Inecuații logaritmice

Știi de la inecuațiile obișnuite că sensul unei inegalități se schimbă atunci când înmulțești sau împarți cu un număr negativ: din $- 2 x < 6$ obții $x > - 3$ , nu $x < - 3$ . La logaritmi există o regulă analogă, dar mai ascunsă, pentru că nu se vede niciun semn minus nicăieri: sensul inegalității depinde de bază. Dacă baza este supraunitară, ordinea se păstrează; dacă baza este subunitară, ordinea se răstoarnă. Din $lo g_{2} 4 < lo g_{2} 8$ rezultă $4 < 8$ , dar din $lo g_{1/2} 4 < lo g_{1/2} 8$ ar rezulta $4 > 8$ — o afirmație falsă, tocmai pentru că prima inegalitate este ea însăși falsă.

Adaugă la asta obligația, moștenită de la ecuațiile logaritmice, de a scrie condițiile de existență înaintea oricărui calcul, și ai toată dificultatea acestei lecții într-o singură propoziție: la o inecuație logaritmică ai întotdeauna de rezolvat un sistem — condițiile de existență și inegalitatea propriu-zisă — iar răspunsul este intersecția lor. Cine sare peste una dintre cele două părți primește un răspuns care „arată bine", dar conține valori interzise sau pierde valori bune.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii domeniul de existență al unei inecuații logaritmice și să înțelegi de ce răspunsul final este întotdeauna o intersecție.
Vei ști să rezolvi inecuația fundamentală $lo g_{a} x < b$ în ambele cazuri de bază, trecând la forma exponențială.
Vei ști să demonstrezi și să aplici echivalențele pentru $lo g_{a} f (x) < lo g_{a} g (x)$ , cu discuția după bază.
Vei ști să transformi o inecuație logaritmică într-un sistem de inecuații algebrice și să rezolvi sistemul pe axă.
Vei ști să folosești substituția $t = lo g_{a} x$ la inecuațiile de gradul al doilea în logaritm și să revii corect la $x$ .
Vei ști să tratezi cazul în care baza conține necunoscuta, discutând separat cele două situații posibile.

Hai să descoperim împreună

1. De ce inecuațiile cer mai multă atenție decât ecuațiile

La o ecuație logaritmică, dacă uiți condițiile de existență, greșeala se vede: obții o valoare concretă care, înlocuită, dă un logaritm din număr negativ. La o inecuație, greșeala se ascunde într-un interval întreg și nu sare în ochi.

Un exemplu scurt. Fie inecuația $lo g_{2} (x - 1) < lo g_{2} (3 - x)$ . Cine „șterge" logaritmii direct scrie $x - 1 < 3 - x$ , deci $2 x < 4$ și $x < 2$ , și răspunde $S = (- \infty, 2)$ . Răspunsul e greșit: pentru $x = 0$ am avea $lo g_{2} (- 1)$ , care nu există. Domeniul cere $x - 1 > 0$ și $3 - x > 0$ , adică $1 < x < 3$ . Intersectând cu $x < 2$ , răspunsul corect este $S = (1, 2) .$ Verificare: pentru $x = 1, 5$ avem $lo g_{2} 0, 5 = - 1$ și $lo g_{2} 1, 5 \approx 0, 58$ , deci $- 1 < 0, 58$ ✓; pentru $x = 2$ ambii membri sunt $0$ , deci inegalitatea strictă nu are loc, iar $2$ e corect exclus.

2. Inecuația fundamentală $lo g_{a} x < b$

Pornim de la cazul cel mai simplu, în care logaritmul este singur într-un membru, iar celălalt membru este un număr.

Regulă. Fie $b \in R$ .

Dacă $a > 1$ : $lo g_{a} x < b ⟺ 0 < x < a^{b}$ .
Dacă $0 < a < 1$ : $lo g_{a} x < b ⟺ x > a^{b}$ .

Justificarea e imediată din monotonia demonstrată în lecția Funcția logaritmică: grafic și proprietăți: scriem $b = lo g_{a} (a^{b})$ și comparăm două valori ale aceleiași funcții. Dacă funcția e crescătoare, ordinea valorilor se transmite argumentelor; dacă e descrescătoare, se inversează. Condiția $x > 0$ nu dispare niciodată — în primul caz ea apare explicit în răspuns, în al doilea este automat îndeplinită, fiindcă $a^{b} > 0$ .

