex, operație pe care nu ai făcut-o încă. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), împărțirea închide lista operațiilor cu numere complexe scrise sub formă algebrică: aduci câtul la forma $a+bi$, afli inversul unui număr nenul și rezolvi ecuații de tipul $a\cdot z=b$. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține operațiile cu numere complexe; varianta-model pentru 2026 deschide Subiectul I cu un calcul cu numere complexe, o sumă și un produs, fără împărțire.

Ai nevoie de trei lucruri deja învățate. Primul este produsul unui număr cu conjugatul lui, din lecția despre conjugatul unui număr complex la M2. Al doilea este înmulțirea, cu regula $i^2=-1$ și puterile lui $i$, din lecția despre înmulțirea numerelor complexe. Al treilea vine din clasa a IX-a: raționalizarea numitorilor cu expresia conjugată, procedeu pe care îl vei recunoaște aproape pas cu pas. Diferența este că acolo scăpai de un radical de la numitor, iar aici scapi de unitatea imaginară. În ambele cazuri ideea este aceeași: înmulțești sus și jos cu o expresie aleasă astfel încât numitorul să devină un număr „obișnuit”, cu care știi deja să lucrezi.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă câtul a două numere complexe și de ce împărțirea la un număr nenul este mereu posibilă în $\mathbb{C}$.
• Vei ști să afli un cât pe două drumuri: printr-un sistem de ecuații și prin amplificare cu conjugatul numitorului.
• Vei ști să scrii inversul unui număr complex nenul și să aduci orice cât la forma algebrică, cu partea reală și partea imaginară separate.
• Vei ști să hotărăști pentru ce valoare a unui parametru real un cât este număr real sau număr pur imaginar.
• Vei putea afla necunoscuta din ecuații ca $a\cdot z=b$ sau $\frac{z}{a}=b$ și îți vei controla rezultatul prin înmulțire.
• Vei ști să folosești legea lui Ohm pentru curentul alternativ, $I=\frac{U}{Z}$, și să citești semnul părții imaginare a curentului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce număr căutăm când împărțim?

La numerele reale, a împărți $12$ la $4$ înseamnă a căuta numărul care, înmulțit cu $4$, dă $12$. Aceeași idee definește împărțirea în $\mathbb{C}$.

Câtul lui $z_1$ la $z_2$ (cu $z_2\ne 0$) este numărul complex $q$ pentru care $q\cdot z_2=z_1$; îl notăm $\frac{z_1}{z_2}$. Definiția spune și cum verifici orice împărțire: înmulțești câtul cu împărțitorul și trebuie să regăsești deîmpărțitul.

Definiția dă și un prim drum de calcul, bazat pe egalitatea a două numere complexe. Să căutăm câtul lui $-35-4i$ la $1+4i$. Scriem necunoscuta ca $x+yi$, cu $x$ și $y$ reale, și cerem ca $(x+yi)(1+4i)=-35-4i$. Desfacem produsul: $(x+yi)(1+4i)=(x-4y)+(4x+y)i$. Două numere complexe sunt egale când au aceleași părți, deci obținem sistemul

$$\{\begin{array}{l}x-4y=-35\\ 4x+y=-4\end{array}$$

pe care îl rezolvi ca în lecția despre sistemele de ecuații de gradul I. Din a doua ecuație, $y=-4-4x$; înlocuind în prima, $17x=-51$, deci $x=-3$ și $y=8$. Câtul este $-3+8i$.

Drumul funcționează întotdeauna, dar cere un sistem la fiecare împărțire. Sistemul are soluție unică exact atunci când împărțitorul nu este zero, lucru pe care îl vom vedea imediat pe un drum mai scurt. Reține totuși ce ai obținut: un cât nu e un obiect nou și misterios, ci un număr complex obișnuit, cu parte reală și parte imaginară, pe care îl poți căuta cu instrumentele din lecțiile anterioare. Tocmai de aceea verificarea prin înmulțire are sens: ea reface drumul înapoi, de la cât la deîmpărțit.

2. Cum scurtează conjugatul drumul?

Știi din lecția despre conjugat că produsul unui număr cu conjugatul lui este un număr real: $(c+di)(c-di)=c^2+d^2$. Asta sugerează un truc cunoscut din clasa a IX-a: dacă amplifici fracția cu conjugatul numitorului, numitorul devine real, iar o împărțire la un număr real înseamnă doar să împarți separat partea reală și partea imaginară.

