Inecuații de gradul doi pe grafic (M2, științe ale naturii)

O ecuație ne arată unde o curbă întâlnește un nivel sau un alt grafic. O inecuație ne cere și porțiunile în care ea se află de partea potrivită. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), rezolvăm astfel de cerințe prin citirea graficelor, iar calculele păstrează exacte reperele și capetele răspunsului. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cuprinde inecuațiile de gradul al doilea, cu interpretare geometrică. Programa nouă a clasei a IX-a pune accent pe traducerea observațiilor grafice în limbaj matematic. Pornim de la semnul funcției pătratice, apoi comparăm curba cu un nivel oarecare și cu un al doilea grafic.

Ce vei învăța

• Vei transforma o inegalitate într-o cerință despre poziția unei curbe.
• Vei citi mulțimea intrărilor care satisfac cerința și o vei scrie prin intervale.
• Vei decide dacă punctele de egalitate sunt incluse sau excluse.
• Vei compara o parabolă cu un nivel orizontal și cu o altă funcție.
• Vei păstra numai soluțiile admise de domeniu, inclusiv când se cer numere întregi.
• Vei controla un rezultat grafic prin calcule exacte și prin valori relevante.

Hai să descoperim împreună

1. Ce parte a graficului răspunde unei inegalități?

Inecuația de gradul al doilea este o inegalitate de forma $a{x}^2+bx+c>0$, cu $a\ne 0$, sau una dintre variantele cu $<$, $\ge$, $\le$, în care necunoscuta parcurge un domeniu dat; soluțiile ei sunt numerele din domeniu pentru care inegalitatea este adevărată. Figura A reprezintă o funcție pătratică $f$ pe $\mathbb{R}$. Cerința $f(x)\le 0$ selectează punctele de pe curbă aflate sub axa orizontală sau chiar pe ea. Soluțiile sunt abscisele acelor puncte, nu ordonatele lor.

Curba întâlnește axa în minus doi și șase și se află sub ea între aceste repere. Pentru inegalitatea nestrictă, ambele rădăcini sunt admise, astfel încât mulțimea soluțiilor este $[-2,6]$. Dacă cerința ar fi strictă, punctele de pe axă ar fi eliminate și ar rămâne intervalul deschis.

Această operație poate fi descrisă ca o proiecție pe axa intrărilor: alegem punctele curbei care respectă poziția cerută, apoi citim abscisele lor. Răspunsul nu este porțiunea desenată în plan, ci mulțimea numerelor care o produc.

Nu este necesară formula funcției dacă graficul și reperele sunt date exact. Când abscisele intersecțiilor sunt doar estimate dintr-un desen mic, și capetele intervalului obținut sunt aproximative. Datele algebrice sau coordonatele declarate pot transforma observația într-un răspuns exact.

2. De ce rădăcinile nu sunt singurele soluții?

Ecuația asociată localizează granițele dintre zonele relevante. Pentru o inecuație, trebuie să decidem și ce se întâmplă între aceste granițe și în exteriorul lor. O listă de rădăcini, fără intervale sau fără o concluzie de apartenență, nu rezolvă singură inecuația.

Dacă parabola este sub axă între două intersecții, toate intrările din acea zonă satisfac cerința de negativitate. Nu păstrăm doar numerele întregi de pe gradații și nici numai punctele folosite la construirea desenului. Domeniul real admite și intrările fracționare dintre ele.

Pentru o cerință de pozitivitate pot apărea două intervale separate. Le reunim deoarece o soluție poate fi în oricare dintre cele două zone. Nu folosim intersecția acestor intervale disjuncte, fiindcă aceasta ar cere ca aceeași intrare să fie simultan în ambele părți ale axei.

Dacă sunt impuse două condiții simultane aceleiași intrări, folosim în schimb intersecția mulțimilor care le verifică. De exemplu, o condiție grafică și un domeniu dat trebuie respectate împreună. Operația dintre mulțimi reflectă sensul cerinței, nu aspectul convenabil al notației.

3. Cum alegem capetele incluse sau excluse?

La un punct de egalitate, comparăm numere egale. Inegalitățile nestricte acceptă acest caz; cele stricte îl resping. Astfel, un punct unde valoarea este zero se include pentru cerința de nenegativitate sau nepozitivitate și se exclude pentru pozitivitate ori negativitate strictă.

