Inducția matematică: aplicații simple (M2, științe ale naturii)

Într-un model de organizare a unei activități, prima tavă conține cinci eprubete, a doua opt, a treia unsprezece, iar fiecare tavă următoare conține cu trei mai multe decât precedenta. Poți calcula totalul pentru câteva tăvi. O formulă pentru orice număr de tăvi cere însă să arăți cum se păstrează relația când adaugi încă una. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), aplicațiile inducției pornesc de la asemenea reguli precise. Pentru Bacalaureatul M2, ele antrenează construirea unei demonstrații, cu calcule și concluzie controlate.

Folosim mecanismul explicat în metoda inducției matematice. Termenul nou se calculează ca acolo; aici construim legătura dintre două etape din datele unui model, fixăm unde începe suma și verificăm formulele propuse. Nu reluăm definițiile fiecărei etape a metodei; le folosim în demonstrații scurte. Pentru calculele cu fracții poți revedea adunarea fracțiilor din clasa a V-a, iar pentru sensul săgeților, validarea unui raționament M2.

Ce vei învăța

• Vei ști să transformi o regulă de adăugare a unor termeni într-o relație între două sume consecutive.
• Vei ști să compari o formulă propusă cu datele inițiale și cu regula de trecere, fără să te bazezi numai pe câteva rezultate.
• Vei ști să construiești o demonstrație elementară de divizibilitate făcând vizibil un multiplu întreg.
• Vei ști să deosebești o valoare exactă de o estimare garantată de datele unui model.
• Vei ști să păstrezi indicii de început, numărul termenilor și domeniul în aplicații numerice concrete.

Hai să descoperim împreună

1. Cum transformăm enunțul într-o regulă între două etape?

Regula de trecere este relația care descrie modificarea unei mărimi de la un indice la următorul. Pentru o sumă, ea spune ce termen se adaugă. Pentru un model de proces, poate spune că se adaugă o cantitate, se păstrează o fracțiune sau se aplică o altă operație precizată.

Înainte să calculezi, definește ce reprezintă indicele. Dacă $T_n$ este totalul din primele $n$ tăvi, atunci $T_{k+1}$ include toate cele $k$ tăvi anterioare și tava nouă. Dacă $a_n$ este cantitatea rămasă după $n$ operații, relația privește cantitatea existentă, nu suma cantităților de la toate etapele.

O listă scurtă de numere nu determină singură o regulă pentru infinit de multe poziții. Primele valori pot sugera un model, dar enunțul trebuie să precizeze cum continuă procesul sau demonstrația trebuie să justifice această continuare. Altfel, multe reguli diferite pot coincide la început și se pot separa mai târziu.

De aceea, în aplicațiile lecției, regulile sunt declarate explicit și sunt modele matematice ale unor activități imaginare. Nu deducem legi despre creșterea unor populații ori despre transformări chimice din câteva numere convenabile. Inducția dovedește consecințele regulii date; adevărul regulii pentru un fenomen real ar necesita verificări din acel domeniu.

Scrie și unitatea mărimii urmărite. Numărul tăvilor și numărul eprubetelor sunt numere naturale, dar descriu obiecte diferite. La un volum, rezultatele pot fi fracționare fără să indice o greșeală. Când construiești relația următoare, aduni cantități de același fel și verifici că rezultatul răspunde întrebării: conținutul unei singure tăvi, totalul tuturor tăvilor sau cantitatea rămasă într-un recipient.

2. Unde începe suma și câți termeni are?

Pentru $S_n=t_1+t_2+\dots +t_n$, relația dintre etape este $S_{k+1}=S_k+t_{k+1}$, iar termenul de rang următor se află exact ca în lecția metodei. În aplicații, dificultatea apare mai ales la capete: suma poate începe de la alt indice decât unu, iar ultimul indice nu mai coincide cu numărul termenilor.

De aceea, înainte de orice calcul, scrie primul indice al sumei, ultimul indice și regula după care se succed indicii. Aceste trei informații decid baza, numărul termenilor și forma sumei la indicele următor.

Nu orice sumă care se termină cu un termen de rang $n$ are $n$ termeni. Dacă indicii încep de la patru și se termină la $n\ge 4$, numărul termenilor este $n-3$. De exemplu, indicii patru, cinci, șase formează trei poziții, nu șase.

