Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Imaginile colorate ale mulțimii Mandelbrot, pe care le-ai văzut poate pe un poster sau într-un clip, sunt desenate de un program care face, pentru fiecare pixel, un singur tip de calcul: ridică la pătrat un număr complex, adună un număr fix și repetă. Tot ce trebuie să știe programul este cum se înmulțesc două numere complexe. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), înmulțirea se face cu regulile de calcul algebric pe care le cunoști, la care se adaugă o singură regulă nouă, $i^{2} = - 1$ ; din ea rezultă și comportamentul surprinzător al puterilor lui $i$ , care revin la aceleași patru valori. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține operațiile cu numere complexe; în varianta-model pentru 2026, prima cerință a Subiectului I cere să arăți că o expresie de forma $z_{1} + 3 i z_{2}$ , pentru două numere complexe date, are o valoare dată, deci conține produsul dintre $3 i$ și un număr complex.

Ai învățat să aduni și să scazi pe părți în lecția M2 despre adunarea numerelor complexe; aici folosești aceleași deprinderi la ultimul pas al fiecărui produs. Formula cubului unei sume, de care ai nevoie la puterea a treia, este cea din lecția de clasa a IX-a despre formulele de calcul prescurtat de ordinul 3.

Ce vei învăța

Vei face înmulțiri de numere complexe desfăcând parantezele și înlocuind $i^{2}$ cu $- 1$ , fără să memorezi o formulă nouă.
Vei ști să calculezi pătratul și cubul unui număr complex cu formulele de calcul prescurtat din clasa a IX-a.
Vei ști să hotărăști, cu un parametru real, când un produs sau un pătrat este real ori pur imaginar.
Vei ști să calculezi orice putere naturală a lui $i$ din restul împărțirii exponentului la $4$ .
Vei ști să urmărești câțiva pași din iterația $z^{2} + c$ și să citești criteriul folosit de programele care desenează fractali.

Hai să descoperim împreună

1. Produsul: paranteze desfăcute și o singură regulă nouă

Înmulțirea numerelor complexe nu cere o tehnică nouă. Desfaci parantezele ca la orice produs de două sume, apoi înlocuiești $i^{2}$ cu $- 1$ și grupezi termenii.

Pentru $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ , cu $a$ , $b$ , $c$ , $d$ reale, produsul este numărul complex $z_{1} z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i .$

Formula se obține direct: $(a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2}$ , iar termenul $b d i^{2}$ devine $- b d$ și trece la partea reală. Pe un obiect care nu mai apare în lecție: $(- 4 + 3 i) (6 - i) = - 24 + 4 i + 18 i - 3 i^{2} = - 24 + 22 i + 3 = - 21 + 22 i .$

În practică, scrie cele patru produse parțiale, apoi fă un singur pas de „curățenie”: termenul care conține $i^{2}$ își schimbă semnul și devine real. Formula rămâne utilă mai ales ca verificare: partea reală a produsului este „produsul părților reale minus produsul părților imaginare”, iar partea imaginară este suma celor două produse încrucișate.

Diferența față de adunare merită spusă apăsat. La adunare, fiecare parte a rezultatului depinde doar de părțile de același fel; la înmulțire, fiecare parte a rezultatului amestecă toate cele patru numere $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . De aceea un număr complex înmulțit cu altul își poate schimba complet „aspectul”: două numere cu toate părțile pozitive pot avea un produs cu partea reală negativă, de fiecare dată când produsul părților imaginare îl depășește pe cel al părților reale.

Două produse speciale. Când unul dintre factori este un număr real $k$ , două dintre produsele parțiale sunt zero și rămâne $k (a + bi) = k a + k bi$ , regula folosită deja în lecția despre adunare. Când unul dintre factori este chiar $i$ , rămâne $i (a + bi) = ai + b i^{2} = - b + ai$ : părțile își schimbă locul, iar cea care devine reală își schimbă semnul. Acest produs apare des în cerințele scurte, ca parte a unui calcul mai lung, și merită făcut fără ezitare.

2. De ce rămân valabile regulile din algebră?

Înmulțirea numerelor complexe se comportă ca aceea a numerelor reale: poți schimba ordinea factorilor, $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$ (comutativitatea), îi poți grupa cum vrei, $(z_{1} z_{2}) z_{3} = z_{1} (z_{2} z_{3})$ (asociativitatea), factorul $1$ nu schimbă nimic, iar un factor se împarte peste o sumă, $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$ (distributivitatea). Comutativitatea se vede chiar din formulă: schimbând rolurile lui $a + bi$ și $c + d i$ , obții $(c a - d b) + (c b + d a) i$ , adică același număr.

Consecința care contează pentru tine: toate formulele de calcul prescurtat rămân adevărate pentru numere complexe, pentru că ele se demonstrează folosind numai aceste proprietăți. Pătratul sumei, diferența de pătrate, cubul sumei se aplică exact ca în clasa a IX-a; diferența apare doar când un termen conține $i$ și îl ridici la putere.