Să refacem câtul de mai sus pe acest drum. Conjugatul numitorului $1+4i$ este $1-4i$, iar $(1+4i)(1-4i)=17$. La numărător, $(-35-4i)(1-4i)=-35+140i-4i+16i^2=-51+136i$. Așadar

$$\frac{-35-4i}{1+4i}=\frac{-51+136i}{17}=-3+8i,$$

același rezultat, obținut fără sistem. Regula generală, pentru $z_2=c+di\ne 0$, este

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2}}=\frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{c^2+d^2}.$$

Numitorul $c^2+d^2$ este un număr real strict pozitiv, pentru că $c$ și $d$ nu sunt ambele nule. De aici rezultă și de ce împărțirea la orice număr nenul este posibilă: amplificarea transformă mereu numitorul într-un număr real diferit de zero.

Figura A rezumă algoritmul pe care îl vei scrie pe foaie. Casetele urmează pașii, de sus în jos: amplifici, calculezi numitorul ca sumă de pătrate și, în paralel, produsul de la numărător, apoi separi părțile și verifici.

3. Ce număr dă $1$ prin înmulțire cu $z$?

Inversul lui $z$ este câtul $\frac{1}{z}$, adică numărul care, înmulțit cu $z$, dă $1$. Pentru $z=a+bi\ne 0$, regula de la secțiunea 2 cu numărătorul $1$ dă

$$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.$$

Pentru $5-3i$ avem $a^2+b^2=34$, deci $\frac{1}{5-3i}=\frac{5}{34}+\frac{3}{34}i$. Verificarea: $(5-3i)(5+3i)=25+9=34$, iar $\frac{34}{34}=1$.

Două cazuri merită reținute. Numărul $i$ are conjugatul $-i$ și $i\cdot (-i)=-i^2=1$, deci $\frac{1}{i}=-i$. La un număr pur imaginar oarecare folosești același fapt: $\frac{1}{-9i}=\frac{i}{9}$, fiindcă $(-9i)\cdot \frac{i}{9}=-i^2=1$. Inversul unui număr pur imaginar nenul este tot pur imaginar, cu semnul schimbat și cu coeficientul inversat.

Mai observă un lucru care îți poate servi drept control rapid: înainte de simplificare, ambele părți ale inversului au același numitor, $a^2+b^2$. Dacă îți ies numitori diferiți la partea reală și la cea imaginară, ai împărțit fiecare parte separat, lucru care nu e permis, iar rezultatul trebuie refăcut.

4. Cum arată un cât scris complet?

Un cât este scris corect abia când se văd partea reală și partea imaginară: $\frac{a}{n}+\frac{b}{n}i$, cu fracțiile simplificate. Rezultatul poate avea fracții, și asta nu înseamnă că ai greșit. De exemplu,

$$\frac{7+6i}{5+2i}=\frac{(7+6i)(5-2i)}{29}=\frac{35-14i+30i-12i^2}{29}=\frac{47+16i}{29}=\frac{47}{29}+\frac{16}{29}i.$$

Controlul prin înmulțire rămâne posibil și la fracții: $\left(\frac{47}{29}+\frac{16}{29}i\right)(5+2i)=\frac{235-32}{29}+\frac{94+80}{29}i=7+6i$. Observă cum partea reală a produsului se formează din „real cu real minus imaginar cu imaginar”, exact ca la orice înmulțire.

Lecția despre conjugat a anunțat și o regulă pentru cât, pe care o folosim fără demonstrație: conjugatul unui cât se obține împărțind conjugatele. Pe exemplul de mai sus, $\frac{7-6i}{5-2i}=\frac{(7-6i)(5+2i)}{29}=\frac{47-16i}{29}$, adică exact conjugatul câtului calculat mai înainte.

La redactare scrie explicit fiecare pas: cu ce conjugat amplifici, cât dă numitorul, ce dă numărătorul după $i^2=-1$ și cum arată rezultatul separat pe părți. Competența de redactare din programă cere tocmai evidențierea părții reale și a părții imaginare. Un rezultat lăsat sub forma unei singure fracții cu numărătorul complex este corect ca valoare, dar nu este încă în formă algebrică; ultimul pas, împărțirea fiecărei părți la numitor, nu se sare. Când fracțiile se pot simplifica, simplifică-le; când nu se pot, lasă-le așa, fără să le transformi în zecimale aproximative.

5. Cum alegi parametrul ca un cât să fie real?

Programa cere explicit condițiile ca un număr complex să fie real sau pur imaginar. Pentru un cât, drumul este: aduci câtul la forma algebrică, apoi pui condiția pe partea potrivită. Un cât este real când partea lui imaginară este zero și pur imaginar când partea reală este zero, iar partea imaginară nu.