Primul caz se verifică folosind definiția sumei, nu doar formula candidat. Pentru o sumă care începe la indicele patru, cazul $n=4$ conține un singur termen. Acest control simplu detectează formule care ar fi corecte pentru o sumă pornită mai devreme, dar nu pentru suma din enunț.

Punctele de suspensie trebuie citite împreună cu regula termenilor. La cel mai mic indice, termenul inițial și termenul final pot fi același: îl numeri o singură dată. Pentru un indice mai mare, poți scrie întreaga listă înainte de a aduna. Astfel controlezi atât primul termen, cât și capătul final, fără să ghicești câte numere s-ar ascunde între ele.

3. Cum verificăm calculul cu fracții dintr-un pas inductiv?

Într-o sumă de fracții, mișcarea logică rămâne aceeași: suma cunoscută plus termenul nou. Dificultatea de calcul este aducerea la un numitor comun și păstrarea tuturor factorilor. Înainte să simplifici, verifică dacă factorul eliminat este nenul pe domeniul indicilor.

Pentru $k\ge 1$, numerele $k+1$, $k+2$ și $k+3$ sunt pozitive, deci pot apărea la numitor fără probleme. Această observație justifică operațiile; nu este nevoie să verifici separat fiecare valoare a lui $k$. Dacă numitorul ar conține $k-1$, prima valoare ar necesita o atenție diferită.

Scrie numărătorul obținut înainte de factorizare. O egalitate de fracții nu se controlează doar prin asemănarea numitorilor. Poți desface din nou parantezele pentru a confirma că factorizarea nu a schimbat expresia. Păstrează și coeficienții numerici: pierderea unui factor doi sau trei produce o formulă greșită chiar dacă indicii sunt corecți.

Nu este obligatoriu să cunoști dinainte o tehnică generală pentru toate sumele de fracții. În această lecție, formula este propusă, iar tu verifici dacă primul termen și adăugarea termenului următor o susțin. Lucrăm cu produse simple la numitor, pentru ca atenția să rămână pe folosirea informației inductive.

O metodă de control este să compari ce spune formula despre diferența dintre două sume consecutive. Dacă acea diferență coincide exact cu termenul nou, ai găsit calculul necesar pasului. Tot trebuie controlat începutul: două formule care diferă printr-o constantă pot avea aceeași diferență între indici consecutivi, dar numai una poate reproduce suma inițială. Prin urmare, concordanța diferențelor și concordanța valorii de pornire au roluri distincte.

4. Cum facem vizibilă divizibilitatea?

A spune că un întreg $A_k$ este divizibil cu un număr natural nenul $d$ înseamnă că $A_k=dt$ pentru un întreg $t$. Această formă poate fi introdusă în calculul termenului următor. La final trebuie să obții din nou $d$ înmulțit cu un număr întreg.

De exemplu, dacă regula dă $A_{k+1}=c{A}_k+du$, unde $c$ și $u$ sunt întregi, atunci ipoteza $A_k=dt$ conduce la $A_{k+1}=d(ct+u)$. Produsul și suma din paranteză sunt întregi, deci divizibilitatea este păstrată. Aceasta este o justificare, nu doar observația că expresia „arată ca un multiplu”.

În exemplele cu o singură putere, desfacerea $a^{k+1}=a\cdot a^k$ permite apropierea de expresia de la rangul anterior. Termenul suplimentar trebuie calculat exact. Un semn greșit în acest rest poate strica divizibilitatea chiar dacă partea care folosește ipoteza a fost scrisă corect.

Numărul zero este multiplu al oricărui întreg nenul, deoarece $0=d\cdot 0$. De aceea o bază la indicele zero poate da legitim zero. Nu confundăm acest fapt cu împărțirea la zero, care nu este permisă: în afirmația de divizibilitate, divizorul $d$ rămâne nenul.

5. Când datele oferă o egalitate și când doar o limită garantată?

O regulă care adaugă exact aceeași cantitate la fiecare etapă permite calcularea unei valori exacte. O regulă care adaugă cel puțin acea cantitate oferă, în general, numai o estimare de jos. Nu înlocuim expresia „cel puțin” cu „egal”, chiar dacă exemplul numeric ales atinge limita.

