Înmulțire/împărțire trigonometrică: pe scurt

La înmulțirea a două numere scrise trigonometric, modulele se înmulțesc și argumentele se adună:

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)).$$

La împărțire, modulele se împart și argumentele se scad. Dacă suma (respectiv diferența) argumentelor iese din $[0,2\pi )$, se reduce scăzând sau adunând $2\pi$. Inversul: $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos (2\pi -\phi )+i\sin (2\pi -\phi ))$.

Geometric, înmulțirea cu $z_1=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ este o rotație de unghi ${\phi }_1$ compusă cu o omotetie de raport $r_1$, ambele centrate în origine. Cazul special: cum $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ are modulul $1$, înmulțirea cu $i$ este rotația de $90°$ în sens trigonometric — se verifică imediat pe $(3+4i)\cdot i=-4+3i$, punctul $(3,4)$ ajungând în $(-4,3)$.

Două cazuri particulare merită reținute: dacă $|z_1|=1$, înmulțirea cu $z_1$ este o rotație pură, fără schimbare de scară; dacă $\arg z_1=0$ (adică $z_1$ e real pozitiv), înmulțirea este o omotetie pură, fără schimbare de direcție.

Pentru mai mulți factori egali, regula se extinde la $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$ — germenele formulei lui Moivre, studiată în lecția următoare, care va transforma calculul puterilor mari într-o simplă înmulțire a argumentului cu exponentul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați modulul produsului a două numere complexe cu modulele $3$ și $7$.

   • a) $21$
   • b) $10$
   • c) $4$
   • d) $\frac{3}{7}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $21$

   La produs, modulele se înmulțesc: $3\cdot 7=21$.

2. Numerele $z_1$ (modul $4$, argument $150°$) și $z_2$ (modul $2$, argument $225°$) se înmulțesc. Care este argumentul redus, în grade, al produsului?

   • a) $375°$
   • b) $15°$
   • c) $75°$
   • d) $165°$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $15°$

   Suma este $150°+225°=375°$, care depășește $360°$; reducem: $375°-360°=15°$.

3. Punctul de afix $z=5$ se rotește cu $90°$ în jurul originii, în sens trigonometric. Care este afixul noului punct?

   • a) $5$
   • b) $-5i$
   • c) $5i$
   • d) $-5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5i$

   Rotația cu $90°$ înseamnă înmulțirea cu $i$: $5\cdot i=5i$.