Să luăm $\frac{m+4i}{2-5i}$, cu $m$ real. Numitorul amplificat este $2^2+5^2=29$, un număr pozitiv care nu schimbă nicio condiție. Rămâne numărătorul: $(m+4i)(2+5i)=2m+5mi+8i+20i^2=(2m-20)+(5m+8)i$. Câtul este real când $5m+8=0$, adică pentru $m=-\frac{8}{5}$; atunci valoarea lui este $\frac{2\cdot \left(-\frac{8}{5}\right)-20}{29}=-\frac{4}{5}$.

Observația care scurtează calculul: câtul $\frac{z_1}{z_2}$ și produsul $z_1\cdot \overline{z_2}$ diferă doar prin factorul real pozitiv $\frac{1}{c^2+d^2}$. Prin urmare unul are partea imaginară zero exact când o are și celălalt, iar la fel pentru partea reală. Poți pune condiția direct pe produs, fără să mai scrii fracția.

6. Cum rezolvi ecuațiile de forma $a\cdot z=b$?

O ecuație $a\cdot z=b$, cu $a\ne 0$, are exact o soluție: $z=\frac{b}{a}$. Pentru $(4+5i)z=-12+26i$ împarți: numitorul amplificat este $41$, iar $(-12+26i)(4-5i)=82+164i$, deci $z=\frac{82+164i}{41}=2+4i$. Verificarea, obligatorie la ecuații, este chiar definiția câtului: $(4+5i)(2+4i)=8+16i+10i+20i^2=-12+26i$.

Când necunoscuta stă la numărător nu mai împarți, ci înmulțești. Din $\frac{z}{-1+2i}=3-2i$ rezultă $z=(3-2i)(-1+2i)=-3+6i+2i-4i^2=1+8i$. Ecuațiile în care $z$ apare și în alt loc, de exemplu $a\cdot z+c=b$, se aduc la această formă mutând termenul liber, ca la numerele reale. Ordinea pașilor rămâne cea pe care o știi din clasa a IX-a: izolezi termenul care conține necunoscuta, împarți la coeficient și verifici soluția în ecuația inițială, nu în una intermediară, unde o greșeală de transcriere ar trece neobservată.

7. Unde apare împărțirea în științe?

În electrotehnică, un rezistor, o bobină și un condensator legate în circuit de curent alternativ se descriu printr-o singură mărime, impedanța $Z=R+iX$: partea reală $R$ este rezistența, în ohmi, iar partea imaginară $X$ este reactanța, pozitivă pentru o bobină și negativă pentru un condensator. Tensiunea $U$ și curentul $I$ se scriu tot ca numere complexe, iar legea lui Ohm devine $I=\frac{U}{Z}$.

Fizicienii notează unitatea imaginară cu $j$, pentru că litera $i$ le este rezervată intensității curentului. Calculul este același; în lecție păstrăm $i$ pentru unitatea imaginară și notăm curentul cu $I$ mare. Când tensiunea este luată ca referință, adică un număr real, semnul părții imaginare a curentului spune ceva fizic: o parte imaginară negativă arată că în circuit predomină bobina, iar curentul rămâne în urma tensiunii. Mărimea curentului, adică modulul lui $I$, se află fără împărțire, cu proprietatea modulului unui cât din lecția următoare.

De ce este utilă această scriere? Pentru că toate componentele circuitului se combină prin operații cu numere complexe, iar calculele cu sinusoide defazate se reduc la aritmetica pe care o înveți acum. Un inginer care proiectează un filtru pentru o boxă sau un tehnician care verifică o instalație electrică face exact împărțiri ca acelea din lecție, doar cu numere mai puțin rotunde și, de obicei, cu un calculator.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un cât cu părți întregi

Aduceți la forma $a+bi$ numărul $\frac{-33-10i}{2+5i}$.

Rezolvare. Înmulțim sus și jos cu $2-5i$, conjugatul împărțitorului; jos apare $2^2+5^2=29$. Sus,

$$(-33-10i)(2-5i)=-66+165i-20i+50i^2=-116+145i.$$

Prin urmare $\frac{-33-10i}{2+5i}=\frac{-116+145i}{29}=-4+5i$. Controlul prin înmulțire: $(-4+5i)(2+5i)=-8-20i+10i+25i^2=-33-10i$, exact deîmpărțitul.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev a calculat $\frac{11+10i}{5+i}$ și a scris: „amplific cu $5-i$: sus $65+39i$, jos $26$, deci câtul este $\frac{65+39}{26}=4$”. Găsiți greșeala și refaceți calculul.