Dacă avem $V_k\ge B_k$ și la etapa următoare se adaugă cel puțin $c$, atunci $V_{k+1}\ge V_k+c\ge B_k+c$. Din această relație construim noua limită garantată. Prima inegalitate folosește regula procesului, iar a doua folosește informația inductivă.

Când se înmulțește o cantitate, semnul factorului trebuie controlat. Un factor pozitiv păstrează sensul unei inegalități. Un factor negativ îl inversează, iar un factor zero poate șterge informația despre valoarea inițială. Modelele de cantități din lecție folosesc factori pozitivi, precizați în enunț.

La încheiere, formulează aceeași forță a concluziei pe care o susțin datele: „cel puțin”, „cel mult” sau „exact”. O valoare minimă garantată nu este o predicție exactă. Această precizie este utilă când matematica descrie stocuri, volume ori numere de obiecte, chiar într-un model școlar simplificat.

Pentru a vedea de ce egalitatea nu rezultă automat, construiește două evoluții permise de aceleași date. Una poate adăuga de fiecare dată cantitatea minimă, iar alta poate adăuga uneori mai mult. Dacă ambele respectă enunțul și ajung la valori diferite, datele nu fixează un rezultat unic. Estimarea demonstrată rămâne utilă: oferă o valoare pe care toate evoluțiile admise trebuie să o atingă sau să o depășească.

6. Cum folosim verificările numerice pentru a controla o demonstrație?

Calculează un caz mic direct din definiția problemei și compară-l cu formula. La sume, adună efectiv termenii. La procese, aplică regula succesiv. La divizibilitate, scrie câtul întreg. Aceste verificări sunt independente de transformările algebrice și pot arăta unde ai transcris greșit enunțul.

Dacă o formulă propusă eșuează la un indice din domeniu, ea este respinsă imediat. Nu are rost să construiești un pas inductiv pentru a o declara apoi adevărată pe același domeniu. Caută mai întâi eroarea: termen inițial nepotrivit, număr de termeni greșit sau regulă de continuare interpretată incorect.

Dacă formula trece verificările, demonstrația generală mai are de justificat că regula păstrează formula la următoarea etapă. Controlul numeric confirmă cazurile alese; identitatea algebrică sau estimarea generală susține pasul pentru orice indice admis. Aceste două roluri se completează, fără să se înlocuiască.

Poți verifica și rezultatul final în context. Un total de obiecte trebuie să fie întreg, iar o cantitate rămasă după înjumătățire nu poate depăși cantitatea anterioară. Un rezultat care încalcă aceste cerințe semnalează o eroare. Totuși, faptul că o valoare pare plauzibilă nu este suficient pentru a valida formula: trebuie păstrată justificarea completă.

Alege controlul numeric astfel încât să testeze o posibilă capcană. Pentru o sumă începută târziu, verifică atât primul indice, cât și un indice cu mai mulți termeni. Pentru un proces, compară valoarea de dinaintea operațiilor cu cea de după prima operație. Aceste alegeri arată rapid dacă ai confundat rangul cu numărul de treceri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Totalul eprubetelor din tăvi

În modelul din introducere, tava de rang $n\ge 1$ conține $3n+2$ eprubete. Demonstrează că totalul din primele $n$ tăvi este $T_n=\frac{n(3n+7)}{2}$, apoi află totalul pentru șase tăvi.

La prima tavă, formula dă $\frac{1\cdot 10}{2}=5$, valoarea cerută. Dacă totalul la $k$ este $\frac{k(3k+7)}{2}$, adăugăm tava următoare, cu $3k+5$ eprubete:

$$T_{k+1}=\frac{k(3k+7)}{2}+3k+5=\frac{3k^2+13k+10}{2}=\frac{(k+1)(3k+10)}{2}.$$

Aceasta este formula la $k+1$, deci inducția o confirmă pentru toate numerele naturale pozitive. Pentru șase tăvi, totalul este $75$ de eprubete. Controlul direct dă $5+8+11+14+17+20=75$. Formula privește modelul cu regula precizată, nu o măsurare despre orice laborator.

Deși formula conține o împărțire la doi, rezultatul este întreg. Dacă numărul tăvilor este par, produsul de la numărător este par. Dacă este impar, expresia $3n+7$ este pară. Acest control al parității confirmă că formula poate descrie un număr de obiecte, în acord cu suma inițială; nu înlocuiește demonstrația egalității.