Exemplu. $lo g_{2} x < 3$ . Baza e supraunitară, deci $0 < x < 2^{3} = 8$ și $S = (0, 8)$ .

Exemplu. $lo g_{1/2} x > 2$ . Baza e subunitară, deci sensul se inversează: $0 < x < (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ , adică $S = (0, \frac{1}{4})$ . Verificare: pentru $x = 0, 1$ , $lo g_{1/2} 0, 1 \approx 3, 32 > 2$ ✓; pentru $x = 0, 3$ , $lo g_{1/2} 0, 3 \approx 1, 74 < 2$ , deci $0, 3$ e corect exclus.

3. Logaritmi în ambii membri: teorema cu discuția după bază

Teoremă. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ , și $f$ , $g$ două expresii.

Dacă $a > 1$ : $lo g_{a} f (x) < lo g_{a} g (x) ⟺ {f (x) > 0 f (x) < g (x)$

Dacă $0 < a < 1$ : $lo g_{a} f (x) < lo g_{a} g (x) ⟺ {g (x) > 0 f (x) > g (x)$

Demonstrație. Presupunem întâi $a > 1$ . Funcția logaritmică este strict crescătoare, deci, pentru argumente pozitive, $lo g_{a} f < lo g_{a} g$ este echivalent cu $f < g$ . Mai rămâne de arătat că e suficient să cerem $f > 0$ : din $f > 0$ și $f < g$ rezultă automat $g > 0$ , deci a doua condiție de existență se verifică singură. Analog, pentru $0 < a < 1$ funcția e strict descrescătoare, deci inegalitatea logaritmilor se traduce prin $f > g$ ; iar din $g > 0$ și $f > g$ rezultă $f > 0$ . $■$

Observă eleganța rezultatului: în fiecare caz e suficientă o singură condiție de existență, anume cea pusă asupra membrului mai mic. La examen poți scrie liniștit ambele condiții — nu greșești, doar lucrezi puțin mai mult.

Exemplu. $lo g_{3} (x^{2} - 4) \leq lo g_{3} (3 x)$ . Condițiile: $x^{2} - 4 > 0$ și $3 x > 0$ , adică $(x < - 2 sau x > 2)$ și $x > 0$ ; intersecția este $x > 2$ . Baza fiind supraunitară, inegalitatea devine $x^{2} - 4 \leq 3 x$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ , cu rădăcinile $- 1$ și $4$ , deci $x \in [- 1, 4]$ . Intersectând cu $x > 2$ : $S = (2, 4] .$ Verificare: pentru $x = 3$ , $lo g_{3} 5 \leq lo g_{3} 9$ ✓; pentru $x = 4$ , ambii membri sunt $lo g_{3} 12$ , deci egalitatea are loc și $4$ se include ✓; pentru $x = 4, 5$ , $lo g_{3} 16, 25 > lo g_{3} 13, 5$ , deci $4, 5$ e corect exclus ✓.

✏️Ilustrație: tabel în două coloane — coloana „bază a > 1: sensul se PĂSTREAZĂ, grafic crescător" și coloana „bază 0 < a < 1: sensul se SCHIMBĂ, grafic descrescător" — fiecare cu mica schiță a graficului logaritmic corespunzător

4. Rezolvarea pe axă: sistemul complet

Metoda de lucru, valabilă la orice inecuație logaritmică, este întotdeauna aceeași:

scrii toate condițiile de existență și le rezolvi separat, marcând rezultatul pe o axă;
rezolvi inegalitatea propriu-zisă, cu discuția după bază, și marchezi rezultatul pe aceeași axă, deasupra sau dedesubt;
citești intersecția celor două mulțimi.

Desenul pe axă nu e o pierdere de timp: la inecuații cu trinoame, unde condiția de existență poate fi o reuniune de intervale, intersecția făcută „în minte" duce aproape sigur la eroare.

