Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică

Într-un motor de joc video, fiecare rotire a unui obiect pe ecran este, la nivelul codului, o înmulțire. Programatorul nu scrie „mută punctul din $(3,4)$ în $(-4,3)$"; scrie „înmulțește afixul cu $i$" și obiectul se rotește cu $90^{\circ }$ în jurul originii. Dacă vrea și să-l mărească de două ori, înmulțește cu $2i$. O singură operație face, simultan, două lucruri geometrice diferite.

Această putere neașteptată a înmulțirii se vede abia în forma trigonometrică. În forma algebrică, produsul $(a+bi)(c+di)$ este un calcul corect, dar mut: nu-ți spune nimic despre unde ajunge punctul. În forma trigonometrică, regula este atât de simplă încât se ține minte dintr-o singură propoziție — modulele se înmulțesc, argumentele se adună — și explică imediat de ce înmulțirea cu $i$ înseamnă o rotire cu un sfert de tură. Din această regulă vor crește, în lecțiile următoare, formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi și să aplici formula produsului a două numere scrise trigonometric.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici formula câtului, precum și formula inversului unui număr complex nenul.
• Vei ști să reduci argumentul rezultatului la intervalul $[0,2\pi )$, adunând sau scăzând $2\pi$.
• Vei ști să interpretezi geometric înmulțirea ca o rotație urmată de o schimbare de scară.
• Vei ști să folosești înmulțirea cu $i$ și cu $\cos \phi +i\sin \phi$ pentru a roti un punct în jurul originii.
• Vei ști să extinzi regula la mai mulți factori și să pregătești astfel calculul puterilor.

Hai să descoperim împreună

1. O întrebare simplă: ce pățesc modulul și direcția?

Să pornim de la un caz pe care îl poți verifica în ambele forme. Fie $z_1=1+i\sqrt{3}$ și $z_2=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i$. Înmulțite algebric, ele dau

$$z_1{z}_2=\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i\right)=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i+\frac{15}{2}i+\frac{5\sqrt{3}}{2}{i}^2=10i.$$

Rezultatul este surprinzător de curat. Să privim acum aceleași numere în formă trigonometrică: $z_1=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ și $z_2=5\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$, iar produsul $10i=10\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$.

Compară cele trei rânduri: modulele au fost $2$ și $5$, iar modulul produsului este $10=2\cdot 5$. Argumentele au fost $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{\pi }{6}$, iar argumentul produsului este $\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$. Nu este o coincidență, ci o teoremă.

2. Teorema înmulțirii

Teoremă. Fie $z_1=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)$ și $z_2=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$. Atunci

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)).$$

Demonstrație. Înmulțim direct și grupăm:

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$$

$$=r_1{r}_2(\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2+i\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2+i\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2+i^2\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2).$$

Folosim $i^2=-1$ și separăm partea reală de cea imaginară:

$$=r_1{r}_2[(\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2)+i(\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2+\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2)].$$

În paranteze au apărut exact formulele pentru suma a două unghiuri:

$$\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)=\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2,\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)=\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2+\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2.$$

Prin urmare $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2))$. $■$

Reține propoziția-cheie: la înmulțire, modulele se înmulțesc și argumentele se adună. Prima jumătate o știai deja sub forma $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$; a doua jumătate este noutatea.

3. Atenție: suma argumentelor poate ieși din interval

Formula dă un argument corect, dar nu neapărat redus. Dacă ${\phi }_1+{\phi }_2\ge 2\pi$, scădem $2\pi$; abia atunci avem forma trigonometrică standard.

Exemplu. Fie $z_1=2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$ și $z_2=3\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$. Modulul produsului este $6$, iar suma argumentelor este

$$\frac{4\pi }{3}+\frac{3\pi }{2}=\frac{8\pi }{6}+\frac{9\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}>2\pi .$$

Reducem: $\frac{17\pi }{6}-2\pi =\frac{17\pi }{6}-\frac{12\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Deci

$$z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-3\sqrt{3}+3i.$$

Verificare în formă algebrică: $z_1=-1-i\sqrt{3}$ și $z_2=-3i$, iar $\left(-1-i\sqrt{3}\right)(-3i)=3i+3\sqrt{3}\cdot i^2=-3\sqrt{3}+3i$ ✓.