3. Pătratul unui număr complex

Aplicând pătratul sumei: $(a + bi)^{2} = a^{2} + 2 abi + b^{2} i^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi .$

Pe un obiect propriu: $(- 7 + 9 i)^{2} = 49 - 126 i - 81 = - 32 - 126 i$ .

Pătratul unui număr cu părțile mici poate avea părți mari: aici, două părți de o cifră au dat un rezultat cu părți de ordinul zecilor și al sutelor. Asta e normal, fiindcă apar pătratele părților și dublul produsului lor.

Formula îți spune imediat când pătratul are o formă specială. Partea imaginară $2 ab$ este zero exact când $a = 0$ sau $b = 0$ , deci pătratul este real numai pentru numerele reale și pentru cele pur imaginare. Partea reală $a^{2} - b^{2}$ este zero exact când $a = b$ sau $a = - b$ ; dacă, în plus, $ab \neq = 0$ , pătratul este pur imaginar. Condițiile acestea transformă o întrebare despre numere complexe într-o ecuație cu numere reale.

4. Cubul, cu formula din clasa a IX-a

Formula $(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ rămâne valabilă și când $y$ conține $i$ . Cu $y = bi$ ai nevoie de $i^{2} = - 1$ și de $i^{3} = i^{2} \cdot i = - i$ : $(a + bi)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} bi - 3 a b^{2} - b^{3} i = (a^{3} - 3 a b^{2}) + (3 a^{2} b - b^{3}) i .$

Pe un obiect propriu, cu $a = - 2$ și $b = 1$ : $(- 2 + i)^{3} = (- 2)^{3} + 3 \cdot (- 2)^{2} \cdot i + 3 \cdot (- 2) \cdot i^{2} + i^{3} = - 8 + 12 i + 6 - i = - 2 + 11 i .$

Termenul al treilea, $3 \cdot (- 2) \cdot i^{2}$ , a devenit $+ 6$ și a trecut la partea reală, iar $i^{3}$ a devenit $- i$ .

Poți verifica rezultatul și pe al doilea drum: $(- 2 + i)^{2} = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i$ , iar $(3 - 4 i) (- 2 + i) = - 6 + 3 i + 8 i - 4 i^{2} = - 2 + 11 i$ , același număr.

Nu memora forma finală a cubului. Scrie cei patru termeni ai formulei de clasa a IX-a, calculează fiecare putere a lui $i$ separat și abia la sfârșit grupează. Dacă preferi, poți calcula întâi pătratul și apoi îl înmulțești cu numărul inițial; cele două drumuri dau același rezultat și se pot verifica unul pe altul.

5. Ce se întâmplă cu puterile lui $i$ ?

Pornind de la $i^{2} = - 1$ și înmulțind de fiecare dată cu $i$ : $i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = 1.$

Am revenit la $1$ , deci de aici valorile se repetă în aceeași ordine: $i^{5} = i$ , $i^{6} = - 1$ și așa mai departe. Puterile lui $i$ iau doar patru valori.

Regula restului. Dacă $n = 4 q + r$ , unde $r \in {0, 1, 2, 3}$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$ , atunci $i^{n} = i^{r}$ . Demonstrația are un rând: $i^{n} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r} = 1^{q} \cdot i^{r} = i^{r}$ .

Pe un obiect propriu: $83 = 4 \cdot 20 + 3$ , deci $i^{83} = i^{3} = - i$ .

De ce tocmai patru? Fiecare înmulțire cu $i$ schimbă valoarea după același tipar: $1$ devine $i$ , $i$ devine $- 1$ , $- 1$ devine $- i$ , iar $- i$ devine $- i^{2} = 1$ . După patru pași tiparul se închide, deci orice exponent se poate „scurta” cu multipli de $4$ fără să schimbe rezultatul. Același raționament funcționează și când exponentul e scris cu litere: pentru orice număr natural $k$ , $i^{4 k + 1} = i$ , iar $i^{4 k + 2} = - 1$ . Nu ai nevoie să știi cât este $k$ , ci doar ce rest rămâne.

Două consecințe utile, pe care le folosești fără să mai calculezi puteri mari. Un produs de puteri se transformă într-o singură putere, prin adunarea exponenților: $i^{m} \cdot i^{n} = i^{m + n}$ . Iar o putere a unui multiplu al lui $i$ se desparte în doi factori: $(k i)^{n} = k^{n} \cdot i^{n}$ , cu $k$ real. Exponenții negativi cer inversul lui $i$ , adică o împărțire; ei apar după lecția despre împărțirea numerelor complexe la M2.

6. Când este un produs real sau pur imaginar?

Când un factor depinde de un parametru real $m$ , aduci produsul la forma algebrică și pui pe partea potrivită condiția de real sau de pur imaginar, cea din lecția M2 despre forma algebrică. Pentru $(m - 2 i) (4 + 6 i)$ : $(m - 2 i) (4 + 6 i) = 4 m + 6 mi - 8 i - 12 i^{2} = (4 m + 12) + (6 m - 8) i .$

Produsul este pur imaginar când $4 m + 12 = 0$ și $6 m - 8 \neq = 0$ . Din prima condiție $m = - 3$ , iar atunci $6 m - 8 = - 26$ , diferit de zero, deci produsul este $- 26 i$ . Produsul este real când $6 m - 8 = 0$ , adică pentru $m = \frac{4}{3}$ , iar valoarea lui este atunci $\frac{52}{3}$ .