Domeniul are însă propriile condiții. Un capăt exclus din domeniu nu poate deveni soluție doar pentru că inegalitatea este nestrictă. Invers, un capăt inclus al domeniului, cu valoare strict favorabilă, poate fi inclus în răspuns chiar dacă nu este rădăcină.

De aceea verificăm separat două întrebări: este intrarea admisă și este inegalitatea adevărată acolo? Numai răspunsul afirmativ la ambele permite includerea. Notația finală cu paranteze trebuie să exprime această decizie, nu să urmeze mecanic un singur simbol din enunț.

La infinit nu există o intrare reală de testat și nu folosim paranteză pătrată. Simbolul indică o direcție nemărginită a intervalului. Pentru un singur număr soluție folosim o mulțime cu un element; nu inventăm un interval de lungime pozitivă în jurul lui.

4. Cum comparăm funcția cu un prag diferit de zero?

Pentru $f(x)\ge m$, trasăm sau identificăm orizontala $y=m$ și alegem punctele curbei aflate pe ea ori deasupra ei. Intersecțiile cu această orizontală, nu neapărat cele cu axa, dau reperele răspunsului.

Algebric, aceeași cerință se scrie $f(x)-m\ge 0$. Noua expresie măsoară diferența dintre valoarea funcției și prag. Trecerea la zero este utilă pentru calcul, dar pe desen putem compara direct cele două niveluri fără să redesenăm toată parabola.

Dacă valorile au unități, pragul trebuie exprimat în aceeași unitate înaintea comparației. Pe un grafic cu altă scară, o linie orizontală aflată la aceeași distanță pe hârtie poate reprezenta alt număr. Citește eticheta nivelului, nu doar înălțimea lui în desen. Într-un exercițiu abstract axele pot fi fără unități fizice, dar valorile numerice și gradațiile rămân obligatorii pentru un răspuns verificabil.

Dacă pragul coincide cu nivelul vârfului, pot apărea situații speciale. La o parabolă cu ramuri în jos, condiția de a fi cel puțin la nivelul maxim este îndeplinită numai în vârf. O condiție strict mai mare decât acel nivel nu are soluții.

Dacă pragul se află deasupra întregii curbe, poziția cerută poate fi imposibilă; dacă se află sub toate punctele ei, condiția poate fi satisfăcută peste tot. Citim relația dintre nivel, orientare și vârf înainte de a încerca o formulă pentru rădăcini inexistente.

5. Cum comparăm două grafice la aceeași intrare?

Cerința $f(x)\le g(x)$ compară două ordonate pentru aceeași abscisă. Pe o verticală prin intrarea aleasă, punctul de pe primul grafic trebuie să fie mai jos sau la același nivel cu punctul de pe al doilea. Nu comparăm puncte cu abscise diferite.

Intersecțiile grafice satisfac egalitatea $f(x)=g(x)$. Ele pot separa zonele în care ordinea verticală se schimbă. După citirea lor, urmărim care curbă este deasupra în fiecare zonă și proiectăm pe axa intrărilor porțiunile cerute.

Calculul echivalent folosește diferența $f-g$. Dacă diferența este pătratică, semnul ei se studiază ca în lecția precedentă. Dacă termenii pătratici se anulează, diferența poate fi afină sau constantă; nu aplicăm automat regulile unei parabole unei expresii de alt grad.

Nu orice intersecție obligă cele două curbe să își schimbe ordinea verticală. Dacă o parabolă atinge o dreaptă într-un singur punct, poate rămâne de aceeași parte a ei înainte și după contact. Într-un astfel de caz, o inegalitate nestrictă poate păstra doar abscisa punctului de atingere, în timp ce varianta strictă corespunzătoare poate să nu aibă soluții. Urmărirea curbelor în ambele părți ale punctului este mai sigură decât inversarea automată a răspunsului după fiecare egalitate.

Există și cazul în care două scrieri dau aceeași funcție pe domeniul comun. Graficele coincid acolo, iar diferența este identic zero. O comparație nestrictă este atunci adevărată în toate intrările comune; o comparație strictă nu este adevărată în niciuna. Nu căutăm artificial două intersecții izolate, deoarece datele descriu aceeași curbă pe acea parte. Simplificarea expresiilor face vizibil acest caz și păstrează legătura dintre reprezentarea grafică și egalitatea funcțiilor.

