Pentru $$z = 3 - i$$, punctul de afix $$-\dfrac{3}{2}z$$ se află:

de partea opusă originii, la distanța $$\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$$ de ea

de aceeași parte a originii ca imaginea lui $$z$$

simetric față de axa reală cu imaginea lui $$z$$

Cum aflu al patrulea vârf cu numere complexe?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Operațiile cu complexe în plan

În paralelogramul $A B C D$ diagonalele au același mijloc, deci $\frac{z _{A} + z _{C}}{2} = \frac{z _{B} + z _{D}}{2}$ , de unde $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B}$ . Exemplu: $z_{A} = 1 + i$ , $z_{B} = 4 + 2 i$ , $z_{C} = 6 + 5 i$ . Atunci $z_{D} = (1 + 6 - 4) + (1 + 5 - 2) i = 3 + 4 i$ . Verificare: mijlocul lui $A C$ are afixul $\frac{7 + 6 i}{2}$ , iar mijlocul lui $B D$ tot $\frac{7 + 6 i}{2}$ . Ordinea literelor contează: vârful opus lui $D$ este $B$ .

Fiecare număr complex $a + bi$ are ca imagine punctul $(a, b)$ , iar operațiile au un sens geometric. Suma a două numere este vârful opus originii în paralelogramul construit pe imaginile lor; pentru deplasări succesive, săgețile se așază cap la cap, după regula triunghiului.

Diferența $z_{1} - z_{2}$ reprezintă săgeata care pleacă din imaginea lui $z_{2}$ și ajunge în imaginea lui $z_{1}$ ; modulul ei dă distanța dintre cele două puncte. Pentru distanță ordinea scăderii nu contează; pentru o deplasare cerută, contează.

Produsul cu un număr real $k$ păstrează punctul pe dreapta care trece prin origine și prin imaginea lui $z$ : de aceeași parte pentru $k$ pozitiv, de partea opusă pentru $k$ negativ, la distanța $∣ k ∣ \cdot ∣ z ∣$ . Cu aceste reguli se scriu afixul mijlocului unui segment, jumătatea sumei capetelor, afixul centrului de greutate, media celor trei vârfuri, și al patrulea vârf al unui paralelogram $A B C D$ , $z_{A} + z_{C} - z_{B}$ . Tot de aici vine explicația inegalității $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ : drumul frânt nu e mai scurt decât cel drept.

De reținut

mijlocul lui $A B$ : $\frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ ; centrul de greutate: $\frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$
în paralelogramul $A B C D$ : $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B}$
$∣ z_{1} - z_{2} ∣$ este distanța dintre imagini

Greșeala tipică

Se scrie $z_{D} = z_{A} + z_{B} - z_{C}$ , luând alt vârf ca opus lui $D$ ; se obține alt paralelogram, iar pentru $A B C D$ vârful opus lui $D$ este $B$ , deci $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Imaginea sumei numerelor $z_{1} = 3 + 2 i$ și $z_{2} = - 1 + 4 i$ este punctul:
- a) $(1, 3)$
- b) $(2, 6)$
- c) $(4, - 2)$
- d) $(- 3, 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2, 6)$

Punctul $(1, 3)$ este mijlocul segmentului dintre imagini, adică jumătatea sumei, nu suma. Suma este $(3 - 1) + (2 + 4) i = 2 + 6 i$ , cu imaginea $(2, 6)$ .
Distanța dintre imaginile numerelor $2 + 7 i$ și $- 5 + 2 i$ este:
- a) $12$
- b) $74$
- c) $90$
- d) $74$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $74$

Diferența este $(2 + 7 i) - (- 5 + 2 i) = 7 + 5 i$ , iar modulul ei este $49 + 25 = 74$ . Varianta $90$ este modulul sumei, $- 3 + 9 i$ , iar $12$ adună părțile diferenței fără radical.
Pentru $z = 3 - i$ , punctul de afix $- \frac{3}{2} z$ se află:
- a) de aceeași parte a originii ca imaginea lui $z$
- b) simetric față de axa reală cu imaginea lui $z$
- c) pe axa imaginară
- d) de partea opusă originii, la distanța $\frac{3 10}{2}$ de ea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) de partea opusă originii, la distanța $\frac{3 10}{2}$ de ea

$- \frac{3}{2} z = - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} i$ . Factorul negativ trimite punctul de cealaltă parte a originii, iar distanța se înmulțește cu $\frac{3}{2}$ : $- \frac{3}{2} z = \frac{3}{2} ∣ z ∣ = \frac{3 10}{2}$ .

Întrebări conexe

Ce afix are centrul de greutate al unui triunghi dat prin afixe?

Este media celor trei afixe, $\frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ . Pentru $z_{A} = 2 + i$ , $z_{B} = 5 - 2 i$ și $z_{C} = - 1 + 7 i$ , suma este $6 + 6 i$ , deci centrul de greutate are afixul $2 + 2 i$ . Formula corespunde mediei coordonatelor din geometria analitică.

Unde ajunge imaginea lui $k z$ când $k$ este un număr negativ?

Pe aceeași dreaptă prin origine ca imaginea lui $z$ , dar dincolo de origine, la distanța $∣ k ∣ \cdot ∣ z ∣$ . Pentru $z = 2 + i$ și $k = - 2$ obții $- 4 - 2 i$ : punctul $(- 4, - 2)$ , la distanța $25$ de origine, adică dublul lui $∣ z ∣ = 5$ .

De ce modulul sumei a două numere complexe nu depășește suma modulelor?

Pe desen, $z_{1}$ și $z_{1} + z_{2}$ se obțin punând săgețile cap la cap, iar o latură a unui triunghi este cel mult suma celorlalte două. De exemplu, $∣3∣ + ∣4 i ∣ = 7$ , dar $∣3 + 4 i ∣ = 5$ . Egalitatea ar apărea doar dacă săgețile ar avea aceeași direcție și același sens.

Cum descriu cu numere complexe două deplasări succesive?

Fiecare deplasare devine un număr complex: $3$ km spre est este $3$ , iar $4$ km spre nord este $4 i$ . Deplasarea totală este suma, $3 + 4 i$ , iar distanța față de punctul de plecare este modulul, $∣3 + 4 i ∣ = 5$ km. Ordinea deplasărilor nu schimbă punctul final.

Ce afix are simetricul punctului $A$ față de punctul $B$ ?

Punctul $B$ este mijlocul segmentului dintre $A$ și simetricul lui, $A^{'}$ , deci $z_{B} = \frac{z _{A} + z _{A^{'}}}{2}$ și $z_{A^{'}} = 2 z_{B} - z_{A}$ . Pentru $z_{A} = 1 + 2 i$ și $z_{B} = 3 - i$ obții $z_{A^{'}} = 6 - 2 i - 1 - 2 i = 5 - 4 i$ . Proba: mijlocul dintre $1 + 2 i$ și $5 - 4 i$ este $\frac{6 - 2 i}{2} = 3 - i$ , adică $z_{B}$ .

Oamenii mai întreabă și: al patrulea vârf al paralelogramului cu afixe · paralelogram cu numere complexe · afixul vârfului D într-un paralelogram · zD egal zA plus zC minus zB