Regula de lucru e aceeași ca la sume: întâi forma algebrică, apoi condiția. Dacă pui condiția înainte de a desface parantezele, pierzi termenul care vine din $i^{2}$ și care schimbă partea reală.

7. Iterația $z^{2} + c$ : un pas din desenarea unui fractal

Programele care desenează mulțimea Mandelbrot aleg, pentru fiecare pixel, un număr complex $c$ și construiesc șirul $z_{0} = 0, z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c .$

Dacă numerele șirului rămân mereu aproape de origine, $c$ aparține mulțimii, iar pixelul se colorează în negru. Dacă la un pas numărul $z_{n} = a + bi$ are $a^{2} + b^{2} > 4$ , se demonstrează că șirul „fuge” spre valori tot mai mari; programul se oprește și colorează pixelul după numărul de pași făcuți. Criteriul folosește doar părțile numărului, deci doar înmulțiri și adunări.

Un calculator nu poate face o infinitate de pași, așa că programul fixează un număr maxim, de obicei câteva sute. Un pixel care nu a depășit pragul până atunci e colorat în negru, ca aparținând mulțimii. Culorile spectaculoase de la marginea imaginii vin din pixelii care au ieșit abia după zeci sau sute de pași: ele arată cât de „aproape” de mulțime se află numărul $c$ . Pentru fiecare pas, programul calculează $a^{2} - b^{2}$ și $2 ab$ , adică exact formula pătratului din secțiunea 3.

Pentru $c = - i$ , pe un obiect care nu mai apare în lecție: $z_{1} = 0^{2} - i = - i$ ; $z_{2} = (- i)^{2} - i = - 1 - i$ ; $z_{3} = (- 1 - i)^{2} - i = 2 i - i = i$ ; $z_{4} = i^{2} - i = - 1 - i$ . Am revenit la $z_{2}$ , deci de aici șirul se repetă: $- 1 - i$ , $i$ , $- 1 - i$ , $i$ , … Valorile $a^{2} + b^{2}$ sunt doar $1$ și $2$ , niciodată peste $4$ , așa că $c = - i$ aparține mulțimii.

Figura A arată primii pași ca puncte, în felul în care îi desenează un program de grafică: numărului $a + bi$ îi corespunde punctul de coordonate $(a, b)$ . Așezarea numerelor complexe în plan are lecția ei, planul complex la M2; aici figura doar îți arată că șirul se învârte între două poziții și nu se îndepărtează. Un program ar marca pixelul lui $c = - i$ cu negru: oricâți pași ar face, valorile rămân aceleași trei puncte.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un produs, cu verificarea prin formulă

Calculați $(- 9 - 4 i) (- 3 + 6 i)$ .

Rezolvare. Scriem cele patru produse parțiale: $(- 9 - 4 i) (- 3 + 6 i) = 27 - 54 i + 12 i - 24 i^{2} .$

Termenul $- 24 i^{2}$ devine $+ 24$ , deci $(- 9 - 4 i) (- 3 + 6 i) = 51 - 42 i$ .

Verificare prin formulă: partea reală este $(- 9) (- 3) - (- 4) (6) = 27 + 24 = 51$ , iar partea imaginară este $(- 9) (6) + (- 4) (- 3) = - 54 + 12 = - 42$ . Cele două drumuri se controlează reciproc.

Observă semnele: ambele numere au partea reală negativă, dar produsul are partea reală pozitivă, $51$ , fiindcă produsul părților reale e pozitiv și i se adaugă $24$ din $- 24 i^{2}$ . Un control de semn făcut înainte de calcul, „ce semn așteptăm la fiecare parte?”, prinde multe greșeli.

Exemplul 2 — Pentru ce valori pătratul este pur imaginar?

Determinați numerele reale $a$ pentru care $(a + 6 i)^{2}$ este pur imaginar.

Rezolvare. $(a + 6 i)^{2} = (a^{2} - 36) + 12 ai$ . Numărul este pur imaginar când $a^{2} - 36 = 0$ și $12 a \neq = 0$ . Prima condiție dă $a = 6$ sau $a = - 6$ ; pentru amândouă, $12 a \neq = 0$ . Deci $a \in {- 6, 6}$ .

Verificare: $(6 + 6 i)^{2} = 36 + 72 i - 36 = 72 i$ și $(- 6 + 6 i)^{2} = 36 - 72 i - 36 = - 72 i$ . Observă că $a = 0$ nu convine: $(6 i)^{2} = - 36$ este real, nu pur imaginar.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „ $(- 6 + i) (2 + 9 i) = - 12 - 54 i + 2 i + 9 = - 3 - 52 i$ .” Verificați și corectați.