Comparația este definită numai în intrările comune celor două domenii. Dacă primul grafic există pe un interval și al doilea pe altul, păstrăm partea comună înaintea concluziei finale. O valoare lipsă pentru una dintre funcții nu poate fi comparată cu valoarea celeilalte.

Pentru comparația vizuală a două funcții este necesar un reper comun sau citirea atentă a valorilor în două repere diferite. Două capturi redimensionate separat pot arăta curbe la aceeași înălțime pe pagină, fără ca ordonatele lor să coincidă. Dacă nu putem suprapune graficele cu aceleași axe, citim numeric fiecare ordonată la intrarea comună și comparăm numerele. Poziția pe ecran, fără scara corespunzătoare, nu este o măsură matematică a valorii funcției.

6. Cum trecem de la soluții reale la soluții întregi?

Dacă se cer intrări întregi, putem citi întâi intervalele reale favorabile, apoi alegem din ele numai numerele întregi admise. Lista poate fi finită chiar dacă intervalul real conține o infinitate de numere. Condiția de apartenență la numerele întregi face parte din cerință.

Nu rotunjim mecanic rădăcinile. O limită fracționară trebuie comparată cu fiecare întreg vecin, iar strictețea inegalității decide când un capăt întreg este admis. Rotunjirea la cel mai apropiat întreg poate include un număr din afara intervalului sau poate elimina unul valid.

Un interval deschis cu un capăt neîntreg nu respinge automat întregul cel mai apropiat din interior. De exemplu, între minus unu și jumătate și doi și jumătate se află întregii minus unu, zero, unu și doi. Niciunul nu coincide cu un capăt, deci includerea lor nu depinde de schimbarea parantezelor în aceste două repere fracționare. Acest control de poziție este mai clar decât o regulă de rotunjire.

Dacă există și un interval de utilizare, toate condițiile se verifică împreună. O intrare întreagă care satisface formula, dar nu aparține intervalului declarat, nu este soluție. Acest control este necesar și în contexte practice, unde numărul de obiecte sau pași poate fi discret.

Aici ne limităm la alegerea soluțiilor unei comparații. Nu selectăm automat o soluție drept „cea mai bună”; o problemă de optimizare trebuie să precizeze mărimea care se maximizează sau se minimizează. Această diferență păstrează clară legătura cu lecția despre maxim și minim în context.

7. Cum verificăm că mulțimea finală răspunde cerinței?

Alegem o intrare dintr-o zonă inclusă și verificăm inegalitatea inițială. Alegem și una dintr-o zonă respinsă, pentru a vedea de ce nu este admisă. Verificăm separat capetele relevante, deoarece o eroare de strictețe poate lăsa toate probele din interior corecte.

Probele controlează o rezolvare justificată, nu dovedesc singure toate intrările unui interval. Justificarea vine din poziția curbelor, din tabelul de semn sau din proprietatea algebrică folosită. Un număr mare de încercări nu înlocuiește identificarea corectă a zonelor.

La final, recitim cerința: se cer intrări, puncte, un număr de soluții întregi sau un interval? Același grafic poate susține întrebări diferite, iar forma răspunsului trebuie adaptată. O listă de puncte de intersecție nu răspunde singură unei cerințe despre toate soluțiile inecuației.

Păstrăm și precizia datelor. Dacă intersecțiile sunt declarate exacte pe grilă, putem da intervale exacte. Dacă desenul este orientativ și formula permite un calcul cu radicali, nu înlocuim capetele exacte cu zecimale rotunjite fără mențiune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două zone de soluții

Figura B reprezintă o funcție pătratică $p$ pe $\mathbb{R}$. Rezolvă grafic $p(x)>0$.

Rezolvare. Intersecțiile orizontale au abscisele minus cinci și minus unu. Curba este deasupra axei în stânga primei intersecții și în dreapta celei de-a doua. Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile sunt excluse.

Mulțimea soluțiilor este $(-\infty ,-5)\cup (-1,+\infty )$. Reuniunea permite ambele zone. Punctele dintre rădăcini sunt sub axă, deci nu produc soluții, chiar dacă abscisele lor sunt apropiate de cele ale punctelor comune.