Exemplu. $lo g_{1/2} (x^{2} - 5 x + 6) > - 1$ . Condiția: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ , cu rădăcinile $2$ și $3$ , deci $x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ — o reuniune, exact cazul periculos. Baza e subunitară, deci sensul se inversează: $x^{2} - 5 x + 6 < (\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ , adică $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ , cu rădăcinile $1$ și $4$ , deci $x \in (1, 4)$ . Intersecția: $S = (1, 2) \cup (3, 4) .$ Verificare: pentru $x = 1, 5$ , argumentul e $0, 75$ și $lo g_{1/2} 0, 75 \approx 0, 41 > - 1$ ✓; pentru $x = 2, 5$ , argumentul ar fi $- 0, 25 < 0$ , deci valoarea e corect exclusă; pentru $x = 4, 5$ , argumentul e $3, 75$ și $lo g_{1/2} 3, 75 \approx - 1, 9 < - 1$ , deci exclus ✓.

5. Substituția $t = lo g_{a} x$

Când necunoscuta apare numai prin logaritmul ei, notezi $t = lo g_{a} x$ , rezolvi inecuația algebrică în $t$ și abia apoi revii la $x$ — moment în care intervine din nou discuția după bază.

Exemplu. $l g^{2} x - 3 l g x + 2 < 0$ . Condiția: $x > 0$ . Cu $t = l g x$ : $t^{2} - 3 t + 2 < 0$ , cu rădăcinile $1$ și $2$ , deci $1 < t < 2$ . Revenim: $1 < l g x < 2$ . Baza $10$ e supraunitară, deci $1 0^{1} < x < 1 0^{2}$ și $S = (10, 100) .$ Verificare: pentru $x = 50$ , $l g 50 \approx 1, 70$ și $1, 7 0^{2} - 3 \cdot 1, 70 + 2 \approx - 0, 21 < 0$ ✓; pentru $x = 5$ , $l g 5 \approx 0, 70$ și expresia dă aproximativ $0, 39 > 0$ , deci $5$ e corect exclus.

Exemplu cu bază subunitară. $(lo g_{1/2} x)^{2} + lo g_{1/2} x - 2 > 0$ . Condiția: $x > 0$ . Cu $t = lo g_{1/2} x$ : $t^{2} + t - 2 > 0$ , cu rădăcinile $- 2$ și $1$ , deci $t < - 2$ sau $t > 1$ . Revenim, ținând cont că baza e subunitară și deci sensul se inversează:

$lo g_{1/2} x < - 2 ⟺ x > (\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ ;
$lo g_{1/2} x > 1 ⟺ 0 < x < \frac{1}{2}$ .

Prin urmare $S = (0, \frac{1}{2}) \cup (4, \infty)$ . Verificare: pentru $x = 8$ , $t = - 3$ și $9 - 3 - 2 = 4 > 0$ ✓; pentru $x = 3$ , $t \approx - 1, 58$ și $2, 51 - 1, 58 - 2 \approx - 1, 07 < 0$ , deci $3$ e corect exclus ✓.

✏️Ilustrație: o axă numerică pe care sunt trasate două benzi suprapuse — banda „condiții de existență" și banda „inegalitatea rezolvată" — iar sub ele, hașurată, porțiunea comună, etichetată „mulțimea soluțiilor = intersecția"

6. Când baza conține necunoscuta

Aici nu mai poți alege o singură regulă: nu știi dacă baza e supraunitară sau subunitară, deci discuți cele două cazuri.

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{x} 2 > 1$ . Condițiile: $x > 0$ și $x \neq = 1$ .

Cazul $x > 1$ . Scriem $1 = lo g_{x} x$ ; baza fiind supraunitară, inegalitatea $lo g_{x} 2 > lo g_{x} x$ este echivalentă cu $2 > x$ . Împreună cu $x > 1$ : $x \in (1, 2)$ .

Cazul $0 < x < 1$ . Baza e subunitară, deci sensul se inversează: $lo g_{x} 2 > lo g_{x} x$ devine $2 < x$ — imposibil, fiindcă $x < 1$ . Acest caz nu aduce nicio soluție.

Reunind: $S = (1, 2)$ . Verificare: pentru $x = 1, 5$ , $lo g_{1, 5} 2 \approx 1, 71 > 1$ ✓; pentru $x = 3$ , $lo g_{3} 2 \approx 0, 63 < 1$ , deci $3$ e corect exclus; pentru $x = 0, 5$ , $lo g_{0, 5} 2 = - 1 < 1$ , deci și acest caz e corect eliminat ✓.