Exemplul 2. O sumă cu numitori simpli

Pentru $n\ge 1$, demonstrează:

$$\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\dots +\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{n}{3(n+3)}.$$

Primul caz dă $\frac{1}{12}=\frac{1}{3\cdot 4}$. Presupunem formula pentru $k\ge 1$. Termenul nou are numitorul $(k+3)(k+4)$. Obținem:

$$\frac{k}{3(k+3)}+\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\frac{k(k+4)+3}{3(k+3)(k+4)}=\frac{(k+1)(k+3)}{3(k+3)(k+4)}=\frac{k+1}{3(k+4)}.$$

Factorul simplificat $k+3$ este pozitiv. Rezultatul este exact forma cerută la $k+1$, deci demonstrația se încheie prin inducție. Pentru $n=2$, verificarea directă dă $\frac{1}{12}+\frac{1}{20}=\frac{2}{15}$. O fracție apropiată numeric nu ar fi suficientă; egalitatea este exactă.

Exemplul 3. O singură putere și un multiplu vizibil

Arată că $13^n-1$ este divizibil cu doisprezece pentru fiecare $n\ge 0$.

La $n=0$, expresia este zero, deci multiplu de doisprezece. Presupunem $13^k-1=12t$, cu $t$ întreg. Scriem termenul următor astfel încât să apară expresia cunoscută:

$$13^{k+1}-1=13(13^k-1)+12=13\cdot 12t+12=12(13t+1).$$

Numărul $13t+1$ este întreg, deci proprietatea este păstrată. Prin inducție, divizibilitatea este adevărată pentru fiecare indice natural. La $n=2$, controlul dă $169-1=168=12\cdot 14$.

Cheia nu este mărimea puterii, ci descompunerea termenului următor. Restul doisprezece apare deoarece $13(13^k-1)$ conține minus treisprezece, iar noi avem nevoie de minus unu. Diferența este exact doisprezece.

Exemplul 4. O cantitate înjumătățită la fiecare etapă

Într-un model matematic, un recipient conține inițial $96$ ml. La fiecare etapă se păstrează exact jumătate din cantitatea existentă, fără alte adăugări. Dacă $Q_n$ este cantitatea după $n$ etape, demonstrează $Q_n=\frac{96}{2^n}$ pentru $n\ge 0$.

La zero etape, formula dă $96$ ml. Presupunând $Q_k=\frac{96}{2^k}$, regula precizată conduce la $Q_{k+1}=\frac{Q_k}{2}=\frac{96}{2^{k+1}}$. Astfel, formula respectă începutul și fiecare trecere, deci este adevărată prin inducție.

După trei etape rămân $12$ ml, iar verificarea succesivă este $96$, $48$, $24$, $12$. Nu adunăm aceste valori pentru a afla cantitatea rămasă: ele descriu stări diferite ale aceluiași recipient. Modelul presupune înjumătățire exactă și nu descrie pierderi neprecizate sau limite de măsurare.

Matematic, regula poate fi aplicată la fiecare indice natural. Într-o activitate reală, precizia instrumentelor și posibilitatea de a separa volume foarte mici ar impune limite practice. Concluzia demonstrației privește modelul exact enunțat. Ea nu afirmă că un experiment fizic poate fi repetat de un număr nelimitat de ori în aceleași condiții.

Exemplul 5. O cantitate minimă garantată

Într-un model de colectare, la început sunt $10$ ml, iar la fiecare etapă se adaugă cel puțin $4$ ml. Demonstrează că după $n$ etape cantitatea $V_n$ satisface $V_n\ge 10+4n$, pentru $n\ge 0$.

Inițial, $V_0=10$, deci limita este atinsă. Dacă $V_k\ge 10+4k$, regula oferă $V_{k+1}\ge V_k+4\ge 10+4k+4=10+4(k+1)$. Inducția justifică estimarea pentru toate etapele modelului.

După cinci etape sunt cel puțin $30$ ml. Nu putem spune „exact treizeci”: dacă într-o etapă s-au adăugat mai mult de patru, totalul poate fi mai mare. De pildă, cinci adăugări de câte cinci ar da $35$ ml, tot în acord cu regula și cu limita demonstrată.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Demonstrează că $7+9+11+\dots +(2n+1)=(n+1{)}^2-9$ pentru fiecare număr natural $n\ge 3$.