Exemplul 2 — Comparația cu nivelul patru

Figura C reprezintă $q(x)=-\frac{1}{4}(x-2{)}^2+5$ și orizontala $y=4$. Rezolvă $q(x)\ge 4$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Parabola întâlnește nivelul patru la abscisele zero și patru. Între ele, curba se află deasupra orizontalei. Inegalitatea nestrictă include intersecțiile, deci soluțiile formează $[0,4]$.

Controlul algebric dă $(x-2{)}^2\le 4$, aceeași zonă de distanțe cel mult doi față de abscisa doi. Nu am folosit zerourile funcției, fiindcă cerința compară valorile cu patru, nu cu zero.

Exemplul 3 — Parabola sub o dreaptă

Figura D reprezintă $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-1$ și $g(x)=\frac{3}{2}x+1$, ambele pe $\mathbb{R}$. Rezolvă $f(x)\le g(x)$.

Rezolvare. Graficele se întâlnesc în punctele marcate $A$ și $B$, la abscisele minus unu și patru. Între ele, parabola este mai jos decât dreapta, iar în exterior este mai sus. Prin urmare, mulțimea soluțiilor este $[-1,4]$.

Calculul diferenței oferă $f(x)-g(x)=\frac{1}{2}(x+1)(x-4)$. Aceasta este nepozitivă între rădăcini, inclusiv în ele. La abscisa zero, ordonatele sunt minus unu și unu, confirmând ordinea verticală citită în zona inclusă.

Putem verifica și o intrare respinsă: la minus doi, prima funcție are valoarea unu, iar a doua minus doi. Parabola este deasupra dreptei, astfel încât inegalitatea cerută nu este adevărată acolo. Controlul folosește aceeași intrare în ambele formule și confirmă poziția din exteriorul intervalului selectat.

Exemplul 4 — O restricție taie o parte din soluții

Rezolvă $r(x)=(x+8)(x-1)\le 0$ pentru $x\in (-3,4]$.

Rezolvare. Parabola asociată are ramurile în sus și zerourile minus opt și unu. Pe domeniul real, porțiunea aflată sub axă sau pe ea corespunde intervalului $[-8,1]$. Păstrând doar intrările domeniului dat, obținem $(-3,1]$.

Capătul minus trei este exclus de domeniu, deși formula are acolo valoare negativă. Capătul unu este admis și satisface egalitatea. Cele două decizii provin din motive diferite și trebuie păstrate în parantezele răspunsului.

Putem lucra și direct în domeniul declarat, urmărind numai porțiunea de parabolă dintre limitele lui. Studiul pe toate numerele reale este o cale de organizare, nu o obligație de a desena părți care nu ajută întrebării. Indiferent de variantă, în minus doi expresia are valoarea $r(-2)=-18$ și condiția este adevărată, iar în patru are valoarea $r(4)=36$ și condiția este falsă. Aceste probe sunt compatibile cu intervalul final și fac vizibilă deosebirea dintre intrare admisă și intrare care este soluție.

Exemplul 5 — Un singur punct sau nicio soluție

Pentru $s(x)=-3(x+1{)}^2+3$, rezolvă separat $s(x)\ge 3$ și $s(x)>3$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Vârful parabolei este $(-1,3)$, iar ramurile sunt în jos. Nivelul trei este atins numai în vârf și nu este depășit nicăieri. Prima inecuație are soluția unică $x=-1$, deci mulțimea $\{-1\}$; a doua are mulțimea soluțiilor vidă.

Algebric, termenul cu pătrat este nepozitiv și devine zero exact în minus unu. Aceeași imagine geometrică justifică ambele răspunsuri, iar diferența dintre simbolurile inegalității decide dacă punctul de contact este păstrat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Determină soluțiile întregi ale inecuației $2x^2+10x-28>0$, cu $-8\le x\le 4$.

Rezolvare. Expresia este $2(x+7)(x-2)$. Parabola cu ramuri în sus se află deasupra axei în exteriorul rădăcinilor minus șapte și doi. Condiția strictă dă intrări reale din $(-\infty ,-7)\cup (2,+\infty )$.

În intervalul impus, singurele intrări întregi sunt $-8,3,4$. Numerele minus șapte și doi sunt respinse de strictețe, iar alte numere din exterior sunt respinse de interval. Răspunsul este mulțimea cu trei elemente, nu reuniunea intervalelor reale intermediare.