Iată de ce afirmația „argumentul redus al produsului este suma argumentelor reduse" este falsă în general: corect este că cele două diferă printr-un multiplu de $2\pi$. Egalitatea are loc doar când suma nu depășește $2\pi$.

4. Interpretarea geometrică: rotație plus schimbare de scară

Privește formula ca pe o instrucțiune dată punctului de afix $z_2$: „înmulțit cu $z_1$, te rotești cu unghiul ${\phi }_1$ în jurul originii și te depărtezi de origine de $r_1$ ori". Înmulțirea cu un număr complex fixat este deci compunerea a două transformări geometrice pe care le poți desena: o rotație de unghi ${\phi }_1$ și o omotetie de centru $O$ și raport $r_1$.

Două cazuri particulare merită reținute pe de rost.

• Dacă $r_1=1$, adică $|z_1|=1$, înmulțirea este o rotație pură: distanțele față de origine nu se schimbă.
• Dacă ${\phi }_1=0$, adică $z_1$ este un număr real pozitiv, înmulțirea este o omotetie pură: direcțiile nu se schimbă.

Înmulțirea cu $i$. Cum $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$, are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$, deci înmulțirea cu $i$ este rotația de $90^{\circ }$ în sens trigonometric. Verificare pe un caz concret: $(3+4i)\cdot i=3i+4i^2=-4+3i$. Punctul $(3,4)$ a ajuns în $(-4,3)$ — exact ce face un sfert de tură.

Această citire geometrică este chiar competența cerută de programă: interpretarea geometrică a operațiilor capătă acum o formulare exactă. Adunarea era translație; înmulțirea este rotație și scalare.

5. Mai mulți factori

Teorema se extinde imediat, prin repetare, la oricâți factori:

$$z_1{z}_2\cdots z_n=r_1{r}_2\cdots r_n(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_n)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2+\cdots +{\phi }_n)).$$

Când toți factorii sunt egali cu $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, obținem $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$ — germenele formulei lui Moivre, pe care o vom enunța și demonstra riguros în lecția următoare.

Exemplu. $z=1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$. Atunci $z^2=2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=2i$, ceea ce se verifică imediat: $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$ ✓.

6. Teorema împărțirii și inversul

Teoremă. Cu notațiile de mai sus și $z_2\ne 0$,

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)).$$

Demonstrație. Notăm $w=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2))$ și arătăm că $w{z}_2=z_1$. Într-adevăr, după teorema înmulțirii,

$$w{z}_2=\frac{r_1}{r_2}\cdot r_2(\cos (({\phi }_1-{\phi }_2)+{\phi }_2)+i\sin (({\phi }_1-{\phi }_2)+{\phi }_2))=r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)=z_1.$$

Cum $z_2\ne 0$, câtul este unic, deci $w=\frac{z_1}{z_2}$. $■$

Pe scurt: la împărțire, modulele se împart și argumentele se scad. Aici diferența ${\phi }_1-{\phi }_2$ poate ieși negativă; atunci adunăm $2\pi$.

Exemplu. $\frac{8\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)}{4\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)}$ are modulul $\frac{8}{4}=2$ și argumentul $\frac{\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}$, care nu e redus. Adunăm $2\pi$ și obținem $\frac{3\pi }{2}$:

$$\frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2i.$$

Inversul. Luând $z_1=1=1\cdot (\cos 0+i\sin 0)$, obținem pentru orice $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ nenul

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos (-\phi )+i\sin (-\phi ))=\frac{1}{r}(\cos (2\pi -\phi )+i\sin (2\pi -\phi )),\phi \ne 0.$$

Modulul se inversează, argumentul se „oglindește" — aceeași oglindire ca la conjugat, ceea ce nu e o coincidență: $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$, formulă cunoscută de la împărțirea în formă algebrică.