Suma începe cu termenul corespunzător indicelui trei. La $n=3$ are un singur termen, șapte, iar formula dă $4^2-9=7$. Presupunem relația pentru $k\ge 3$ și adăugăm termenul $2(k+1)+1=2k+3$:

$$(k+1{)}^2-9+(2k+3)=k^2+4k+4-9=(k+2{)}^2-9.$$

Aceasta este formula la indicele următor. Prin inducție, egalitatea este adevărată pe domeniul cerut. Pentru $n=7$, sunt cinci termeni și totalul este $7+9+11+13+15=55=8^2-9$.

Exemplul este construit pentru antrenamentul de Bacalaureat M2. Accentul este pe capătul inferior al sumei și pe termenul nou, fără afirmații despre o cerință oficială identică sau despre punctaje obligatorii.

Să exersăm

1. Un agitator magnetic de laborator are un singur buton, iar fiecare apăsare îi schimbă starea. Notăm $s_n=1$ dacă agitatorul funcționează după $n$ apăsări și $s_n=0$ dacă este oprit; inițial este oprit. Scrie regula de trecere dintre $s_k$ și $s_{k+1}$ și stabilește starea după $7$ apăsări.

2. O sumă conține termenii de rang $2,4,6,\dots ,2n$ ai unui șir, pentru $n\ge 1$. Câți termeni are? Câți are când ultimul rang este $20$?

3. Pentru suma $3+11+19+\dots +(8n-5)$ se propune formula $5n^2-2$. Verific-o la $n=1$ și la $n=3$. Ce concluzie tragi?

4. Calculează exact $\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}$ și compară rezultatul cu $\frac{3}{2(3+2)}$.

5. Într-un model, la fiecare etapă numărul de lăzi dintr-un depozit se dublează printr-o livrare, apoi $3$ lăzi pleacă spre un laborator. Inițial sunt $a_0=5$ lăzi. Scrie regula dintre $a_k$ și $a_{k+1}$ și calculează $a_3$.

6. Într-un pas de divizibilitate se știe $5^k+3=4t$, cu $t$ întreg. Scrie $5^{k+1}+3$ ca multiplu de patru.

7. Adevărat sau fals? „Dacă $A_{k+1}=5A_k+6$ și $A_k$ este multiplu de patru, atunci $A_{k+1}$ este tot multiplu de patru.” Motivează.

8. Un model pornește cu $14$ obiecte și retrage exact două la fiecare etapă, fără completarea stocului. Demonstrează că după $n$ etape rămân $S_n=14-2n$ obiecte, pentru $0\le n\le 7$. De ce nu continuăm aceeași interpretare la $n=8$? (Problemă aplicată.)

9. Șirul $(y_n)$ verifică $y_0=3$ și $y_{n+1}\ge 2y_n-1$ pentru orice $n\ge 0$. Demonstrează prin inducție că $y_n\ge 2^{n+1}+1$ și precizează unde folosești semnul factorului doi.

10. Fie $R_n$ numărul scris cu $n$ cifre de unu ($R_1=1$, $R_2=11$, $R_3=111$). Explică de ce $R_{n+1}=10R_n+1$ și demonstrează prin inducție că $9R_n+1=10^n$ pentru fiecare $n\ge 1$.

11. Șirul $(w_n)$ are $w_1=2$ și $w_{n+1}=w_n\cdot \frac{n+2}{n}$. a) Demonstrează prin inducție că $w_n=n(n+1)$ pentru fiecare $n\ge 1$. b) Pentru ce indici avem $w_n\ge 100$?

12. Demonstrează $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$ pentru fiecare $n\ge 2$.

13. Un elev afirmă că $4^n+4$ este divizibil cu $3$ pentru orice $n\ge 0$ și scrie pasul: din $4^k+4=3t$ rezultă $4^{k+1}+4=4(4^k+4)-12=3(4t-4)$. a) Este pasul corect? b) Verifică afirmația la $n=0$ și la $n=1$. c) Ce concluzie tragi? (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Arătați prin inducție că $n(n+7)$ este par pentru fiecare $n\ge 0$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Fie $u_0=2$ și $u_{n+1}=3u_n-2$. Demonstrați că $u_n=3^n+1$ pentru fiecare $n\ge 0$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. Șirul $(N_n)$ are $N_0=5$ și $N_{n+1}=4N_n+5$. Demonstrează prin inducție că $N_n$ este multiplu de cinci pentru fiecare $n\ge 0$.