Rezolvare. Amplificarea este corectă: $(11+10i)(5-i)=55-11i+50i-10i^2=65+39i$, iar $(5+i)(5-i)=25+1=26$. Greșeala e la ultimul pas: elevul a adunat partea reală cu coeficientul părții imaginare, ca și cum $65+39i$ ar fi un număr real. Un număr complex împărțit la un număr real se împarte parte cu parte, fără ca părțile să se amestece.

Calculul corect: $\frac{65+39i}{26}=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}i$. Controlul: $\left(\frac{5}{2}+\frac{3}{2}i\right)(5+i)=\frac{25}{2}-\frac{3}{2}+\left(\frac{5}{2}+\frac{15}{2}\right)i=11+10i$. Controlul prin înmulțire ar fi prins greșeala imediat: $4\cdot (5+i)=20+4i$, iar $20+4i\ne 11+10i$.

Exemplul 3 — Aceeași ecuație pe două drumuri

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z(1+5i)=15+23i$ o dată printr-un sistem și o dată prin împărțire.

Rezolvare. Drumul prin sistem: scriem $z=x+yi$. Produsul este $(x+yi)(1+5i)=(x-5y)+(5x+y)i$, iar egalitatea cu $15+23i$ dă

$$\{\begin{array}{l}x-5y=15\\ 5x+y=23\end{array}$$

Din a doua ecuație $y=23-5x$; înlocuind, $x-115+25x=15$, deci $26x=130$, $x=5$ și $y=-2$.

Drumul prin împărțire: $z=\frac{15+23i}{1+5i}=\frac{(15+23i)(1-5i)}{26}=\frac{15-75i+23i-115i^2}{26}=\frac{130-52i}{26}=5-2i$.

Ambele drumuri dau $z=5-2i$. Primul arată de ce soluția e unică: sistemul are soluție unică. Al doilea e mai scurt și îl vei folosi de obicei. Când ai timp, merită să le faci pe amândouă: dacă ies rezultate diferite, una dintre socoteli are o greșeală de semn, iar compararea lor îți arată unde s-o cauți.

Exemplul 4 — Parametrul care face câtul real sau pur imaginar

Fie $a$ un număr real și $w=\frac{a+3i}{1-5i}$. Determinați $a$ pentru care $w$ este pur imaginar, apoi $a$ pentru care $w$ este real.

Rezolvare. Amplificăm cu $1+5i$; numitorul devine $26$. La numărător,

$$(a+3i)(1+5i)=a+5ai+3i+15i^2=(a-15)+(5a+3)i,$$

deci $w=\frac{a-15}{26}+\frac{5a+3}{26}i$.

Pur imaginar: partea reală trebuie să fie zero, $a-15=0$, adică $a=15$. Mai verificăm că partea imaginară nu se anulează: $\frac{75+3}{26}=3\ne 0$. Pentru $a=15$ câtul este $3i$.

Real: partea imaginară trebuie să fie zero, $5a+3=0$, adică $a=-\frac{3}{5}$. Atunci $w=\frac{-\frac{3}{5}-15}{26}=-\frac{3}{5}$. Cele două valori ale lui $a$ sunt diferite, cum era de așteptat: un număr nenul nu poate fi în același timp real și pur imaginar.

Exemplul 5 — Curentul dintr-un circuit de curent alternativ

O bobină cu rezistența de $10\Omega$ și reactanța de $4\Omega$ are impedanța $Z=10+4i$. Ea este alimentată cu tensiunea $U=116$, în volți, luată ca referință reală. Calculați curentul $I=\frac{U}{Z}$ și interpretați semnul părții lui imaginare.

Rezolvare. Împărțim un număr real la un număr complex, deci amplificăm cu $10-4i$; numitorul este $10^2+4^2=116$:

$$I=\frac{116}{10+4i}=\frac{116(10-4i)}{116}=10-4i.$$

Curentul este $I=10-4i$, în amperi. Controlul: $(10-4i)(10+4i)=100+16=116$, adică $I\cdot Z=U$. Partea imaginară a curentului este negativă, deci curentul rămâne în urma tensiunii, ceea ce se întâmplă în circuitele în care predomină o bobină. Modelul este valabil pentru un circuit liniar, în regim staționar, cu frecvența fixă la care a fost măsurată reactanța.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie numărul complex $z=\frac{18-i}{2+i}$.

a) Arătați că $z=7-4i$.

b) Arătați că $z+2\bar{z}=21+4i$.