Exemplu. Pentru $z=4\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\sqrt{3}+2i$ avem $\frac{1}{z}=\frac{1}{4}\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{i}{8}$. Control: $\left(2\sqrt{3}+2i\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{i}{8}\right)=\frac{6}{8}-\frac{2\sqrt{3}}{8}i+\frac{2\sqrt{3}}{8}i-\frac{2i^2}{8}=\frac{6}{8}+\frac{2}{8}=1$ ✓.

7. Tabloul complet al regulilor

Toate proprietățile de până acum se așază acum într-un tabel scurt, valabil pentru $z,z_1,z_2$ nenule. Egalitățile care privesc argumentele se citesc modulo $2\pi$: cele două valori diferă printr-un multiplu întreg de $2\pi$, iar argumentul redus se obține la final, prin adunarea sau scăderea lui $2\pi$.

Ultimul rând este puntea către lecția următoare. Observă și că $-z=z\cdot (-1)$, iar $-1=\cos \pi +i\sin \pi$: opusul este rotația cu o jumătate de tură, exact cum arătam în lecția despre trecerea între forme.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Produs simplu, fără reducere

Calculați $z_1{z}_2$ pentru $z_1=3\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ și $z_2=4\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$, apoi scrieți rezultatul în formă algebrică.

Rezolvare. Modulul produsului este $3\cdot 4=12$, iar argumentul este $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{2}\in [0,2\pi )$, deci nu are nevoie de reducere:

$$z_1{z}_2=12\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=12i.$$

Verificare: $z_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$ și $z_2=2+2i\sqrt{3}$; produsul lor este $3\sqrt{3}+6i+3i+3\sqrt{3}{i}^2=12i$ ✓.

Exemplul 2 — Produs cu reducerea argumentului

Calculați $z_1{z}_2$ pentru $z_1=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$ și $z_2=5\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$.

Rezolvare. Modulul: $2\cdot 5=10$. Argumentul: $\frac{5\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+\frac{8\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$, care depășește $2\pi =\frac{12\pi }{6}$. Reducem scăzând $2\pi$:

$$\frac{13\pi }{6}-\frac{12\pi }{6}=\frac{\pi }{6}⟹z_1{z}_2=10\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=5\sqrt{3}+5i.$$

Verificare: $z_1=-\sqrt{3}+i$ și $z_2=-\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}i$, iar produsul lor este $\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{15}{2}i-\frac{5}{2}i+\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}+5i$ ✓.

Exemplul 3 — Cât cu argument negativ

Calculați $\frac{z_1}{z_2}$ pentru $z_1=6\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ și $z_2=3\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$.

Rezolvare. Modulul: $\frac{6}{3}=2$. Argumentul: $\frac{\pi }{3}-\frac{3\pi }{2}=\frac{2\pi }{6}-\frac{9\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$, negativ, deci adunăm $2\pi$:

$$-\frac{7\pi }{6}+\frac{12\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}⟹\frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}+i.$$

Verificare: $z_1=3+3i\sqrt{3}$, $z_2=-3i$, iar $\frac{3+3i\sqrt{3}}{-3i}=\frac{(3+3i\sqrt{3})\cdot i}{-3i\cdot i}=\frac{3i-3\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3}+i$ ✓.

Exemplul 4 — Puteri mici prin înmulțire repetată

Folosind numai teorema înmulțirii, calculați $z^2$, $z^3$ și $z^4$ pentru $z=1+i$.

Rezolvare. Mai întâi forma trigonometrică: $r=\sqrt{2}$, cadranul I, $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{4}$ și $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$. Acum modulele se înmulțesc, argumentele se adună:

$$z^2=2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=2i,z^3=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)=-2+2i,$$

$$z^4=4\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=-4.$$

Verificare: $(1+i{)}^2=2i$; $(1+i{)}^3=2i(1+i)=-2+2i$; $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ ✓. Observă tiparul: modulul se ridică la putere, argumentul se înmulțește cu exponentul.