17. Pentru $c_n=2n^2+3n$, calculează exact $c_{k+1}-c_k$. Ce termen trebuie adăugat dacă această formulă descrie un total?

18. Fie $d_0=3$ și $d_{n+1}=d_n+2n+4$. Demonstrează $d_n=n^2+3n+3$, apoi află $d_4$. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. Regula este $s_{k+1}=1-s_k$, pornind de la $s_0=0$. Stările alternează: $0,1,0,1,\dots$, deci după un număr impar de apăsări agitatorul funcționează: $s_7=1$. Prin inducție se poate arăta că $s_n=1$ exact pentru $n$ impar; regula privește starea curentă, nu numărul total de apăsări adunate.

2. Rangurile sunt $2\cdot 1,2\cdot 2,\dots ,2\cdot n$, deci suma are $n$ termeni. Când ultimul rang este douăzeci, $n=10$: zece termeni. Diferența capetelor împărțită la pasul dintre ranguri, plus unu, dă același rezultat: $\frac{20-2}{2}+1=10$.

3. La $n=1$ suma este trei, iar formula dă $5-2=3$. La $n=3$ suma este $3+11+19=33$, iar formula dă $45-2=43$. Formula este respinsă: potrivirea de la primul indice nu o susținea, iar controlul la un indice cu mai mulți termeni a arătat eroarea.

4. La numitorul comun șaizeci obținem $\frac{10+5+3}{60}=\frac{3}{10}$. Formula propusă la trei dă tot $\frac{3}{10}$.

5. Regula este $a_{k+1}=2a_k-3$. Valorile sunt $5$, $7$, $11$, $19$, deci $a_3=19$ lăzi. Ordinea operațiilor contează: dacă întâi ar pleca trei lăzi și abia apoi s-ar dubla stocul, regula ar fi $a_{k+1}=2(a_k-3)$, cu alte valori.

6. Avem $5^{k+1}+3=5(5^k+3)-12=5\cdot 4t-12=4(5t-3)$. Restul care completează expresia este negativ, dar tot multiplu de patru, iar $5t-3$ este întreg.

7. Fals. Din $A_k=4t$ obținem $A_{k+1}=20t+6=4(5t+1)+2$, care dă restul doi la împărțirea cu patru. De exemplu, $A_k=0$ duce la $A_{k+1}=6$. Partea care folosește ipoteza este multiplu de patru, dar termenul adăugat, șase, nu este.

8. Baza este $S_0=14$. Pentru $0\le k\le 6$, din $S_k=14-2k$ obținem $S_{k+1}=S_k-2=14-2(k+1)$. Aceste treceri acoperă indicii până la șapte inclusiv, când stocul devine zero. La opt, formula ar da minus două obiecte: modelul retragerii nu mai poate continua fără completarea stocului.

9. Baza: $y_0=3=2^1+1$. Dacă $y_k\ge 2^{k+1}+1$, atunci, înmulțind cu doi, un număr pozitiv care păstrează sensul, obținem $2y_k-1\ge 2^{k+2}+2-1=2^{k+2}+1$, iar regula dă $y_{k+1}\ge 2y_k-1$. Prin inducție, estimarea are loc pentru fiecare $n\ge 0$. Un factor negativ ar fi inversat sensul și ar fi rupt argumentul.

10. Adăugarea unei cifre de unu la dreapta înmulțește numărul vechi cu zece și adaugă unu, deci $R_{n+1}=10R_n+1$. Baza: $9R_1+1=10$. Dacă $9R_k+1=10^k$, atunci $9R_{k+1}+1=9(10R_k+1)+1=10(9R_k+1)=10\cdot 10^k=10^{k+1}$. Prin inducție, egalitatea are loc pentru fiecare $n\ge 1$.

