Mulțimea soluțiilor inecuației $$(x+6)(x-9)<0$$ este:

$$(-\infty,-6)\cup(9,+\infty)$$

Câte numere întregi verifică inecuația x²<10?

Soluția reală este (- √10, √10), iar √10≈3,16. Întregii din interval sunt -3,-2,-1,0,1,2,3, adică șapte numere. Verificare la margine: 3²=9<10, dar 4²=16 nu mai verifică. Nu rotunjești capetele intervalului real înainte de a alege întregii.

Pentru ce m are inecuația x²-2x+m≤0 exact o soluție?

Parabola trebuie să atingă axa Ox doar în vârf, deci Δ=4-4m=0 și m=1. Atunci inecuația devine (x-1)²≤0, adevărată numai pentru x=1. Pentru m 1 nu există soluții.

Când este o parabolă deasupra unui prag dat?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Inecuații rezolvate grafic

Scrii condiția $f (x) > k$ ca $f (x) - k > 0$ și rezolvi inecuația de gradul al doilea obținută. Exemplu: o minge are înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ metri; ca să fie peste $15$ m, cerem $- 5 t^{2} + 20 t - 15 > 0$ , adică $t^{2} - 4 t + 3 < 0$ , cu rădăcinile $1$ și $3$ . Mingea este peste prag pentru $t \in (1, 3)$ secunde, iar în $t = 1$ și $t = 3$ trece exact prin $15$ m.

O inecuație de gradul al doilea cere intrările pentru care curba se află într-o anumită poziție: deasupra axei, sub ea, deasupra unui nivel dat sau deasupra altui grafic. Punctele de egalitate delimitează zonele, iar poziția curbei între aceste repere decide care zone intră în răspuns. Soluțiile sunt abscise, scrise de obicei ca intervale sau reuniuni de intervale.

Simbolul strict exclude punctele de egalitate, iar cel nestrict le păstrează, cu condiția ca ele să fie în domeniu. Un capăt al domeniului poate intra în răspuns chiar dacă nu este rădăcină, iar un capăt exclus rămâne exclus orice ar spune formula. Când se cer numere întregi, se aleg întregii care aparțin efectiv mulțimii reale, fără rotunjirea capetelor.

Pentru un prag nenul se compară curba cu orizontala acelui nivel sau se studiază diferența dintre funcție și prag. Două funcții se examinează la aceeași abscisă și numai în intrările comune domeniilor; diferența lor poate avea alt grad decât fiecare dintre ele. O probă într-un punct interior și verificarea capetelor controlează rezultatul.

De reținut

$f (x) > k ⟺ f (x) - k > 0$
inegalitatea strictă exclude punctele de egalitate, cea nestrictă le păstrează
soluția se intersectează cu domeniul impus

Greșeala tipică

Se rezolvă $- 5 t^{2} + 20 t - 15 > 0$ împărțind la $- 5$ fără a schimba sensul inegalității; corect este $t^{2} - 4 t + 3 < 0$ , cu semnul întors.

Exerciții din această mini-lecție

Mulțimea soluțiilor inecuației $(x + 6) (x - 9) < 0$ este:
- a) $[- 6, 9]$
- b) $(- 6, 9)$
- c) $(- \infty, - 6) \cup (9, + \infty)$
- d) $(- 9, 6)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- 6, 9)$

Parabola are ramurile în sus și zerourile $- 6$ și $9$ ; este sub axă între ele. Inegalitatea strictă exclude capetele.
Mulțimea soluțiilor inecuației $- (x - 2)^{2} \geq 0$ este:
- a) $\emptyset$
- b) $R$
- c) $[2, + \infty)$
- d) ${2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) ${2}$

Expresia este cel mult zero și se anulează numai în $2$ . Inegalitatea nestrictă este adevărată doar acolo.
Rezolvă inecuația $- x^{2} + 6 x + 7 \geq 0$ pentru $x \in [0, 9]$ .
- a) $[- 1, 7]$
- b) $[0, 7]$
- c) $[7, 9]$
- d) $(0, 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[0, 7]$

Avem $- x^{2} + 6 x + 7 = - (x + 1) (x - 7)$ , nenegativă pe $[- 1, 7]$ . Intersectând cu $[0, 9]$ , obținem $[0, 7]$ .

Întrebări conexe

Cum rezolv inecuația $x^{2} \leq x + 2$ comparând o parabolă cu o dreaptă?

Treci totul într-o parte: $x^{2} - x - 2 \leq 0$ , adică $(x - 2) (x + 1) \leq 0$ . Parabola este sub dreaptă sau pe ea între punctele comune, deci soluția este $[- 1, 2]$ . Capetele intră, fiindcă inegalitatea este nestrictă și acolo cele două grafice se întâlnesc.

Cum rezolv $x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ numai pentru $x \in [2, 10]$ ?

Pe $R$ , $(x - 1) (x - 4) \leq 0$ dă $[1, 4]$ . Intersectezi cu domeniul impus: $[1, 4] \cap [2, 10] = [2, 4]$ . Capătul $2$ intră, deși nu este rădăcină, pentru că aparține domeniului și verifică inegalitatea: $4 - 10 + 4 = - 2 \leq 0$ .

Câte numere întregi verifică inecuația $x^{2} < 10$ ?

Soluția reală este $(- 10, 10)$ , iar $10 \approx 3, 16$ . Întregii din interval sunt $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ , adică șapte numere. Verificare la margine: $3^{2} = 9 < 10$ , dar $4^{2} = 16$ nu mai verifică. Nu rotunjești capetele intervalului real înainte de a alege întregii.

Cum verific cu probe soluția unei inecuații de gradul doi?

Alegi un punct din interiorul mulțimii găsite și unul din afara ei. Pentru $x^{2} \leq x + 2$ , cu soluția $[- 1, 2]$ , la $x = 0$ obții $0 \leq 2$ , adevărat, iar la $x = 3$ obții $9 \leq 5$ , fals. Dacă probele ies invers, ai ales zonele greșit.

Pentru ce $m$ are inecuația $x^{2} - 2 x + m \leq 0$ exact o soluție?

Parabola trebuie să atingă axa $O x$ doar în vârf, deci $Δ = 4 - 4 m = 0$ și $m = 1$ . Atunci inecuația devine $(x - 1)^{2} \leq 0$ , adevărată numai pentru $x = 1$ . Pentru $m < 1$ soluția este un interval, iar pentru $m > 1$ nu există soluții.

Oamenii mai întreabă și: parabola peste un nivel dat · când depășește o funcție de gradul doi o valoare · inecuația f(x) mai mare decât k · parabola deasupra unei drepte orizontale

Când este o parabolă deasupra unui prag dat?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum rezolv inecuația x2≤x+2 comparând o parabolă cu o dreaptă?

Cum rezolv x2−5x+4≤0 numai pentru x∈[2,10]?

Câte numere întregi verifică inecuația x2<10?

Cum verific cu probe soluția unei inecuații de gradul doi?

Pentru ce m are inecuația x2−2x+m≤0 exact o soluție?

Continuă cu

Cum rezolv inecuația $x^{2} \leq x + 2$ comparând o parabolă cu o dreaptă?

Cum rezolv $x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ numai pentru $x \in [2, 10]$ ?

Câte numere întregi verifică inecuația $x^{2} < 10$ ?

Pentru ce $m$ are inecuația $x^{2} - 2 x + m \leq 0$ exact o soluție?