Exemplul 5 — Rotirea unui punct

Punctul $M$ are afixul $z=2+2i\sqrt{3}$. Determinați afixul punctului obținut rotind $M$ în jurul originii cu $60^{\circ }$ în sens trigonometric.

Rezolvare. O rotație de unghi $\frac{\pi }{3}$ înseamnă înmulțirea cu $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$, număr de modul $1$. Scriem întâi $z$ trigonometric: $r=\sqrt{4+12}=4$, cadranul I, $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{3}$ și $z=4\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. După rotire:

$$z^{\prime }=4\cdot 1\cdot \left(\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)\right)=4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-2+2i\sqrt{3}.$$

Verificare directă: $\left(2+2i\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}+i\sqrt{3}+3i^2=-2+2i\sqrt{3}$ ✓. Modulul a rămas $4$, cum era de așteptat de la o rotație.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $z_1=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ și $z_2=3\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$. a) Scrieți $z_1{z}_2$ sub formă trigonometrică și sub formă algebrică. b) Scrieți $\frac{z_1}{z_2}$ sub formă trigonometrică și sub formă algebrică. c) Determinați $\frac{1}{z_1}$.

Rezolvare. a) Modulul: $2\cdot 3=6$. Argumentul: $\frac{2\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$, deja redus. Deci

$$z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=6(0-i)=-6i.$$

b) Modulul: $\frac{2}{3}$. Argumentul: $\frac{4\pi }{6}-\frac{5\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$, negativ, deci adunăm $2\pi$: $-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$. Prin urmare

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{i}{3}.$$

Verificare: $z_1=-1+i\sqrt{3}$ și $z_2=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$; înmulțind câtul găsit cu $z_2$ se obține $-1+i\sqrt{3}=z_1$ ✓.

c) $\frac{1}{z_1}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(2\pi -\frac{2\pi }{3}\right)+i\sin \left(2\pi -\frac{2\pi }{3}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$.

Verificare: $\frac{1}{z_1}=\frac{\overline{z_1}}{|z_1{|}^2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{4}=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare produs sau cât, scrie separat modulul și argumentul, verifică dacă argumentul a ieșit din $[0,2\pi )$ și, dacă da, redu-l. Controlează rezultatul trecând totul în formă algebrică.

1. Calculează $2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)\cdot 3\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$.

2. Calculează $4\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\cdot 2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$.

3. Calculează $5\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)\cdot 2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$.

4. Calculează $3\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)\cdot 4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$.

5. Calculează $\frac{12\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)}{3\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$.

6. Calculează $\frac{6\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)}{2\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)}$.

7. Determină inversul numărului $z=2\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$, în ambele forme.

8. Calculează $(1+i\sqrt{3})(\sqrt{3}+i)$ trecând ambii factori în formă trigonometrică.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Argumentul redus al produsului a două numere complexe nenule este întotdeauna suma argumentelor lor reduse."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Modulul produsului a două numere complexe este produsul modulelor lor."

11. Calculează $(1+i)(-1+i)$ folosind forma trigonometrică și verifică algebric.

12. Calculează $\frac{8\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)}{4\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)}$.

13. Punctul $M$ are afixul $3+3i$. Care este afixul punctului obținut prin rotirea lui $M$ cu $90^{\circ }$ în jurul originii, în sens trigonometric?

14. Punctul $N$ are afixul $2$. Determină afixul punctului obținut rotind $N$ cu $60^{\circ }$ în jurul originii, în sens trigonometric.

15. (Problemă aplicată.) Brațul unei macarale, privit de sus, are lungimea de $5$ metri și face un unghi de $30^{\circ }$ cu direcția est. Luând pivotul drept origine și estul drept semiaxa pozitivă $Ox$, scrie afixul vârfului brațului, apoi determină afixul lui după o rotire de $60^{\circ }$ în sens trigonometric. Ce unghi face brațul, după rotire, cu direcția est?