11. a) Baza: $w_1=2=1\cdot 2$. Dacă $w_k=k(k+1)$, atunci $w_{k+1}=k(k+1)\cdot \frac{k+2}{k}=(k+1)(k+2)$; simplificarea cu $k$ este permisă, fiindcă $k\ge 1$. b) Valorile cresc odată cu indicele: $w_9=90$, iar $w_{10}=110$. Prin urmare $w_n\ge 100$ exact pentru $n\ge 10$.

12. Baza: la $n=2$ produsul are un singur factor, $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, iar formula dă tot $\frac{3}{4}$. Presupunem egalitatea la $k\ge 2$ și înmulțim cu factorul următor, $1-\frac{1}{(k+1{)}^2}=\frac{k(k+2)}{(k+1{)}^2}$: rezultă $\frac{k+1}{2k}\cdot \frac{k(k+2)}{(k+1{)}^2}=\frac{k+2}{2(k+1)}$, adică forma cerută la $k+1$. Simplificările cu $k$ și cu $k+1$ sunt permise, fiindcă ambii factori sunt pozitivi.

13. a) Pasul este corect: $4(4^k+4)-12=4^{k+1}+16-12=4^{k+1}+4$, iar $4t-4$ este întreg. b) La $n=0$ obținem $5$, la $n=1$ obținem $8$; niciunul nu este divizibil cu trei. c) Afirmația este falsă: pasul arată doar că divizibilitatea s-ar transmite dacă ar exista la un indice, dar ea nu există la niciunul, fiindcă $4^n$ dă mereu restul unu la împărțirea cu trei, iar $4^n+4$ restul doi.

14. Baza: $0\cdot 7=0$, par. Presupunem $k(k+7)=2t$. Atunci $(k+1)(k+8)=k(k+7)+2k+8=2t+2(k+4)=2(t+k+4)$, număr par. Prin inducție, proprietatea are loc pentru fiecare $n\ge 0$.

15. La zero, formula dă $3^0+1=2$, valoarea inițială. Presupunând $u_k=3^k+1$, obținem $u_{k+1}=3(3^k+1)-2=3^{k+1}+1$. Rezultatul este forma de la indicele următor, deci formula este adevărată pentru fiecare $n\ge 0$.

16. Baza: $N_0=5=5\cdot 1$. Dacă $N_k=5t$, atunci $N_{k+1}=20t+5=5(4t+1)$, multiplu de cinci. Prin inducție, proprietatea se păstrează la fiecare etapă, chiar dacă valorile cresc repede: $5$, $25$, $105$, $425$.

17. Diferența este $2(k+1{)}^2+3(k+1)-(2k^2+3k)=4k+5$. Acesta este sporul dintre totalurile consecutive, nu $2k+3$ și nici valoarea completă $c_k$.

18. La zero, formula dă trei. În pas, $d_{k+1}=k^2+3k+3+2k+4=k^2+5k+7=(k+1{)}^2+3(k+1)+3$. Prin inducție, formula este adevărată. Apoi $d_4=16+12+3=31$; direct, valorile sunt $3,7,13,21,31$.

De reținut

• Regula procesului și sensul indicelui trebuie precizate înaintea formulei generale.
• O sumă care începe de la un indice mai mare are baza la acel indice; numărul termenilor este diferența capetelor plus unu.
• Pentru divizibilitate, finalul pasului trebuie să arate un produs dintre divizor și un întreg.
• O regulă cu „cel puțin” oferă o limită garantată; nu o transformăm fără motiv într-o valoare exactă.
• Controlul numeric și justificarea algebrică generală au roluri diferite și trebuie să fie compatibile.

Greșeli frecvente

• Regulă ghicită din câteva valori. Verifică ce continuare este dată efectiv; o listă scurtă nu determină singură toate pozițiile viitoare.
• Număr de termeni confundat cu ultimul indice. Calculează diferența capetelor și adaugă unu când sunt incluse ambele.
• Stări adunate în loc de starea finală. La un proces cu păstrare sau scoatere procentuală, răspunsul este cantitatea de la etapa cerută, nu suma valorilor intermediare.
• Restul calculat greșit la divizibilitate. După ce scrii puterea următoare cu ajutorul expresiei de la rangul $k$, verifică numeric termenul care completează diferența.
• Estimare prezentată drept egalitate. Păstrează în concluzie aceeași precizie pe care o permit datele modelului.

