Împărțirea numerelor complexe: pe scurt

Împărțirea la un număr complex se face prin amplificare cu conjugatul numitorului: numitorul devine real, $z_2\overline{z_2}=c^2+d^2$, iar numărătorul se calculează printr-o înmulțire obișnuită.

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{c^2+d^2},z_2=c+di\ne 0.$$

Orice număr complex nenul are un invers: $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{a^2+b^2}$; cazul de reținut pe de rost este $\frac{1}{i}=-i$ (verificare: $i\cdot (-i)=-i^2=1$).

Algoritmul în trei pași: amplifici cu conjugatul numitorului, efectuezi înmulțirea de la numărător, apoi separi partea reală de cea imaginară, împărțind fiecare la numitorul real. Orice împărțire se verifică înmulțind înapoi: câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să dea deîmpărțitul.

Ecuațiile de tipul $az=b$ se rezolvă exact ca peste $\mathbb{R}$: $z=b/a$, calculat prin amplificare. Conjugatul câtului este câtul conjugatelor: $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$. La întrebările „pentru ce $m$ real este câtul real (sau pur imaginar)”, aduci câtul la formă algebrică și pui condiția pe partea potrivită — pe partea imaginară pentru real, pe partea reală pentru pur imaginar, fără a uita condiția suplimentară de nenulitate în al doilea caz.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\frac{1}{2+i}$.

   • a) $\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$
   • b) $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$
   • c) $-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$
   • d) $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$

   $\frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{4+1}=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$. Verificare: $(2+i)\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i\right)=\frac{4-2i+2i+1}{5}=1$ ✓.

2. Efectuați $\frac{7+i}{1-2i}$.

   • a) $1-3i$
   • b) $1+3i$
   • c) $5+15i$
   • d) $3+i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $1+3i$

   Amplificăm cu $1+2i$: $\frac{(7+i)(1+2i)}{1+4}=\frac{7+14i+i-2}{5}=\frac{5+15i}{5}=1+3i$. Verificare: $(1+3i)(1-2i)=7+i$ ✓.

3. Cât este $\frac{1}{i^3}$?

   • a) $1$
   • b) $-i$
   • c) $i$
   • d) $-1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $i$

   $i^3=-i$, deci $\frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i}=-\frac{1}{i}=-(-i)=i$.