16. Pentru $z=\sqrt{3}+i$, calculează $z^2$ și $z^3$ folosind doar teorema înmulțirii.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z_1=3\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$ și $z_2=2\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$. a) Calculați modulul și argumentul redus al lui $z_1{z}_2$. b) Scrieți $z_1{z}_2$ în formă algebrică. c) Determinați $\frac{z_1}{z_2}$.

18. (Provocare.) a) Deduceți din teorema înmulțirii egalitatea $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$. b) Fie $z$ un număr complex cu $|z|=1$ și $\arg z=\phi$. Arătați că, pentru orice $w$ nenul, punctele de afixe $w$ și $zw$ se află la aceeași distanță de origine, iar unghiul dintre direcțiile lor este $\phi$. Deduceți că produsul a două numere de modul $1$ are tot modulul $1$.

Răspunsuri și explicații

1. Modul $2\cdot 3=6$; argument $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$. Rezultat: $6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=6i$.

2. Modul $8$; argument $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}$. Rezultat: $8\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)=-4\sqrt{2}+4i\sqrt{2}$.

3. Modul $10$; argument $\frac{2\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$. Rezultat: $10\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-10i$.

4. Modul $12$; argument $\frac{7\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+\frac{8\pi }{6}=\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, care depășește $2\pi$; reducem: $\frac{5\pi }{2}-2\pi =\frac{\pi }{2}$. Rezultat: $12\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=12i$.

5. Modul $\frac{12}{3}=4$; argument $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$. Rezultat: $4\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=4i$.

6. Modul $3$; argument $\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{4}=-\pi$, negativ; adunăm $2\pi$ și obținem $\pi$. Rezultat: $3(\cos \pi +i\sin \pi )=-3$.

7. $\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\left(\cos \left(2\pi -\frac{3\pi }{4}\right)+i\sin \left(2\pi -\frac{3\pi }{4}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}i$. Control: $z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, iar produsul $z\cdot \frac{1}{z}$ dă $1$ ✓.

8. $1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ și $\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Produsul are modulul $4$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$, deci este $4i$. Verificare algebrică: $\sqrt{3}+i+3i+i^2\sqrt{3}=4i$ ✓.

9. Fals. Corect este că argumentul produsului diferă de suma argumentelor printr-un multiplu întreg de $2\pi$. Contraexemplu: pentru ${\phi }_1=\frac{5\pi }{6}$ și ${\phi }_2=\frac{4\pi }{3}$, suma este $\frac{13\pi }{6}\notin [0,2\pi )$, iar argumentul redus al produsului este $\frac{\pi }{6}$.

10. Adevărat. Din teorema înmulțirii, modulul produsului este $r_1{r}_2$, adică exact produsul modulelor. Această proprietate era cunoscută și din forma algebrică, dar forma trigonometrică o face evidentă.

11. $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ și $-1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$. Modulul produsului este $2$, argumentul $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$, deci produsul este $2(\cos \pi +i\sin \pi )=-2$. Algebric: $(1+i)(-1+i)=-1+i-i+i^2=-2$ ✓.

12. Modul $2$; argument $\frac{11\pi }{6}-\frac{5\pi }{6}=\pi$. Rezultat: $2(\cos \pi +i\sin \pi )=-2$. Control algebric: numărătorul este $4\sqrt{3}-4i$, numitorul $-2\sqrt{3}+2i$, iar primul este $-2$ ori al doilea ✓.

13. Rotirea cu $90^{\circ }$ înseamnă înmulțirea cu $i$: $(3+3i)\cdot i=3i+3i^2=-3+3i$. Modulul a rămas $3\sqrt{2}$, iar argumentul a crescut de la $\frac{\pi }{4}$ la $\frac{3\pi }{4}$.

14. Înmulțim cu $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$: rezultatul este $2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+i\sqrt{3}$. Trigonometric: modulul rămâne $2$, iar argumentul devine $0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$.