Să exersăm

Figura E reprezintă o funcție pătratică $u$ pe $\mathbb{R}$ și se folosește la exercițiile 1–4. Reperele de intersecție sunt exacte pe grilă.

1. Rezolvă grafic $u(x)\le 0$ și explică de ce se includ sau se exclud capetele.

2. Rezolvă grafic $u(x)>0$. Scrie răspunsul ca reuniune de intervale.

3. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă $u(x)\ge 0$ numai pentru $x\in (-2,4]$. Separă filtrarea domeniului de alegerea poziției curbei.

4. Enumeră soluțiile întregi ale lui $u(x)<0$ și precizează numărul lor.

Figura F reprezintă $v(x)=-\frac{3}{2}(x-2{)}^2+6$ pe domeniul $(0,5]$. Folosește-o pentru exercițiile 5–6 și respectă punctul gol de la capătul stâng.

5. Rezolvă $v(x)\ge 0$ pe domeniul declarat. Explică de ce simbolul nestrict nu permite includerea lui zero ca intrare.

6. Rezolvă $v(x)<0$ pe același domeniu. Este inclusă intrarea cinci?

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă pe $\mathbb{R}$ inecuația $-2(x+5)(x-2)\ge 0$.

8. Rezolvă $-3(x-6{)}^2\ge 0$ pe $\mathbb{R}$ și explică de ce răspunsul nu conține un interval cu mai multe numere.

9. Rezolvă $(2x+7{)}^2>0$ pentru $x\in [-6,-2)$. Păstrează în răspuns și excluderea rădăcinii, și capetele domeniului.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Inecuația $5(x+3{)}^2+3\le 2$ are cel puțin o soluție reală.

11. Rezolvă $-(x+2{)}^2-4<-3$ pe $\mathbb{R}$, fără să calculezi zerouri.

12. Pentru $f(x)=\frac{1}{3}{x}^2+1$ și $g(x)=x+7$, rezolvă $f(x)\le g(x)$ pe domeniul comun $\mathbb{R}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Rezolvă $2x^2-x-6\ge 0$ pentru $x\in [-2,3]$. Scrie capetele fracționare exact.

14. Rezolvă $4(x+1{)}^2-3\le -3$ numai pentru $x\in [0,2]$. Explică rezultatul prin poziția punctului în care parabola atinge nivelul minus trei.

15. (Problemă aplicată.) Forța de rezistență a aerului asupra unui biciclist este modelată prin $F(v)=\frac{3}{10}{v}^2$ newtoni, unde $v$ este viteza în metri pe secundă, cu $0\le v\le 15$. Rezolvă inecuația $F(v)\le 30$ și interpretează rezultatul.

16. Pentru $p(x)=x^2-2x-35$, un elev propune intervalul $[-5,7]$ ca soluție a lui $p(x)>0$. Respinge propunerea printr-o intrare din interior și scrie soluția corectă.

17. Funcțiile $f(x)=-2x^2+11x$ și $g(x)=5$ au domeniile $[-1,6]$, respectiv $[2,7]$. Rezolvă $f(x)\ge g(x)$ numai unde ambele sunt definite.

18. Pentru $f(x)=2x^2+x-1$ și $g(x)=2x^2-3x+7$, rezolvă $f(x)\le g(x)$ pe $\mathbb{R}$. Explică de ce diferența nu se studiază printr-o parabolă.

Răspunsuri și explicații

1. Soluțiile sunt $[-4,3]$: curba este sub axă între rădăcini, iar egalitatea permite ambele capete. Nu se cer numai punctele de intersecție.

2. $(-\infty ,-4)\cup (3,+\infty )$. Cele două rădăcini sunt excluse, fiindcă în ele valoarea este zero, nu strict pozitivă.

3. Rămâne $[3,4]$. Zona din stânga primei rădăcini nu întâlnește domeniul dat, iar partea admisă din dreapta începe cu trei.

4. Soluțiile sunt $-3,-2,-1,0,1,2$, în total șase. Rădăcinile întregi nu se includ la condiția strictă.

5. Soluția este $(0,4]$. Zero ar verifica egalitatea în expresie, dar nu este intrare admisă a funcției, deci rămâne exclus.