Rezolvare. Ultimul produs parțial este $i \cdot 9 i = 9 i^{2} = - 9$ , nu $+ 9$ : elevul a tratat $i^{2}$ ca și cum ar fi $1$ . Calculul corect: $(- 6 + i) (2 + 9 i) = - 12 - 54 i + 2 i + 9 i^{2} = - 12 - 52 i - 9 = - 21 - 52 i .$

Partea imaginară, $- 52$ , era corectă; greșeala a stricat doar partea reală. Tocmai de aceea e util controlul prin formulă: $(- 6) (2) - (1) (9) = - 21$ .

Greșeala e frecventă pentru că produsul $i \cdot 9 i$ arată ca un produs obișnuit de două monoame, iar reflexul din clasa a IX-a spune „ $i \cdot i = i^{2}$ , deci un pătrat, deci pozitiv”. Tocmai acest reflex trebuie corectat: pătratul lui $i$ este negativ. Un elev care scrie de fiecare dată $i^{2}$ explicit și abia apoi îl înlocuiește cu $- 1$ nu mai face această greșeală.

Exemplul 4 — Puteri ale lui $i$ în patru forme

Calculați $i^{1573}$ , $i^{17} \cdot i^{22}$ , $(2 i)^{7}$ și $(- i)^{11}$ .

Rezolvare. $1573 = 4 \cdot 393 + 1$ , deci $i^{1573} = i^{1} = i$ .

$i^{17} \cdot i^{22} = i^{39}$ , iar $39 = 4 \cdot 9 + 3$ , deci $i^{17} \cdot i^{22} = - i$ .

$(2 i)^{7} = 2^{7} \cdot i^{7} = 128 \cdot (- i) = - 128 i$ , fiindcă $7 = 4 \cdot 1 + 3$ .

$(- i)^{11} = (- 1)^{11} \cdot i^{11} = - i^{11}$ , iar $11 = 4 \cdot 2 + 3$ , deci $i^{11} = - i$ și $(- i)^{11} = i$ .

În toate cele patru cazuri drumul a fost același: aduci expresia la o singură putere a lui $i$ , eventual cu un coeficient real în față, apoi citești restul. Scrie împărțirea cu rest explicit, cu câtul și restul; e mai sigur decât un calcul „din cap”, iar la o lucrare scrisă arată raționamentul.

Exemplul 5 — Doi pixeli ai unui fractal

Pentru iterația $z_{0} = 0$ , $z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c$ , calculați primii pași și decideți ce face programul pentru: a) $c = 2 i$ ; b) $c = \frac{1}{2} i$ .

Rezolvare. a) $z_{1} = 2 i$ , cu $a^{2} + b^{2} = 4$ , deci încă nu se depășește pragul. Apoi $z_{2} = (2 i)^{2} + 2 i = - 4 + 2 i$ , cu $a^{2} + b^{2} = 16 + 4 = 20 > 4$ . Șirul fuge, iar programul colorează pixelul după al doilea pas.

b) $z_{1} = \frac{1}{2} i$ ; $z_{2} = (\frac{1}{2} i)^{2} + \frac{1}{2} i = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} i$ ; $z_{3} = (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} i)^{2} + \frac{1}{2} i = - \frac{3}{16} + \frac{1}{4} i$ . Valorile $a^{2} + b^{2}$ sunt $\frac{1}{4}$ , $\frac{5}{16}$ și $\frac{25}{256}$ , toate mult sub $4$ . Trei pași nu dovedesc nimic, dar programele continuă sute de pași; pentru acest $c$ șirul rămâne lângă origine, iar punctul aparține mulțimii.

Diferența dintre cele două cazuri vine din mărimea părților: la $c = 2 i$ , pătratul lui $2 i$ a produs o parte reală de $- 4$ , iar numerele au crescut rapid; la $c = \frac{1}{2} i$ , pătratele unor numere subunitare sunt și mai mici, așa că șirul nu are cum să „explodeze” în primii pași.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră numerele complexe $z_{1} = 7 - i$ și $z_{2} = 2 + 4 i$ . a) Arătați că $z_{1} z_{2} = 18 + 26 i$ . b) Determinați numărul real $a$ pentru care numărul $z_{1} + a i z_{2}$ este real.

Rezolvare. a) $z_{1} z_{2} = (7 - i) (2 + 4 i) = 14 + 28 i - 2 i - 4 i^{2} = 18 + 26 i$ .

b) $i z_{2} = 2 i + 4 i^{2} = - 4 + 2 i$ , deci $z_{1} + a i z_{2} = (7 - 4 a) + (2 a - 1) i$ . Numărul este real când $2 a - 1 = 0$ , adică $a = \frac{1}{2}$ . Pentru această valoare, $z_{1} + a i z_{2} = 7 - 2 = 5$ .

Redactarea completă contează la acest tip de cerință: calculezi întâi produsul $i z_{2}$ , scrii numărul întreg în formă algebrică, precizezi condiția („partea imaginară este zero”) și abia apoi o rezolvi. Faptul că $a$ este real îți permite să citești părțile direct din expresie.