15. Afixul inițial: $z=5\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i$. După rotirea cu $\frac{\pi }{3}$, argumentul devine $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$, deci noul afix este $5\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=5i$. Brațul este acum îndreptat exact spre nord, deci face $90^{\circ }$ cu direcția est; lungimea lui a rămas $5$ metri, pentru că rotația nu schimbă modulul.

16. $\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Atunci $z^2=4\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=2+2i\sqrt{3}$ și $z^3=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=8i$. Verificare: $(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2i\sqrt{3}-1=2+2i\sqrt{3}$ ✓, iar $(2+2i\sqrt{3})(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{3}+2i+6i-2\sqrt{3}=8i$ ✓.

17. a) Modulul este $3\cdot 2=6$; suma argumentelor este $\frac{3\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=\frac{10\pi }{4}=\frac{5\pi }{2}>2\pi$, deci argumentul redus este $\frac{5\pi }{2}-2\pi =\frac{\pi }{2}$. b) $z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=6i$. c) Modulul câtului este $\frac{3}{2}$, iar argumentul $\frac{3\pi }{4}-\frac{7\pi }{4}=-\pi$, deci, adunând $2\pi$, obținem $\pi$: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{2}(\cos \pi +i\sin \pi )=-\frac{3}{2}$.

18. a) Din $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2))$ și din faptul că $r_1{r}_2>0$ rezultă că modulul produsului este chiar $r_1{r}_2=|z_1|\cdot |z_2|$, pentru că $|\cos t+i\sin t|=1$ pentru orice $t$ real. b) Modulul lui $zw$ este $|z|\cdot |w|=1\cdot |w|=|w|$, deci cele două puncte sunt la aceeași distanță de origine; argumentele lor diferă prin $\phi$ (modulo $2\pi$), adică unghiul dintre direcții este $\phi$. Luând $|w|=1$, rezultă $|zw|=1$: produsul a două numere de modul $1$ are tot modulul $1$, deci cercul unitate este stabil la înmulțire.

De reținut

• Produsul: $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2))$ — modulele se înmulțesc, argumentele se adună.
• Câtul: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2))$ — modulele se împart, argumentele se scad; în particular $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos (2\pi -\phi )+i\sin (2\pi -\phi ))$, pentru $\phi \ne 0$.
• Argumentul obținut se reduce la $[0,2\pi )$: dacă suma depășește $2\pi$, scazi $2\pi$; dacă diferența este negativă, aduni $2\pi$. Fără acest pas, forma nu e standard.
• Geometric, înmulțirea cu $z_1$ este o rotație de unghi ${\phi }_1$ compusă cu o omotetie de raport $r_1$, ambele cu centrul în origine. Înmulțirea cu $i$ este rotația de $90^{\circ }$.
• Pentru $n$ factori egali: $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$ — punctul de plecare al formulei lui Moivre.

Greșeli frecvente

• Se adună modulele și se înmulțesc argumentele. Regula este exact pe dos: modulele se înmulțesc, argumentele se adună. Controlul rapid: la $2\cdot 3$ trebuie să obții modulul $6$, nu $5$.
• Argumentul rămâne neredus. Un rezultat de tipul $\frac{13\pi }{6}$ sau $-\frac{7\pi }{6}$ nu este argument redus; scade sau adună $2\pi$ înainte de a scrie forma finală.
• Se scad modulele la împărțire. La împărțire modulele se împart: din $12$ și $3$ iese $4$, nu $9$.
• Se uită că factorii trebuie scriși întâi trigonometric. Dacă unul dintre numere este dat algebric, treci-l mai întâi în formă trigonometrică; altfel aduni „argumente" care nu există.
• Se aplică formula unui factor cu modul negativ. Scrierea $-2(\cos \phi +i\sin \phi )$ nu este formă trigonometrică; corecteaz-o (modul $2$, argument $\phi +\pi$) înainte de a înmulți.

Aplică acasă

1. Ceasul care se rotește. Desenează cercul de rază $1$ și marchează punctul de afix $\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$. Înmulțește-l succesiv cu el însuși și marchează, de fiecare dată, noul punct. După câți pași ajungi înapoi în punctul de plecare? Ce figură ai obținut pe cerc?