6. Soluția este $(4,5]$. Intrarea cinci este admisă și $v(5)=-\frac{15}{2}<0$, deci capătul este inclus.

7. $[-5,2]$. Parabola cu ramuri în jos este deasupra axei între rădăcini, iar semnul nestrict păstrează zerourile.

8. Mulțimea este $\{6\}$. Expresia este nepozitivă peste tot și poate fi nenegativă numai când pătratul este zero.

9. $[-6,-\frac{7}{2})\cup (-\frac{7}{2},-2)$. Toate intrările domeniului sunt admise, cu excepția lui $-\frac{7}{2}$, unde expresia se anulează.

10. Fals. Membrul stâng este cel puțin trei, deci nu poate fi cel mult doi; nivelul cerut este sub întreaga parabolă, iar mulțimea soluțiilor este vidă.

11. Mulțimea soluțiilor este $\mathbb{R}$. Membrul stâng este cel mult minus patru, deci rămâne strict sub minus trei pentru orice intrare.

12. Diferența este $\frac{1}{3}(x+3)(x-6)$, nepozitivă pe $[-3,6]$. Acesta este intervalul unde parabola este sub dreaptă sau pe ea.

13. Expresia se factorizează $(2x+3)(x-2)$. După intersectarea zonelor exterioare cu domeniul dat, obținem $[-2,-3/2]\cup [2,3]$.

14. Mulțimea soluțiilor este $\varnothing$. Pe toată axa reală, inegalitatea ar fi adevărată doar în vârful $(-1,-3)$, unde parabola atinge nivelul minus trei, dar $-1\notin [0,2]$. Pe domeniul dat valorile sunt cel puțin $4\cdot 1-3=1$.

15. Inecuația devine $v^2\le 100$, cu soluțiile reale $[-10,10]$. Păstrăm numai vitezele din domeniul modelului și obținem $[0,10]$: forța nu depășește $30$ N pentru viteze de cel mult $10$ m/s. Valorile negative nu au sens aici, fiindcă viteza din model este nenegativă.

16. În zero obținem $p(0)=-35$, deci propunerea include o intrare care nu verifică inecuația. Soluția corectă este $(-\infty ,-5)\cup (7,+\infty )$.

17. Domeniul comun este $[2,6]$. Diferența $-2x^2+11x-5=-(2x-1)(x-5)$ este nenegativă pe $[\frac{1}{2},5]$; răspunsul final este $[2,5]$.

18. Termenii pătratici se anulează și rămâne $4x-8\le 0$, deci soluția este $(-\infty ,2]$. Diferența este afină, chiar dacă fiecare funcție inițială este pătratică.

De reținut

• Soluțiile unei inecuații sunt intrări, citite prin proiecția porțiunii favorabile a graficului.
• Ecuația asociată localizează reperele, iar poziția curbei decide zonele dintre ele.
• Pentru un prag diferit de zero comparăm cu orizontala acelui nivel sau studiem diferența față de prag.
• Două funcții se compară la aceeași intrare, pe domeniul lor comun.
• Răspunsul final respectă simultan inegalitatea, domeniul, strictețea și eventual condiția de număr întreg.

Greșeli frecvente

• Scrierea ordonatelor în locul soluțiilor. După alegerea porțiunii de curbă, citește abscisele. Inecuația cu necunoscuta intrare cere numere de pe axa orizontală.
• Oprirea rezolvării la rădăcinile ecuației asociate. Acestea sunt repere; verifică și zonele dintre ele sau din exterior pentru a determina toate intrările favorabile.
• Compararea cu zero când enunțul cere alt nivel. Marchează pragul pe axa valorilor și folosește orizontala corespunzătoare. Intersecțiile cu axa pot să nu fie reperele cerute.
• Compararea a două puncte aflate pe verticale diferite. În relația dintre două funcții, aceeași intrare trebuie folosită pentru ambele imagini; urmărește o singură verticală la fiecare comparație.
• Presupunerea că diferența a două funcții pătratice este tot pătratică. Simplifică întâi expresia. Coeficienții dominanți egali pot elimina termenul pătratic și pot schimba metoda de rezolvare.