7. Inecuații cu logaritmi de baze diferite

Dacă în aceeași inecuație apar baze diferite, le aduci întâi la o bază comună cu formula de schimbare a bazei, apoi aplici regulile de mai sus. Alegerea bazei comune e la latitudinea ta; de obicei se alege cea mai mică bază care apare, ca să nu ai fracții urâte.

Exemplu. $lo g_{2} x + lo g_{4} x \leq 3$ . Condiția: $x > 0$ . Cum $lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{2}$ , notând $t = lo g_{2} x$ obținem $t + \frac{t}{2} \leq 3$ , adică $\frac{3 t}{2} \leq 3$ și $t \leq 2$ . Revenim: $lo g_{2} x \leq 2 ⟺ 0 < x \leq 4$ , deci $S = (0, 4]$ . Verificare: pentru $x = 4$ , $2 + 1 = 3 \leq 3$ ✓; pentru $x = 8$ , $3 + 1, 5 = 4, 5 > 3$ , deci $8$ e corect exclus.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Inecuație elementară, bază supraunitară

Rezolvați inecuația $lo g_{2} (x - 3) < 2$ .

Rezolvare. Condiția de existență: $x - 3 > 0$ , deci $x > 3$ .

Baza $2$ este supraunitară, deci sensul se păstrează: $x - 3 < 2^{2} = 4$ , adică $x < 7$ .

Intersecția: $S = (3, 7)$ .

Verificare: pentru $x = 5$ , $lo g_{2} 2 = 1 < 2$ ✓; pentru $x = 7$ , $lo g_{2} 4 = 2$ , deci inegalitatea strictă nu are loc și $7$ e corect exclus.

Exemplul 2 — Bază subunitară

Rezolvați inecuația $lo g_{1/2} (x + 1) \geq - 2$ .

Rezolvare. Condiția: $x + 1 > 0$ , deci $x > - 1$ .

Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci sensul se schimbă: $x + 1 \leq (\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ , adică $x \leq 3$ .

Intersecția: $S = (- 1, 3]$ .

Verificare: pentru $x = 3$ , $lo g_{1/2} 4 = - 2$ , deci inegalitatea nelaxă se verifică cu egalitate ✓; pentru $x = 3, 5$ , $lo g_{1/2} 4, 5 \approx - 2, 17 < - 2$ , deci valoarea e corect exclusă.

Exemplul 3 — Logaritmi în ambii membri

Rezolvați inecuația $lo g_{2} (x - 1) < lo g_{2} (3 - x)$ .

Rezolvare. Condițiile: $x - 1 > 0$ și $3 - x > 0$ , deci $1 < x < 3$ .

Baza fiind supraunitară: $x - 1 < 3 - x$ , adică $2 x < 4$ și $x < 2$ .

Intersecția: $S = (1, 2)$ .

Verificare: pentru $x = 1, 5$ , $lo g_{2} 0, 5 = - 1$ și $lo g_{2} 1, 5 \approx 0, 58$ , deci $- 1 < 0, 58$ ✓; pentru $x = 2, 5$ , $lo g_{2} 1, 5 \approx 0, 58$ și $lo g_{2} 0, 5 = - 1$ , deci inegalitatea e falsă și $2, 5$ e corect exclus.

Exemplul 4 — Condiție de existență formată din două intervale

Rezolvați inecuația $lo g_{1/2} (x^{2} - 5 x + 6) > - 1$ .

Rezolvare. Condiția: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ . Trinomul are rădăcinile $2$ și $3$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor: $x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ .

Baza este subunitară, deci sensul se schimbă: $x^{2} - 5 x + 6 < (\frac{1}{2})^{- 1} = 2 ⟺ x^{2} - 5 x + 4 < 0 ⟺ x \in (1, 4) .$

Intersecția pe axă: din $(1, 4)$ scoatem porțiunea $[2, 3]$ , unde argumentul nu e pozitiv: $S = (1, 2) \cup (3, 4) .$

Verificare: pentru $x = 3, 5$ , argumentul e $0, 75$ și $lo g_{1/2} 0, 75 \approx 0, 41 > - 1$ ✓; pentru $x = 4, 5$ , argumentul e $3, 75$ și $lo g_{1/2} 3, 75 \approx - 1, 91$ , deci inegalitatea e falsă ✓.

Exemplul 5 — Substituție

Rezolvați inecuația $lo g_{3}^{2} x - 4 \geq 0$ .