Aplică acasă

1. Construiește un model de aranjare în rânduri cu un număr inițial de obiecte și o creștere constantă a fiecărui rând. Propune o formulă a totalului, verifică un caz mic și demonstrează că adăugarea rândului următor o păstrează.
2. Alege o cantitate inițială care se poate înjumătăți de câteva ori cu rezultate întregi. Compară calculul succesiv cu formula după mai multe etape și explică de ce formula continuă să aibă sens și când rezultatul devine fracționar.
3. Scrie două reguli despre adăugarea unor obiecte: una cu „exact”, alta cu „cel puțin”. Demonstrează concluzia potrivită fiecăreia și construiește un caz care arată de ce a doua nu dă neapărat o egalitate.

Pentru părinți și profesori

Această pagină este atelierul de aplicare al lecției precedente. Cereți întâi extragerea regulii din enunț, apoi calculul termenului nou sau al cantității următoare. Nu este suficientă recitarea numelor etapelor. Elevul trebuie să explice unde introduce informația de la indicele anterior și de ce rezultatul corespunde formulei sau estimării pe care o urmărește.

Programa și examenul. Inducția matematică este numită între metodele de raționament din Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, care cere și folosirea ei la verificarea unor propoziții, și intră în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014, include de asemenea inducția. Lecția separată de aplicații este o organizare pedagogică a aceleiași materii, nu un capitol suplimentar impus distinct de programă.

Aplicațiile rămân elementare: sume, o singură putere, relații simple între etape și estimări. Nu se presupun teoreme suplimentare despre factoriale ori inegalități avansate. Pentru încheierea unității folosiți testul de logică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aplicațiile inducției matematice permite comparația între trasee; nu este necesară pentru rezolvarea exercițiilor de aici.

Întrebări frecvente

Ce legătură are această lecție cu progresiile din unitatea următoare?

Unitatea următoare studiază șiruri în care fiecare termen se obține din precedentul prin adunarea sau înmulțirea cu același număr. Formulele termenului general ale acestor șiruri se pot justifica exact cu mecanismul folosit aici: bază și regulă de trecere. În această lecție lucrăm cu modele concrete și cu formule date, fără teoria progresiilor, pe care o vei studia separat.

Pot deduce formula unui proces numai din primele sale valori?

Primele valori pot sugera o formulă, dar nu o impun pentru toate etapele. Pentru demonstrație ai nevoie de regula care descrie continuarea sau de o proprietate care o justifică. După ce regula este precizată, verifici dacă formula respectă starea inițială și fiecare trecere. O potrivire numerică la început nu înlocuiește această verificare generală.

Ce rol au unitățile de măsură într-o demonstrație prin inducție?

Inducția lucrează cu numere, dar în aplicații fiecare număr descrie o mărime: mililitri, lăzi, eprubete. Păstrarea unității te ajută să vezi dacă aduni mărimi de același fel și dacă rezultatul răspunde întrebării. Un rezultat fracționar este normal pentru un volum, dar semnalează o greșeală când numeri obiecte. Unitatea nu schimbă demonstrația, ci controlul ei.

Când formula descrie doar o cantitate minimă?

Când datele oferă numai o limită de jos pentru creșterea de la o etapă la alta, concluzia naturală este o estimare de jos. Unele procese pot atinge limita, iar altele o pot depăși. Pentru o egalitate este necesară o regulă exactă sau o justificare suplimentară. Păstrează cuvintele „cel puțin” atunci când ele exprimă informația demonstrată.

Ce diferă față de aplicațiile inducției din traseul M1?

Aici selectăm probleme în care legătura dintre două etape se construiește prin calcule elementare, cu contexte și domenii explicite. Nu avem nevoie de sume cu factoriale, de compararea factorialelor cu puteri sau de teoreme generale de inegalități. Metoda este aceeași, dar dificultatea calculelor rămâne potrivită obiectivului M2: o demonstrație completă pe care o poți verifica pas cu pas.

Ce promit aceste aplicații pentru subiectele de Bacalaureat M2?

Ele oferă antrenament pentru folosirea unei metode incluse în programă, fără să promită o anumită poziție, frecvență sau formulă de examen. Modelul oficial pentru 2026 nu cere separat inducția matematică. Exercițiile marcate sunt construite pentru exersarea redactării și a calculelor; alegerea metodei într-o problemă concretă depinde de cerință și de forma relațiilor date.