Să exersăm

La fiecare produs scrie întâi produsele parțiale, apoi înlocuiește $i^{2}$ cu $- 1$ . La puteri, împarte exponentul la $4$ .

1. Calculează: a) $(5 + 6 i) (- 1 + 7 i)$ ; b) $(9 - 5 i) (- 2 + 7 i)$ ; c) $(\frac{1}{2} + 3 i) (10 - 4 i)$ ; d) $3 i (- 8 + 7 i)$ .

2. Calculează pătratele: a) $(5 + 9 i)^{2}$ ; b) $(- 6 - 2 i)^{2}$ ; c) $(\frac{3}{2} - 2 i)^{2}$ ; d) $(1 - 7 i)^{2}$ .

3. Care dintre numerele $i^{61}$ , $i^{94}$ , $i^{127}$ , $i^{1004}$ sunt reale și care sunt pur imaginare?

4. Găsește cel mai mic număr natural $n$ mai mare decât $50$ pentru care $i^{n} = - i$ . Câte numere naturale $n$ de la $1$ la $100$ au această proprietate?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Produsul a două numere pur imaginare este un număr real.

6. Fie $z_{1} = 3 + 8 i$ , $z_{2} = - 1 - 6 i$ și $z_{3} = 7 - 6 i$ . Calculează $z_{1} (z_{2} + z_{3})$ și $z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$ și compară rezultatele.

7. Determină numărul real $x$ pentru care $(x + 3 i) (2 - 6 i)$ este: a) real; b) pur imaginar. Calculează produsul în fiecare caz.

8. Calculează $(- 1 - 2 i)^{3}$ cu formula cubului unei sume.

9. Calculează $z^{2} - 3 z + 7$ pentru $z = 9 - 8 i$ .

10. (Problemă aplicată.) Un program de fractali verifică pixelul $c = - 1 - i$ . Calculează $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ pentru $z_{0} = 0$ , $z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c$ și spune la ce pas se oprește programul, folosind criteriul $a^{2} + b^{2} > 4$ .

11. Arată că, pentru orice numere reale $a$ și $b$ , produsul $(a + bi) (b + ai)$ are partea reală zero. Verifică pe $(1 + 8 i) (8 + i)$ .

12. Un elev scrie „ $(- 7 + 4 i)^{2} = 49 - 56 i + 16 i = 49 - 40 i$ ”. Găsește greșeala și calculează corect.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele complexe $z_{1} = 5 - 7 i$ și $z_{2} = 3 + 7 i$ . Arătați că $z_{1} z_{2} = 64 + 14 i$ și calculați partea reală a numărului $z_{1}^{2}$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $i^{19} \cdot (3 + 2 i) = 2 - 3 i$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că numărul complex $z = 7 + 7 i$ verifică relația $z^{2} - 14 z + 98 = 0$ .

16. Arată că $i^{n} + i^{n + 2} = 0$ pentru orice număr natural $n$ .

17. Demonstrează că $(z + 1)^{2} - (z - 1)^{2} = 4 z$ pentru orice număr complex $z$ , apoi verifică relația pe $z = - 3 - 8 i$ .

18. (Provocare.) Găsește toate numerele complexe $z = a + bi$ , cu $a$ și $b$ întregi, pentru care $z^{2}$ este pur imaginar și $a^{2} + b^{2} = 162$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $(5 + 6 i) (- 1 + 7 i) = - 5 + 35 i - 6 i + 42 i^{2} = - 47 + 29 i$ . b) $(9 - 5 i) (- 2 + 7 i) = - 18 + 63 i + 10 i - 35 i^{2} = 17 + 73 i$ . c) $(\frac{1}{2} + 3 i) (10 - 4 i) = 5 - 2 i + 30 i - 12 i^{2} = 17 + 28 i$ . d) $3 i (- 8 + 7 i) = - 24 i + 21 i^{2} = - 21 - 24 i$ .

2. a) $(5 + 9 i)^{2} = 25 + 90 i - 81 = - 56 + 90 i$ . b) $(- 6 - 2 i)^{2} = 36 + 24 i - 4 = 32 + 24 i$ . c) $(\frac{3}{2} - 2 i)^{2} = \frac{9}{4} - 6 i - 4 = - \frac{7}{4} - 6 i$ . d) $(1 - 7 i)^{2} = 1 - 14 i - 49 = - 48 - 14 i$ .

3. $61 = 4 \cdot 15 + 1$ , deci $i^{61} = i$ ; $94 = 4 \cdot 23 + 2$ , deci $i^{94} = - 1$ ; $127 = 4 \cdot 31 + 3$ , deci $i^{127} = - i$ ; $1004 = 4 \cdot 251$ , deci $i^{1004} = 1$ . Reale: $i^{94}$ și $i^{1004}$ ; pur imaginare: $i^{61}$ și $i^{127}$ .