Rezolvare. a) Conjugatul împărțitorului este $2-i$; amplificând cu el, jos obținem $2^2+1^2=5$, iar sus

$$(18-i)(2-i)=36-18i-2i+i^2=35-20i,$$

deci $z=\frac{35-20i}{5}=7-4i$.

b) $\bar{z}=7+4i$, deci $2\bar{z}=14+8i$. Atunci $z+2\bar{z}=(7+14)+(-4+8)i=21+4i$.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată cu ce conjugat amplifici și cât dă numitorul, apoi controlează câtul prin înmulțire cu împărțitorul.

1. Scrie în formă algebrică numărul $\frac{-20+22i}{5+3i}$.

2. Scrie în formă algebrică numărul $\frac{4-9i}{3+5i}$.

3. Determină inversul fiecărui număr: a) $4+5i$; b) $\frac{i}{3}$; c) $\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i$.

4. Calculează $\frac{14-8i}{2i}$.

5. Calculează $\frac{41}{5-4i}$ și explică de ce rezultatul nu mai are numitor.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr complex $z$ cu partea reală nenulă, partea reală a inversului lui $z$ are același semn cu partea reală a lui $z$.”

7. Calculează suma $\frac{29}{2+5i}+\frac{29i}{5+2i}$.

8. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $(3-2i)z=15+16i$.

9. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $\frac{z}{4-5i}=-2+3i$.

10. Determină numărul real $m$ pentru care numărul $\frac{m-6i}{3+5i}$ este real și calculează valoarea câtului.

11. Determină numărul real $m$ pentru care numărul $\frac{5+mi}{6-i}$ este pur imaginar și calculează valoarea câtului.

12. Un coleg susține că „$\frac{11-29i}{1-6i}=5-i$”. Verifică afirmația doar prin înmulțire și, dacă e greșită, scrie câtul corect.

13. (Problemă aplicată.) La bornele unui aparat de curent alternativ tensiunea este $U=60$, în volți, luată ca referință, iar curentul măsurat este $I=4-2i$, în amperi. Calculează impedanța $Z=\frac{U}{I}$ și spune ce rezistență și ce reactanță are aparatul.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie numărul complex $z=\frac{17+17i}{3-5i}$. a) Arătați că $z=-1+4i$. b) Arătați că $iz+4=-i$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie numerele complexe $z_1=-11+8i$ și $z_2=8+11i$. Arătați că $\frac{z_1}{z_2}=i$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $(6+i)z+8=11i$.

17. Calculează $\frac{5-8i}{i^{23}}$, folosind puterile lui $i$.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ pentru care numărul $\frac{a+i}{1+ai}$ este real și calculează, pentru fiecare, valoarea lui.

Răspunsuri și explicații

1. Amplificăm cu $5-3i$; numitorul este $34$, iar $(-20+22i)(5-3i)=-100+60i+110i-66i^2=-34+170i$. Câtul: $\frac{-34+170i}{34}=-1+5i$. Control: $(-1+5i)(5+3i)=-5-3i+25i+15i^2=-20+22i$.

2. Amplificăm cu $3-5i$; numitorul este $34$, iar $(4-9i)(3-5i)=12-20i-27i+45i^2=-33-47i$. Câtul: $\frac{-33-47i}{34}=-\frac{33}{34}-\frac{47}{34}i$. Nicio fracție nu se simplifică, fiindcă $34=2\cdot 17$, iar $33$ și $47$ nu se divid nici cu $2$, nici cu $17$.

3. a) $\frac{1}{4+5i}=\frac{4-5i}{41}=\frac{4}{41}-\frac{5}{41}i$. b) $\frac{1}{i/3}=\frac{3}{i}=-3i$; control: $\frac{i}{3}\cdot (-3i)=-i^2=1$. c) Numitorul amplificat este $\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$, deci inversul este $\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}i}{\frac{2}{9}}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i$; control: $\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

4. Conjugatul lui $2i$ este $-2i$, iar $2i\cdot (-2i)=4$. Atunci $\frac{14-8i}{2i}=\frac{(14-8i)(-2i)}{4}=\frac{-28i+16i^2}{4}=\frac{-16-28i}{4}=-4-7i$. Control: $(-4-7i)\cdot 2i=-8i-14i^2=14-8i$.

