Inecuații logaritmice: pe scurt

La o inecuație logaritmică rezolvi mereu un sistem: condițiile de existență plus inegalitatea transformată, iar răspunsul este intersecția lor. Regula fundamentală, cu discuția după bază: pentru $a>1$, ${\log }_{a}x<b⟺0<x<a^b$ (sensul se păstrează); pentru $0<a<1$, ${\log }_{a}x<b⟺x>a^b$ (sensul se schimbă).

Pentru doi logaritmi în aceeași bază, ${\log }_{a}f(x)<{\log }_{a}g(x)$: dacă $a>1$, echivalent cu $f(x)>0$ și $f(x)<g(x)$; dacă $0<a<1$, echivalent cu $g(x)>0$ și $f(x)>g(x)$. La substituția $t={\log }_{a}x$, rezolvi întâi inecuația în $t$, iar abia la revenire aplici discuția după bază — acolo se pierde sensul dacă te grăbești. Când baza conține necunoscuta, se discută separat cazurile $a>1$ și $0<a<1$.

Metoda de lucru sigură: scrii condițiile de existență pe o axă, rezolvi inegalitatea și o marchezi pe aceeași axă, apoi citești intersecția — mai ales când condiția de existență e o reuniune de intervale, unde intersecția «din minte» duce aproape sigur la eroare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rezolvați inecuația ${\log }_{2}x<3$.

   • a) $(0,8)$
   • b) $(-\infty ,8)$
   • c) $(8,\infty )$
   • d) $(0,3)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(0,8)$

   Baza $2$ e supraunitară, sensul se păstrează: $0<x<2^3=8$. Condiția $x>0$ nu dispare niciodată la logaritmi.

2. Rezolvați inecuația ${\log }_{1/3}x>2$.

   • a) $\left(\frac{1}{9},\infty \right)$
   • b) $\left(0,\frac{1}{9}\right)$
   • c) $(0,9)$
   • d) $(9,\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left(0,\frac{1}{9}\right)$

   Baza $\frac{1}{3}$ e subunitară, deci sensul se schimbă: $0<x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$. Verificare pentru $x=0,05$: ${\log }_{1/3}0,05\approx 2,73>2$ ✓; pentru $x=0,2>\frac{1}{9}$: ${\log }_{1/3}0,2\approx 1,46<2$, corect exclus.

3. Rezolvați inecuația ${\log }_3(x-2)\le {\log }_3(8-x)$.

   • a) $[5,8)$
   • b) $(2,8)$
   • c) $(2,5]$
   • d) $(2,5)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(2,5]$

   CE: $x-2>0$ și $8-x>0$, deci $x\in (2,8)$. Baza $3>1$ păstrează sensul: $x-2\le 8-x⟺x\le 5$. Intersecția: $(2,5]$ — capătul $5$ intră, fiindcă la $x=5$ ambii membri sunt egali cu ${\log }_{3}3$.