4. $i^{n} = - i$ exact când restul lui $n$ la $4$ este $3$ . Cel mai mic astfel de număr peste $50$ este $51$ , fiindcă $51 = 4 \cdot 12 + 3$ . De la $1$ la $100$ , numerele cu restul $3$ sunt $3$ , $7$ , …, $99$ , adică $25$ de numere.

5. Adevărat. Pentru $b$ și $d$ reale, nenule, $(bi) (d i) = b d i^{2} = - b d$ , care este un număr real. De exemplu, $(4 i) (- 7 i) = - 28 i^{2} = 28$ .

6. $z_{2} + z_{3} = 6 - 12 i$ , deci $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = (3 + 8 i) (6 - 12 i) = 18 - 36 i + 48 i - 96 i^{2} = 114 + 12 i$ . Separat, $z_{1} z_{2} = (3 + 8 i) (- 1 - 6 i) = 45 - 26 i$ și $z_{1} z_{3} = (3 + 8 i) (7 - 6 i) = 69 + 38 i$ , cu suma $114 + 12 i$ . Rezultatele coincid, cum cere distributivitatea.

7. $(x + 3 i) (2 - 6 i) = 2 x - 6 x i + 6 i - 18 i^{2} = (2 x + 18) + (6 - 6 x) i$ . a) Real: $6 - 6 x = 0$ , deci $x = 1$ , iar produsul este $20$ . b) Pur imaginar: $2 x + 18 = 0$ , deci $x = - 9$ , iar partea imaginară $6 + 54 = 60$ nu este zero; produsul este $60 i$ .

8. Cu $x = - 1$ și $y = - 2 i$ : $(- 1 - 2 i)^{3} = (- 1)^{3} + 3 (- 1)^{2} (- 2 i) + 3 (- 1) (- 2 i)^{2} + (- 2 i)^{3} = - 1 - 6 i + 12 + 8 i = 11 + 2 i$ . Am folosit $(- 2 i)^{2} = - 4$ și $(- 2 i)^{3} = - 8 i^{3} = 8 i$ .

9. $z^{2} = (9 - 8 i)^{2} = 81 - 144 i - 64 = 17 - 144 i$ și $3 z = 27 - 24 i$ , deci $z^{2} - 3 z + 7 = (17 - 27 + 7) + (- 144 + 24) i = - 3 - 120 i$ .

10. $z_{1} = c = - 1 - i$ , cu $a^{2} + b^{2} = 2$ . $z_{2} = (- 1 - i)^{2} + (- 1 - i) = 2 i - 1 - i = - 1 + i$ , cu $a^{2} + b^{2} = 2$ . $z_{3} = (- 1 + i)^{2} + (- 1 - i) = - 2 i - 1 - i = - 1 - 3 i$ , cu $a^{2} + b^{2} = 1 + 9 = 10 > 4$ . Programul se oprește la al treilea pas: pixelul nu aparține mulțimii.

11. $(a + bi) (b + ai) = ab + a^{2} i + b^{2} i + ab i^{2} = (ab - ab) + (a^{2} + b^{2}) i = (a^{2} + b^{2}) i$ : partea reală este zero. Verificare: $(1 + 8 i) (8 + i) = 8 + i + 64 i + 8 i^{2} = 65 i$ , iar $1^{2} + 8^{2} = 65$ .

12. Dublul produs, $- 56 i$ , este corect, dar ultimul termen este $(4 i)^{2} = 16 i^{2} = - 16$ , nu $16 i$ : elevul a scris $i$ în loc de $i^{2}$ și a mutat un număr real în partea imaginară. Corect: $(- 7 + 4 i)^{2} = 49 - 56 i + 16 i^{2} = 33 - 56 i$ .

13. $z_{1} z_{2} = (5 - 7 i) (3 + 7 i) = 15 + 35 i - 21 i - 49 i^{2} = 64 + 14 i$ . Apoi $z_{1}^{2} = (5 - 7 i)^{2} = 25 - 70 i + 49 i^{2} = - 24 - 70 i$ , deci partea reală a lui $z_{1}^{2}$ este $- 24$ .

14. $19 = 4 \cdot 4 + 3$ , deci $i^{19} = i^{3} = - i$ . Atunci $i^{19} \cdot (3 + 2 i) = - i (3 + 2 i) = - 3 i - 2 i^{2} = 2 - 3 i$ .

15. $z^{2} = (7 + 7 i)^{2} = 49 + 98 i - 49 = 98 i$ și $14 z = 14 (7 + 7 i) = 98 + 98 i$ , deci $z^{2} - 14 z + 98 = (0 - 98 + 98) + (98 - 98) i = 0$ .

16. $i^{n + 2} = i^{n} \cdot i^{2} = - i^{n}$ , deci $i^{n} + i^{n + 2} = i^{n} - i^{n} = 0$ , oricare ar fi $n$ .