5. $\frac{41}{5-4i}=\frac{41(5+4i)}{25+16}=5+4i$. Numărătorul real este chiar suma de pătrate $5^2+4^2=41$, așa că se simplifică în întregime.

6. Adevărat. Pentru $z=a+bi\ne 0$, partea reală a inversului este $\frac{a}{a^2+b^2}$. Numitorul este strict pozitiv, deci fracția are semnul lui $a$. De exemplu, la exercițiul 3 a), inversul lui $4+5i$ are partea reală $\frac{4}{41}>0$, ca și $4$.

7. Ambii numitori au suma pătratelor egală cu $29$, iar numărătorii conțin chiar factorul $29$, așa că fracțiile se simplifică imediat. Primul termen: $\frac{29(2-5i)}{29}=2-5i$. Al doilea: $\frac{29i(5-2i)}{29}=5i-2i^2=2+5i$. Suma este $(2-5i)+(2+5i)=4$, un număr real.

8. $z=\frac{15+16i}{3-2i}=\frac{(15+16i)(3+2i)}{13}=\frac{45+30i+48i+32i^2}{13}=\frac{13+78i}{13}=1+6i$. Control: $(3-2i)(1+6i)=3+18i-2i-12i^2=15+16i$.

9. Necunoscuta e la numărător, deci nu împărțim, ci înmulțim ambii membri cu $4-5i$: $z=(-2+3i)(4-5i)=-8+10i+12i-15i^2=7+22i$. Controlul se face aici împărțind înapoi, $\frac{7+22i}{4-5i}$, sau, mai simplu, recitind produsul pas cu pas.

10. Numitorul amplificat este $34$, iar $(m-6i)(3-5i)=3m-5mi-18i+30i^2=(3m-30)-(5m+18)i$. Câtul e real pentru $5m+18=0$, adică $m=-\frac{18}{5}$. Valoarea câtului este atunci $\frac{3\cdot \left(-\frac{18}{5}\right)-30}{34}=-\frac{6}{5}$.

11. Numitorul amplificat este $37$, iar $(5+mi)(6+i)=30+5i+6mi+m{i}^2=(30-m)+(5+6m)i$. Câtul e pur imaginar pentru $30-m=0$, adică $m=30$; partea imaginară este $\frac{5+180}{37}=5\ne 0$, deci câtul este $5i$.

12. Dacă afirmația ar fi adevărată, produsul $(5-i)(1-6i)$ ar trebui să fie deîmpărțitul. Dar $(5-i)(1-6i)=5-30i-i+6i^2=-1-31i$, iar $-1-31i\ne 11-29i$, deci afirmația este falsă. Amplificând cu $1+6i$: $(11-29i)(1+6i)=11+66i-29i-174i^2=185+37i$, iar numitorul este $37$, deci câtul este $5+i$. Control: $(5+i)(1-6i)=5-30i+i-6i^2=11-29i$.

13. $Z=\frac{60}{4-2i}=\frac{60(4+2i)}{20}=12+6i$, în ohmi. Aparatul are rezistența de $12\Omega$ și reactanța de $6\Omega$; reactanța pozitivă arată că se comportă ca o bobină. Control: $(4-2i)(12+6i)=48+24i-24i-12i^2=60$.

14. a) Amplificăm cu $3+5i$: $\frac{(17+17i)(3+5i)}{34}=\frac{51+85i+51i+85i^2}{34}=\frac{-34+136i}{34}=-1+4i$. b) $iz=i(-1+4i)=-i+4i^2=-4-i$, deci $iz+4=-i$.

15. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(-11+8i)(8-11i)}{185}=\frac{-88+121i+64i-88i^2}{185}=\frac{185i}{185}=i$. Același rezultat se vede și din control: $i\cdot (8+11i)=8i+11i^2=-11+8i$.

16. Mutăm termenul liber: $(6+i)z=-8+11i$. Împărțim: $z=\frac{(-8+11i)(6-i)}{37}=\frac{-48+8i+66i-11i^2}{37}=\frac{-37+74i}{37}=-1+2i$. Control: $(6+i)(-1+2i)+8=-6+12i-i+2i^2+8=11i$.

17. $23=4\cdot 5+3$, deci $i^{23}=i^3=-i$. Atunci $\frac{5-8i}{i^{23}}=\frac{5-8i}{-i}=(5-8i)\cdot i=5i-8i^2=8+5i$, fiindcă $\frac{1}{-i}=i$.