Rezolvare. Condiția: $x > 0$ .

Cu $t = lo g_{3} x$ : $t^{2} \geq 4$ , adică $t \leq - 2$ sau $t \geq 2$ .

Revenim, baza $3$ fiind supraunitară (sensul se păstrează):

$lo g_{3} x \leq - 2 ⟺ 0 < x \leq 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ ;
$lo g_{3} x \geq 2 ⟺ x \geq 9$ .

Așadar $S = (0, \frac{1}{9}] \cup [9, \infty)$ .

Verificare: pentru $x = \frac{1}{9}$ , $t = - 2$ și $4 - 4 = 0 \geq 0$ ✓; pentru $x = 0, 2$ , $t \approx - 1, 46$ și $2, 14 - 4 < 0$ , deci $0, 2$ e corect exclus; pentru $x = 10$ , $t \approx 2, 10$ și $4, 41 - 4 > 0$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $lo g_{3} (x^{2} - 3 x + 3) \leq 1$ .

Rezolvare.

Condiția de existență: $x^{2} - 3 x + 3 > 0$ . Discriminantul este $Δ = 9 - 12 = - 3 < 0$ , iar coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul este strict pozitiv pentru orice $x$ real: condiția nu restrânge nimic, $D = R$ .

Rezolvarea: scriem $1 = lo g_{3} 3$ . Baza fiind supraunitară, inegalitatea devine $x^{2} - 3 x + 3 \leq 3 ⟺ x^{2} - 3 x \leq 0 ⟺ x (x - 3) \leq 0 ⟺ x \in [0, 3] .$

Intersecția cu $D = R$ nu schimbă nimic, deci $S = [0, 3]$ .

Verificare: pentru $x = 0$ , argumentul e $3$ și $lo g_{3} 3 = 1 \leq 1$ ✓ (capătul se include); pentru $x = 1, 5$ , argumentul e $0, 75$ și $lo g_{3} 0, 75 < 0 \leq 1$ ✓; pentru $x = 3, 5$ , argumentul e $4, 75$ și $lo g_{3} 4, 75 > 1$ , deci valoarea e corect exclusă.

Acesta este exemplul care arată că nu orice condiție de existență taie ceva — dar ea trebuie scrisă și justificată, fiindcă baremul o punctează.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare inecuație scrie întâi condițiile de existență, apoi precizează în cuvinte dacă baza e supraunitară sau subunitară, și abia apoi transformă inegalitatea. Răspunsul final se dă ca intersecție, sub formă de intervale.

1. Rezolvă inecuația $lo g_{2} x < 3$ .

2. Rezolvă inecuația $lo g_{1/2} x > 2$ .

3. Rezolvă inecuația $lo g_{3} (x - 2) \leq 1$ .

4. Rezolvă inecuația $lo g_{5} (2 x - 1) > 0$ .

5. Rezolvă inecuația $l g (x + 3) < 1$ .

6. Rezolvă inecuația $lo g_{1/3} (x - 1) \geq - 2$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $lo g_{0, 5} a < lo g_{0, 5} b$ , atunci $a < b$ ."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Inecuația $lo g_{2} (x - 1) < lo g_{2} (3 - x)$ este echivalentă cu $x - 1 < 3 - x$ ."

9. Rezolvă inecuația $lo g_{2} (x^{2} - 4) < lo g_{2} (3 x)$ .

10. Rezolvă inecuația $lo g_{1/2} (x^{2} - 5 x + 6) > - 1$ .

11. Rezolvă inecuația $l g^{2} x - 3 l g x + 2 < 0$ .

12. Rezolvă inecuația $lo g_{3}^{2} x - 4 \geq 0$ .

13. (Problemă aplicată.) O colonie de bacterii are, după $t$ ore, $N (t) = 200 \cdot 2^{t}$ indivizi. După câte ore întregi depășește pentru prima dată $10000$ de indivizi? Scrie condiția cu ajutorul unui logaritm, apoi dă răspunsul.

14. Rezolvă inecuația $lo g_{1/2} (2 x - 3) \geq - 3$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $lo g_{3} (x^{2} - 3 x + 3) \leq 1$ .