17. Cu formula diferenței de pătrate: $(z + 1)^{2} - (z - 1)^{2} = ((z + 1) - (z - 1)) ((z + 1) + (z - 1)) = 2 \cdot 2 z = 4 z$ . Pentru $z = - 3 - 8 i$ : $(- 2 - 8 i)^{2} = 4 + 32 i - 64 = - 60 + 32 i$ , $(- 4 - 8 i)^{2} = 16 + 64 i - 64 = - 48 + 64 i$ , iar diferența este $- 12 - 32 i = 4 z$ .

18. $z^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ este pur imaginar când $a^{2} = b^{2}$ și $ab \neq = 0$ , deci $b = a$ sau $b = - a$ , cu $a \neq = 0$ . Atunci $a^{2} + b^{2} = 2 a^{2} = 162$ , deci $a^{2} = 81$ și $a = \pm 9$ . Numerele sunt $9 + 9 i$ , $9 - 9 i$ , $- 9 + 9 i$ și $- 9 - 9 i$ .

De reținut

Produsul se calculează desfăcând parantezele și înlocuind $i^{2}$ cu $- 1$ : $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ .
Înmulțirea este comutativă, asociativă și distributivă, deci formulele de calcul prescurtat din clasa a IX-a rămân valabile.
$(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 abi$ : pătratul e real doar pentru numere reale sau pur imaginare și e pur imaginar când $a^{2} = b^{2}$ , cu $ab \neq = 0$ .
Valorile lui $i^{n}$ revin la fiecare patru exponenți: $i^{n} = i^{r}$ , unde $r$ este restul lui $n$ la $4$ ; $i^{m} \cdot i^{n} = i^{m + n}$ și $(k i)^{n} = k^{n} i^{n}$ .
Condițiile de real sau pur imaginar se pun după ce produsul a fost adus la forma algebrică.

Greșeli frecvente

Doar două produse parțiale din patru. Unii elevi scriu „ $(a + bi) (c + d i) = a c + b d i$ ”, combinând doar partea reală cu partea reală și coeficientul lui $i$ cu coeficientul lui $i$ , ca la o adunare. Înmulțirea cere toate cele patru produse parțiale, inclusiv cele încrucișate.
$(- i)^{n}$ confundat cu $- i^{n}$ . Paranteza contează: $(- i)^{2} = i^{2} = - 1$ , pe când $- i^{2} = - (- 1) = 1$ . La $(- i)^{n}$ se ridică la putere și semnul, deci $(- i)^{n} = (- 1)^{n} \cdot i^{n}$ ; la $- i^{n}$ semnul rămâne în afara puterii.
Semnele părților pierdute în formula produsului. În $(a c - b d) + (a d + b c) i$ , literele $b$ și $d$ sunt părțile imaginare cu tot cu semn. Dacă amândouă sunt negative, produsul $b d$ este pozitiv, iar partea reală a produsului scade. Cine introduce în formulă doar valorile fără semn obține o parte reală greșită; desfacerea parantezelor pas cu pas evită capcana.
Semnul lui $i^{3}$ confundat. $i^{3} = i^{2} \cdot i = - i$ , nu $i$ și nici $- 1$ . În formula cubului, termenul $b^{3} i^{3}$ devine $- b^{3} i$ și trece la partea imaginară cu minus. Un tabel scris pe marginea foii, cu $i^{0}$ , $i^{1}$ , $i^{2}$ , $i^{3}$ și valorile lor, elimină ezitarea.
Condiția pusă pe o formă nedesfăcută. Din „ $(x + 4 i) (8 - 9 i)$ este real” nu rezultă „ $x = 0$ ” citind doar primul factor. Un factor nereal poate da un produs real, deci condiția se pune pe produsul desfăcut, după ce ai strâns separat termenii fără $i$ și termenii cu $i$ .

Aplică acasă

Un fractal pe foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, pune în două coloane partea reală și partea imaginară a lui $z_{n}$ , iar în rândul următor formulele $a^{2} - b^{2} + Re c$ și $2 ab + Im c$ . Alege câteva valori ale lui $c$ (de exemplu $0, 3$ , $- 0, 5 + 0, 5 i$ , $0, 4 + 0, 6 i$ ) și urmărește în a treia coloană $a^{2} + b^{2}$ pe douăzeci de pași. Notează care valori depășesc $4$ și după câți pași.
Verificarea cu două drumuri. Alege un număr complex cu părți mici și calculează-i cubul în două feluri: cu formula din clasa a IX-a și ca produs dintre pătrat și numărul inițial. Dacă rezultatele diferă, caută pasul greșit comparând coloană cu coloană.
Pătrate de sortat. Alege douăsprezece numere $a + bi$ cu $a$ și $b$ întregi între $- 4$ și $4$ , nu amândouă nule, și calculează-le pătratele. Sortează-le în trei grupe: pătratul e real, pătratul e pur imaginar, niciuna dintre variante. Formulează în cuvintele tale regula după care se face sortarea, apoi verific-o pe două numere noi, alese de un coleg.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă înmulțirea numerelor complexe de algebra din clasa a IX-a: nu apare nicio formulă de memorat în plus, doar regula $i^{2} = - 1$ aplicată la finalul unor calcule cunoscute. Merită urmărit dacă elevul scrie cele patru produse parțiale înainte de a grupa; cei care sar peste acest pas greșesc mai ales semnul termenului real venit din $i^{2}$ . Controlul prin formulă, arătat în Exemplele 1 și 3, e un obicei ieftin și eficient.