18. Numitorul $1+ai$ nu se anulează pentru niciun $a$ real, iar amplificat cu conjugatul devine $1+a^2$. La numărător, $(a+i)(1-ai)=a-a^{2}i+i-a{i}^2=2a+(1-a^2)i$. Câtul este real când $1-a^2=0$, adică pentru $a\in \{-1,1\}$. Pentru $a=1$ câtul este $\frac{1+i}{1+i}=1$, iar pentru $a=-1$ este $\frac{-1+i}{1-i}=-1$, pentru că $-1+i=-(1-i)$. Spre deosebire de exercițiile 10 și 11, condiția este aici o ecuație de gradul al doilea și are două soluții.

De reținut

• Câtul $\frac{z_1}{z_2}$, cu $z_2\ne 0$, este numărul $q$ cu $q\cdot z_2=z_1$; orice împărțire se verifică înmulțind câtul cu împărțitorul.
• Se amplifică fracția cu conjugatul numitorului: pentru $z_2=c+di$, numitorul devine $c^2+d^2$, un număr real pozitiv.
• Inversul lui $a+bi\ne 0$ este $\frac{a-bi}{a^2+b^2}$; în particular $\frac{1}{i}=-i$.
• Un cât este real când partea lui imaginară e zero și pur imaginar când partea reală e zero, iar cea imaginară nu; condiția se poate pune pe produsul $z_1\cdot \overline{z_2}$.
• Ecuația $a\cdot z=b$, cu $a\ne 0$, are soluția unică $z=\frac{b}{a}$; legea lui Ohm în curent alternativ, $I=\frac{U}{Z}$, este o astfel de împărțire.

Greșeli frecvente

• Împarți parte cu parte. Împărțirea nu se face pe componente, cum se face adunarea. Un elev care scrie „$\frac{6+10i}{2+5i}=3+2i$” poate afla singur că a greșit, prin control: $(3+2i)(2+5i)=6+15i+4i+10i^2=-4+19i$, iar $-4+19i\ne 6+10i$.
• Iei conjugatul drept invers. Conjugatul lui $4-9i$ este $4+9i$, dar inversul este $\frac{4+9i}{97}$: numitorul $a^2+b^2$ nu se poate sări. Controlul prin înmulțire arată imediat diferența, pentru că $(4-9i)(4+9i)=97$, nu $1$.
• Scrii inversul pe componente. Inversul lui $a+bi$ nu este $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}i$. Formula corectă are același numitor, $a^2+b^2$, pentru ambele părți și semnul părții imaginare schimbat. Varianta greșită nici nu ar avea sens pentru numerele cu o parte nulă, de exemplu pentru un număr pur imaginar, unde $\frac{1}{a}$ nu există.
• La „pur imaginar” uiți a doua condiție. Partea reală nulă nu ajunge: dacă pentru valoarea găsită și partea imaginară se anulează, câtul este $0$, care nu este considerat pur imaginar. Verifică întotdeauna partea imaginară.
• Tratezi curentul ca pe un număr real. În legea lui Ohm pentru curent alternativ, $I$ are și parte imaginară; dacă o ignori, pierzi informația despre defazaj. Păstrează rezultatul în forma $a+bi$ și abia apoi interpretează fiecare parte. La fel de greșit este să împarți tensiunea doar la rezistență și să „uiți” reactanța: curentul obținut ar fi cel al unui circuit fără bobină.

Aplică acasă

1. Verificare încrucișată cu un coleg: fiecare scrie trei împărțiri de numere complexe și le rezolvă pe foaia lui. Schimbați apoi foile, iar fiecare verifică rezultatele celuilalt numai prin înmulțire, fără să refacă amplificarea. Notați câte greșeli a prins controlul și în ce pas apăruseră.
2. Alege cinci numere cu partea reală $4$ și părțile imaginare $1$, $2$, $3$, $4$ și $5$. Calculează inversul fiecăruia și notează într-un tabel partea reală a inversului. Cum se schimbă ea când partea imaginară crește? Formulează o regulă și verific-o pe un al șaselea număr, ales de tine.
3. Caută în manualul de fizică formula reactanței unei bobine, $X=2\pi fL$. Pentru o bobină cu $L=0,1$ henry, la frecvența rețelei de $50$ de herți, calculează reactanța, rotunjită la zecimi, formează impedanța cu o rezistență de $20\Omega$ și află curentul pentru o tensiune de $230$ de volți. Rotunjește rezultatul la sutimi și interpretează semnul părții imaginare.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie operațiile cu numere complexe în formă algebrică. Împărțirea nu aduce o regulă nouă, ci combină trei lucruri cunoscute: definiția prin înmulțire, egalitatea a două numere complexe și produsul unui număr cu conjugatul lui. De aceea lecția arată întâi drumul prin sistem, care explică de ce câtul există și e unic, și abia apoi drumul scurt, prin amplificare. Un elev care înțelege legătura dintre cele două drumuri nu mai memorează o rețetă. Pentru elevii care se încurcă la calcul, drumul prin sistem este și o plasă de siguranță: e mai lung, dar folosește numai lucruri pe care le stăpânesc deja, egalitatea a două numere complexe și un sistem de gradul I.