16. Rezolvă inecuația $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 3) \leq 2$ .

17. Rezolvă inecuația $(lo g_{1/2} x)^{2} + lo g_{1/2} x - 2 > 0$ .

18. (Provocare.) Rezolvă inecuația $lo g_{x} 2 > 1$ , discutând după valorile bazei.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția: $x > 0$ . Baza supraunitară, deci $x < 2^{3} = 8$ . $S = (0, 8)$ . Verificare: $lo g_{2} 7, 9 \approx 2, 98 < 3$ ✓, iar pentru $x = 8$ se obține exact $3$ , deci $8$ se exclude.

2. Condiția: $x > 0$ . Baza subunitară, deci sensul se schimbă: $x < (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . $S = (0, \frac{1}{4})$ .

3. Condiția: $x > 2$ . Baza supraunitară: $x - 2 \leq 3$ , deci $x \leq 5$ . $S = (2, 5]$ .

4. Condiția: $2 x - 1 > 0$ , deci $x > \frac{1}{2}$ . Cum $0 = lo g_{5} 1$ , inegalitatea devine $2 x - 1 > 1$ , deci $x > 1$ . Intersecția: $S = (1, \infty)$ .

5. Condiția: $x > - 3$ . Baza $10$ e supraunitară: $x + 3 < 10$ , deci $x < 7$ . $S = (- 3, 7)$ .

6. Condiția: $x > 1$ . Baza subunitară, sensul se schimbă: $x - 1 \leq (\frac{1}{3})^{- 2} = 9$ , deci $x \leq 10$ . $S = (1, 10]$ .

7. Fals. Baza $0, 5$ este subunitară, deci funcția e strict descrescătoare și ordinea se inversează: din $lo g_{0, 5} a < lo g_{0, 5} b$ rezultă $a > b$ . Contraexemplu: $lo g_{0, 5} 8 = - 3 < - 1 = lo g_{0, 5} 2$ , dar $8 > 2$ .

8. Fals. Echivalența e incompletă: lipsesc condițiile de existență $x - 1 > 0$ și $3 - x > 0$ . Corect, inecuația este echivalentă cu sistemul format din $x > 1$ și $x - 1 < 3 - x$ , cu soluția $S = (1, 2)$ ; scrierea din enunț ar da greșit $(- \infty, 2)$ .

9. Condițiile: $x^{2} - 4 > 0$ și $3 x > 0$ , deci $x > 2$ . Baza supraunitară: $x^{2} - 4 < 3 x$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ , deci $x \in (- 1, 4)$ . Intersecția: $S = (2, 4)$ .

10. Condiția: $x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ . Baza subunitară: $x^{2} - 5 x + 6 < 2$ , adică $x \in (1, 4)$ . Intersecția: $S = (1, 2) \cup (3, 4)$ .

11. Condiția: $x > 0$ . Cu $t = l g x$ : $t^{2} - 3 t + 2 < 0$ , deci $t \in (1, 2)$ , adică $10 < x < 100$ . $S = (10, 100)$ .

12. Condiția: $x > 0$ . Cu $t = lo g_{3} x$ : $t^{2} \geq 4$ , deci $t \leq - 2$ sau $t \geq 2$ , adică $x \leq \frac{1}{9}$ sau $x \geq 9$ . $S = (0, \frac{1}{9}] \cup [9, \infty)$ .

13. Condiția este $200 \cdot 2^{t} > 10000$ , adică $2^{t} > 50$ , deci $t > lo g_{2} 50 \approx 5, 64$ . Cel mai mic număr întreg de ore este $t = 6$ . Verificare: $200 \cdot 2^{5} = 6400 < 10000$ , iar $200 \cdot 2^{6} = 12800 > 10000$ ✓.

14. Condiția: $2 x - 3 > 0$ , deci $x > \frac{3}{2}$ . Baza subunitară, sensul se schimbă: $2 x - 3 \leq (\frac{1}{2})^{- 3} = 8$ , deci $x \leq \frac{11}{2}$ . $S = (\frac{3}{2}, \frac{11}{2}]$ .

15. Condiția: $x^{2} - 3 x + 3 > 0$ este verificată pentru orice $x$ real, fiindcă $Δ = - 3 < 0$ și coeficientul dominant e pozitiv. Baza supraunitară: $x^{2} - 3 x + 3 \leq 3$ , adică $x^{2} - 3 x \leq 0$ , deci $S = [0, 3]$ .