Contextul fractalilor e ales după programa de științe, care recomandă explicit explorarea numerelor complexe „în grafica pe calculator (de exemplu, generarea de fractali)”. El arată elevilor că pătratul unui număr complex, calculat de milioane de ori pe secundă, produce imagini pe care le recunosc, și le dă un motiv să verifice fiecare semn. Nu e nevoie de modul sau de reprezentarea geometrică: criteriul $a^{2} + b^{2} > 4$ folosește doar părțile numărului.

Întrebări bune de control: „De ce $i^{6}$ nu este $1$ ?”; „Când este pătratul unui număr complex real?”; „Cum verifici un produs fără să-l refaci?”. Puterile cu exponent negativ nu apar aici, pentru că cer împărțirea.

Activitatea cu foaia de calcul din „Aplică acasă” se potrivește bine unei ore de laborator: elevii scriu singuri formula pătratului în două coloane și văd cum un semn greșit schimbă complet desenul. Pentru elevii care termină repede, merită cerut să găsească o valoare a lui $c$ pentru care șirul revine exact în același punct după câțiva pași, ca în secțiunea 7.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește „operații cu numere complexe scrise sub formă algebrică”, competența X.CS.5.4 dă ca exemplu „calcularea puterilor numărului imaginar i”, iar X.CS.6.4 cere explorarea aplicațiilor, inclusiv generarea de fractali. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, unde „operații cu numere complexe” apar la clasa a X-a, în capitolul „Mulțimi de numere”; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model din 2026, prima cerință a Subiectului I cere verificarea valorii unei expresii de forma $z_{1} + 3 i z_{2}$ , deci o adunare și produsul dintre $3 i$ și un număr complex; exercițiile marcate aici sunt create pentru exercițiu, iar puterile lui $i$ nu apar în acel model.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: înmulțirea numerelor complexe și puterile lui i, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este conjugatul unui număr complex la M2, iar exercițiile de recapitulare ale unității sunt în testul M2 despre numerele complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre înmulțire și puterile lui i?

Varianta M2 nu tratează puterile cu exponent negativ, sumele lungi de puteri ale lui $i$ sau interpretarea geometrică a înmulțirii. În schimb, lucrează condițiile de real și pur imaginar pentru produse și pătrate, cubul cu formula din clasa a IX-a și un model din grafica pe calculator, iterația care desenează fractalii.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea înmulțirea numerelor complexe?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține operațiile cu numere complexe la clasa a X-a. În varianta-model pentru 2026, prima cerință a Subiectului I cere să arăți că expresia $z_{1} + 3 i z_{2}$ , pentru două numere complexe date, are o valoare dată: produsul dintre $3 i$ și un număr complex, adunat cu alt număr. Pentru MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Algebră”.

De ce pot folosi formulele de calcul prescurtat cu numere complexe?

Formulele ca pătratul sumei sau diferența de pătrate se demonstrează doar cu proprietățile adunării și înmulțirii: comutativitate, asociativitate, distributivitate. Numerele complexe au toate aceste proprietăți, deci formulele rămân adevărate. Singurul lucru nou apare când ridici la putere un termen care conține $i$ : acolo intervin $i^{2} = - 1$ și $i^{3} = - i$ .

Ce legătură are pătratul unui număr complex cu imaginile fractale?

Pentru fiecare pixel, programul pornește de la $0$ și aplică de multe ori regula „ridică la pătrat și adună $c$ ”. Dacă numerele cresc peste pragul $a^{2} + b^{2} > 4$ , pixelul primește o culoare după numărul de pași; dacă nu, rămâne negru. Toată imaginea vine din pătrate și sume de numere complexe, calculate separat pe partea reală și pe partea imaginară, exact ca în exercițiile lecției.

De ce pătratul unui număr cu părți pozitive poate avea partea reală negativă?

Pentru că partea reală a pătratului este $a^{2} - b^{2}$ : ea devine negativă ori de câte ori partea imaginară întrece partea reală. De exemplu, $(2 + 5 i)^{2} = 4 + 20 i - 25 = - 21 + 20 i$ . Semnul părții reale a pătratului îți spune, așadar, care dintre cele două părți ale numărului inițial este mai mare, nu dacă numărul are părți pozitive.

De ce iterația pentru mulțimea Mandelbrot pornește de la $z_{0} = 0$ ?

Așa este definită mulțimea: pentru fiecare $c$ se urmărește șirul care pleacă din $0$ , iar primul pas dă chiar $z_{1} = c$ . Dacă ții $c$ fix și schimbi punctul de pornire, obții alte figuri, numite mulțimi Julia, desenate tot cu pătrate și sume. Pentru calculul de mână contează doar că fiecare pas cere un pătrat și o adunare pe părți.