Merită urmărite trei deprinderi. Prima este calculul numitorului ca sumă de pătrate, locul în care se greșește cel mai ușor. A doua este redactarea cu părțile separate, cerută explicit de programă. A treia este controlul prin înmulțire, care transformă orice cât într-un rezultat verificabil. Întrebări bune de control: „De ce numitorul amplificat nu poate fi zero?”; „Cum afli fără fracție dacă un cât este real?”; „Ce înseamnă o parte imaginară negativă a curentului?”. Modulul unui cât și reprezentarea în plan sunt lăsate lecțiilor următoare.

Pentru elevii de științe, exemplul cu circuitul de curent alternativ nu este un ornament: el arată de ce matematicienii și inginerii au păstrat numerele complexe, deși nu „măsoară” nimic direct. Dacă la fizică elevii nu au ajuns încă la curentul alternativ, exemplul se poate citi ca o simplă aplicație de calcul, cu promisiunea că sensul fizic va veni mai târziu. Profesorul de fizică poate fi un aliat bun: aceeași împărțire, făcută la ambele ore, se fixează mult mai ușor.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește operațiile cu numere complexe scrise sub formă algebrică, iar competențele clasei cer calculul raportului, amplificarea cu conjugatul și condițiile ca un număr complex să fie real sau pur imaginar. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cuprinde numerele complexe sub formă algebrică, conjugatul și operațiile cu numere complexe; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model din 2026, prima cerință a Subiectului I cere o sumă și un produs de numere complexe, fără împărțire; câturile marcate aici sunt create pentru exercițiu.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: împărțirea numerelor complexe, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este modulul unui număr complex la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre numerele complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre împărțirea numerelor complexe?

Varianta M2 pornește de la definiția prin înmulțire și arată câtul și printr-un sistem, apoi prin amplificare. Pune accent pe condițiile ca un cât să fie real sau pur imaginar, cerute explicit de programa de științe, și pe legea lui Ohm în curent alternativ. Regula conjugatului unui cât apare doar ca observație verificată pe un exemplu, fără demonstrație.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea împărțirea numerelor complexe?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde operațiile cu numere complexe, iar împărțirea este una dintre ele. În varianta-model pentru 2026, numerele complexe apar în prima cerință a Subiectului I, ca o sumă și un produs de verificat; împărțirea nu apare acolo. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Pot afla un cât fără să amplific cu conjugatul?

Da. Scrii câtul ca $x+yi$, ceri ca produsul lui cu împărțitorul să dea deîmpărțitul și rezolvi sistemul obținut din egalitatea părților. Drumul e mai lung, dar explică de ce câtul există și este unic. În lucrări, amplificarea rămâne calea obișnuită, iar sistemul e util ca verificare.

De ce fizicienii notează unitatea imaginară cu j?

În electricitate litera $i$ desemnează de mult intensitatea curentului, așa că inginerii au ales $j$ pentru numărul cu pătratul $-1$. Regulile de calcul sunt identice: $j^2=-1$, iar împărțirea se face tot prin amplificare cu conjugatul. Când citești o carte de electrotehnică, înlocuiește în gând $j$ cu $i$.

Poate numitorul amplificat să iasă zero sau negativ?

Nu, dacă împărțitorul nu este zero. Numitorul amplificat este $c^2+d^2$, o sumă de două pătrate de numere reale, iar ea se anulează doar când $c=d=0$. Acest numitor este, de fapt, pătratul modulului împărțitorului, o noțiune pe care o definește lecția următoare.

Când pot evita amplificarea?

Când numitorul este real, împarți direct fiecare parte, fără conjugat. Când numitorul este $i$ sau o putere a lui $i$, folosești $\frac{1}{i}=-i$ și înmulțești. Și când necunoscuta stă la numărător, ca în $\frac{z}{a}=b$, nu împarți deloc, ci înmulțești: $z=a\cdot b$. Amplificarea rămâne necesară doar când numitorul are ambele părți nenule.