16. Condițiile: $x > 0$ și $x - 3 > 0$ , deci $x > 3$ . Restrângem: $lo g_{2} (x (x - 3)) \leq 2$ , deci $x^{2} - 3 x \leq 4$ , adică $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ și $x \in [- 1, 4]$ . Intersecția: $S = (3, 4]$ . Verificare pentru $x = 4$ : $lo g_{2} 4 + lo g_{2} 1 = 2 \leq 2$ ✓.

17. Condiția: $x > 0$ . Cu $t = lo g_{1/2} x$ : $t^{2} + t - 2 > 0$ , deci $t < - 2$ sau $t > 1$ . Baza fiind subunitară, revenirea inversează sensul: $t < - 2$ dă $x > 4$ , iar $t > 1$ dă $0 < x < \frac{1}{2}$ . $S = (0, \frac{1}{2}) \cup (4, \infty)$ .

18. Condițiile: $x > 0$ , $x \neq = 1$ . Scriem $1 = lo g_{x} x$ și discutăm. Pentru $x > 1$ (bază supraunitară): $2 > x$ , deci $x \in (1, 2)$ . Pentru $0 < x < 1$ (bază subunitară): $2 < x$ , imposibil. Deci $S = (1, 2)$ . Verificare: $lo g_{1, 5} 2 \approx 1, 71 > 1$ ✓, iar $lo g_{3} 2 \approx 0, 63 < 1$ ✗.

De reținut

La orice inecuație logaritmică rezolvi, de fapt, un sistem: condițiile de existență plus inegalitatea transformată; răspunsul este intersecția lor, niciodată doar una dintre părți.
Discuția după bază este obligatorie: pentru $a > 1$ sensul inegalității se păstrează la trecerea de la logaritmi la argumente; pentru $0 < a < 1$ sensul se schimbă.
Forma completă a echivalenței: pentru $a > 1$ , $lo g_{a} f < lo g_{a} g$ este echivalent cu $f > 0$ și $f < g$ ; pentru $0 < a < 1$ , cu $g > 0$ și $f > g$ .
La substituția $t = lo g_{a} x$ rezolvi inecuația în $t$ și abia la revenire aplici discuția după bază — acolo se pierde sensul, dacă te grăbești.
Când baza conține necunoscuta, tratezi separat cazurile $0 < a < 1$ și $a > 1$ , apoi reunești soluțiile obținute.

Greșeli frecvente

„Ștergi" logaritmii fără condiții. Din $lo g_{2} (x - 1) < lo g_{2} (3 - x)$ scrii direct $x - 1 < 3 - x$ și răspunzi $(- \infty, 2)$ , incluzând valori pentru care logaritmii nici nu există. Domeniul se scrie primul.
Păstrezi sensul la bază subunitară. Din $lo g_{1/2} (x + 1) \geq - 2$ scrii $x + 1 \geq 4$ . Corect este $x + 1 \leq 4$ : la baze subunitare, inegalitatea se răstoarnă.
Uiți să inversezi sensul la revenirea din substituție. Rezolvi corect $t^{2} + t - 2 > 0$ , dar la trecerea de la $lo g_{1/2} x < - 2$ la $x$ păstrezi sensul și obții un răspuns răsturnat față de cel corect.
Faci intersecția „din ochi". Când condiția de existență este o reuniune de intervale, precum $(- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ , intersecția cu $(1, 4)$ se citește corect doar pe axă; altfel pierzi o bucată sau incluzi intervalul interzis $[2, 3]$ .
Incluzi sau excluzi greșit capetele. La inegalități nestricte, capătul intră în soluție doar dacă aparține și domeniului: în $lo g_{2} (x - 3) \leq 2$ capătul $x = 7$ intră, dar $x = 3$ nu, oricât de „rotund" ar părea.

Aplică acasă

Harta celor două cazuri. Fă-ți o fișă A5 împărțită în două coloane, „bază $> 1$ " și „bază $< 1$ ", și scrie în fiecare coloană forma completă a echivalenței, plus un exemplu rezolvat de tine. Ține fișa în manual: e singurul lucru care trebuie memorat din toată lecția.
Testul de plauzibilitate. După fiecare inecuație rezolvată, alege o valoare din interiorul soluției și una din afara ei și verifică numeric cu calculatorul, calculând separat cei doi membri. Dacă valoarea „din afară" verifică inegalitatea, ai greșit sensul undeva.
Praguri din viața reală. Caută un context în care contează depășirea unui prag exponențial (numărul de vizualizări ale unui clip care se dublează zilnic, o sumă depusă cu dobândă) și formulează întrebarea „după cât timp se depășește pragul?" ca inecuație. Rezolv-o cu logaritmi și rotunjește la unitatea potrivită.

