Inecuații exponențiale: pe scurt

Trecerea de la $a^{f(x)}$ la o comparație de exponenți se face prin monotonia funcției exponențiale, iar aceasta depinde de bază — nu ai voie s-o sari niciodată. Baza decide sensul: dacă $a>1$, $a^u<a^v⟺u<v$ (sensul se păstrează); dacă $0<a<1$, $a^u<a^v⟺u>v$ (sensul se schimbă).

Primul pas este întotdeauna aducerea la aceeași bază; abia apoi se compară exponenții, cu discuția după bază scrisă explicit în rezolvare.

Cum $a^x>0$ pentru orice $x$, inecuațiile de tipul $a^{f(x)}>b$ cu $b\le 0$ au soluția $\mathbb{R}$ (întotdeauna adevărate), iar cele de tipul $a^{f(x)}<b$ cu $b\le 0$ nu au soluții.

La substituție ($t=a^x$, $t>0$), rezolvi întâi inecuația în $t$, apoi revii la $x$ — și abia atunci faci discuția după bază, care poate schimba sensul inegalităților. Soluția finală se scrie ca interval sau reuniune de intervale, cu capete închise la $\le ,\ge$ și deschise la $<,>$. Greșeli frecvente: uitarea răsturnării sensului la bază subunitară, compararea exponenților fără bază comună și, la substituție, revenirea la $x$ fără discuția după bază — pas care poate inversa ambele inegalități.

Exerciții din această mini-lecție

1. Inecuația $2^{f(x)}<-3$ are ca mulțime de soluții:

   • a) $(0,\infty )$
   • b) depinde de $f(x)$
   • c) mulțimea vidă
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) mulțimea vidă

   Cum $2^{f(x)}>0$ întotdeauna, el nu poate fi mai mic decât $-3$ pentru niciun $x$: soluția este $\varnothing$.

2. Pentru inecuația $a^{f(x)}\le a^{g(x)}$ cu $a>1$, la echivalarea în $f(x)\le g(x)$, capătul unde $f(x)=g(x)$:

   • a) nu aparține niciodată soluției
   • b) aparține doar dacă $a<1$
   • c) nu se poate ști
   • d) aparține soluției (inegalitate cu egal)
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) aparține soluției (inegalitate cu egal)

   Inecuația $\le$ păstrează egalitatea printre soluții, deci punctul unde $f(x)=g(x)$ face parte din mulțimea soluțiilor.