Cum calculez (1+i)³ cu formula cubului sumei?

Formula (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ rămâne valabilă: (1+i)³=1+3i+3i²+i³. Cu i²=-1 și i³=-i obții 1+3i-3-i=-2+2i. Verificare pe altă cale: (1+i)²=2i, iar 2i(1+i)=2i+2i²=-2+2i. Cele două drumuri dau același rezultat, pentru că înmulțirea numerelor complexe este asociativă.

Cât face i²⁰²⁶?

Contează doar restul exponentului la împărțirea cu 4. Cum 2024=4· 506, avem 2026=4· 506+2, deci restul este 2 și i²⁰²⁶=i²=-1. Un exponent par dă mereu 1 sau -1, după cum se împarte sau nu la 4.

Când e pur imaginar pătratul lui a + bi?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Înmulțirea și puterile lui i

Din $(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ , pătratul este pur imaginar când partea reală $a^{2} - b^{2}$ este $0$ , iar partea imaginară $2 ab$ nu este $0$ , adică $a^{2} = b^{2}$ și $a$ , $b$ nenule. Exemplu: $(3 - 3 i)^{2} = 9 - 18 i + 9 i^{2} = - 18 i$ , pur imaginar. În schimb $(2 + i)^{2} = 3 + 4 i$ are ambele părți nenule. Pătratul e real când $ab = 0$ , adică pentru numerele reale și cele pur imaginare.

Un produs de două numere complexe se lucrează ca produsul a două binoame: patru produse parțiale, dintre care unul conține $i^{2}$ . Acela se înlocuiește cu $- 1$ , schimbă semnul și se mută lângă termenii fără $i$ . Un control rapid: bucata fără $i$ a rezultatului se obține scăzând din produsul primelor bucăți produsul coeficienților lui $i$ .

Pentru că ordinea factorilor și gruparea lor nu contează, iar înmulțirea se distribuie peste o sumă, pătratul sumei, diferența de pătrate și cubul sumei funcționează și aici. Pătratul lui $a + bi$ are bucata fără $i$ egală cu $a^{2} - b^{2}$ și coeficientul lui $i$ egal cu $2 ab$ , de unde se citește când pătratul iese real sau pur imaginar.

Puterile lui $i$ trec, pe rând, prin $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ și reiau ciclul, deci pentru orice exponent contează doar restul lui la împărțirea cu $4$ . La un produs de puteri adunăm exponenții, iar la o putere a lui $k i$ ridicăm separat numărul real $k$ .

Pentru un produs cu parametru real, condiția se scrie după ce produsul a fost desfăcut. Programele de fractali repetă operația $z^{2} + c$ și se opresc când $a^{2} + b^{2}$ depășește $4$ .

De reținut

$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
$(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$
$i^{n} = i^{r}$ , unde $r$ este restul lui $n$ la împărțirea cu $4$

Greșeala tipică

Se scrie $(3 - 3 i)^{2} = 9 + 9 i^{2}$ , uitând termenul din mijloc $- 18 i$ ; pătratul unui binom are trei termeni, iar rezultatul corect este $- 18 i$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $(- 8 - 5 i) (2 + 8 i)$ ?
- a) $24 - 74 i$
- b) $- 56 - 74 i$
- c) $- 16 - 40 i$
- d) $24 - 64 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $24 - 74 i$

$(- 8 - 5 i) (2 + 8 i) = - 16 - 64 i - 10 i - 40 i^{2} = 24 - 74 i$ , fiindcă $- 40 i^{2} = 40$ .
Cu ce este egal $i^{73}$ ?
- a) $1$
- b) $- 1$
- c) $i$
- d) $- i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $i$

$73 = 4 \cdot 18 + 1$ , deci $i^{73} = i^{1} = i$ .
Pătratul $(2 + 10 i)^{2}$ este egal cu:
- a) $104 + 40 i$
- b) $- 96 + 40 i$
- c) $- 96 - 40 i$
- d) $- 96 + 20 i$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 96 + 40 i$

$(2 + 10 i)^{2} = 4 + 40 i + 100 i^{2} = - 96 + 40 i$ .

Întrebări conexe

Cum calculez $(1 + i)^{3}$ cu formula cubului sumei?

Formula $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ rămâne valabilă: $(1 + i)^{3} = 1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$ . Cu $i^{2} = - 1$ și $i^{3} = - i$ obții $1 + 3 i - 3 - i = - 2 + 2 i$ . Verificare pe altă cale: $(1 + i)^{2} = 2 i$ , iar $2 i (1 + i) = 2 i + 2 i^{2} = - 2 + 2 i$ . Cele două drumuri dau același rezultat, pentru că înmulțirea numerelor complexe este asociativă.

Cât face $i^{2026}$ ?

Contează doar restul exponentului la împărțirea cu $4$ . Cum $2024 = 4 \cdot 506$ , avem $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , deci restul este $2$ și $i^{2026} = i^{2} = - 1$ . Un exponent par dă mereu $1$ sau $- 1$ , după cum se împarte sau nu la $4$ .

Cât face suma $i + i^{2} + i^{3} + i^{4}$ și ce urmează din ea?

Suma este $i - 1 - i + 1 = 0$ . Orice patru puteri consecutive ale lui $i$ se adună la $0$ , pentru că reiau aceleași patru valori. Astfel, $i + i^{2} + \dots + i^{10}$ se reduce la ultimele două puteri rămase după grupare: $i^{9} + i^{10} = i - 1$ .

Pentru ce $x$ real este pur imaginar produsul $(x + 2 i) (3 - i)$ ?

Desfaci produsul: $3 x - x i + 6 i - 2 i^{2} = (3 x + 2) + (6 - x) i$ . Partea reală se anulează pentru $x = - \frac{2}{3}$ , iar partea imaginară devine $6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \neq = 0$ . Deci produsul este pur imaginar pentru $x = - \frac{2}{3}$ . Condiția se pune abia după desfacerea parantezelor, nu pe fiecare factor în parte.

Cât face $(2 + i)^{2} + (2 - i)^{2}$ ?

Calculezi fiecare pătrat: $(2 + i)^{2} = 4 + 4 i - 1 = 3 + 4 i$ și $(2 - i)^{2} = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i$ . Suma este $6$ , un număr real, pentru că cele două numere sunt conjugate și coeficienții lui $i$ se anulează. Aceeași anulare apare la orice sumă $z^{2} + \overset{z}{ˉ}^{2}$ , care este mereu un număr real.

Oamenii mai întreabă și: pătratul unui număr complex pur imaginar · când este real pătratul unui număr complex · a plus bi la pătrat · puterile lui i

Când e pur imaginar pătratul lui a + bi?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum calculez (1+i)3 cu formula cubului sumei?

Cât face i2026?

Cât face suma i+i2+i3+i4 și ce urmează din ea?

Pentru ce x real este pur imaginar produsul (x+2i)(3−i)?

Cât face (2+i)2+(2−i)2?

Continuă cu

Cum calculez $(1 + i)^{3}$ cu formula cubului sumei?

Cât face $i^{2026}$ ?

Cât face suma $i + i^{2} + i^{3} + i^{4}$ și ce urmează din ea?

Pentru ce $x$ real este pur imaginar produsul $(x + 2 i) (3 - i)$ ?

Cât face $(2 + i)^{2} + (2 - i)^{2}$ ?