Pentru părinți și profesori

Inecuațiile logaritmice concentrează două deprinderi pe care programa de mate-info le cere explicit: analiza unei inecuații pentru a identifica demersul de rezolvare și exprimarea clară a acestui demers. Din experiență, elevii pierd puncte în două locuri distincte: la sensul inegalității (când baza e subunitară) și la intersecția finală cu domeniul. Sunt greșeli diferite, cu remedii diferite — prima se corectează prin reflexul „ce fel de bază am?", a doua prin obligația de a desena axa.

Ce verifică lecția: (1) scrierea completă a condițiilor de existență, inclusiv atunci când argumentul e un trinom; (2) discuția corectă după bază, formulată în cuvinte, nu doar aplicată; (3) rezolvarea inecuațiilor de gradul al doilea auxiliare; (4) citirea corectă a intersecției, cu atenție la capete. Întrebări bune de control: „Ce se schimbă dacă baza devine $\frac{1}{2}$ în loc de $2$ ?", „De ce nu e suficient să scrii $f (x) < g (x)$ ?", „Capătul intervalului intră sau nu în soluție și de ce?".

La Bacalaureat M1, inecuațiile logaritmice apar frecvent la subiectul I, cu enunțuri scurte care conțin mereu un trinom sub logaritm; baremul cere explicit condițiile de existență și forma finală a mulțimii soluțiilor, scrisă cu intervale. Semne că elevul a înțeles: verbalizează spontan „baza e supraunitară, deci sensul se păstrează", desenează axa fără să i se ceară și nu confundă condiția de existență cu inecuația propriu-zisă.

Întrebări frecvente

Ce este o inecuație logaritmică? Este o inegalitate în care necunoscuta apare în argumentul sau în baza unui logaritm, de exemplu $lo g_{2} (x - 3) < 2$ . Se rezolvă transformând-o într-un sistem: condițiile de existență și inegalitatea dintre argumente, obținută prin monotonie.

Când se schimbă sensul inegalității la logaritmi? Când baza este subunitară, adică $0 < a < 1$ . Atunci funcția logaritmică este strict descrescătoare, deci trecerea de la logaritmi la argumente răstoarnă inegalitatea. Pentru $a > 1$ sensul se păstrează.

De ce nu e suficient să compar argumentele? Pentru că logaritmul nu există decât pentru argumente strict pozitive. Comparând doar argumentele poți include în răspuns valori pentru care unul dintre logaritmi nici nu are sens — exact greșeala din care rezultă intervale false, precum $(- \infty, 2)$ în loc de $(1, 2)$ .

Cum rezolv o inecuație de forma $lo g_{a} f (x) < lo g_{a} g (x)$ ? Dacă $a > 1$ , rezolvi sistemul format din $f (x) > 0$ și $f (x) < g (x)$ . Dacă $0 < a < 1$ , rezolvi sistemul format din $g (x) > 0$ și $f (x) > g (x)$ . În ambele cazuri, răspunsul este intersecția soluțiilor sistemului.

Ce fac dacă baza logaritmului conține necunoscuta? Impui condițiile bază $> 0$ și bază $\neq = 1$ , apoi discuți separat cazul în care baza este supraunitară și cel în care este subunitară, rezolvi inecuația în fiecare caz și reunești soluțiile obținute.

Cum folosesc substituția la inecuațiile logaritmice? Notezi $t = lo g_{a} x$ , rezolvi inecuația algebrică rezultată (de obicei de gradul al doilea), apoi revii la $x$ prin inecuații elementare de tipul $lo g_{a} x < t_{0}$ — moment în care aplici din nou discuția după bază.

Capetele intervalelor intră în mulțimea soluțiilor? Numai dacă inegalitatea este nestrictă ( $\leq$ sau $\geq$ ) și dacă valoarea respectivă aparține domeniului de existență. Capetele care provin din condiții de existență, precum $x = 3$ în $lo g_{2} (x - 3)$ , sunt întotdeauna excluse.