Aplică acasă

1. Pragul mobil. Reprezintă o parabolă și o orizontală într-o aplicație. Schimbă numai nivelul orizontalei și notează când condiția „curba este deasupra” are o zonă, nicio soluție sau toate intrările. Păstrează trei capturi cu domeniul și nivelurile precizate.
2. O verticală pentru două curbe. Suprapune o parabolă și o dreaptă, apoi alege trei abscise din zone diferite. Folosește marginea unei rigle pentru a compara ordonatele de pe aceeași verticală. Scrie ordinea funcțiilor, fără să compari puncte din intrări diferite.
3. Întregi între repere fracționare. Alege un interval cu capete fracționare și enumeră întregii din interior. Schimbă unul dintre capete într-un întreg și compară varianta deschisă cu cea închisă. Explică de ce selecția se face prin apartenență, nu prin rotunjire.

Pentru părinți și profesori

Cereți elevului să traducă mai întâi cerința: deasupra, dedesubt, pe nivel sau pe unul dintre cele două grafice. Apoi solicitați mulțimea de intrări și verificați un punct interior plus capetele relevante. Astfel, erorile de interpretare se separă de eventualele erori aritmetice.

Includeți comparații cu prag nenul și între două funcții. Ele arată dacă elevul folosește sensul inegalității sau aplică numai un tipar despre axa orizontală. Pentru domenii întregi, păstrați intervalul real intermediar și cereți lista finală ca etapă distinctă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; nota unității IX.6 cere interpretarea grafică a soluțiilor ecuațiilor $f(x)=m$ și $f(x)=g(x)$. Anexa 28 numește inecuațiile $a{x}^2+bx+c\le 0$, cu interpretare geometrică, la clasa a X-a (X.3); lecția le pregătește din clasa a IX-a, prin lectura graficelor. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde inecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c\le 0$, studiate pe $\mathbb{R}$ sau pe intervale, cu interpretare geometrică. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință despre parabolă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic prezintă și sistemele de inecuații. Recapitulați cu testul de funcții și lecturi grafice, apoi continuați cu problemele de maxim și minim în context. Scrierea mulțimilor de soluții se poate relua din mulțimea soluțiilor unei inecuații, clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

De ce răspunsul unei inecuații conține abscise, nu puncte de pe curbă? Necunoscuta reprezintă intrarea funcției. Punctele favorabile ajută la citire, dar soluțiile sunt intrările care produc acele puncte. De aceea răspunsul se scrie ca mulțime de numere, de obicei prin intervale, cu parantezele alese după strictețe și domeniu. Ordonatele punctelor nu apar în mulțimea finală.

Ce schimb când valoarea trebuie comparată cu un prag nenul? Compari curba cu orizontala acelui prag. Poți păstra desenul și citi intersecțiile cu nivelul cerut sau poți scădea pragul din expresie și studia semnul diferenței. Zerourile funcției inițiale nu sunt automat reperele răspunsului; reperele sunt intrările în care funcția atinge exact pragul.

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre inecuațiile de gradul al doilea? Inecuațiile se rezolvă aici prin citirea graficelor, iar calculul fixează capetele exacte. Nu construim un algoritm general nou și nu lucrăm cu sisteme de inecuații. În schimb, insistăm pe praguri diferite de zero, pe compararea a două funcții la aceeași intrare și pe domeniul unui model din științe.

Dacă am două funcții pătratice, folosesc obligatoriu un tabel de semn pătratic pentru diferență? Nu. Termenii de gradul al doilea se pot anula, iar diferența poate deveni afină sau constantă. Simplifici expresia înainte de alegerea metodei; familia funcțiilor inițiale nu garantează gradul diferenței. O diferență afină se rezolvă ca o inecuație de gradul întâi, fără tabelul unei parabole.

Cum pot apărea inecuațiile de gradul al doilea la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 numește inecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c\le 0$, studiate pe $\mathbb{R}$ sau pe intervale, cu interpretare geometrică. Modelul oficial 2026 nu conține o parabolă, deci nu putem spune ce formă va avea cerința. Exersează scrierea completă a mulțimii soluțiilor și verificarea capetelor.

Un rezultat citit pe un desen mic este întotdeauna exact? Nu. Exactitatea depinde de reperele date și de scară. Dacă intersecția cade între gradații fără coordonate declarate, citirea este aproximativă. Formula poate furniza capete exacte, care se păstrează în răspuns și se confruntă cu desenul. Scrie „aproximativ” atunci când te bazezi numai pe desen.