Înmulțirea și puterile lui i: pe scurt

Înmulțirea numerelor complexe se face desfăcând parantezele și folosind $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$

Înmulțirea în $\mathbb{C}$ este comutativă, asociativă, are elementul neutru $1$ și este distributivă față de adunare — toate regulile din clasa a IX-a rămân valabile, cu singura noutate $i^2=-1$. Reține și $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, un număr real nenegativ.

Puterile lui $i$ sunt periodice, cu perioada $4$: $i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, apoi ciclul se repetă. Regula generală: $i^n=i^r$, unde $r\in \{0,1,2,3\}$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$. Pentru exponenți negativi, restul se ia tot nenegativ — de exemplu $-13=4\cdot (-4)+3$, deci $i^{-13}=i^3=-i$; a scrie $-13=4\cdot (-3)-1$ și a „citi” restul $-1$ este greșit, pentru că tabelul are doar resturile $0,1,2,3$.

Orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma $0$ ($1+i-1-i=0$ în orice ordine), fapt care simplifică sumele lungi de puteri: le grupezi câte patru și rămâi doar cu „coada”.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $(5+2i)(3-4i)$.

   • a) $23-14i$
   • b) $7-14i$
   • c) $23+14i$
   • d) $7+14i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $23-14i$

   $(5+2i)(3-4i)=15-20i+6i-8i^2=15-14i+8=23-14i$. Varianta b) uită termenul $-8i^2=+8$ din partea reală.

2. Cât este $i^{2027}$?

   • a) $i$
   • b) $-i$
   • c) $-1$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-i$

   $2027=4\cdot 506+3$, deci restul este $3$ și $i^{2027}=i^3=-i$.

3. Calculați $(2-i{)}^2$.

   • a) $5-4i$
   • b) $3+4i$
   • c) $3-4i$
   • d) $5+4i$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $3-4i$

   $(2-i{)}^2=4-4i+i^2=4-4i-1=3-4i$. Variantele a) și d) uită să scadă $1$ provenit din $i^2$.