2. Rotația în caiet. Alege un triunghi cu vârfurile de afixe $1$, $3+i$ și $2+3i$. Înmulțește toate cele trei afixe cu $i$ și desenează noul triunghi. Măsoară laturile: sunt aceleași? Explică de ce, folosind faptul că $|i|=1$.

3. Lupa complexă. Înmulțește aceleași trei afixe cu $2i$ și desenează din nou. Ce s-a schimbat față de exercițiul anterior și ce a rămas la fel? Formulează singur o regulă pentru înmulțirea cu $ri$, unde $r>0$.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce cea mai rentabilă formulă a capitolului: produsul și câtul în formă trigonometrică. Ea verifică trei lucruri distincte — cunoașterea regulii, disciplina reducerii argumentului la $[0,2\pi )$ și capacitatea de a citi geometric operația. Ultimul punct este cel mai valoros pe termen lung: elevul care înțelege că înmulțirea este o rotație compusă cu o scalare are un instrument pe care îl va regăsi la fizică (mărimi rotitoare), la informatică (grafică pe calculator) și, mai târziu, la orice curs de matematici superioare.

Puncte de verificat în lucrare: (1) modulul rezultatului este produsul, respectiv câtul modulelor; (2) argumentul este suma, respectiv diferența argumentelor; (3) argumentul final este redus, adică în $[0,2\pi )$; (4) rezultatul e controlat printr-o verificare algebrică. Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă cu un punct dacă îl înmulțești cu $i$?"; „De ce nu poate fi $\frac{13\pi }{6}$ un argument redus?"; „Cum arată geometric înmulțirea cu un număr real pozitiv?".

La Bacalaureat M1, formulele apar fie direct („scrieți $z_1{z}_2$ sub formă trigonometrică"), fie ascunse într-un exercițiu de puteri sau de rădăcini, unde ele sunt pasul intermediar. Un elev care aplică regula, dar uită reducerea argumentului, pierde de obicei un punct din barem la fiecare apariție — de aceea insistăm pe ea de la prima aplicație.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două numere complexe scrise sub formă trigonometrică? Se înmulțesc modulele și se adună argumentele: $r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\cdot r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2))$. Dacă suma argumentelor depășește $2\pi$, se scade $2\pi$ pentru a obține argumentul redus.

Cum se împart două numere complexe în formă trigonometrică? Se împart modulele și se scad argumentele: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2))$, cu $z_2\ne 0$. Dacă diferența argumentelor iese negativă, se adună $2\pi$.

Ce înseamnă geometric înmulțirea cu un număr complex? Înseamnă o rotație în jurul originii, cu unghiul egal cu argumentul factorului, urmată de o omotetie de centru $O$ și raport egal cu modulul factorului. Dacă modulul este $1$, avem o rotație pură; dacă argumentul este $0$, avem o simplă scalare.

De ce înmulțirea cu $i$ rotește cu $90^{\circ }$? Pentru că $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{2}$. Înmulțind cu el, modulul rămâne neschimbat, iar argumentul crește cu $\frac{\pi }{2}$, adică exact un sfert de tură în sens trigonometric.

Argumentul produsului este mereu suma argumentelor? Nu ca argument redus. Suma este un argument corect al produsului, dar poate depăși $2\pi$; argumentul redus se obține scăzând $2\pi$. Cele două valori diferă întotdeauna printr-un multiplu întreg de $2\pi$.

Cum calculez inversul unui număr complex scris trigonometric? Inversezi modulul și schimbi semnul argumentului: $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos (2\pi -\phi )+i\sin (2\pi -\phi ))$, pentru $\phi \ne 0$. Este mult mai rapid decât amplificarea cu conjugatul din forma algebrică.

La ce îmi folosește regula asta mai departe? Este baza formulei lui Moivre, care calculează puteri mari, și a formulei rădăcinilor de ordinul $n$. Practic, tot restul capitolului de numere complexe se sprijină pe cele două propoziții din această lecție.