Cum verific numeric formula 1²+2²+…+n²= (n(n+1)(2n+1))/6?

Încerci câteva valori mici: pentru n=3, stânga este 1+4+9=14, iar dreapta (3· 4· 7)/6=14. Pentru n=4: 30 și (4· 5· 9)/6=30. Potrivirea sugerează formula, dar demonstrația se face prin inducție.

De ce Sₖ₊₁ se scrie ca Sₖ plus un singur termen?

Pentru că suma până la rangul k+1 conține toți termenii sumei până la k și, în plus, termenul de rang k+1. Scrierea Sₖ₊₁=Sₖ+aₖ₊₁ face loc ipotezei de inducție, care înlocuiește blocul Sₖ cu formula lui.

Cum demonstrez prin inducție formula unei sume?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Aplicații ale inducției

Verifici formula pentru primul indice, apoi scrii suma următoare ca sumă veche plus termenul nou și folosești ipoteza. Exemplu: $2 + 4 + \dots + 2 n = n (n + 1)$ . Baza: pentru $n = 1$ , $2 = 1 \cdot 2$ . Pasul: dacă suma până la $2 k$ este $k (k + 1)$ , adăugând $2 (k + 1)$ obții $k (k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)$ , adică formula pentru $k + 1$ . Deci formula are loc pentru orice $n \geq 1$ .

Construirea unei demonstrații începe cu interpretarea obiectului studiat. Un indice poate număra termenii unei sume sau operațiile efectuate asupra unei cantități. Definește mărimea și identifică modificarea produsă de următoarea etapă înainte să folosești formula candidat.

Pentru sume, desprinde termenul nou de blocul deja cunoscut. Calculează rangul lui prin înlocuirea indicelui, apoi introdu formula sumei vechi. Dacă suma pornește după unu, primul caz conține alt număr de termeni decât ar sugera simpla citire a ultimului indice. La fracții, numitorul comun și factorii nenuli trebuie urmăriți explicit.

Divizibilitatea se justifică făcând vizibil produsul dintre divizor și un întreg. Într-o expresie cu o singură putere, scrierea puterii următoare ca produs ajută la recuperarea expresiei anterioare. Restul rămas se calculează, nu se ghicește.

În aplicații, distinge regulile exacte de limitele impuse. Adăugarea unei cantități fixe produce o egalitate; adăugarea unei cantități cel puțin egale cu un prag oferă o estimare. Verifică rezultatul pentru câteva valori direct din definiție, apoi folosește relația generală dintre etape. Demonstrația confirmă consecințele modelului declarat, fără să dovedească prin ea însăși o lege a unui fenomen natural sau posibilitatea repetării fizice nelimitate a unui proces.

De reținut

$S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$ : suma nouă este suma veche plus termenul nou
numărul termenilor de la rangul $p$ la rangul $q$ este $q - p + 1$
verificarea numerică sugerează formula, iar inducția o demonstrează

Greșeala tipică

În pasul inductiv se înlocuiește $S_{k + 1}$ doar cu termenul nou, uitând suma veche; corect este $S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câți termeni are o sumă formată din termenii de rang $5, 6, \dots, 14$ ai unui șir?
- a) $9$
- b) $10$
- c) $14$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $10$

Ambele capete sunt incluse, deci numărul termenilor este diferența capetelor plus unu: $14 - 5 + 1 = 10$ . Ultimul rang nu arată singur câți termeni sunt.
O cantitate are valoarea inițială $32$ și se înjumătățește exact la fiecare etapă. Care este valoarea după două etape?
- a) $8$
- b) $16$
- c) $24$
- d) $56$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $8$

Stările succesive sunt $32$ , $16$ , $8$ . Cantitatea cerută este ultima stare, nu suma stărilor.
Dacă $4^{k} - 1 = 3 t$ , cu $t$ întreg, care formă a lui $4^{k + 1} - 1$ justifică divizibilitatea cu trei?
- a) $3 (4 t - 1)$
- b) $3 (t + 1)$
- c) $12 t + 1$
- d) $3 (4 t + 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 (4 t + 1)$

Avem $4^{k + 1} - 1 = 4 (4^{k} - 1) + 3 = 12 t + 3 = 3 (4 t + 1)$ , iar paranteza conține un întreg.

Întrebări conexe

Câți termeni are suma $3 + 7 + 11 + \dots + 43$ ?

Termenii au forma $4 k - 1$ : pentru $k = 1$ se obține $3$ . Din $4 k - 1 = 43$ rezultă $k = 11$ , deci suma are $11$ termeni. Ultimul termen nu arată direct câți termeni sunt; se află rangul lui.

Cum modelez prin inducție o cantitate care se înjumătățește la fiecare etapă?

Dacă inițial sunt $80$ g și fiecare etapă păstrează jumătate, formula propusă este $m_{n} = \frac{80}{2 ^{n}}$ . Baza: $m_{0} = 80$ . Pasul: $m_{k + 1} = \frac{m _{k}}{2} = \frac{80}{2 ^{k + 1}}$ . După trei etape rămân $\frac{80}{8} = 10$ g, iar formula este demonstrată pentru orice număr natural de etape.

Cum arăt prin inducție că $n^{3} - n$ se divide cu $3$ ?

Baza: pentru $n = 1$ , $1 - 1 = 0$ , divizibil cu $3$ . Pasul: $(k + 1)^{3} - (k + 1) = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k - k = (k^{3} - k) + 3 (k^{2} + k)$ . Primul termen se divide cu $3$ din ipoteza de inducție, iar al doilea este un multiplu de $3$ , deci și suma lor se divide cu $3$ .

Cum verific numeric formula $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ ?

Încerci câteva valori mici: pentru $n = 3$ , stânga este $1 + 4 + 9 = 14$ , iar dreapta $\frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14$ . Pentru $n = 4$ : $30$ și $\frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = 30$ . Potrivirea sugerează formula, dar demonstrația se face prin inducție.

De ce $S_{k + 1}$ se scrie ca $S_{k}$ plus un singur termen?

Pentru că suma până la rangul $k + 1$ conține toți termenii sumei până la $k$ și, în plus, termenul de rang $k + 1$ . Scrierea $S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$ face loc ipotezei de inducție, care înlocuiește blocul $S_{k}$ cu formula lui.

Oamenii mai întreabă și: demonstrarea formulei unei sume prin inducție · suma prin inducție · cum verific o sumă prin inducție · formula sumei demonstrată prin inducție

Cum demonstrez prin inducție formula unei sume?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câți termeni are suma 3+7+11+…+43?

Cum modelez prin inducție o cantitate care se înjumătățește la fiecare etapă?

Cum arăt prin inducție că n3−n se divide cu 3?

Cum verific numeric formula 12+22+…+n2=6n(n+1)(2n+1)​?

De ce Sk+1​ se scrie ca Sk​ plus un singur termen?

Continuă cu

Câți termeni are suma $3 + 7 + 11 + \dots + 43$ ?

Cum arăt prin inducție că $n^{3} - n$ se divide cu $3$ ?

Cum verific numeric formula $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ ?

De ce $S_{k + 1}$ se scrie ca $S_{k}$ plus un singur termen?